北师大版高中数学选择性必修第一册 5.3组合问题 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
5.3组合问题
分类加法计数原理：
完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法 ……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.
分步乘法计数原理：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共
有 种不同的方法.
温故知新
弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件,
这两个原理都是指完成一件事而言的,其区别在于：
（ 1）分类计数原理是“分类”，每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事；
（2）分步计数原理是“分步”；每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事 !
温故知新
1、排列：
从n个不同元素中取出m (m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
说明：
1、元素不能重复。
2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。
3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。
5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用“树形图”。
（有序性）
（互异性）
温故知新
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序相同称两个排列相同
An =n(n-1)(n-2) …(n-m+1)
m
m≤n
规定0！=1
温故知新
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
3
情境创设
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素 ,并成一组
问题2
从已知的3 个不同元素中每次取出2个元素 ,按照一定的顺序排成一列.
问题1
排列
组合
有
顺
序
无
顺
序
问题3 从a，b，c，d这4个元素中取出2个元素，共有多少种可能？

问题4　某次团代会，要从5名候选人中选出3名担任代表，共有多少种方案？

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
思考：排列与组合的概念有什么共同点与不同点？
概念讲解
组合定义:
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关.
概念讲解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合 为什么
思考二:两个相同的排列有什么特点 两个相同的组合呢
１）元素相同；
２）元素排列顺序相同.
元素相同
概念理解
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.
思考三:组合与排列有联系吗
巩固概念：1.判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票
有多少种不同的火车票价？
组合问题
排列问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法
组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法
排列问题
组合问题
组合是选择的结果，排列
是选择后再排序的结果.
2.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:
ab , ac , bc
3.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合.
a
b c d
b
c d
c
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(3个)
(6个)
巩固概念
练习:中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
(1) 中国—美国 中国—古巴 中国—俄罗斯
美国—古巴 美国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2）
冠军 中 中 中 美 美 美 古 古 古 俄 俄 俄
亚军 美 古 俄 中 古 俄 中 美 俄 中 美 古
3.2组合数及其性质
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
abc ， abd ， acd ， bcd .
b
c
d
d
c
b
a
c
d
引例
组合
排列
abc
abd
acd
bcd
abc bac cab
acb bca cba
abd bad dab
adb bda dba
acd cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bdc cdb dcb
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
你发现了什么
如何计算:
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
根据分步计数原理，得到：
因此：
一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ．
第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ．
这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式．
组合数公式:
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数


例2. 已知平面内有12个点，任何3个点均不在同一直线上，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？
分析: 已知“任何3个点均不在同一直线上”，所以在12个点中任取3个点都可以构成 一个三角形,且这3个点不必考虑顺序,如 ABC, ACB, BAC, BOA , CAB , CBA 都表示同一个三角形.因此，这是一个从12个不同元素中取出3个元素的组合问题.

问题5：分别计算“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数.
探究组合数的其性质


问题6：从10名普通战士和1名班长中选出5名参加军事比武大赛，共有多少种方案


组合数的两个性质
巩固.计算:
组合数的两个性质：
性质1：
性质2：
例3 计算：（1）
和
（2）
和
（3）
（4）
（5）
解:原式
=
(4)原式
或, 原式
(5)原式
例4 解方程(1)
(2)
解 (1)原方程化为：
且
不合题意，舍去，
(2)原方程化为：
例5
排列
组合
组合的概念
组合数的概念
组合是选择的结果，
排列是选择后再排序的结果
联系
课堂小结
两个重要性质: