(共16张PPT)
1.1 空间向量及其运算
知识点 1 空间向量的概念及几类特殊向量
名称 定义
空间向量 在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模
单位向量 模为1的向量
零向量 长度为0的向量
必备知识 清单破
名称 定义
相等向量 长度相等且方向相同的向量
相反向量 长度相等而方向相反的向量
共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线(平行)向量
方向向量 在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量
共面向量 平行于同一个平面的向量,叫做共面向量
空间向量的线性运算 加法 三角形法则:a+b= + = ; 平行四边形法则:a+b= + =
减法 a-b= - = 数乘 运算 当λ>0时,λa=λ = (与a同向)
当λ<0时,λa=λ = (与a反向) 当λ=0时,λa=0
知识点 2 空间向量的线性运算
运算律 (λ,μ ∈R) 交换律 a+b=b+a
结合律 (a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a
分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb
知识点 3 空间向量共线、共面的有关定理
内容 共线向量定理 共面向量定理
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb 向量p与两个不共线的空间向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
知识点 4 空间向量的数量积
数量积 a·b=|a||b|cos
,其中为两个非零向量a,b的夹角
运算律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R;a·b=b·a(交换律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)
性质和 应用 若a,b为非零向量,则a⊥b a·b=0
a·a=|a||a|cos=|a|2,即|a|=
cos= ,的范围为[0,π]
误区警示 (1)两个向量数量积的结果是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;(2)两个
向量数量积的运算不满足消去律(a·b=a·c /b=c)和乘法的结合律((a·b)·c≠a·(b·c)).
知识辨析
1.在空间中,将表示所有单位向量的有向线段的起点移到同一点后,它们的终点形成的轨迹是
什么图形
2.如果向量 与 的夹角为α,那么直线AB与CD所成的角是α吗
3.如果 ∥平面CDE,则直线MN∥平面CDE吗
一语破的
1.球面.因为单位向量的模均等于1,所以将表示所有单位向量的有向线段的起点移到同一点
后,它们的终点形成的轨迹是一个球面.
2.不一定.当α∈ 时,直线AB与CD所成的角为α;当α∈ 时,直线AB与CD所成的角为
α的补角.
3.不一定.当直线MN 平面CDE时,才能通过 ∥平面CDE得到直线MN∥平面CDE.
定点 1 空间向量共线、共面的结论和应用
关键能力 定点破
1.空间向量共线、共面的结论
(1)证明空间三点A,B,P共线:① =λ ;② = +λ ;③ =x +y ,其中x+y=1.(O为空
间中任意一点)
(2)证明空间四点A,B,P,M共面:① =x +y ;② = +x +y ;③ =x +y +z
,其中x+y+z=1;④ ∥ (或 ∥ 或 ∥ ).(O为空间中任意一点)
2.空间向量共线、共面的应用
共线向量定理除了可以证明三点共线,还可以证明空间中两直线平行.由于空间中两个
非零向量共线时,这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,所以在证明时要说明一条直
线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出线线平行.
共面向量定理除了可以证明四点共面,还可以证明线面平行,同理,也要说明线不在面内.
典例 如图,在四面体ABCD中, =λ , =λ , =(1-λ) , =(1-λ) ,λ∈(0,1).
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)若λ= ,M是EG和FH的交点,O是空间任意一点,用 , , , 表示 .
解析： (1)证明:因为 = - =λ -λ =λ , = - =(1-λ) -(1-λ) =(1-λ) ,
所以 = ,则 ∥ ,因此E,F,G,H四点共面.
(2)由(1)知, = , = ,因此 = ,又EH,FG不在同一条直线上,所以EH∥FG,则
= = ,则 = ,即 - = ( - ),即 = + .当λ= 时, = ,
即 - = ( - ),可得 = + ,同理, = ,即 - = ( - ),可得 =
+ ,所以 = × + × = + + + .
求解线段的长度、两点间的距离时,均可将其转化为求对应有向线段表示的向量的模,
将此向量表示为已知的几个向量的和或差的形式,分析已知向量两两之间的夹角以及它们的
模,然后利用公式|a|= (推广公式:|a±b|= = )求解即可.
