北师大版高中数学选择性必修第一册 5.1.2基本计数原理的简单应用（1）课件(共13张PPT)

(共13张PPT)
第五章 计数原理
5.1.3 基本计数原理的简单应用（1）
1.理解基本计数原理，能正确区分“类”和“步”；
2.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别和联系．
正确选择加法原理或乘法原理解决问题．
理解两个计数原理的区别和联系．
分步乘法计数原理（乘法原理）
分类加法计数原理（加法原理）
类与类不相交
每一类方法中的每一种方法都可以完成指定事情
步与步有关联
只有所有的步骤都完成才能完成指定事情
分清“要完成的一件事”；
根据事情确定分类还是分步．
用这两个原理解决问题
①能够被5整除的数的特征是什么？
②该问题中需要完成的“一件事”是什么？
③如何完成“这件事”？
末位数字是0或5
确定自然数1~200中末位是0或5的数的个数
分末位是0和末位是5两类进行计数
解：能够被5整除的数，末位数字是0或5，因此，我们把1，2，3.…，200中能够被5整除的数分成2类来计数：
第1类，末位数字是0的数，共有20个；
第2类，末位数字是5的数，共有20个.
根据分类加法计数原理，在1，2，3.…，200中，能够被5整除的数共有N=20+20=40个．
本题能够顺利求解的关键是什么？
准确指出问题中的“一件事”；
按照明确的标准给问题分类．
在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有多少个？
有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.
（1）若只需1名参加，共有多少种选法？
（2）若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？
两个小题中各自的要完成的“一件事”是什么？分别如何完成？
(1)“总共选出1人”
(2)“各自选出1人”
3名教师
8名男学生
5名女学生
分三类
分三步
第一类，选教师，3种选法；
第二类，选男生，8种选法；
第三类，选女生，5种选法
第一步，选教师，3种选法；
第二步，选男生，8种选法；
第三步，选女生，5种选法
N=3×8×5=120
据分步乘法计数原理
N=3+8+5=16
据分类加法计数原理
针对“分类”问题；
各种方法相互独立；
用其中任何一种方法都可以完成“这件事”
两个原理在解决问题时的有何不同？
针对 “分步”问题；
各步骤中的方法互相依存；
只有每一个步骤都依次完成才算做完成“这件事”
如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条．李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条线路可以选择？
①本题目要完成的“一件事”是什么？
②如何完成？
第一步，从A村到达B村，
第二步，从B村到达C村，
第三步，从C村到达D村，
分步完成
有3条路可选择；
有2条路可选择；
有3条路可选择．
N=3×2×3=18
据分步乘法计数原理
①能否使用加法原理来解决这个问题？②对比两种解法，思考两个原理有何联系？
从A村经过B村到达C村
2+2+2=2×3=6
从C村到达D村
6+6+6=6×3=18
两个计数原理本质一致
乘法原理是加法原理的简化
数的乘法与加法的关系
要给如图所示的五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不相同，则不同的涂色方案一共有多少种？
D
A
B
C
E
①本题目要完成的“一件事”是什么？
②如何完成？
“用四种颜色给如图所示的五个区域涂色，且相邻区域不同色”
理清关系，按区域分步
第一类，A、C同色：
第一步，给区域A涂色，有4种选择；
第二步，给区域C涂色，有1中选择；
第三步，给区域B涂色，有3种选择；
第四步，给区域E涂色，有2种选择；
第五步，给区域D涂色，有2种选择．
则根据分步乘法计数原理，
一共有为4×1×3×2×2=48种不同的选择；
第二类，A、C异色：
第一步，给区域A涂色，有4种选择；
第二步，给区域C涂色，有3种选择；
第三步，给区域B涂色，有2种选择；
第四步，给区域E涂色，只有1种选择；
第五步，给区域D涂色，只有1种选择．
则根据分步乘法计数原理，
一共有为4×3×2×1×1=24种不同选择；
综上，根据分类加法计数原理，该图形的不同涂色方案共有48+24=72种．
解：按A与C颜色的相同和相异分类求解．
要给如图所示的五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不相同，则不同的涂色方案一共有多少种？
D
A
B
C
E
你还有其他解决这个问题的方法吗？
提示：看位置关系——A、C对角，B、D对角
此时先确定A、C的颜色，有4种可能，再确定B、D的颜色，有3种可能，再确定E的颜色，有2种可能，所以共有4×3×2=24种不同的可能．
第一类：A、C同色，B、D不同色，
第二类：A、C不同色，B、D同色，
第三类：A、C同色，B、D同色，
此时先确定A、C的颜色，有4种可能，再依次确定B、E、D的颜色，分别有3，2，1种可能，所以共有4×3×2×1=24种不同的可能；
方法同第一类，也共有24种不同的可能；
根据分类加法计数原理，该图形不同的涂色方案共有24+24+24=72种．
有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中取出数学书、语文书、英语书各1本，共有多少种取法？
解：第一步，取出1本数学书，共有10种取法，
第二步，取出1本语文书，共有9种取法，
第三步，取出1本英语书，共有8种取法，
根据分步乘法计数原理，共有N=10×9×8=720种取法．
要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
方法一，分类解决这个问题，
第一类，“甲在左”时，不同的挂法有“甲乙、甲丙”2种；
第二类，“乙在左”时，不同的挂法有“乙甲、乙丙”2种；
第三类， “丙在左”时，不同的挂法有 “丙甲、丙乙”2种．
所以不同的挂法共有2+2+2=6种．
方法三，先选出两幅画，再按指定位置挂好．
第一步，从3幅画中选出2幅，有3种选法：甲乙、甲丙、乙丙；
第二步，将选出的两幅画挂好，分别有2种挂法．
所以共有3×2=6种挂法．
方法二，从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：
第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；
第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．
根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为N=3×2=6．
选1幅挂左边
选1幅挂右边
甲
乙
丙
甲
乙
丙
甲
乙
丙
方法二
甲、乙
甲、丙
乙、丙
甲丙
甲乙
乙甲
乙丙
丙乙
丙甲
方法三
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别 完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类” ． 完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步” ．
每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事． 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事．
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的． 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．
联系 都是求完成一件事情的方法种数．
本质一样，乘法原理可以看成是加法原理的简化，类似于数的运算中乘法是加法的简化．
解决实际问题时常常需要两个原理结合应用．
简单总结一下两个计数原理的区别和联系．
计算前
仔细分析
(1)明确要完成的“一件事”是什么； (2)明确需要分类还是分步．
计算中
分类要做到“不重不漏”——分类后再分别对每一类进行计数（可能需要分步），最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数（可能需要分类），最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
回顾用两个计数原理解决计数问题的过程，尝试说一说其中的要点都有哪些？
教材P158，习题5-1，A组第1,2,3,4题