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小测1 一元二次方程及配方法解一元二次方程
满分：30分 得分：
1. (3分)下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. ＋x－1＝0 B. xy＝3 C. 2x2＝2＋4x D. 1－＝x
2. (3分)已知关于x的一元二次方程x2－mx－15＝0的一个根为x＝3，则m的值为( )
A. 8 B. 2 C. －2 D. －8
3. (3分)若关于x的一元二次方程(2－k)x2－kx＋k2＝4的常数项为0，则k的值为( )
A. －2 B. 0 C. 2 D. 2或－2
4. (3分)一元二次方程(x－1)2＝9的解为 .
5. (3分)已知m是一元二次方程x2－4x－1＝0的一个根，则代数式(m－1)(m－3)的值为 .
6. (8分)用配方法解下列方程：
(1)3x2－9x－30＝0； (2)(2－x)(2x＋5)＝9.
7. (7分)(日常生活情境 停车场规划)如图，某饭店计划修建一个外围长为30 m，宽为18 m的停车场.已知停车位总占地面积为288 m2，停车场内车道的宽度都相等，求车道宽度.
第7题图
答案解析
1. C 【解析】＋x－1＝0是分式方程，不是整式方程，故不是一元二次方程；xy＝3中含有两个未知数，故不是一元二次方程；2x2＝2＋4x中含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且为整式方程，是一元二次方程；1－＝x中未知数的最高次数为1，故不是一元二次方程.
2. C 【解析】∵关于x的一元二次方程x2－mx－15＝0的一个根为x＝3，∴32－3m－15＝0，解得m＝－2.
3. A 【解析】∵一元二次方程(2－k)x2－kx＋k2＝4的常数项为k2－4，∴k2－4＝0，∴k＝±2，∵方程(2－k)x2－kx＋k2＝4是一元二次方程，∴2－k≠0，即k≠2，∴k的值为－2.
4. x1＝4，x2＝－2 【解析】方程两边同时开平方，得x－1＝±3，∴x1＝4，x2＝－2.
5. 4 【解析】将m代入一元二次方程得到m2－4 m＝1，原式＝m2－4m＋3＝1＋3＝4.
6. 解：(1)整理，得3x2－9x＝30，
二次项系数化为1，得x2－3x＝10，
配方，得x2－3x＋＝10＋，即(x－)2＝，
即x－＝±，
解得x1＝5，x2＝－2； (4分)
(2)整理，得－2x2－x＝－1，
二次项系数化为1，得x2＋x＝，
配方，得x2＋x＋＝＋，即＝，
即x＋＝±，
解得x1＝，x2＝－1. (4分)
7. 解：设车道的宽度为x m，根据题意，得(30－x)(18－x)＝288， (2分)
整理，得x2－48x＝－252，
配方，得x2－48x＋576＝－252＋576，即(x－24)2＝324，
即x－24＝±18，
解得x1＝6，x2＝42(不符合题意，舍去)， (5分)
答：车道的宽度为6 m. (7分)
小测2 公式法及因式分解法
满分：35分 得分：
1. (3分)若关于x的一元二次方程两个实数的根分别为x1＝3，x2＝－4，则该方程可以为( )
A. (x＋3)(x－4)＝0 B. (x－3)(x＋4)＝0
C. (x－3)(x－4)＝0 D. (x＋3)(x＋4)＝0
2. (3分)一元二次方程x2＋6x－1＝0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
3. (3分)已知一元二次方程(x＋1)2＝3(x＋1)的两个根分别是点P的横纵坐标，则点P在( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第一象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限
4. (3分)若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是 .
5. (3分)一个两位数，十位数字与个位数字之和是9，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是2 268，则这个两位数是 .
6. (20分)解下列方程：
(1)(2x＋1)2＝4x＋2； (2)5x2＝1－2x；
(3)(x＋6)2＝2x＋12； (4)(一题多解法) 3x2－x＝(x＋1)(x－1)＋2.