定点 2 利用数量积求长度(距离或模)
典例 已知平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1,且
∠A1AD=∠A1AB=60°,∠DAB=45°,则BD1等于 ( )
A. -1 B. -1
C. D. -
C
解析：易得 = - + ,
∴| |=
=
=
= ,
即BD1= .
求两条异面直线所成的角或其余弦值的步骤
(1)根据题设条件取与两条异面直线分别平行的非零向量(即两条直线的方向向量);
(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角的问题;
(3)利用公式cos= 求向量夹角的余弦值;
(4)将所求得的余弦值加上绝对值即得异面直线所成角的余弦值,进而可求出异面直线所成
角的大小.
定点 3 利用数量积求异面直线所成的角或其余弦值
典例 如图所示,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求异
面直线OA与BC所成角的余弦值.
解析：∵ = - ,∴ · = ·( - )= · - · =| |·| |·cos< , >-| |·
| |·cos< , >=8×4×cos 135°-8×6×cos 120°=24-16 .
∴cos< , >= = = ,∴异面直线OA与BC所成角的余弦值为
.1.1.2 空间向量的数量积运算
基础过关练
题组一 空间向量数量积的概念及其运算
1.如图,若正四面体A-BCD的棱长为1,且=,则·=( )
A.-1 B.- C. D.1
2.已知i,j,k为空间两两垂直的单位向量,且a=i+2j-k,b=3i-j+4k,则a·b= .
3.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,当a+2b与ka-b的夹角为钝角时,k的取值范围为 .
题组二 利用空间向量的数量积求夹角或其余弦值
4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,那么a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
5.(教材习题改编)已知空间四边形OABC的各边长及对角线长都相等,E,F分别是AB,OC的中点,则向量与向量夹角的余弦值为 .
题组三 利用空间向量的数量积求长度(模)
6.(教材习题改编)已知两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A,E和点B,F,使AB⊥a,且AB⊥b.已知AE=6,BF=8,EF=2,则线段AB的长为( )
A.10 B.2
C.2或10 D.2或2
7.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||=( )
A.5 B.6 C.4 D.8
题组四 利用空间向量的数量积解决垂直问题
8.(多选题)已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,则以下结论中一定成立的是( )
A.|++|=|+-|
B.(++)·=0
C.|++|2=||2+||2+||2
D.·=·=·
9.如图所示,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点.
(1)证明:AE⊥BC;
(2)求直线AE与DC所成角的余弦值.
能力提升练
题组一 利用空间向量的数量积求异面直线所成的角或其余弦值
1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=,∠BAA1=∠DAA1=,则直线BD1与直线AC所成角的余弦值为( )
A.- B. C.- D.
2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,则AB1与BC1所成角的大小为( )
A.60° B.90° C.105° D.75°
3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是BC1的中点,则异面直线PD与A1B所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
题组二 利用空间向量的数量积求长度(距离)
4.如图,在平面角大小为60°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是 .
5.已知空间向量,,的模分别为1,2,3,且两两间的夹角均为60°.点G为△ABC的重心,若=x+y+z,x,y,z∈R,则||= .
题组三 空间向量数量积的综合应用
6.在四面体P-ABC中,有以下四个结论,其中错误的是( )
A.若=+,则=3
B.若四面体P-ABC的各棱长都相等,则·=0
C.若·=0,·=0,则·=0
D.若四面体P-ABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则||=1
7.(教材深研拓展)(多选题)在三维空间中,定义a×b叫做向量a与b的外积,它是一个向量,满足下列两个条件:
①a⊥(a×b),b⊥(a×b),且a,b和a×b构成右手系(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致,如图所示);
②a×b的模|a×b|=|a||b|sin(表示向量a,b的夹角).
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有以下四个结论,其中正确的有( )
A.|×|=|×|
B.×与共线
C.×=×
D.6|×|与正方体表面积的数值相等
答案与分层梯度式解析
1.1.2 空间向量的数量积运算
基础过关练
1.C 4.B 6.D 7.A 8.ACD
1.C 因为正四面体A-BCD的棱长为1,且=,
所以·=(+)·=·=·=·+·-·=1×1×cos 60°+×1×1×cos 60°-×1×1×cos 60°=.故选C.
