1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示
基础过关练
题组一 空间直角坐标系
1.(多选题)下列命题正确的是( )
A.点(1,-2,3)关于坐标平面Ozx的对称点为(1,2,3)
B.点关于y轴的对称点为-,1,3
C.点(2,-1,3)到坐标平面Oyz的距离为1
D.设i,j,k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量,若m=3i-2j+4k,则m=(3,-2,4)
2.设z为任意实数,则(2,2,z)表示的图形是( )
A.z轴
B.与Oxy平面平行的一条直线
C.与Oxy平面垂直的一条直线
D.Oxy平面
3.在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则线段MN的中点坐标为 .
题组二 空间向量及其运算的坐标表示
4.若△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示,且D为BC的中点,则=( )
A.(1,1,0) B.(-1,-1,1) C.(1,1,-1) D.(0,1,1)
5.已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,且=3k,=-i+j-k,则点B的坐标为( )
A.(1,-1,1) B.(-1,1,1) C.(1,-1,2) D.(-1,1,2)
6.与向量a=(3,0,-4)共线的单位向量可以为( )
A. B.
C. D.
7.在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则下列关系式成立的是( )
A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0 C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0
8.若向量a=(1,1,2),b=(1,2,1),c=(1,1,1),则(c-a)·2b= .
题组三 利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题
9.已知向量a=(λ+1,0,2),b=(3λ,2μ-1,1),若a∥b,则λ+μ=( )
A.- B. C.-7 D.7
10.(多选题)已知空间中三点A(2,1,-1),B(1,0,2),C(0,3,-1),则 ( )
A.||= B.AB⊥AC
C.cos∠ABC= D.A,B,C三点共线
11.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( )
A.1 B. C. D.
12.已知=(1,2,3),=(2,λ,3),=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是( )
A. B. C. D.
13.已知空间中三点A(-2,1,3),B(1,-2,0),C(-1,-1,5).
(1)若四边形ABCD是平行四边形,求点D的坐标;
(2)若|a|=3,且a∥,求向量a;
(3)若点P(2,-1,m)在平面ABC内,求m的值.
题组四 利用空间向量的坐标运算求夹角和模的相关问题
14.在空间直角坐标系中,已知点A(1,2,-1),B(2,0,0),C(0,1,3),则cos<,>=( )
A. B. C. D.
15.设y,z∈R,向量a=(0,1,z),b=(2,y,2),c=(-3,6,-3),且a⊥b,b∥c,则|a-b|=( )
A.2 B.3 C.3 D.
16.已知空间中三点A(x,y,z),O(0,0,0),B(,,2),若AO=1,则||的最小值为 .
17.已知空间中三点A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 .
18.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),O为坐标原点,点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2a+b|;
(2)若点E在直线AB上,且⊥b,求点E的坐标.
19.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,B1E1=A1B1,D1F1=C1D1.
(1)求线段AM的长;
(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.
能力提升练
题组一 空间向量的坐标运算
1.已知空间向量a=(1,1,1),b=(1,0,-2),则下列结论正确的是( )
A.向量a在向量b上的投影向量是
B.a-b=(0,-1,-3)
C.a⊥b
D.cos
=
2.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+b所成的角为锐角,则实数k的取值范围为 .
题组二 利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题
4.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.(教材习题改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则直线A1M与DN的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.异面垂直 D.异面不垂直
6.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1上运动(包括边界),并且总是保持AP⊥BD1,则以下结论正确的是( )
A.=
B.点P必在线段B1C上
C.AP⊥BC1
D.AP∥平面A1C1D
7.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC的中点,N为四边形DCC1D1及其内部任意一点,若MN⊥A1C,则三棱锥N-AA1D体积的取值范围是 .
题组三 空间向量的夹角和模的问题
8.设空间向量μ=(a,b,0),ν=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,则下列判断错误的是( )
A.向量ν与z轴正方向的夹角为
B. μ·ν的最大值为
C. μ与ν的夹角的最大值为
D.ad+bc的最大值为1
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1,G,E分别为A1B1,CC1的中点,D,F分别为线段AC,AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为( )
A. B.
C. D.
10.在空间直角坐标系中,已知A(0,1,2),B(3,-2,-1),D(1,1,1).