答案解析
小测2 公式法及因式分解法
1. B
2. A 【解析】由根的判别式可知Δ＝b2－4ac＝62－4×1×(－1)＝40＞0，∴该一元二次方程有两个不相等的实数根.
3. D 【解析】移项，得(x＋1)2－3(x＋1)＝0，因式分解，得(x＋1)(x－2)＝0，解得x1＝－1，x2＝2，即点P的坐标可以为(－1，2)或(2，－1)，∴点P在第二象限或第四象限.
4. m≤ 【解析】∵关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝9－4×1·m≥0，解得m≤.
5. 36或63 【解析】设原两位数的个位数字为x，则十位数字为(9－x)，根据题意可列方程为[10(9－x)＋x][10x＋(9－x)]＝2 268，整理，得x2－9x＋18＝0，解得x1＝3，x2＝6，∴9－x＝6或9－x＝3，∴这个两位数为36或63.
6. 解：(1)移项、整理，得(2x＋1)2－2(2x＋1)＝0，
因式分解，得(2x＋1)(2x＋1－2)＝0，
∴2x＋1＝0或2x＋1－2＝0，
解得x1＝－，x2＝； (5分)
(2)移项，得5x2＋2x－1＝0，
∴a＝5，b＝2，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝22－4×5×(－1)＝24＞0，
代入求根公式，得x＝＝＝，
解得x1＝，x2＝； (5分)
(3)(x＋6)2＝2x＋12，
移项、整理，得(x＋6)2－2(x＋6)＝0，
因式分解，得(x＋6)(x＋6－2)＝0，
∴x＋6＝0或x＋6－2＝0，
解得x1＝－6，x2＝－4； (5分)
(4)整理，得2x2－x－1＝0，
一题多解法
解法一：∴a＝2，b＝－1，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－1)＝9，
代入求根公式，得x＝＝＝，
解得x1＝1，x2＝－. (5分)
解法二：因式分解，得(x－1)(2x＋1)＝0，
∴x－1＝0或2x＋1＝0，
解得x1＝1，x2＝－. (5分)
小测3 选择合适的方法解一元二次方程
满分：40分 得分：
1. (40分)选择合适的方法解下列方程：
(1)2x2＝12x； (2)x2＋2x－3＝0；
(3)4x2－2x＝x＋1； (4)x2－8＝－4x；
(5)x(x－4)＝2x－8； (6)2x2＋8x＝12－2x；
(7)(x－1)2＝4(1－x)； (8)(2x－1)2＝x(3－2x).
答案解析
小测3 选择合适的方法解一元二次方程
1. 解：(1)方法一：移项，得2x2－12x＝0，
因式分解，得2x(x－6)＝0，
∴2x＝0或x－6＝0，
解得x1＝0，x2＝6； (5分)
方法二：移项，得2x2－12x＝0，
二次项系数化为1，得x2－6x＝0，
配方，得x2－6x＋9＝0＋9，即(x－3)2＝9，
即x－3＝±3，
解得x1＝0，x2＝6； (5分)
(2)方法一：∵a＝1，b＝2，c＝－3，
∴Δ＝b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，
∴x＝＝＝，
解得x1＝1，x2＝－3； (5分)
方法二：移项，得x2＋2x＝3，
配方，得x2＋2x＋1＝3＋1，即(x＋1)2＝4，
即x＋1＝±2，
解得x1＝1，x2＝－3； (5分)
(3)移项，得4x2－3x－1＝0，
∴a＝4，b＝－3，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×4×(－1)＝25＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝1，x2＝－； (5分)
(4)移项，得x2＋4x＝8，
配方，得x2＋4x＋8＝8＋8，即＝16，
即x＋2＝±4，
∴x1＝－2＋4，x2＝－2－4； (5分)
(5)方法一：整理，得x(x－4)－2(x－4)＝0，
因式分解，得(x－4)(x－2)＝0，
∴x－4＝0或x－2＝0，
解得x1＝4，x2＝2； (5分)
方法二：整理，得x2－6x＝－8，
配方，得x2－6x＋9＝－8＋9，即(x－3)2＝1，
即x－3＝±1，
解得x1＝4，x2＝2； (5分)
(6)方法一：移项，得2x2＋10x－12＝0，
二次项系数化为1，得x2＋5x－6＝0，
因式分解，得(x＋6)(x－1)＝0，
∴x＋6＝0或x－1＝0，
解得x1＝－6，x2＝1； (5分)
方法二：移项，得2x2＋10x－12＝0，
二次项系数化为1，得x2＋5x－6＝0，
∴a＝1，b＝5，c＝－6，
∴Δ＝b2－4ac＝52－4×1×(－6)＝49＞0，
