四川省南充市高坪中学2025届九年级上学期开学检测数学试卷（含答案）

四川省南充市高坪中学2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题
一、单选题
1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，
C．，， D．7，24，25
3．下列不能判断一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行 B．一组对边平行且相等
C．一组对边平行且一组对角相等 D．任何一个内角都与相邻内角互补
4．在一次满分为分的数学测试中，小明的分数为分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论，所用的统计量是（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
5．一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．若两点A()，B()在该函数图象上，且，则
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得到的图象
D．函数的图象与轴的交点坐标是
6．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A． B．3 C． D．不能确定
7．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上一点，EF⊥BC，EG⊥AB，垂足分别是F，G，若BG=4，BF=5，则DE的长是( )

A．3 B．6 C． D．
9．如图，在四边形中，，，．E为的中点，F为的中点，P是一动点，从点A开始沿匀速运动，到达点C即止，记点P运动的时间为x、四边形的面积为y，y与x关系所反映的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
二、填空题
11．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是 ．
12．已知，，则的值为
13．如果一组数据，，…，的方差是2，那么一组新数据，，…，的方差是 ．
14．如图，BD为矩形ABCD的对角线，点E在BC上，连接AE，AE=5，EC=7，∠C=2∠DAE，则BD= ．
15．如图，在中，，，，是上一点，，于点，是的中点，则 ．

16．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，．…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…．依据图形所反映的规律，则 ．
三、解答题
17．（）计算：．
（）解方程：．
18．如图，在中，平分，交于点E；平分，交于点F．求证：．

19．某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全市知识竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
小王 60 75 100 90 75
小李 70 90 100 80 80
(1)完成下表：
姓名 平均成绩(分) 中位数(分) 众数(分) 方差
小王 80 75 75 190
小李
(2)在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上(含80分)的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？
(3)历届比赛表明，成绩达到80分以上(含80分)就很可能获奖，成绩达到90分以上(含90分)就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点在轴上，且满足，请直接写出点的坐标．
21．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
22．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中，．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）若∠ADB＝30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO．
23．某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
24． 如图1，四边形是正方形，点是边上任意一点，于点，且交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，探究线段与的关系并证明；
(3)图1中，若，求长．
25．如图1，直线分别与y轴、x轴交于点A、点B，点C的坐标为(－3，0)，D为直线AB上一动点，连接CD交y轴于点E．
(1) 点B的坐标为__________，不等式的解集为___________
(2) 若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标；
(3) 如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°．当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式．

参考答案
1．C
解：A、根指数是3，不是二次根式；
B、当时，不是二次根式；
C、，
∴是二次根式；
D、当时，不是二次根式．
故选：C．
2．D
解：A．∵，∴这组数不是勾股数，不符合题意；
B．4，5，不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C．0.6，0.8，0.9都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
D．∵，∴这组数是勾股数，符合题意．
故选：D．
3．A
解：当一组对边平行且相等时，这个四边形是平行四边形，
当一组对边平行且一组对角相等时，如图，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
四边形是平行四边形；
当任何一个内角都与相邻的内接互补时，如上图，
∵，，
∴，，
四边形是平行四边形，故A符合题意，BCD不符合题意．
故选：A．
4．A
解：所用的统计量是中位数，
故选：．
5．D
【详解】A、因为一次函数中，因此函数值随x的增大而减小，故A选项正确；
B、因为一次函数中，，因此此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B选项正确；
C、由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得的图象，故C选项正确；
D、令，则，因此函数的图象与x轴的交点坐标是，故D选项错误．
故选：D．
6．C
解：由关于的方程是一元二次方程，得
且．
解得．
故选：C．
7．A
解：由勾股定理得：
，，，
，即
∴△ABC是直角三角形，
设BC边上的高为h，
则，
∴.
故选A.
8．D
解：延长交于点，如图：