2.答案 -3
解析 ∵i,j,k为空间两两垂直的单位向量,∴|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0,
∴a·b=(i+2j-k)·(3i-j+4k)=3i2-2j2-4k2=3-2-4=-3.
3.答案 k>-7且k≠-
解析 由题意得(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=k+(2k-1)×1×2×cos 120°-8=-k-7<0,解得k>-7.
又当k=-时,a+2b与ka-b反向共线,此时它们的夹角为180°,并不是钝角,∴k>-7且k≠-.
名师点睛 利用两向量的夹角求参时,要考虑两向量同向、反向的情形.
4.B 根据题意,设a与b的夹角为θ,因为|a+2b|=2,所以(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=8+8cos θ=12,即cos θ=,又0°≤θ≤180°,故θ=60°,故选B.
5.答案 -
解析 设=a,=b,=c且|a|=|b|=|c|=1,易知∠AOB=∠BOC=∠AOC=,则a·b=b·c=c·a=.
因为=(+)=(a+b),=-=-=c-b,||=||=,
所以·=(a+b)·=a·c+b·c-a·b-b2=-.
设与的夹角为θ,
则cos θ===-.
所以向量与向量夹角的余弦值为-.
6.D 因为=++,所以=+++2·+2·+2·,
又异面直线a,b所成的角为60°,EF=2,AE=6,BF=8,故156=36+||2+64+48或156=36+||2+64-48,则||=2或||=2,故选D.
7.A 易知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=++,
∴==+++2·+2·+2·
=1+4+9+2×1×2×cos 60°+2×1×3×cos 60°+2×2×3×cos 60°=25,∴||=5,故选A.
方法总结 用数量积求线段长度的步骤:(1)用向量表示此线段;(2)用其他向量表示此向量;(3)结合公式a·a=|a|2,求此向量的模;(4)此向量的模即为所求长度.
8.ACD 由题意可知,,,两两垂直,所以·=·=·=0.
对于A,=++2(+)·=+,
=+-2(+)·=+,
所以=,
即|++|=|+-|,故A正确;
对于B,(++)·=(++)·(-)=-,
当=时,-=0,否则不成立,故B错误;
对于C,|++|2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=||2+||2+||2,故C正确;
对于D,·=·(-)=0,
同理可得·=0,·=0,
所以·=·=·,故D正确.
故选ACD.
9.解析 (1)证明:连接DE,则=-=(+)-,=-,
所以·=·(-)=·-·+·-·-·+·=0-2+2-0-0+0=0,
所以AE⊥BC.
(2)·=·=·+·-·=0+2-0=2,||==,
所以cos<,>===,
即直线AE与DC所成角的余弦值为.
能力提升练
1.D 2.B 3.A 6.D 7.ABD
1.D 易得=++=+-,=+,所以·=(+)·(+-)=·+·-++·-·,
又AB=AD=AA1=1,∠BAD=,∠BAA1=∠DAA1=,所以·=0+-1+1+-0=,
而||=,||==
==,
所以直线BD1与直线AC所成角的余弦值为==.故选D.
2.B 易得=-,=+,令||=a,则||=||=a,又⊥,⊥,所以·=(-)·(+)=·+-·-·=a2-a·acos 60°=0,因此,⊥,所以AB1与BC1所成角的大小为90°.故选B.
3.A 如图所示,
=+=-,
=++=++(+)=+-+=++,
∴||=
==,
又·=++·(-)=-=2,||=2,
∴cos<,>===.
∴异面直线PD与A1B所成角的余弦值是.
4.答案
解析 ∵四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,∴AE⊥EF,DE⊥EF,BF⊥EF,CF⊥EF,又平面ABFE∩平面CDEF=EF,∴平面ABFE与平面CDEF的二面角为∠AED=∠BFC=60°,易得=++,∴||2=(++)2=||2+||2++2·+2·+2·=1+1+1+0+2×1×1×cos 120°+0=2,∴||=,故B,D两点间的距离是.
5.答案
解析 设BC的中点为D,因为G为△ABC的重心,
所以==(+),
所以-=(-+-)=+-,所以=++,
所以||2==(+++2·+2·+2·)
=×1+4+9+2×1×2×+2×2×3×+2×1×3×=,所以||=.
