北师大版高中数学选择性必修第一册 5.4第1课时二项式定理的推导 课件(共19张PPT)

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5.4 第1课时
新授课
二项式定理的推导
根据多项式的乘法法则，容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,如果称等式的右边为左边的展开式，那么如何求出(a+b)n的展开式？
1.能用多项式法则和计数原理推导出二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
请计算(a+b)2，(a+b)3和(a+b)4，分析其运算过程，并用组合数表示各项系数.
知识点一：二项式定理
根据多项式乘法法则，
项的形式：
展开式共有：
当 时，
2个(a+b)都不选b.
a2的系数为 ,即a2系数为1；
3项
当 时，
当 时，
1个(a+b)中选a，另一个(a+b)中选b.
2个(a+b)都选b.
ab的系数为 ,即ab系数为2；
b2的系数为 ,即b2系数为1.
展开式共有：
项的形式：
系数为
系数为
4项
3个(a+b)都选a.
2个(a+b)中选a，1个(a+b)中选b.
系数为
系数为
1个(a+b)中选a，2个(a+b)中选b.
3个(a+b)中都选b.
a4
a3b
ab3
b4
a2b2
问题：根据以上分析，猜想(a+b)n的展开式是怎样的？
各项是从n个因式中各取一个字母相乘得到关于a,b的n次单项式，有
项的形式：
展开式共有：
n+1项.
从n个因式中都取b，系数为
从n个因式中取k个b，系数为
从n个因式中取2个b，系数为
从n个因式中取1个b，系数为
从n个因式中都不取b，系数为
项的系数：
……
……
二项式定理：
(a+b)n的二项展开式
上式可简写成
二项式系数
概念生成
式中的 用Tk+1表示，称为二项展开式中第（k+1）项，又称为二项式通项， 记作
二项式定理：
知识点二：二项式定理的应用
例1 求 的展开式.
解：根据二项式定理，
例2 求 的展开式.
解：根据二项式定理，
例3 求 的展开式.
解：根据二项式定理，
例4 求 的展开式中x4y3的系数.
解：设展开式中的第k+1项为含x4y3的项，
令7-k=4,得k=3,
则
∴x4y3的系数为
求二项展开式的特定项的系数的一般步骤：
归纳总结
1.写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是题目要求的项；
2.合并通项公式中同一字母的指数；
3.根据具体要求，令字母的指数符合题目要求；
4.再计算求得二项展开式的特定项的系数.
求 的展开式中x3的系数.
练一练
解：设展开式中的第k+1项为含x3的项，
令9-2k=3,得k=3,
则
∴x3的系数为
根据今天所学,回答下列问题：
1.二项式定理是怎样推导的？
2.二项式系数和展开式通项分别是什么？