(共23张PPT)
1.倾斜角的定义:当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的
角α叫做直线l的倾斜角.
当直线与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,它的倾斜角为90°.
2.直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情
况分类讨论.注意:直线倾斜角α的取值范围是 0°≤α<180°.
2.1 直线的倾斜角与斜率
知识点 1 直线的倾斜角
必备知识 清单破
1.若直线l的倾斜角为α,则α=90°时,直线l的斜率不存在;α≠90°时,直线l的斜率k=tan α.
2.斜率与倾斜角的对应关系
知识点 2 直线的斜率
α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α
<180°
k=0 k>0 k不存在 k<0
3.已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,则直线l的斜率不存在;若x1≠x2,则直线l的斜率 k
= .
注意:若已知两点的横坐标中含有参数,则要对参数进行分类讨论,分类的依据便是“两
点的横坐标是否相等”.
4.直线的方向向量与斜率的关系
(1)当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为(1,k);
(2)当直线的一个方向向量为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k= .
两条直线(不重合)平行的判定如下表:
知识点 3 两条直线平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°
对应关系 l1∥l2 = 两直线的斜率都
不存在 l1∥l2
图示
注意:若l1,l2重合,则仍有 = 或l1,l2的斜率均不存在.
两条直线垂直的判定如下表:
知识点 4 两条直线垂直的判定
图示
对应 关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)
=-1 l1的斜率不存在,l2的斜率为0
l1⊥l2
知识辨析
1.不同直线的倾斜角一定不相同吗
2.直线的斜率k一定随着倾斜角α的增大而增大吗
3.若两直线(不重合)平行,则两直线的倾斜角一定相等吗 反之呢
4.若两直线(不重合)的斜率相等,则两直线平行,正确吗 反之呢
5.设直线l1的斜率为k1,直线l2垂直于直线l1,则直线l2的斜率为- ,此结论正确吗
一语破的
1.不一定.由倾斜角的定义可以知道,任何一条直线都有唯一的倾斜角,但是不同直线的倾斜
角有可能相同,如两条平行直线的倾斜角是相同的.
2.不一定.k=tan α 在α∈ 和α∈ 时均单调递增,但在α∈ ∪ 时,k=
tan α不单调.
3.一定;反之亦成立.
4.正确;反之不正确.若两直线(不重合)的斜率相等,则两直线的倾斜角必相等,两直线必定平
行;若两直线(不重合)平行,则两直线的斜率相等或均不存在.
5.错误.若两直线l1,l2的斜率均存在,则结论正确;若直线l1的斜率k1=0,则两直线垂直时,直线l2的
斜率不存在.
定点 1 倾斜角与斜率的关系及应用
关键能力 定点破
直线的倾斜角与斜率的关系
(1)当直线的倾斜角α满足0°≤α<90°时,斜率非负,倾斜角越大,斜率越大;
(2)当直线的倾斜角α满足90°<α<180°时,斜率为负,倾斜角越大,斜率越大;
(3)k=tan α 0≤α<π,α≠ 的图象如图所示.
由斜率k的范围截取函数图象,进而得到倾斜角α的范围;反过来,由倾斜角α的范围截取函
数图象,进而得到斜率k的范围.
典例 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的倾斜角α的取值范围;
(2)求直线l的斜率k的取值范围.
思路点拨：作出图形并观察 计算“边界直线”的斜率 得“边界直线”的倾斜角
根据倾斜角定义及斜率的变化趋势求解.
解析：如图,由题意可知kPA= =-1,kPB= =1.
(1)由图可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括直线PB与PA的倾斜角),又
直线PB的倾斜角是 ,直线PA的倾斜角是 ,∴直线l的倾斜角α的取值范围是 ≤α≤ .
(2)根据倾斜角与斜率的关系知,直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.
易错警示：本题易错误地认为-1≤k≤1,由 ≤α≤ ,利用函数k=tan α(0≤α<π)的图象(如图
所示)得到k的取值范围应是k≤-1或k≥1.
1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即
kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或直线AB与BC
或直线AC与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B或C),所以点A,B,C在同一条直线上.
注意:若点A,B,C确定的三条直线AB,AC,BC中,任意两条直线的倾斜角都为90°,且这两条
直线有公共点,则A,B,C三点共线.
2.形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义(过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜
率),借助图形,将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题,从而简化运算过程.