∴x＝＝＝，
解得x1＝－6，x2＝1； (5分)
(7)整理，得(x－1)2＝－4(x－1)，
因式分解，得(x－1)(x－1＋4)＝0，
∴x－1＝0或x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝－3； (5分)
(8)整理，得6x2－7x＋1＝0，
∴a＝6，b＝－7，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×6×1＝25＞0，
∴x＝＝＝，
解得x1＝1，x2＝. (5分)
小测4 一元二次方程的根与系数的关系
满分：30分 得分：
1. (3分)若关于x的一元二次方程3x2＋9x－4＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2的值为( )
A. －3 B. － C. － D. 3
2. (3分)若一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为m，n，且m＋n＝5，mn＝3，则bc的值为( )
A. 15 B. 8 C. －8 D. －15
3. (3分)已知一元二次方程2x2－3x－2＝0，则下列关于此方程的根的说法正确的是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 两实数根的和大于0 D. 两实数根同号
4. (3分)写出一个一元二次方程，使其两根之和为－3，两根之积为－4，则该方程可以为 .
5. (3分)若一元二次方程x2＋4x－2 025＝0的两根分别为m，n，则m2n＋mn2的值为 .
6. (7分)若关于x的一元二次方程x2＋kx＋3＝0的两根分别为x1，x2，且＝4，求k的值.
7. (8分)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)若实数根x1，x2之间满足2(x1＋x2)＝x1x2，求m的值.
答案解析
小测4 一元二次方程的根与系数的关系
1. A 【解析】∵a＝3，b＝9，c＝－4，∴x1＋x2＝－＝－3.
2. D 【解析】∵a＝－1，m＋n＝－＝b＝5，mn＝＝－c＝3，∴bc＝5×(－3)＝－15.
3. C 【解析】∵a＝2，b＝－3，c＝－2，∴b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝25＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∵x1＋x2＝－＝＞0，x1x2＝＝－1＜0，∴两实数根的和大于0，两实数根异号.
4. x2＋3x－4＝0(答案不唯一) 【解析】由题可得x1＋x2＝－＝－3，x1x2＝＝－4，∴b＝3a，c＝－4a，令a＝1，则b＝3，c＝－4，∴该一元二次方程可以为x2＋3x－4＝0(答案不唯一，只需满足b＝3a，c＝－4a且a≠0即可).
5. 8 100 【解析】∵a＝1，b＝4，c＝－2 025，∴m＋n＝－＝－4，mn＝＝－2 025，∴m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－2 025×(－4)＝8 100.
6. 解：∵a＝1，b＝k，c＝3，
∴x1＋x2＝－＝－k，x1x2＝＝3，
∵＝－4x1x2＝4， (4分)
∴(－k)2－4×3＝4，
解得k＝4或k＝－4. (7分)
7. 解：(1)∵该一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝[－(m＋1)]2－4×1×＞0，
化简得2m＋1＞0，
解得m＞－； (3分)
(2)∵a＝1，b＝－(m＋1)，c＝，
∴x1＋x2＝－＝m＋1，x1x2＝＝，
∵2(x1＋x2)＝x1x2，
∴2(m＋1)＝，化简得m2－8m＝8，
解得m1＝4＋2，m2＝4－2，
由(1)可知m＞－，
∴m的值为4＋2. (8分)
小测5 实际问题与一元二次方程
满分：25分 得分：
1. (3分)酵母菌作为单细胞真菌，在繁殖时1个细胞经过两轮分裂后，共有36个细胞，已知细胞分裂后，原细胞就不复存在了，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成x个细胞，那么可列方程为( )
A. x2＝36 B. x2＝×36 C. x2＝36 D. x2＝36＋1
2. (3分)小明、小丽、小刚三名同学中，小丽的年龄比小明的年龄小一岁，小刚的年龄比小明的年龄大一岁，并且小刚与小丽的年龄乘积是224，则小丽的年龄为 岁.
