(共26张PPT)
1.点的位置向量
如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量 来表
示.我们把向量 称为点P的位置向量.
1.4 空间向量的应用
知识点 1 空间中点、直线和平面的向量表示
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
必备知识 清单破
2.空间直线的向量表示式
如图(1),a是直线l的方向向量,在直线l上取 =a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线
l上 存在实数t,使得 =ta,即 =t .
如图(2),取定空间中的任意一点O,则点P在直线l上 存在实数t,使 = +ta(i),将 =a
代入(i)式,得 = +t (ii).
(i)式和(ii)式都称为空间直线的向量表示式.
图(1)
图(2)
3.空间平面的向量表示式
如图,取定空间任意一点O,则空间一点P在平面ABC内 存在实数x,y,使 = +x +y
(iii).我们把(iii)式称为空间平面ABC的向量表示式.
1.空间直线的方向向量:若l是空间一直线,A,B是直线l上的任意两点,则称 为直线l的方向向
量,与 平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.
2.平面的法向量:与平面垂直的直线的方向向量,称为平面的法向量.
待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设法向量为n=(x,y,z);
(2)在已知平面内找或求两个不共线向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3);
(3)建立方程组
(4)解方程组:用一个未知量表示其他两个未知量,然后对这个未知量赋特殊值,从而得到平面
的一个法向量.
知识点 2 空间直线的方向向量和平面的法向量
位置关系 向量表示
线线平行 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 u
1∥u2 λ∈R,使得u1=λu2
线面平行 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l
α,则l∥α u⊥n u·n=0
面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β n1
∥n2 λ∈R,使得n1=λn2
知识点 3 空间中直线、平面的平行
位置关系 向量表示
线线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2 u
1⊥u2 u1·u2=0
线面垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,
则l⊥α u∥n λ∈R,使得u=λn
面面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β n1
⊥n2 n1·n2=0
知识点 4 空间中直线、平面的垂直
知识辨析
1.直线的方向向量和平面的法向量是否唯一
2.点A,B 在平面α上,且 ∥ ,能否判定直线CD与平面α平行
3.直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直,那么l与α垂直吗
4.若m⊥α,l为平面α的法向量所在的直线,且m,l的方向向量分别为a,b,则a与b有什么关系
一语破的
1.不唯一.直线的方向向量不是唯一的,它们都是共线向量.解题时,可以选取坐标最方便计算
的方向向量.一个平面的法向量也不是唯一的,一个平面的所有法向量都共线.在应用时,可以
根据需要进行选取.
2.不能.题目未说明C、D两点是否在平面α上,所以直线CD可能在平面α内,也可能与平面α平
行.
3.垂直.由线面垂直的判定定理可得l与α垂直.
4.a∥b.因为l为平面α的法向量所在的直线,所以l⊥α,又m⊥α,所以l∥m或l与m重合,所以a∥b.
1.解决立体几何问题的方法
(1)几何法:利用判定定理和性质定理解决问题;
(2)基底法:利用基向量进行向量运算,从而解决问题;
(3)坐标法:通过建系,利用向量的坐标运算解决问题.
基底法和坐标法都是向量法.在解决具体问题时,要灵活选择不同方法,使解题方便,当图形的
垂直特征明显且坐标易求时可优先选择坐标法.
2.利用空间向量证明线线平行
(1)基底法:分别用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,然后通过线性运算,证明两方
向向量共线即可.
(2)坐标法:建立适当的空间直角坐标系,利用直线的方向向量的坐标之间的关系进行证明.
定点 1 利用空间向量解决平行问题
关键能力 定点破
3.利用空间向量证明线面平行
(1)常用方法:设直线l的方向向量是u,平面α的法向量是n,要证明l∥α,只需证明u⊥n,即证明u·
n=0.求解平面的法向量时,对未知数的赋值与相关运算一定要准确.
(2)根据线面平行的判定定理进行证明:定理为平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
则该直线与此平面平行.要证明一条直线和一个平面平行,只需在平面内找一向量,证明它与
已知直线的方向向量是共线向量即可,但需要特别注意已知直线不在平面内.
(3)根据共面向量定理进行证明:要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向
向量能够用这个平面内的两个不共线向量线性表示即可.
4.利用空间向量证明面面平行
(1)向量法:设平面α的法向量为u,平面β的法向量为v,则α∥β u∥v;
(2)转化法:转化为证明线面平行、线线平行.
典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
思路点拨：
证明： 证法一:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M ,N ,∴ =(1,0,1), =(1,1,
0), = .
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则 取x=1,则y=-1,z=-1,
∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1).