定点 2 直线斜率的应用
典例 已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求 的最大值和最小值.
思路点拨： 的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线
的斜率,结合图形求出斜率的最大值和最小值即可.
解析： 的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线的斜
率.
对于y=x2-2x+2,当x=-1时,y=5;当x=1时,y=1.
设点(-1,5)为B,点(1,1)为A,点(-2,-3)为P,如图所示.
由图可知,当直线经过点P(-2,-3)和B(-1,5)时,斜率最大;当直线经过点P(-2,-3)和A(1,1)时,斜率
最小.
又kPA= = ,kPB= =8,
所以 的最大值为8,最小值为 .
1.判断两条不重合的直线是否平行的方法
(1)利用直线的斜率判断:
(2)利用直线的方向向量判断:分别求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,得到两
直线是否平行的结论.
定点 3 两条直线平行、垂直的判断方法
2.判断两条直线是否垂直的方法
(1)利用直线的斜率判断:在两条直线都有斜率的前提下,看它们的斜率之积是否等于-1即可.
特别地,当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直.
(2)利用直线的方向向量判断:设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2 n⊥m
n·m=0.
典例 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形
状.
思路点拨：作出图形,计算各边所在直线的斜率,判断对边是否平行、邻边是否垂直,进而得
出结论.
解析：A,B,C,D四点在平面直角坐标系中的位置如图所示.
易得kAB= = ,kCD= = ,kAD= =-3,kBC= =- .
因为kAB=kCD,且AB与CD不重合,
所以AB∥CD.
因为kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.
因为kAB·kAD= ×(-3)=-1,所以AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形.
利用平行、垂直关系求待定参数的值或范围
(1)作出示意图,确定问题中的平行、垂直关系,利用斜率、方向向量等条件列出相关方程
(组)并求解.
(2)充分分析图形特征,有多种情况的,要分类依次求解.
(3)解题时要注意考虑斜率不存在的情况.
定点 4 两条直线平行、垂直的应用
典例 (1)已知 ABCD的三个顶点分别为A ,B ,C ,则点D的坐标为
.
(2)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四边形ABCD为直角梯
形,求m和n的值.
思路点拨： (1)思路一:设出点D的坐标,根据AB∥CD,AD∥BC,利用斜率相等列方程组求解.
思路二:设出点D的坐标,根据 = ,利用向量的坐标列方程组求解.
(2)分析直角顶点的位置,利用两底边平行、直角腰与底边垂直求解.
解析： (1)解法一:设点D的坐标为(m,n).由题意知,AB∥CD,AD∥BC,且直线AB,CD,AD,BC的
斜率均存在,
∴kAB=kCD,kAD=kBC,
∴ 化简,得
解得 ∴点D的坐标为 .
解法二:设点D的坐标为(m,n).
由题意知, = .
易得 = , = ,
∴ 解得
∴点D的坐标为 .
(2)当AB∥CD,AB⊥AD时,由图a可知,A(2,-1).∴m=2,n=-1.
图a
图b
当AD∥BC,AD⊥AB时,由图b可知, 即
解得m= ,n=- .
综上,m=2,n=-1或m= ,n=- .
易错警示 由几何图形的特征求顶点坐标时,注意判断图形是否唯一,防止遗漏.2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
基础过关练
题组一 两条直线平行
1.下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等,则两直线平行;
②若两直线平行,则两直线斜率相等;
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交;
④若两直线的斜率都不存在,则两直线平行.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.(教材习题改编)若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点A(2,-1),B(-3,4),则直线l1与l2的位置关系是( )
A.垂直 B.平行
C.重合 D.平行或重合
3.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为a=(-5,5)的直线平行,则实数m的值是( )
A. B.- C.2 D.-2
题组二 两条直线垂直
4.若直线l1过点(1,1),(2,-1),直线l2过点(2,1),(x,3),且l1⊥l2,则x等于( )
A.1 B.-2 C.6 D.-1
5.(教材习题改编)判断下列各题中直线l1与l2是否平行或垂直:
(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);
(2)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5);
(3)l1经过点A(-3,-4),B(1,3),l2经过点M(-4,-3),N(3,1);
(4)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过点M(-10,40),N(10,40).
