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数列测试卷——等差数列（培优卷）
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴ ，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：在等差数列中，，
则.
故答案为：D.
【分析】先利用等差数列性质可得，再化简，即可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：由，则，解得或，
由，显然，解得.
故答案为：C.
【分析】先等差中项的性质可得或，再利用求和公式，即可求解.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：不妨设第n（）个“拐角数”为，
不难发现，
所以，得，
当时，也符合上式，所以，
所以第7个“拐角数”是，
第8个“拐角数”是，
第9个“拐角数”是，
第10个“拐角数”是，
第11个“拐角数”是，
第12个“拐角数”是.
故答案为：C.
【分析】根据题中规律，再利用累加法和等差数列前n项和公式，从而求出拐弯数的通项公式，即可得出拐角数的选项.
5．【答案】B
【解析】【解答】法一：①，当时，②，
①②得当时，，
中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4.
，当为奇数时，；
当为偶数时，.
.
法二：，，，
数列是以7为首项，8为公差的等差数列，
.
故选：B.
【分析】 本题考查了等差数列的性质以及求和公式.
法一，当时，，两式相减可得，据此可证明中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4，利用等差数列的通项公式可求出当为奇数时，；当为偶数时，，利用等差数列的前项和公式可求出答案；
法二：由题意可得：，，据此可推出数列是以7为首项，8为公差的等差数列，利用等差数列的前项和公式可求出答案.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：因为两个等差数列的首项均为1，公差分别为4，5，
所以是首项为1，公差为的等差数列，则．
故答案为：A.
【分析】先确定新数列的首项，再利用两个等差数列的公共项构成的数列依然是等差数列，且公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数20，再利用等差数列的求和公式即可求解.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴，即：
在上式的两边同除以得：
∴数列为首项为1，公差为3的等差数列
∴
∴
故答案为：C
【分析】由已知条件可得，从而得到数列为等差数列，公差是3，再根据等差数列的通项公式求出的值，进而求出的值。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵数列{an}为等差数列，设其公差为d，则其前n项和为Sn=na1+ d，
∴ =a1+ d，
∴ ﹣ = ，
∴{ }为公差是 的等差数列，
∴ ﹣ =2002×d=2002，解得d=2，
∴S2017=2017×（﹣2012）+ =8068．
故选：A．
【分析】推导出{ }为公差是 的等差数列，从而 ﹣ =2002d=2002，解得d=1，由此能求出S2017．
9．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：对于A：设等差数列公差为，
则，
可得，解得，故A正确；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，
所以当时，最大，故C正确，D错；
故答案为：ABC.
【分析】对于A：根据等差数列的求和公式可得，即可判断；对于B：根据等差数列通项公式分析判断；对于C：求，结合二次函数分析求解.
10．【答案】A,B,D
【解析】【解答】由题意知，A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，
则从始发车站到A点的所有里程碑个数为，A选项正确；
从A点到点的所有里程碑个数为，B选项正确；
从A点到点的所有里程碑上的数字之和为，D选项正确，则C选项错误；
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合等差数列的定义判断出里程碑上的数字成等差数列，公差为3，再结合等差数列的通项公式和等差数列的性质，再结合等差数列前n项和公式得出正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】等差数列的前n项和为Sn，首项为，公差为d．
由S12＞0，可得 ，则
又，则，则A判断正确；
由， S12＞0，，可得，
解之得，则B判断正确；
由可得或（舍）
由，可得，
则Sn＜0时，n的最小值为13. 则C判断错误；
由时，，时，，
时，，时，，
可得时，，，，时，
二次函数开口向下，过原点，对称轴
则在时，单调递减，且
又时，为递减数列，为递增数列，为递减数列
则在时，数列为递增数列，则时取得最小值.
则数列中最小项为第7项，则D判断正确.