3. (3分)第9届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在哈尔滨成功举行，吸引了很多国内外游客前来旅游，某冰灯景点据统计3月份游客参观人数较1月份增加了44％，则平均每月游客参观人数的增长率为 .
4. (3分)九年级(二)班的每一个同学决定向其他同学赠送一张自己的照片留作毕业留念，若全班共送出1 640张照片，设这个班的人数为x人，则根据题意可列方程为 .
5. (3分)为让市民“推门见绿，移步入园”，某市决定建造小而美的口袋公园.如图是长为100 m，宽为60 m的矩形口袋公园.若要在口袋公园内铺设一些等宽的小路，其余部分种植花草，示意图如图所示，若种植花草的总面积为4 750 m2，则该小路的宽度为 m.
第5题图
6. (10分)昆明斗南花卉市场作为亚洲最大的鲜花交易市场，其销售的鲜花占据了全国大部分市场.某标价为40元/株的花苗每天可售出85株，市场调查发现，售价每降低1元，销售量平均每天能增加5株.
(1)若该花苗每株降价x元，则它平均每天的销售量为 株(用含x的代数式表示)；
(2)在(1)的基础上，已知该品种花苗每株的成本价为15元，若希望平均每天盈利2 025元，求每株花苗在原售价的基础上应降价多少元？
答案解析
小测5 实际问题与一元二次方程
1. C
2. 14 【解析】设小明的年龄为x岁，则小丽的年龄为(x－1)岁，小刚的年龄为(x＋1)岁，根据题意可列方程为(x－1)(x＋1)＝224，解得x1＝15，x2＝－15(不符合题意，舍去)，∴小丽的年龄为15－1＝14(岁).
3. 20％ 【解析】设平均每月游客参观人数的增长率为x，由题意得(100％＋x)2＝1＋44％，即(100％＋x)2＝144％，解得x1＝20％，x2＝－2.2(不符合题意，舍去).
4. x(x－1)＝1 640 【解析】设这个班共有x人，则每名同学要送出照片(x－1)张，根据题意可列方程为x(x－1)＝1 640.
5. 5 【解析】设小路的宽度为x m，将小路平移变形如解图所示，种植花草部分的长为(100－x)m，宽为(60－2x)m，根据题意，得(100－x)(60－2x)＝4 750，解得x1＝5，x2＝125(不符合题意，舍去)，∴小路的宽度为5 m.
第5题解图
6. 解：(1)(85＋5x)；【解法提示】由题意可知该花苗每株降价x元，∴平均每天的销售量为(85＋5x)株. (2分)
(2)根据题意，得(40－15－x)(85＋5x)＝2 025，
解得x1＝10，x2＝－2(不符合题意，舍去)，
∴每株花苗在原售价的基础上应降价10元. (10分)
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小测1 一元二次方程及配方法解一元二次方程
满分：30分 得分：
1. (3分)下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. ＋x－1＝0 B. xy＝3 C. 2x2＝2＋4x D. 1－＝x
2. (3分)已知关于x的一元二次方程x2－mx－15＝0的一个根为x＝3，则m的值为( )
A. 8 B. 2 C. －2 D. －8
3. (3分)若关于x的一元二次方程(2－k)x2－kx＋k2＝4的常数项为0，则k的值为( )
A. －2 B. 0 C. 2 D. 2或－2
4. (3分)一元二次方程(x－1)2＝9的解为 .
5. (3分)已知m是一元二次方程x2－4x－1＝0的一个根，则代数式(m－1)(m－3)的值为 .
6. (8分)用配方法解下列方程：
(1)3x2－9x－30＝0； (2)(2－x)(2x＋5)＝9.
7. (7分)(日常生活情境 停车场规划)如图，某饭店计划修建一个外围长为30 m，宽为18 m的停车场.已知停车位总占地面积为288 m2，停车场内车道的宽度都相等，求车道宽度.