题组三 两条直线平行和垂直的应用
6.已知直线l的倾斜角为20°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则直线l1与l2的倾斜角分别是( )
A.20°,20° B.70°,70°
C.20°,110° D.110°,20°
7.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,如果O,A,B,C四点共圆,那么y的值是( )
A.19 B. C.5 D.4
8.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为 .
9.已知l1,l2不重合,直线l1经过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-,若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为 .
10.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1∥l2,则b= .
11.已知直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,其中l1∥l2,且k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,则k1+k2+k3的值为 .
能力提升练
题组一 直线的平行与垂直
1.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若AB⊥CD,则m的值为( )
A.1 B.2 C.±1 D.-2
2.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 023,2 024)与点(m,n)重合,则m+n=( )
A.1 B.2 025 C.4 047 D.4 049
3.(多选题)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则以下可能成立的有( )
A.b=a3
B.b=a3+
C.∠AOB=90°
D.|b-a3|+b-a3-=0
4.在平面直角坐标系Oxy中,四边形OPQR的顶点分别为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0且t≠.试判断四边形OPQR的形状.
题组二 直线平行与垂直的综合应用
5.光线从点A(-3,4)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),则光线BC所在直线的斜率是 .
6.(教材习题改编)某县相邻两镇在同一平面直角坐标系中的位置分别为A(-3,-4),B(6,3),交通枢纽的位置为C(0,-1),计划经过C修建一条马路l(l看成一条直线,l的斜率为k).若A,B两个镇到马路l的距离相等,则k= ;若A,B两个镇位于马路l的两侧,则k的取值范围为 .
7.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标.
(1)∠MOP=∠OPN(O是坐标原点);
(2)∠MPN是直角.
8.如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长为AD,宽为AB,且|AD|=5 m,|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问在BC上能否找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直
答案与分层梯度式解析
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
基础过关练
1.A 2.D 3.B 4.C 6.C 7.B
1.A ①不正确,两直线可能平行或重合;②不正确,当两直线平行时,两直线的斜率相等或均不存在;③正确,两直线的倾斜角不相等,则一定相交;④不正确,两直线也可能重合.故选A.
2.D 由题意得,直线l1的斜率为tan 135°=-1,直线l2的斜率为=-1,∴直线l1与l2平行或重合.
3.B 方向向量为a=(-5,5)的直线的斜率为=-1,因此直线PQ的斜率为=-1,解得m=-.经检验,m=-符合题意,故选B.
易错警示 当两直线的斜率都存在时,由两直线平行可以推出两直线的斜率相等;但由两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合.解题时要注意验证.
4.C 由题意可知直线l1的斜率为=-2,直线l2的斜率为=,∵l1⊥l2,∴(-2)×=-1,解得x=6.故选C.
5.解析 (1)易知两直线的斜率都存在,
且==1,==.
由≠,≠-1,得l1与l2既不平行也不垂直.
(2)l1与l2都与x轴垂直,且l1与l2不重合,所以l1与l2平行.
(3)易知两直线的斜率都存在,且==,==,
由≠,≠-1,得l1与l2既不平行也不垂直.
(4)易知l1与x轴垂直,l2与y轴垂直,故l1与l2垂直.
6.C ∵l1∥l,∴直线l1的倾斜角与直线l的倾斜角相等,即为20°.∵l2⊥l,∴直线l2向上的方向与x轴的非正半轴成70°角,因此直线l2的倾斜角为110°.
7.B 由于A,B,C,O四点共圆,所以四边形OABC的对角互补,所以AB⊥BC,∴kAB·kBC=-1,即·=-1,∴y=.故选B.
8.答案 -1
解析 若a=3-b,则P,Q两点重合,不合题意,故直线PQ的斜率存在.由kPQ==1,得线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.
9.答案 -10
解析 由题意可得,直线l1的斜率为,且=-2,解得m=-8.
由于直线l3的斜率为-,l2⊥l3,所以-2×=-1,解得n=-2.所以m+n=-10.
10.答案 -
解析 当l1∥l2时,k1=k2,故关于k的一元二次方程2k2-3k-b=0有两个相等的实根,
所以Δ=(-3)2-4×2×(-b)=0,解得b=-.
11.答案 1或
解析 因为k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,所以或
又l1∥l2,所以k1=k2,
所以k1+k2+k3=1或k1+k2+k3=.