(1)若点P满足=2,求||;
(2)求△ABD的面积.
11.设全体空间向量组成的集合为V,a=(a1,a2,a3)为V中的一个单位向量,建立一个“自变量”为向量,“因变量”也是向量的“向量函数”f(x):f(x)=-x+2(x·a)a(x∈V).
(1)设u=(1,0,0),v=(0,0,1),若f(u)=v,求向量a;
(2)对于V中的任意两个向量x,y,证明:f(x)·f(y)=x·y;
(3)对于V中的任意单位向量x,求|f(x)-x|的最大值.
答案与分层梯度式解析
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
基础过关练
1.ABD 2.C 4.C 5.D 6.D 7.A 9.B 10.AB
11.D 12.D 14.A 15.D
1.ABD 易知A、B正确;
点(2,-1,3)到坐标平面Oyz的距离为2,故C错误;
因为i,j,k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量,m=3i-2j+4k,所以m=(3,-2,4),故D正确.
故选ABD.
方法技巧 空间点的对称口诀:关于谁对称谁不变,关于原点对称全都变.
2.C (2,2,z)(z∈R)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线,即与Oxy平面垂直的一条直线,故选C.
3.答案
解析 由题意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),
所以M(0,1,1),N(1,1,0),
则线段MN的中点坐标为.
4.C 结合题图得A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),
∵D为BC的中点,∴D(1,1,0),∴=(1,1,-1).故选C.
5.D 由题意可知,=(0,0,3),=(-1,1,-1),
设B(x,y,z),则=-,即(-1,1,-1)=(x,y,z-3),所以x=-1,y=1,z=2,故B(-1,1,2).
故选D.
6.D 与a=(3,0,-4)共线的单位向量为±=±.故选D.
7.A 易得=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2),
因为A,B,C,D四点共面,所以,,共面,即存在λ,μ∈R,使得=λ+μ,
即消去λ,μ得2x+y+z=1,故选A.
8.答案 -2
解析 易得c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2),∴(c-a)·2b=0+0-2=-2.
9.B 由a∥b,可得b=ma,m∈R,即(3λ,2μ-1,1)=m(λ+1,0,2),
即解得λ=,μ=,m=,则λ+μ=+=.故选B.
10.AB 根据题意,可得=(-1,-1,3),=(-2,2,0),=(-1,3,-3).对于A,||==,A正确;对于B,·=2-2+0=0,则AB⊥AC,B正确;对于C,cos∠ABC=cos<,>===≠,C错误;对于D,由B中的结论知AB⊥AC,所以A,B,C三点不共线,D错误.故选AB.
11.D ∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),
∴ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),
又ka+b与2a-b互相垂直,
∴3(k-1)+2k-4=0,解得k=.故选D.
12.D 易得=(1,λ-2,0),=(3,0,k-3).
若OA⊥平面ABC,则⊥,⊥,
即·=1+2(λ-2)=0,·=3+3(k-3)=0,所以λ=,k=2,故λ+k=.故选D.
13.解析 (1)设D(x,y,z),
由四边形ABCD是平行四边形,可得=,
即(3,-3,-3)=(-1-x,-1-y,5-z),
所以x=-4,y=2,z=8,故点D的坐标为(-4,2,8).
(2)易得=(1,-2,2),因为a∥,所以a=λ=(λ,-2λ,2λ),λ∈R,
又|a|=3,所以=3,解得λ=±1,
所以a=(1,-2,2)或a=(-1,2,-2).
(3)因为点P(2,-1,m)在平面ABC内,所以存在实数x,y使得=x+y,
又=(4,-2,m-3),=(3,-3,-3),=(1,-2,2),故(4,-2,m-3)=x(3,-3,-3)+y(1,-2,2),
所以解得
故m的值为-7.
14.A 由点A(1,2,-1),B(2,0,0),C(0,1,3),
得=(1,1,-4),=(2,-1,-3),
则||==3,||==,·=2-1+12=13,
则cos<,>===.
故选A.
15.D 因为a⊥b,b∥c,所以解得则a=(0,1,2),b=(2,-4,2),
可得a-b=(-2,5,0),
所以|a-b|==.故选D.
16.答案 2
解析 由题意可知点A是以O为球心,1为半径的球面上的点,
又B(,,2),所以OB==3,
故||的最小值为3-1=2,当且仅当O,A,B三点共线,且A在O,B之间时,||取最小值.