第7题图
小测2 公式法及因式分解法
满分：35分 得分：
1. (3分)若关于x的一元二次方程两个实数的根分别为x1＝3，x2＝－4，则该方程可以为( )
A. (x＋3)(x－4)＝0 B. (x－3)(x＋4)＝0
C. (x－3)(x－4)＝0 D. (x＋3)(x＋4)＝0
2. (3分)一元二次方程x2＋6x－1＝0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
3. (3分)已知一元二次方程(x＋1)2＝3(x＋1)的两个根分别是点P的横纵坐标，则点P在( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第一象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限
4. (3分)若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是 .
5. (3分)一个两位数，十位数字与个位数字之和是9，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是2 268，则这个两位数是 .
6. (20分)解下列方程：
(1)(2x＋1)2＝4x＋2； (2)5x2＝1－2x；
(3)(x＋6)2＝2x＋12； (4)(一题多解法) 3x2－x＝(x＋1)(x－1)＋2.
小测3 选择合适的方法解一元二次方程
满分：40分 得分：
1. (40分)选择合适的方法解下列方程：
(1)2x2＝12x； (2)x2＋2x－3＝0；
(3)4x2－2x＝x＋1； (4)x2－8＝－4x；
(5)x(x－4)＝2x－8； (6)2x2＋8x＝12－2x；
(7)(x－1)2＝4(1－x)； (8)(2x－1)2＝x(3－2x).
小测4 一元二次方程的根与系数的关系
满分：30分 得分：
1. (3分)若关于x的一元二次方程3x2＋9x－4＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2的值为( )
A. －3 B. － C. － D. 3
2. (3分)若一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为m，n，且m＋n＝5，mn＝3，则bc的值为( )
A. 15 B. 8 C. －8 D. －15
3. (3分)已知一元二次方程2x2－3x－2＝0，则下列关于此方程的根的说法正确的是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 两实数根的和大于0 D. 两实数根同号
4. (3分)写出一个一元二次方程，使其两根之和为－3，两根之积为－4，则该方程可以为 .
5. (3分)若一元二次方程x2＋4x－2 025＝0的两根分别为m，n，则m2n＋mn2的值为 .
6. (7分)若关于x的一元二次方程x2＋kx＋3＝0的两根分别为x1，x2，且＝4，求k的值.
7. (8分)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)若实数根x1，x2之间满足2(x1＋x2)＝x1x2，求m的值.
小测5 实际问题与一元二次方程
满分：25分 得分：
1. (3分)酵母菌作为单细胞真菌，在繁殖时1个细胞经过两轮分裂后，共有36个细胞，已知细胞分裂后，原细胞就不复存在了，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成x个细胞，那么可列方程为( )
A. x2＝36 B. x2＝×36 C. x2＝36 D. x2＝36＋1
2. (3分)小明、小丽、小刚三名同学中，小丽的年龄比小明的年龄小一岁，小刚的年龄比小明的年龄大一岁，并且小刚与小丽的年龄乘积是224，则小丽的年龄为 岁.
3. (3分)第9届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在哈尔滨成功举行，吸引了很多国内外游客前来旅游，某冰灯景点据统计3月份游客参观人数较1月份增加了44％，则平均每月游客参观人数的增长率为 .
4. (3分)九年级(二)班的每一个同学决定向其他同学赠送一张自己的照片留作毕业留念，若全班共送出1 640张照片，设这个班的人数为x人，则根据题意可列方程为 .
5. (3分)为让市民“推门见绿，移步入园”，某市决定建造小而美的口袋公园.如图是长为100 m，宽为60 m的矩形口袋公园.若要在口袋公园内铺设一些等宽的小路，其余部分种植花草，示意图如图所示，若种植花草的总面积为4 750 m2，则该小路的宽度为 m.
第5题图
6. (10分)昆明斗南花卉市场作为亚洲最大的鲜花交易市场，其销售的鲜花占据了全国大部分市场.某标价为40元/株的花苗每天可售出85株，市场调查发现，售价每降低1元，销售量平均每天能增加5株.
(1)若该花苗每株降价x元，则它平均每天的销售量为 株(用含x的代数式表示)；
(2)在(1)的基础上，已知该品种花苗每株的成本价为15元，若希望平均每天盈利2 025元，求每株花苗在原售价的基础上应降价多少元？
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