1.2 空间向量基本定理
基础过关练
题组一 空间向量基本定理及相关概念的理解
1.(多选题)给出下列命题,其中正确的有( )
A.空间任意三个向量都可以构成一个基底
B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc
D.如果a,b是两个单位向量,那么|a|=|b|
2.(教材习题改编)已知{a,b,c}为空间的一个基底,则下列向量也能构成空间的一个基底的是( )
A.a+b,b+c,a-c B.a+2b,b,a-c
C.2a+b,b+2c,a+b+c D.a+c,b+2a,b-2c
3.已知点O,A,B,C为空间中不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则不能与a,b共同构成空间的一个基底的向量是( )
A. B.
C. D.以上都不能
4.已知M,A,B,C四点互不重合且无三点共线,O为空间中任意一点,则能使向量,,构成空间的一个基底的关系是( )
A.=++
B.=+
C.=++
D.=2-
题组二 空间向量基本定理的应用——用空间的基底表示空间向量
5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+y+z,则(x,y,z)=( )
A.(-1,1,1) B.(1,-1,1)
C.(1,1,-1) D.(-1,-1,-1)
6.在三棱锥A-BCD中,若=2,=,则=( )
A.++ B.++
C.++ D.++
7.如图,在四面体A-BCD中,点O为底面△BCD的重心,P为AO的中点,设=a,=b,=c,则=( )
A.a-b-c B.-a+b+c
C.a-b-c D.-a+b+c
8.在空间四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为P,Q,若=ma+nb+pc,则m+n+p= .
题组三 利用空间向量基本定理解决立体几何问题
9.在化学中,若粒子(原子、离子、分子等)在空间按一定规律呈周期性重复排列,则它们构成的固体物质称为晶体.在结构化学中,晶体结构可被截分为一个个包含等同内容的基本单位,这个基本单位叫做晶胞.已知钙(Ca)、钛(Ti)、氧(O)原子可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子位于顶点位置,O原子位于棱的中点),则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为 .
10.如图,M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,P,Q是MN的三等分点(点P靠近点N),若=a,=b,=c.
(1)以{a,b,c}为基底表示;
(2)若|a|=|b|=1,|c|=2,∠OAB=∠OAC=,∠CAB=,求||.
11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为棱CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.求证:
(1)B1D⊥平面ABD;
(2)平面EFG∥平面ABD.
12.如图,在三棱锥O-ABC中,点G为底面△ABC的重心,点M是线段OG上靠近点G的三等分点,过点M的平面分别交棱OA,OB,OC于点D,E,F,若=k,=m,=n,求证:++为定值,并求出该定值.
答案与分层梯度式解析
1.2 空间向量基本定理
基础过关练
1.BD 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.B
1.BD 空间任意三个不共面的向量才可以构成基底,故A错误;
因为a∥b,所以a与b共线,故a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,故B正确;
当{a,b,c}为空间的一个基底时,才有C选项中的结论,故C错误;
单位向量的模都为1,故D正确.故选BD.
2.B ∵a+b=(b+c)+(a-c),a+b+c=(2a+b)+(b+2c),a+c=(b+2a)-(b-2c),∴A,C,D中的三个向量都共面,不能构成空间的一个基底.
对于B,假设a+2b,b,a-c共面,
则存在实数λ,μ使得a+2b=λb+μ(a-c),
∴无解,∴a+2b,b,a-c不共面,可以构成空间的一个基底.故选B.
3.C =(++)-(+-)=(a-b),∴与a,b共面,∴不能与a,b共同构成空间的一个基底.易知,均能与a,b共同构成空间的一个基底.
故选C.
4.C 只有不共面的向量才可以构成空间的一个基底.对于A,由=x +y +z (x+y+z=1),知M,A,B,C四点共面,故,,共面;对于B,D,由共面向量定理知,,共面.
故选C.
5.A 易得=+=+=+-,
∴x=-1,y=1,z=1,故选A.
6.B 如图.因为=2,所以-=2-2,故=+,又=,所以=+=×+=++.
故选B.
7.B 取CD的中点E,连接BE,由重心的性质可知,BO=BE,且B,O,E三点共线.
因为=(+)=(-+-)=(b-2a+c),所以==(b-2a+c),
所以=(+)=-+=-a+×(b-2a+c)=-a+b+c.故选B.
8.答案 1
解析 ∵Q为BD的中点,∴=(+),
又∵P为AC的中点,∴==(+),
∴=-=(+)-(+)=(+).∵=a-2c,=5a+6b-8c,
∴=(+)=[(a-2c)+(5a+6b-8c)]=3a+3b-5c,又∵=ma+nb+pc,
∴根据空间向量基本定理,得m=3,n=3,p=-5.