6.D 对于A,若=+,则3=+2,
整理得2-2=-,所以2=,
故2=-,所以=3,故A中结论正确;
对于B,设四面体的棱长均为a,则·=(+)·=·+·=a·a·cos 60°+a·a·cos 120°=0,故B中结论正确;对于C,若·=0,·=0,则·+·=0,所以·+·(+)=0,整理得(-)·+·=0,所以·+·=0,即·+·=0,即·=0,故C中结论正确;对于D,由题可知,四面体的各个面均为正三角形,则||=||=||=2,,,两两之间的夹角均为60°,又=-=(+)-=(+-),且|+-|
=
=2,所以||=,故D中结论错误.故选D.
7.ABD 对于A,设正方体的棱长为1,易知在正方体中,<,>=60°,则|×|=||||sin<,>=××=,因为BD∥B1D1,且∠AD1B1=60°,所以<,>=120°,所以|×|=||·||sin<,>=××=,所以|×|=|×|,故A正确;对于B,易知A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1,因为B1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1 平面BB1D1D,所以A1C1⊥平面BB1D1D,又BD1 平面BB1D1D,故BD1⊥A1C1,同理可得BD1⊥A1D,由右手系知,×与共线,故B正确;对于C,由a,b和a×b构成右手系知,a×b与b×a的方向相反,由a×b的模的定义知,|a×b|=|a||b|·sin=|b||a|sin=|b×a|,所以a×b=-b×a,则×=-×,故C错误;对于D,设正方体的棱长为a,则6|×|=6||·||·sin 45°=6a·a·=6a2,而正方体的表面积为6a2,故D正确.故选ABD.
7第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
基础过关练
题组一 空间向量的基本概念
1.(多选题)下列命题中,是真命题的是( )
A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
2.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.向量的模是一个正实数
B.任一向量与它的相反向量都不相等
C.四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=
D.“向量的模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件
3.(教材习题改编)给出下列命题:①若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;②空间中,a∥b,b∥c,则a∥c;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与是相等向量;④在空间四边形ABCD中,与是相反向量;⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中,与的模一定相等的向量一共有4个.
其中正确命题的序号为 .
题组二 空间向量的线性运算
4.(多选题)(2024湖北荆门龙泉中学月考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为的是( )
A.--
B.+-
C.--
D.-+
5.如图,在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,=a,=b,=c,则=( )
A.a+b+c B.-a-b-c C.-a+b+c D.-a-b+c
6.(教材习题改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=2,则以下结论正确的是( )
A.=++
B.=-+-
C.=-+
D.=+-
7.如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,G为△ABC的重心,P为OG的中点,则=( )
A.-a+b+c B.a-b-c C.-a+b+c D.a-b-c
8.在四面体OABC中,=a,=b,=c,=λ(λ>0),N为BC的中点,若=-a+b+c,则λ=( )
A. B.3 C. D.2
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,则|-|= .
题组三 空间向量共线、共面问题
10.设e1,e2是两个不共线的空间向量,且=e1+2e2,=2e1+7e2,=3(e1+e2),则( )
A.A,C,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,B,D三点共线
11.(多选题)若O为空间中任意一点,在下列条件中,不能使M与A,B,C四点共面的是( )
A.=2--
B.=++
C.++=0
D.+++=0
12.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,=a,=b,=c.若=,=,则( )
A.=a+b+c B.=a+b+c
C.A,P,D'三点共线 D.A,P,M,D四点共面
13.已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且=+λ+μ(λ,μ∈R),若P,A,B,C四点共面,则函数f(x)=x2-3(λ+μ)x-1(x∈[-1,2])的最小值是 .
14.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=k,=k,=k,=k.
(1)当k=时,试用,,表示;
(2)证明:E,F,G,H四点共面.
答案与分层梯度式解析
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
基础过关练
1.ABC 2.CD 4.AB 5.A 6.D 7.C 8.B 10.D
11.ABD 12.BD
1.ABC 空间向量不能比较大小,A正确;易知B、C正确;共线的单位向量大小相等,但方向可能相同,也可能不同,故它们不一定相等,D错误.