∵ ·n= ·(1,-1,-1)=0,
∴ ⊥n,∵MN 平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
证法二: = - = - = ( - )= ,∴ ∥ ,
又MN 平面A1BD,DA1 平面A1BD,
∴MN∥平面A1BD.
证法三: = - = - = - = ( + )- ( + )= - .
根据共面向量定理可知,MN∥平面A1BD.
1.利用向量方法证明线线垂直
(1)坐标法:建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后
通过数量积的坐标运算证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及相关运算律,结合图形的几何特征,将
与两直线有关的向量分别用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明此数量积等于0,从而
证明两条直线互相垂直.
2.用坐标法证明线面垂直的两种思路
(1)基向量法:根据线面垂直的判定定理证明,先用基向量表示直线的方向向量a,然后在平面
内找两条相交直线,并分别用基向量表示它们的方向向量b,c,由a·b=0且a·c=0,得该直线与平
面内的两条相交直线都垂直,从而可得线面垂直.
定点 2 利用空间向量解决垂直问题
(2)法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,利用向量的线性运算判定直线的方向向
量与平面的法向量平行,从而可得线面垂直.
3.证明面面垂直的三种方法
(1)利用两个平面垂直的性质定理,证明其中一个平面过另一个平面的垂线,即转化为证明线
面垂直,进而转化为证明线线垂直.
(2)直接求解两个平面的法向量,证明这两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直.
(3)证明一个平面的法向量平行于另一个平面.
典例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.
证明： 证法一:设 =a, =b, =c,连接BD,则 = + = ( + ) = ( + )=
( + - )= (b+c-a), = + =a+b.
∵ · = (b+c-a)·(a+b)= (b2-a2+c·a+c·b)= (|b|2-|a|2+0+0)=0,
∴ ⊥ ,即EF⊥AB1.
同理,可证得EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C 平面B1AC,
∴EF⊥平面B1AC.
证法二:设正方体的棱长为2a(a>0),建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a),
∴ =(-a,-a,a), =(0,2a,2a), =(-2a,2a,0).
∵ · =(-a,-a,a)·(0,2a,2a)=-a×0+(-a)×2a+a×2a=0,
· =(-a,-a,a)·(-2a,2a,0)=2a2-2a2+0=0,∴EF⊥AB1,EF⊥AC.
又AB1∩AC=A,AB1,AC 平面B1AC,
∴EF⊥平面B1AC.
证法三:由证法二得 =(-a,-a,a),
=(0,2a,2a), =(-2a,2a,0).
设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z),
则 即
令y=1,则x=1,z=-1,∴n=(1,1,-1).
∵ =-an,∴ ∥n,∴EF⊥平面B1AC.
典例2 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点,证明:平
面AEC1⊥平面AA1C1C.
证明：由题意得BA,BC,BB1两两互相垂直.以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴,y
轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E ,则 =(0,0,1), =(-2,2,0), =(-2,2,1), =
.
设平面AA1C1C的法向量为n=(x1,y1,z1),
则 即
令x1=1,得y1=1,∴n=(1,1,0).
设平面AEC1的法向量为m=(x2,y2,z2),
则 即
令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴m=(1,-1,4).
∵n·m=1×1+1×(-1)+0×4=0,
∴n⊥m,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
1.存在、判断型
先假设存在,设出空间点的坐标,然后将待求解的问题转化为代数方程“是否有解”或
“是否有规定范围内的解”的问题.若有解且满足题意,则存在;若有解但不满足题意或无解,
则不存在.
2.位置探究型
借助向量,引入参数,综合题目中各已知信息列关系式,解出参数,从而确定位置.
定点 3 用空间向量解决立体几何中与平行、垂直相关的探索性问题
典例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,CC1的中点.在棱CD上是否存在点T,使
得AT∥平面B1EF 若存在,求出点T的位置;若不存在,请说明理由.
解析： 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2a(a>0),则B1(2a,2a,2a),E(2a,a,0),F(0,2a,a),A(2a,0,0).
假设在棱CD上存在点T(0,t,0),t∈[0,2a],使得AT∥平面B1EF.
易得 =(0,-a,-2a), =(-2a,a,a), =(-2a,t,0).
设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z),
则 令z=1,则y=-2,x=- ,∴n= .
由题意得 ·n=a-2t=0,解得t= ,
∴DT= DC,
∴在棱CD上存在点T,使得AT∥平面B1EF,此时点T在DC上靠近点D的四等分点处.1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
基础过关练
题组一 直线的方向向量和平面的法向量
1.若P(1,0,-2),Q(3,1,1)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
2.已知A(1,2,1),B(0,1,2),C(3,1,1),若平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1),则n=( )
A. B.
C. D.
3.如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面ADE,AC=CD=AE=DE=,AD=2,F为DE的中点.试建立恰当的空间直角坐标系,并求出平面EAF、平面ACF的一个法向量.