由此可得m+n+p=3+3-5=1.
9.答案
解析 设立方体的棱长为a(a>0).取{,,}为空间的一个基底,其中<,>=90°,<,>=90°,<,>=90°,
则=-=-=-,
=+=+.
设BF与B1E所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|====,∴BF与B1E所成角的余弦值为.
10.解析 (1)由题可知=,即-=-,故=+,
由于M,N分别为棱OA,BC的中点,所以=,=+=(+)+(+)=++,
所以=+++=-a+b+c.
(2)由(1)得=-a+b+c,
所以||=,
故||2==a2+b2+c2-a·b-a·c+c·b=,故||=.
11.证明 (1)易得=+=+,=+=-,
∴·=·=0,
·=·=-=0,∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA,BD 平面ABD,BA∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD.
(2)连接B1G.易得=-=(+)-=+-,=,
∴·=+·+-=-=0,
·=·=0,
∴B1D⊥EG,B1D⊥FG,
又EG,FG 平面EFG,EG∩FG=G,
∴B1D⊥平面EFG.又由(1)知B1D⊥平面ABD,且易知平面ABD与平面EFG不重合,∴平面EFG∥平面ABD.
12.解析 由题意可知,==(+)=×+×(+)=×+(-)+(-)=++,
因为D,E,F,M四点共面,所以存在实数λ,μ,使得=λ+μ,
所以-=λ(-)+μ(-),
所以=(1-λ-μ)+λ+μ=(1-λ-μ)k·+λm+μn,
所以
故++=(1-λ-μ)+λ+μ=.
7(共7张PPT)
1.2 空间向量基本定理
知识点 1 空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使
得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.
必备知识 清单破
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正
交基底,常用{i,j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个
向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向
量进行正交分解.
知识点 2 空间向量的正交分解
1.若a,b,c能构成空间的一个基底,则a,b,c中会不会有零向量
2.空间向量的基底是否唯一 对于某一空间向量,它的表达式是否唯一
3.若a,b,c能构成空间的一个基底,是否存在实数λ,μ,使a=λb+μc成立
4.已知e1,e2,e3不共面,且 =e1+2e2-e3, =-3e1+e2+2e3, =e1+e2-e3,则{ , , }能否作为空
间的一个基底
知识辨析
一语破的
1.不会.构成基底的三个向量不共面,而零向量与任意向量都共线,从而与任意向量都共面,所
以a,b,c中不会有零向量.
2.基底不唯一,但是当基底选定之后,空间中的向量均可由该基底唯一表示.对于某一空间向
量,它的表达式并不唯一.
3.不存在.若a,b,c能构成空间的一个基底,则a,b,c不共面,故不满足共面向量定理,即a=λb+μc
(λ,μ∈R)不成立.
4.能.假设 , , 共面,则存在实数λ,μ,使得 =λ +μ ,∴e1+2e2-e3=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+
(2λ-μ)e3,∴ 此方程组无解,
∴ , , 不共面,
∴{ , , }能作为空间的一个基底.
关键能力 定点破
定点 空间向量基本定理的应用
1.用基底表示空间向量
若未给定基底,则先选择基底,选择时,要尽量选择共起点的三个向量,且要考虑向量间的
夹角及各自的模是否已知或易求.基底确定后,利用空间向量的三角形法则、平行四边形法
则和共线向量的特点,把目标向量逐步分解,向基底靠近,最后化简整理求出结果.
2.用基底法解决立体几何问题
利用基底法可解决立体几何中线面关系问题及与夹角、距离(长度)有关的问题,解题时,
首先要确定基底,将所需向量用基底表示出来,然后通过向量运算解决问题.基底法是向量法
中的一种.
典例 如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,E是线段CD的中点,O在线段BE上,且 =2 .设
=a, =b, =c,以{a,b,c}为基底,用向量法解决下列问题:
(1)用基底表示向量 ;
(2)证明:AO⊥平面BCD.
思路点拨： (1)利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则运算即可.
(2)要证AO⊥平面BCD,只需证明AO垂直于平面BCD内的两条相交直线BC,BD即可.先用基底
表示出 , ,再计算 · , · 即可.
解析：(1)连接AE. = + = + = + ( - )= + = + × ( +
)= + + = a+ b+ c.
(2)证明:由题意知,a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a= , =b-a, =c-a.
∵ · = (a+b+c)·(b-a)= (a·b-a2+b2-b·a+c·b-c·a)=0,
∴AO⊥BC.
∵ · = (a+b+c)·(c-a)= (a·c-a2+b·c-b·a+c2-c·a)=0,
∴AO⊥BD.
∵BC,BD 平面BCD,且BC∩BD=B,
∴AO⊥平面BCD.