能力提升练
1.C 2.C 3.AB
1.C 因为A,B两点的纵坐标不等,所以直线AB与x轴不平行,因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,故m≠-3.
当直线AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1,而当m=-1时,C,D两点的纵坐标均为-1,所以直线CD∥x轴,此时AB⊥CD,满足题意.
当直线AB与x轴不垂直时,由斜率公式得kAB==,kCD==.因为AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,解得m=1.
综上,m的值为1或-1.
2.C 记(2,0),(-2,4)分别为A,B,则kAB==-1.
由题意知,过点(2 023,2 024)和点(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得m+n=2 023+2 024=4 047.故选C.
3.AB 由题意知a≠0,b≠0.若O为直角顶点,则B在x轴上,则a必为0,此时O,B重合,不符合题意,故C错误;若A为直角顶点,则b=a3,故A正确;若B为直角顶点,则OB⊥AB,故kOB·kAB=-1,即a2·=-1,所以a(a3-b)=-1,即b=a3+,故B正确;b=a3和b=a3+不可能同时成立,所以|b-a3|+b-a3-=0不可能成立,故D错误.故选AB.
4.解析 当t>0且t≠时,由斜率公式,得kOP==t,kQR===t,kOR==-,kPQ===-,kOQ=,kPR=.
∴kOP=kQR,kOR=kPQ,∴OP∥QR,OR∥PQ,
∴四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,∴OP⊥OR,四边形OPQR为矩形.
令kOQ·kPR=-1,得·=-1,无实数解,∴OQ与PR不垂直,
∴四边形OPQR为矩形.
5.答案
解析 设B(a,0),C(0,b),过点B,C分别作x轴,y轴的垂线交于点E,如图,
则∠E=90°,所以∠ECB+∠EBC=90°,
所以2∠ECB+2∠EBC=180°,
由反射角等于入射角,得∠EBC=∠ABE,∠DCE=∠BCE,所以∠DCB+∠ABC=180°,
所以AB∥CD,故kAB=kCD,即=,得ab-6a+3b-14=0,
又由反射角等于入射角,可得直线AB的倾斜角与直线BC的倾斜角互补,所以kAB=-kBC,即=-,即ab+4a+3b=0,
联立解得
故B,C,所以kBC==.
6.答案 或;∪(1,+∞)
解析 若A,B两个镇到马路l的距离相等,则有两种情况:当l与直线AB平行时,k==;当l与直线AB相交时,直线l过线段AB的中点,又线段AB的中点为,所以k==.故k=或k=.易得kAC==1,kBC==,若A,B两个镇位于马路l的两侧,则k的取值范围为∪(1,+∞).
7.解析 设P(x,0).
(1)因为∠MOP=∠OPN,所以OM∥NP,由题知直线OM的斜率存在,所以kOM=kNP,且x≠5.又kOM==1,kNP==,所以1=,所以x=7,即点P的坐标为(7,0).
(2)因为∠MPN=90°,所以MP⊥NP,根据题意知直线MP,NP的斜率均存在,所以x≠2且x≠5,所以kMP·kNP=-1.又kMP=,kNP=,所以×=-1,解得x=1或x=6,即点P的坐标为(1,0)或(6,0).
8.解析 以点B为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系.则C(5,0),D(5,3),A(0,3).由题可设M(x,0),07第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
基础过关练
题组一 直线的倾斜角与斜率
1.(多选题)在下列四个命题中,错误的有( )
A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π)
C.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α
D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α
2.直线y=的倾斜角为( )
A.0° B.60° C.90° D.180°
3.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
4.已知直线l经过两点(0,0),(0,1),直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是( )
A.0 B.1 C.-2 D.不存在
5.已知直线l的斜率为k,倾斜角为α,若45°<α<135°,则k的取值范围为 .
6.过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(-2,1),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角的范围为 .
题组二 直线的斜率公式及其应用
7.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( )
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
8.已知直线l的一个方向向量为=(2,-2),则直线l的斜率为( )
A.- B.-
C. D.
9.直线l1,l2,l3如图所示,它们的斜率依次为k1,k2,k3,则下列结论正确的是( )
A.k1>k2>k3
B.k3>k1>k2
C.k2>k1>k3
D.k2>k3>k1
10.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为 .
11.(教材习题改编)已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1).