故答案为：ABD
【分析】等差数列的前n项和为Sn，首项为，公差为d，根据题意 S12＞0，结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式可判断A选项；利用已知条件整理消元成有关d的不等式组即可判断B；再利用等差数列前n项和公式和，进而得出n的取值范围，再结合B选项和不等式的基本性质，可判断C；分类讨论的方法判断n的取值范围与数列的通项与数列的前n项和的关系，再结合二次函数开口向方向和对称性，进而判断出数列的单调性，从而得出数列中最小项，进而找出正确的选项。
12．【答案】7
【解析】【解答】解：设等差数列的前n项和为，，
所以所以
所以
因为公差，所以是开口向上的二次函数，所以当n=7时，取最小值，为
故答案为：7.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式，进而得出首项和公差的关系式，再结合等差数列前n项和公式和首项和公差的关系式，进而得出关于n的二次函数，再结合公差大于0，从而得出取最小值时对应的n的值。
13．【答案】50
【解析】【解答】由题意知：等差数列满足
，
故等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，
设，等差数列的公差为，不妨设，此时，，
则，且，即，故，.
又，则，故，即有，
则
，
可得，解得，又，
即有的最大值为，的最大值为.
故答案为：50
【分析】 由已知得等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，设，等差数列的公差为，不妨设，从而判断数列中的项为偶数项，利用凑配法和关系式的变换求出n的最大值.
14．【答案】
【解析】【解答】解：令，得 ，
令x=0，得b0=0，
所以，
由 ，得，即，
所以数列是首项为，公差为-1的等差数列，
所以
所以，则
故答案为：
【分析】根据题意，利用赋值法分别求得b0，b1，再根据可判断数列是等差数列，从而可求得，即可求解.
15．【答案】（1）若选择条件①：因为
所以 ，
两式相减得， ， ，即 ，又 ，
即 ，所以 ， ，又 ， ，所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
所以
若选择条件②：由 ，得 ，即 ，
所以数列 是等差数列，公差为 ，又因为 ，
所以数列 的通项公式为
若选择条件③：由 ，变形为 ，
在原式中令 得 ，又 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是等差数列，首项为6，公差为-2.
所以 ，所以 ，
所以当 时， ，
符合上式，所以数列 的通项公式为
（2）因为 ，
所以当 或4时， 取最大值为12 ．
【解析】【分析】(1) 若选择条件①， 根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。 若选择条件② ，根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。 若选择条件③ ，整理化简已知的递推公式从而得到
，再由特殊点法代入数值计算出
，从而即可得出数列
式等差数列，结合题意即可取出数列的前n项和公式，结合数列的前n项和与数列项的关系，整理化简即可求出数列的通项公式。
(2)由已知条件结合等差数列的前n项和公式即可得出，关于n的一元二次函数，结合二次函数的图象和性质即可求出
的最大值。
16．【答案】（1）解：数列为等差数列，其前项和为，且，
设数列的首项为，公差为，则
解得，，所以.
（2）解：数列.
当时，，所以.
当时，，所以
，
故
【解析】【分析】(1)根据等差数列通项公式、求和公式，列方程组求解即可.
(2)根据通项去绝对值，运用分类讨论思想，求等差数列前n项和.
17．【答案】（1）证明：
∴数列 是等差数列，其公差为2，首项为2
∴
（2）解：由（1）知an=2n2，
∴ ，
则数列 的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义以及等差数列的通项公式即可求解.（2）由（1）知an=2n2，从而可得数列 的通项公式，再根据等差数列的前 项和公式即可求解.
18．【答案】（1）解：令得，故；
令得，故．
（2）解：，
当时，，
相减得，
将用代入得，
相减得，，
故数列为等差数列，．
（3）解：由数列为单调递增数列得：
恒成立，，
令，，
…，
的最大值为，
故实数的取值范围为．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合赋值法，进而得出
，
的值。
（2）利用
结合
的关系式和分类讨论的方法，进而结合等差数列的定义判断出数列
为等差数列，再利用等差数列的通项公式求出数列
的通项公式。
（3） 由数列
为单调递增数列得：
恒成立，所以
，令
，再利用作差比较大小的方法，进而得出
…，从而得出
的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数
的取值范围。
19．【答案】（1）解： .
（2）解：因为 ，所以 必为单调递增数列.