2.CD A不正确,向量的模是一个非负实数.B不正确,零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.易知C,D正确.
3.答案 ①③
解析 ①正确,向量的相等满足传递性;②错误,平行向量不一定具有传递性,当b=0时,a与c不一定平行;③正确,与的模相等,方向相同;④错误,空间四边形ABCD中,与的模不一定相等,方向也不是相反的;⑤错误,在三棱柱ABC-A1B1C1中,与的模一定相等的向量是,,,,,一共有5个.
4.AB A中,--=-=;
B中,+-=+=;
C中,--=-=-=≠;
D中,-+=++=+≠.故选AB.
方法技巧 化简空间向量的常用思路
①分组:将向量合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.
②利用多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,即将若干个向量的和转化为首尾相接的向量求和.
③“走边路”:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量“走边路”(即沿几何体的边选择化简途径).
5.A =+=+=(a+b)+c=a+b+c.故选A.
6.D 因为底面ABCD是平行四边形,=2,
所以=+=++=++(+)=+-.故选D.
7.C ∵G为△ABC的重心,∴=(+)=(-+-)=(b+c-2a),∵P为OG的中点,∴=(+)=-a+b+c.故选C.
8.B ∵=λ(λ>0),N为BC的中点,∴=,=+,∴=-=+-=-a+b+c,
又∵=-a+b+c,∴-=-,解得λ=3.
故选B.
9.答案
解析 |-|=|-|=||=||==.
10.D ∵=+=3e1+9e2,=3(e1+e2),∴不存在实数λ,使得=λ成立,故A错误;∵=e1+2e2,=+=3e1+9e2,∴不存在实数λ,使得=λ成立,故B错误;∵=2e1+7e2,=3(e1+e2),∴不存在实数λ,使得=λ成立,故C错误;∵=e1+2e2,=+=5e1+10e2,∴=,故D正确.
规律总结 对于空间三点P,A,B,可通过下列结论来得出三点共线:
(1)存在实数λ,使=λ成立.
(2)对空间中任意一点O,有=+t(t∈R).
(3)对空间中任意一点O,有=x+y(x+y=1).
11.ABD 空间四点A,B,C,M共面的充要条件是=x+y+z,其中O为空间中任意一点,且x+y+z=1.对于A,因为2-1-1=0≠1,所以A,B,C,M不共面;对于B,因为++=≠1,所以A,B,C,M不共面;对于C,=--,若,共线,则易知M,A,B,C四点一定共面,若,不共线,则由共面向量定理可知,,为共面向量,所以M与A,B,C一定共面;对于D,因为+++=0,所以=---,因为-1-1-1=-3≠1,所以A,B,C,M不共面.故选ABD.
名师支招 1.证明点P在平面ABC内,可以用=x+y,或=+x+y,或=x+y+z(x+y+z=1),其中O为空间中任意一点.
2.证明三个向量共面一般用p=xa+yb,证明三线共面常用=x+y,证明四点共面常用=x+y+z(其中x+y+z=1,O为空间中任意一点).
12.BD 对于A,=++=a+b-c,故A错误;对于B,=+=++(+)=++=a+b+c,故B正确;对于C,易知A,P,D'三点不共线,故C错误;对于D,连接PM,由题可知点P和点M分别为CA'和CD'的中点,故PM∥A'D',又A'D'∥AD,所以PM∥AD,所以A,P,M,D四点共面,故D正确.故选BD.
13.答案 -2
解析 因为P,A,B,C四点共面,且=+λ+μ,所以+λ+μ=1,所以λ+μ=,所以f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.当x∈[-1,2]时, f(x)min=f(1)=-2,即函数的最小值为-2.
14.解析 (1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=+,
当k=时,=,=,∴=+=(+)+=++.
(2)证明:连接AC,EG.由共面向量定理可设=λ+μ(λ,μ∈R,且λ,μ不为0),
则=-=k-k=k=k(λ+μ)=kλ+kμ=kλ(-)+kμ(-)=λ(-)+μ(-)=λ+μ,则,,共面且有公共点E,所以E,F,G,H四点共面.
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