北师大版高中数学选择性必修第一册 5.4第2课时二项式系数的性质 课件(共14张PPT)

(共14张PPT)
5.4 第2课时
新授课
二项式系数的性质
回顾：二项式定理:
二项式系数:
通项:
1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数.
2.理解二项式系数的性质并灵活运用.
当n依次取1，2，3，...时，(a+b)n展开式的二项式系数如图.
知识点一：杨辉三角
如图的表叫作二项系数表，历史上
也称为杨辉三角.
观察上图，你发现什么规律？
①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1“等距离”的二项式系数相等.
对称性
变化趋势：
先增大后减小.
增减性与最大值
即
因为
当
，即 时，
由对称性知， 时，
Cnk随k的增加而增加；
Cnk随k的增加而减小.
当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；
当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值.
观察上图，你发现什么规律？
②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
例1 根据杨辉三角，写出(a+b)7的二项式系数.
解：由杨辉三角知道，(a+b)6的各二项系数为1,6,15,20,15,6,1.根据其规律，有
1
6
15
20
6
15
1
1
1
7
21
35
21
7
35
∴(a+b)7的各二项系数为1，7，21，35，35，21，7，1.
变式 如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于（ ）
A.20 B.21 C.22 D.23
C
练一练
1.在(a＋b)20展开式中,与第五项的二项式系数相同的项是( )
A.第15项 B.第16项
C.第17项 D.第18项
C
2.在(a＋b)10展开式中,二项式系数最大的项是( ).
A.第6项 B.第7项
C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
A
例2 求证
解：由二项式定理有
令a=b=1，则得
赋值法
知识点二：二项展开式的系数和问题
分析：∵ 中的a，b可以取任意实数，∴ 可以通过对a,b适当赋值来得到上述等式.
(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
变式 求证:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
令a=1，b=-1，则得
即
因此
证明：在展开式
中，
奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练一练
解：(1)令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；
(2)各二项式系数之和为26＝64.
在(2x－1)6展开式中,求：
(1)各项系数的和;
(2)各项的二项式系数和.
归纳总结
一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质：
(1)
(2)
(4)
(3)
当 时，
当 时，
(5)
根据今天所学,回答下列问题：
1.二项式系数的性质分别是什么？