设 在 内，则 ，
所以 ，
所以
所以 ， ，
即
同理 都在 中，
所以 ，所以
（3）解：因为 ， ，所以 ，集合 .
问题转化为：能否在正整数集中抽取出无穷多个不全相等的元素组成一个新数列 ，
使得当 时，有 ，
若 ，则
即数列 为等差数列且公差不为0.
设等差数列 的公差为 ﹒
因为 ，所以 ，
所以 .
当 时，则 ，即 为递减数列.
取 且 ，则当 时，
，
即当n足够大时，
这与 矛盾，即抽取不出符合题意的数列.
当 时，则 ，即 为递增数列，
取 且 ，
则当 时，
，
即当n足够大时， ，
这与 矛盾，即抽不出符合条件的数列.
综上所述，不能在集合A中抽取出无穷多个不全相等的元素组成一个新数列 ，
使得此新数列 满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.
【解析】【分析】（1）由前n项公式直接计算；（2）设 在 内，则 ， ，可得 ， ，即求出；（3）求出 ，且满足 ，可得 为等差数列，讨论公差的范围可得与已知矛盾，进而判断.
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数列测试卷——等差数列（培优卷）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 63.0(42.0%)
主观题（占比） 87.0(58.0%)
题量分布 客观题（占比） 12(63.2%)
主观题（占比） 7(36.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (57.9%)
2 容易 (10.5%)
3 困难 (31.6%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 数列的通项公式 5.0(3.3%) 4
2 数列的概念及简单表示法 17.0(11.3%) 19
3 等差中项 5.0(3.3%) 3
4 等差数列的性质 5.0(3.3%) 2
5 等差数列的通项公式 130.0(86.7%) 1,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15,16,17,18,19
6 数列的函数特性 58.0(38.7%) 11,12,15,18,19
7 等差数列概念与表示 48.0(32.0%) 7,10,14,17,18
8 等差数列的前n项和 113.0(75.3%) 1,3,4,5,6,9,10,11,12,13,15,16,17,19
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数列测试卷——等差数列（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．9
3．记为等差数列的前项和，且，，则（ ）
A．12 B．8 C．6 D．3
4．将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ）
A．55 B．75 C．111 D．135
5．已知数列的前项和为.若，则（ ）
A．110 B．115 C．120 D．125
6．已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（ ）
A．910 B．900 C．890 D．880
7．若数列 中， 则这个数列的第10项 （ ）
A．28 B．29 C． D．
8．在等差数列{an}中，a1=﹣2012，其前n项和为Sn，若 ﹣ =2002，则S2017=（ ）
A．8068 B．2017 C．﹣8027 D．﹣2013
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知等差数列{}的前n项和 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当取得最大值时 D．当取得最大值时
10．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○ 丨 刂 川 ㄨ 〦 〧 〨 攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（ ）
A．从始发车站到A点的所有里程碑个数为14
B．从A点到B点的所有里程碑个数为16
C．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987
D．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984
11．设等差数列的前n项和为Sn，公差为d．已知，S12＞0，，则（ ）
A． B．
C．Sn＜0时，n的最小值为14 D．数列中最小项为第7项
三、填空题(共3题；共15分)
12．设等差数列的前n项和为，公差，，则当取最小值时，n= .
13．若等差数列满足，则n的最大值为 ．
14．已知 是数列 的前n项和，若 ，数列 的首项 ，则 ．
四、解答题(共5题；共77分)
15．在①； ②；③. 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：已知数列
的前
项和为
，
，____.
（1）求数列
的通项公式；
（2）求
的最大值.
16．已知数列为等差数列，其前项和为，且，，数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
17．已知数列 满足 .
（1）求证：数列 是等差数列，并求其通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18．已知数列的前项和为，且，，．
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列为单调递增数列，求实数的取值范围．
19．已知数列 为等差数列，公差为d，前n项和为
（1）若 ，求 的值；
（2）若 中恰有6项在区间 内，求d的取值范围；
（3）若 ，集合 ，问能否在集合A中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列 ，使得此新数列 满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明；若不能，请说明理由．(注：数 叫作数a和数b的调和平均数)．
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