17.答案 6
解析 =(2,3,-1),=(-2,1,3),
∴·=-4+3-3=-4,||==,||==.
∴cos∠BAC===-.
∴sin∠BAC==.
∴以AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=||·||·sin∠BAC=××=6.
18.解析 (1)∵a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),
∴2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),
故|2a+b|==5.
(2)若点E在直线AB上,则可设=t,
则=+t=(-3+t,-1-t,4-2t),
∵⊥b,b=(-2,1,1),
∴·b=0,即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,故点E的坐标为.
19.解析 (1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),M,则=,
所以||==,即线段AM的长为.
(2)结合(1)中所建坐标系,可得B(1,1,0),E1,D(0,0,0),F1,
所以=-(1,1,0)=,=-(0,0,0)=,
所以||=,||=.
所以·=0×0-×+1×1=,
所以cos<,>==.
所以BE1与DF1所成角的余弦值为.
能力提升练
1.A 2.C 4.C 5.C 6.BD 8.B 9.A
1.A a在b上的投影为=-,
与b同向的单位向量为=,
所以向量a在向量b上的投影向量是-,0,-=,故A正确;
a-b=(0,1,3),故B错误;
因为a·b≠0,所以a与b不垂直,故C错误;
cos==-,故D错误.
故选A.
2.C ∵向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),
∴a+b=(-1,-2,-3).设c=(x,y,z),
由(a+b)·c=7,可得(-1,-2,-3)·(x,y,z)=-x-2y-3z=7,∴x+2y+3z=-7,即a·c=-7,
设a,c的夹角等于θ,
则cos θ===-.
又0°≤θ≤180°,故θ=120°.故选C.
3.答案
解析 易得a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).
由题意得(a+kb)·(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共线,
∴1-k+2+4k>0,且==不成立,
解得k>-1且k≠,
∴实数k的取值范围为.
4.C 易得=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1),
∵·=(5,1,-7)·(2,-3,1)=0,∴⊥,即AC⊥BC,
又||==,||==,||==,∴△ABC为直角非等腰三角形.故选C.
5.C 以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A1(2,0,2),M(0,1,0),D(0,0,0),N(0,2,1),∴=(-2,1,-2),=(0,2,1),∴·=0,∴A1M⊥DN,又DN 平面DCC1D1,A1M 平面DCC1D1,M∈平面DCC1D1,且M DN,∴直线A1M与DN异面垂直.故选C.
6.BD ∵P在侧面BCC1B1上运动(包括边界),平面BCC1B1∥平面AA1D1D,∴P到平面AA1D1D的距离即为C到平面AA1D1D的距离,此距离等于正方体的棱长,∴=·CD=××1×1×1=,故A中结论错误.
以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),设P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),∴=(x-1,1,z),=(-1,-1,1),=(-1,0,-1).
∵AP⊥BD1,∴·=1-x-1+z=0,∴x=z,
∴P(x,1,x),∴=(x,0,x),∴=-x,即B1,P,C三点共线,又0≤x≤1,∴P必在线段B1C上,故B中结论正确.
易知C1(0,1,1),∴=(-1,0,1),又=(x-1,1,x),∴·=1-x+x=1≠0,∴AP与BC1不垂直,故C中结论错误.
易知A1(1,0,1),D(0,0,0),∴=(-1,1,0),=(1,0,1),又=(x-1,1,x),∴=x+ (其中0≤x≤1),∴,,共面,又AP 平面A1C1D,∴AP∥平面A1C1D,故D中结论正确.
故选BD.
7.答案
解析 以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则有A1(1,0,1),C(0,1,0),M,
由题可设点N(0,t,s),0≤t≤1,0≤s≤1,
∴=(-1,1,-1),=,
又MN⊥A1C,∴·=+t-1-s=t-s-=0,
∴s=t-,≤t≤1,∴点N到平面AA1D的距离t∈,
∴三棱锥N-AA1D的体积=·t=·AA1·AD·t=t∈,
∴三棱锥N-AA1D体积的取值范围是.