则，
，即正方形的边长为，
，，
在中，，
故选：D．
9．A
解：设的面积为m，
点在上时，因为不一定平行，所以的面积是变化的，故可以排除．
当点在上时，，由题意是定值，是的一次函数，所以也是的一次函数，故、可以排除，
故选：A．
10．B
解：∵F是AD的中点，
∴ AF=FD，
∵在中，AD＝2AB，
∴AF=FD=CD，AD∥BC，
∴∠DFC＝∠DCF，∠DFC＝∠FCB，
∴ ∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF=，故①正确；
如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，∠BEC=∠DCE，
∵F为AD中点，
∴ AF＝FD，
在和中
∵，
∴，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC=EM＝FE，故②正确；
∵EF=FM，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴，
∵，
故：S△BEC<2S△CEF，故③成立；
设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC＝90°-x，
∴∠EFC＝180°—2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x＝270° -3x，
∵∠AEF＝90°-x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④错误．
故选：B．
11．2【详解】∵一次函数y=(m 2)x-3的图象经过第一、三、四象限，
∴ ，解得：2＜m＜3.
故答案为2＜m＜3.
12．5.
【详解】∵a2，b2，∴原式5．
故答案为5．
13．
解：设一组数据，，…，的平均数为，方差是，则另一组数据，，…，的平均数为，方差是，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
．
14．13
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，AD∥BC，
∵∠C=2∠DAE，
∴∠DAE=45°，
∴AB=BE，
∵AE=5 ，
∴AB=BE=5，
∵EC=7，
∴AD=BC=12，
∴BD= =13．
故填：13．
15．4
解：在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，是的中点，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：4．
16．
【详解】如图，分别过点，，作轴的垂线段，垂足分别为， ，． “，且，是等腰直角三角形，∴，则，
∴，∴点的坐标为．
将点的坐标代入中，得，解得．
∴，．
同理求得，．
∵，，
，…，∴．
17．（）；（），
解：（）原式
；
（）∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，．
18．证明见解析
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，
在和中，
∴
∴．
19．(1)84，80，80，104
(2)小王的优秀率为，小李的优秀率为
(3)选小李参加比赛比较合适，理由见解析
（1）解：小李的成绩：70、80、80、90、100，
平均成绩为：分，
众数为：80，中位数是80分；
方差为：，
故答案为：84，80，80，104．
（2）小王的方差是190，小李的方差是104，而，
小李成绩较稳定；
小王的优秀率为，小李的优秀率为；
（3）选小李参加比赛比较合适，理由是：小李的成绩较小王稳定，且优秀率比小王的高，因此选小李参加比赛比较合适．
20．(1)
(2)或
（1）解：点在直线上，
时，，即点坐标为，
将，代入，得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：当时，有，解得，
点的坐标为，
设点的坐标为，
，
，
解得：，
点的坐标为或．
21．(1)
(2)
（1）解：由题意得，，
∴；
（2）解：∵方程两实数根分别为，，
∴，，
∴，
整理得，，
解得，，
∵，
∴不合，舍去，
∴．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】（1）∵，，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴四边形AEBO是菱形；
（2）∵四边形AEBO是菱形，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
，
，
在和中，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵，即AF是OB边上的中线，
∴AF平分．
23．（1）；（2）工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润.
【详解】（1）.
（2）由题意得：，解得.
又因为，所以.
由（1）可知，，所以的值随着的增加而减小.
所以当时，取最大值，此时生产乙种产品（吨）.
答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨，时，能获得最大利润.
24．(1)见解析
(2)且
(3)
（1）解：∵，
∴，
∵
，
是正方形，
，
，
，
，
在和中
，
∴，
；
（2）解：且．
理由如下：∵，
，
，
，
又∵四边形是正方形，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
．
25．（1）(3，0)，x＜3；（2）D()；（3）
解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，
解得x＝3，
令x＝0，则y＝3，
故点B的坐标为（3,0）、点A（0,3）；
∵﹣x+3＞0，故x＜3，
故答案为：（3，0），x＜3；
(2) ∵S△COE＝S△ADE
∴S△AOB＝S△CBD
即，yD＝
当y＝时，
∴D()
(3) 连接CF，AC，AF，
∵AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC为等边三角形
∵∠CDF＝60°，菱形CDFG，
∴△CDF为等边三角形，
CF＝DC，∠FCD＝∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠DCB，

∴△CAF≌△CBD（SAS）
∴∠CAF＝∠CBD＝60°
∴AF∥x轴
设D(m，)
过点D作DH⊥x轴于H
∴BH＝3－m，DB＝6－2m＝AF
∴F(2m－6，)
由平移可知：G(m－9，)
令
∴点G在直线上．