题组二 空间中直线、平面的平行问题
4.已知直线l的方向向量为a=(1,2,-2),平面α的法向量为n=(2,4,m),若l∥α,则m等于( )
A.5 B.2 C. D.-4
5.已知e1,e2,e3为空间内三个不共面的向量,平面α和平面β的法向量分别为a=e1+λe2+3e3和b=-e1+2e2+μe3,若α∥β,则λ+μ=( )
A.5 B.-5 C.3 D.-3
6.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是( )
A.m=(3,-1,0),n=(-1,0,2)
B.m=(-2,1,4),n=(2,0,1)
C.m=(2,9,7),n=(-2,0,-1)
D.m=(1,-2,3),n=(0,3,1)
题组三 空间中直线、平面的垂直问题
7.(教材习题改编)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则l1与l2的位置关系是( )
A.l1⊥l2 B.l1∥l2
C.l1、l2相交但不垂直 D.不能确定
8.已知直线l的方向向量为a=(1,2,m),平面α的法向量为b=(2,n,2),若l⊥α,则m+n=( )
A.-1 B.0 C.2 D.5
9.某三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为三角形A1B1C1,若∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
能力提升练
题组一 用空间向量研究平行、垂直问题
1.(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=2,P,Q,R分别是AB,BB1,A1C上的动点,下列结论正确的是( )
A.对于任意给定的点P,存在点Q使得D1P⊥CQ
B.对于任意给定的点Q,存在点R使得D1R⊥CQ
C.当AR⊥A1C时,AR⊥D1R
D.当A1C=3A1R时,D1R∥平面BDC1
2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E,F分别为A1C1和BC的中点.求证:
(1)平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)C1F∥平面ABE.
题组二 用空间向量解决立体几何中的探索性问题
3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD.
(1)求证:CD⊥平面PAC;
(2)在侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD 若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.
4.如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,底面BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形,AB=BD,E是线段AC上一点.
(1)若E为AC的中点,求直线AC与平面BDE所成角的正弦值;
(2)是否存在点E,使得平面BDE⊥平面ADC 若存在,请指出点E的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
基础过关练
1.C 2.C 4.A 5.B 6.B 7.A 8.D
1.C 依题意,得直线l的一个方向向量为=(3,1,1)-(1,0,-2)=(2,1,3).故选C.
2.C ∵A(1,2,1),B(0,1,2),C(3,1,1),
∴=(-1,-1,1),=(3,0,-1),
∵平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1),
∴解得
∴n=.故选C.
3.解析 取AD的中点O,连接OE,OC,∵AC=CD=AE=DE,∴AD⊥OC,AD⊥OE,∵AB⊥平面ADE,OE 平面ADE,∴AB⊥OE,又AB,AD 平面ABCD,AB∩AD=A,∴OE⊥平面ABCD,又OC 平面ABCD,∴OE⊥OC,因此OA,OE,OC两两垂直,故建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
由题意可知A(1,0,0),F,C(0,0,1),∴=,=(-1,0,1),
设平面ACF的法向量为n=(x,y,z),
则即令z=1,得x=1,y=3,∴平面ACF的一个法向量为n=(1,3,1).
显然=(0,0,1)是平面EAF的一个法向量.
解题模板
利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a,b,其中a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(3)利用建立关于x,y,z的方程组.
(4)解方程组,取其中的一组解,即得法向量(注:一个平面的法向量不是唯一的).
4.A 因为l∥α,且直线l的方向向量为a=(1,2,-2),平面α的法向量为n=(2,4,m),
所以a⊥n,即a·n=0,则1×2+2×4+(-2)×m=0,解得m=5.故选A.
5.B ∵e1,e2,e3为空间内三个不共面的向量,∴{e1,e2,e3}可以作为空间的一个基底,
又平面α和平面β的法向量分别为a=e1+λe2+3e3和b=-e1+2e2+μe3,且α∥β,∴a∥b,
设a=tb,t∈R,则e1+λe2+3e3=t(-e1+2e2+μe3),
∴解得∴λ+μ=-5.故选B.
6.B 根据题意,要使l∥α,则m·n=0,由此分析选项.
对于A,m·n=-3≠0,不符合题意;对于B,m·n=-4+0+4=0,符合题意;对于C,m·n=-11≠0,不符合题意;对于D,m·n=-3≠0,不符合题意.故选B.