8.B 对于A,设方向与z轴正方向相同的向量为z=(0,0,t)(t>0),则cos<ν,z>====,
∵<ν,z>∈[0,π],∴<ν,z>=,
∴向量ν与z轴正方向的夹角为,故A中判断正确;
对于B,∵μ·ν=ac+bd≤+==1,当且仅当a=c,b=d时取等号,
∴μ·ν的最大值为1,故B中判断错误;
对于C,由B选项可知|μ·ν|≤1,
∴-1≤μ·ν≤1,
∴cos<μ,ν>==≥-=-,又∵<μ,ν>∈[0,π],
∴μ与ν的夹角的最大值为,故C中判断正确;
对于D,由ad+bc≤+==1,当且仅当a=d,b=c时取等号,∴ad+bc的最大值为1,故D中判断正确.故选B.
9.A 以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则E,G.
设F(x,0,0)(0则=,=.
因为GD⊥EF,所以·=-x-y+=0,即x+2y-1=0,所以x=1-2y,y∈,所以DF====∈.故选A.
10.解析 (1)设P(x,y,z),
∵A(0,1,2),B(3,-2,-1),D(1,1,1),
∴=(x,y-1,z-2),=(3-x,-2-y,-1-z),
∵=2,
∴解得∴P(2,-1,0),
∴=(1,-2,-1),
∴||==.
(2)∵A(0,1,2),B(3,-2,-1),D(1,1,1),
∴=(3,-3,-3),=(1,0,-1),
∴cos∠BAD=
==,
∴sin∠BAD==,
∴△ABD的面积S=AB·ADsin∠BAD=×3××=.
11.解析 (1)依题意得 f(u)=-u+2(u·a)a=v,
即-(1,0,0)+2(1×a1+0×a2+0×a3)(a1,a2,a3)=(0,0,1),即(-1,0,0)+2a1(a1,a2,a3)=(0,0,1),即解得或
∴a=或a=.
(2)证明: f(x)·f(y)=[-x+2(x·a)a]·[-y+2(y·a)a]=x·y-4(y·a)(x·a)+4(y·a)(x·a)a2=x·y-4(y·a)(x·a)+4(y·a)(x·a)=x·y,故得证.
(3)设x与a的夹角为α,则x·a=|x|·|a|cos α=cos α,则|f(x)-x|=|-2x+2(x·a)a|==,∵0≤cos2α≤1,∴0≤|f(x)-x|≤2,
∴|f(x)-x|的最大值为2.
7(共20张PPT)
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方
向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建
立了一个空间直角坐标系Oxyz.
2.相关概念
O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫
做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成
八个部分,如图所示.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
知识点 1 空间直角坐标系
必备知识 清单破
注意:
(1)坐标向量i,j,k满足|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.
(3)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z
轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系,如图所示.我们建立的坐标系一般都是右手
直角坐标系.
1.如图,在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量 ,且点A
的位置由向量 唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 =xi+yj+
zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量 对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中
的坐标,记作A(x,y,z).
知识点 2 空间直角坐标系中点的坐标
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
2.空间直角坐标系中位于坐标轴、坐标平面的点的坐标如下表所示:
点的位置 Oxy平面 Oyz平面 Ozx平面
坐标形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
3.空间直角坐标系中对称点的坐标
空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,掌握对称点的变化规律,才
能准确求解.对称点的问题常常用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论来解
决.例如:
(1)点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c);
(2)点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c);
(3)点(a,b,c)关于Oxy平面的对称点为(a,b,-c).
4.(1)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点的坐标为 .
(2)已知△ABC的三个顶点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC重心的坐标为
.
1.在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作 =a,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数
组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=
(x,y,z).
注意:符号(x,y,z)具有双重意义,它既可以表示点,也可以表示向量,但向量与坐标之间用“=”
连接,点与坐标之间无“=”.
2.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);
λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R;
a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
知识点 3 空间向量及其运算的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
知识点 4 空间向量的平行、垂直及模、夹角的坐标表示
结论 坐标表示
平行 a∥b(b≠0) a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b(a≠0,b≠0) a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0
模 |a|= = ;
|b|= =
夹角 cos= = (a≠0,b≠0)
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,O是坐标原点,则 = - =(x2-x1,y2-y1,z2-z1),
所以P1P2=| |= .
特别地,空间任意一点P(x,y,z)到原点O的距离OP=| |= .
知识点 5 空间两点间的距离公式
知识辨析
1.空间直角坐标系有什么作用
2.如何求解空间直角坐标系中任一点的坐标
3.空间向量 (O为坐标原点)的坐标和点P的坐标有什么关系
4.点(2,1,3)关于Oyz平面对称的点的坐标是什么
5.已知点A(3,4,5),则点A到原点O的距离是多少
一语破的
1.空间直角坐标系可以将空间点、直线、平面数量化,将空间点、直线、平面的位置关系解
析化.
2.点在空间直角坐标系中的位置有3种可能:点在坐标轴上、点在坐标平面内和点不是特殊
点.对于前两种,熟悉点的坐标特征即可轻松写出其坐标;对于第三种,一般是先确定点在Oxy
平面内的射影的位置,再由竖坐标确定点在空间直角坐标系中的具体位置,进而得到其坐标.
3.若点P在空间直角坐标系中的坐标为(x,y,z),那么向量 的坐标也为(x,y,z).
4.(-2,1,3).根据对称点的结论可知横坐标变为其相反数,其余坐标不变.
5. =(3,4,5),则OA=| |= =5 .
定点 1 利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题
关键能力 定点破
1.建立空间直角坐标系,利用坐标运算解决空间平行、垂直问题的方法称为“坐标法”,是向
量法中的一种.
2.与向量坐标有关的平行、垂直问题主要有两种类型:一是判定平行、垂直;二是已知平行
或垂直求参数.
利用向量的坐标证明两直线平行或垂直的步骤:
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;
(2)求出有关直线的方向向量;
(3)证明两直线平行即证明两直线的方向向量共线;证明两直线垂直即证明两直线的方向向
量的数量积为0;
(4)还原到几何问题中,得出结论.
典例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.以A为坐标原点, , ,
的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,解决以下问题.
(1)求证:AB1∥GE,AB1⊥EH;
(2)过点B作BM⊥AC1于点M,求点M的坐标.
解析：如图.设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,
1,1).由线段中点的坐标公式,得E ,G ,H .
(1)证明: =(1,0,1), = , = .因为 =2 , · =1× +0×
+1× =0,所以 ∥ , ⊥ ,即AB1∥GE,AB1⊥EH.
(2)设M(x,y,z),则 =(x,y,z), =(x-1,y,z).易知 =(1,1,1).
由BM⊥AC1,得 · =0,即x-1+y+z=0.①因为M在直线AC1上,所以 ∥ ,所以设 =μ
(μ∈R),得x=μ,y=μ,z=μ.②
由①②得μ= ,所以x= ,y= ,z= .
所以点M的坐标为 .
典例2 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a= ,b= .
(1)若|c|=3,c∥ ,求c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
解析：(1)∵ =(-2,-1,2)且c∥ ,
∴设c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= =3|λ|=3,解得λ=±1.
∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
(2)∵a= =(1,1,0),b= =(-1,0,2),
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
∵ka+b与ka-2b互相垂直,
∴(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,
解得k=2或k=- .
关键技巧： 利用向量的坐标运算求向量平行与垂直类问题时要注意:适当引入参数(比如根
据向量a,b平行,可设a=λb,λ∈R,其中b≠0),建立关于参数的方程(组).
利用空间向量的坐标运算求异面直线所成角或线段长度的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系;
(2)利用已知条件写出有关点的坐标,进而获得相关向量的坐标;
(3)利用向量数量积的坐标公式求得相关向量的夹角,并将它转化为异面直线所成的角;利用
两点间的距离公式求出线段的长度.
注意:设异面直线l1,l2所成的角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则θ∈ ,cos θ=
|cos|.
定点 2 利用空间向量的坐标运算求夹角和长度
典例 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N为A1A的中点.
(1)求BN的长;
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值.
解析：如图,以C为坐标原点, , , 为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴ =(1,-1,1),
∴BN=| |= = .
(2)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴ =(1,-1,2), =(0,1,2),
∴ · =1×0+(-1)×1+2×2=3,
| |= = ,
| |= = ,
∴cos< , >= = = .
故A1B与B1C所成角的余弦值为 .
解后反思：在解题过程中,建立的坐标系不同,得到的点的坐标也可能不相同,但是求解的最
终结果是相同的.