7.A 由题意得a·b=-2+6-4=0,∴a⊥b,故l1⊥l2.
故选A.
8.D 因为l⊥α,所以a∥b,则有==,
解得m=1,n=4,故m+n=5.故选D.
9.证明 证法一:以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,).∵D为BC的中点,∴点D的坐标为(1,1,0),∴=(1,1,0),=(0,0,),=(-2,2,0),∴·=1×(-2)+1×2+0×0=0,·=0×(-2)+0×2+×0=0,∴⊥,⊥,∴BC⊥AD,BC⊥AA1.又A1A,AD 平面A1AD,A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.又BC 平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证法二:同证法一建系后,得C1(0,1,),=(0,0,),=(1,1,0),=(-2,2,0),=(0,-1,).设平面A1AD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面BCC1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2).
由得
令y1=-1,则x1=1,z1=0,∴n1=(1,-1,0).
由得
令y2=1,则x2=1,z2=,∴n2=.
∵n1·n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2.
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
能力提升练
1.ABD 如图所示,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),B(2,2,0).
设P(2,a,0),Q(2,2,b),a∈[0,2],b∈[0,2],
设=λ,λ∈[0,1],可得R(2-2λ,2λ,2-2λ).
=(2,a,-2),=(2,0,b),·=4-2b,当b=2时,D1P⊥CQ,故A正确;
=(2-2λ,2λ,-2λ),·=2(2-2λ)-2λb,取λ=,此时D1R⊥CQ,故B正确;
当AR⊥A1C时,·=(-2λ,2λ,2-2λ)·(-2,2,-2)=4λ+12λ-4+4λ=0,解得λ=,
此时·=·=-≠0,故C错误;
当A1C=3A1R时,λ=,则R,=,=(-2,-2,0),=(0,2,2),设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),
则即取y=-1,得x=,z=,∴n=(,-1,),故·n=0,
又D1R 平面BDC1,∴D1R∥平面BDC1,故D正确.
故选ABD.
2.证明 由题意知,,两两互相垂直.以B为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.(图略)
设BC=a,AB=b,BB1=c,a>0,b>0,c>0,则B(0,0,0),A(0,b,0),C1(a,0,c),F,E.
(1)易得=(0,-b,0),=.
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=2,则y=0,z=-,∴n=.
易知平面B1BCC1的一个法向量为(0,1,0),记n'=(0,1,0).∵n·n'=2×0+0×1+×0=0,∴平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)易得=,
由(1)知平面ABE的一个法向量为n=,
∵n·=2×+0×0+×(-c)=0,且C1F 平面ABE,∴C1F∥平面ABE.
3.解析 因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.
又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD,又AB 平面ABCD,所以PA⊥AB.
由AD∥BC,∠ABC=90°得∠BAD=90°,
所以AB,AD,AP两两垂直.以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
(1)证明:因为=(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),所以·=0,·=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD.
又因为AP∩AC=A,AP,AC 平面PAC,
所以CD⊥平面PAC.
(2)存在.当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.
证明如下:设侧棱PA的中点是E,
则E,=.
设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则
因为=(-1,1,0),=(0,2,-1),
所以取x=1,则y=1,z=2,
所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).
所以n·=(1,1,2)·=0,所以n⊥.
因为BE 平面PCD,所以BE∥平面PCD.
故当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.
4.解析 不妨设AB=2,在平面BCD中作BF⊥BD,以BF,BD,BA所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则B(0,0,0),A(0,0,2),D(0,2,0),C(1,1,0).
(1)易得=(-1,-1,2),=(0,2,0).因为E是AC的中点,
所以点E的坐标为,
所以=,
设p=(x,y,z)是平面BDE的法向量,则
即取x=2,则y=0,z=-1,
所以平面BDE的一个法向量为p=(2,0,-1).
所以|cos<,p>|===,
所以直线AC与平面BDE所成角的正弦值为.
(2)存在,当=2时,平面BDE⊥平面ADC.
证明如下:假设存在点E使得平面BDE⊥平面ADC,设=λ.
显然=(-1,1,0),=(-1,-1,2).
设m=(x1,y1,z1)是平面ADC的法向量,
则即取x1=1,则y1=1,z1=1,
所以平面ADC的一个法向量为m=(1,1,1).
因为=λ,所以点E的坐标为,
所以=,=(0,2,0).
设n=(x2,y2,z2)是平面BDE的法向量,
则即
取x2=1,则y2=0,z2=-,所以平面BDE的一个法向量为n=.
因为平面BDE⊥平面ADC,所以m⊥n,即m·n=0,即1-=0,解得λ=2.
所以当=2时,平面BDE⊥平面ADC.
7