(1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角
(2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗
能力提升练
题组一 直线的倾斜角与斜率
1.已知两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α,β.若α<β,则下列关系不可能成立的是( )
A.0C.k22.过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是( )
A.(0,2] B.(0,4)
C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4)
3.已知点A(2,1),B(-2,2),若直线l过点P且总与线段AB有交点,则直线l的斜率k的取值范围是 .
4.已知A(a+2,a),B(1,-a),C(a-4,a-1)三点构成一个三角形,则实数a的取值范围是 .
题组二 直线斜率的综合应用
5.已知点A(-1-,-1),B(3,0),若点M(x,y)在线段AB上,则的取值范围是( )
A.∪[,+∞) B.
C.[-1,] D.
6.台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边,然后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为 .
7.足球是一项很受欢迎的体育运动.如图,某标准足球场的底线宽为AB,球门宽为EF,且|AB|=72码,|EF|=8码(码是英制单位,1码≈0.914 4米),球门位于底线的正中位置.在比赛过程中,攻方球员带球运动时,往往需要找到一点P,使得∠EPF最大,这时候点P就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O处(|OA|=|AB|,OA⊥AB)时,根据场上形势判断,有O→A,O→B两条进攻路线可供选择.
(1)若选择路线O→A,则甲带球多少码时,到达最佳射门位置
(2)若选择路线O→B,则甲带球多少码时,到达最佳射门位置
答案与分层梯度式解析
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
基础过关练
1.ACD 2.A 3.D 4.B 7.A 8.B 9.C
1.ACD 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角,但倾斜角为90°的直线没有斜率,故A中命题错误;直线的倾斜角的取值范围是[0,π),故B中命题正确;C中命题错误,如直线的斜率为tan时,其倾斜角为;D中命题错误,如α=90°时直线的斜率不存在.故选ACD.
2.A ∵直线y=的斜率为0,∴其倾斜角为0°.
故选A.
3.D 如图所示,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°.
4.B ∵直线l经过两点(0,0),(0,1),∴直线l的倾斜角为90°,又直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍,∴直线m的倾斜角为45°,其斜率km=tan 45°=1.故选B.
5.答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 由45°<α<135°可知,k>tan 45°=1或k方法点拨 由倾斜角确定斜率的范围时,注意倾斜角中若含90°,则以90°为“分界线”,把斜率的范围分为“两部分”.
6.答案
解析 如图,kPB==,kPA==-1,所以直线PB,PA的倾斜角分别为,.
设直线l的倾斜角为θ,因为直线l经过点P(0,-1),且与线段AB总有公共点,所以≤θ≤.
7.A 由题意得=1,解得m=1.
8.B 因为直线l的一个方向向量为=(2,-2),所以其斜率kl==-.故选B.
解题技巧 由斜率为k的直线的方向向量为(1,k),知直线的方向向量为(x,y)时,其斜率k=.
9.C 易知k=tan α,作出正切函数y=tan x在[0,π)上的图象如图.
由题图知直线l3的倾斜角为钝角,对应所作的图象可知k3<0;
直线l1与l2的倾斜角都为锐角,且l2的倾斜角大于l1的倾斜角,则k2>k1>0,故k2>k1>k3.故选C.
10.答案 (3,0)或(0,-3)
解析 若点P在x轴上,设点P的坐标为(x,0),易知x≠2,则=tan 45°=1,解得x=3,即P(3,0).若点P在y轴上,设点P的坐标为(0,y),则=tan 45°=1,解得y=-3,即P(0,-3).
综上,点P的坐标为(3,0)或(0,-3).
11.解析 (1)若倾斜角为锐角,则斜率大于0,
即kMN==>0,解得m>-2.
(2)若倾斜角为钝角,则斜率小于0,
即kMN==<0,解得m<-2.
(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角,此时m+3=m-2,此方程无解,故直线MN的倾斜角不可能为直角.
能力提升练
1.C 2.B 5.A
1.C 当0<α<β<时,02.B 设过点A(2,1),B(m,3)的直线为l.当直线l的倾斜角α的取值范围是∪时,直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞),即<
-1或>1,解得0综上,实数m的取值范围是(0,4).故选B.
3.答案 ∪
解析 设过点P且垂直于x轴的直线交线段AB于点C,如图所示.
当直线l由PA的位置绕点P转动到PC的位置时,l的斜率由kPA逐渐增大至+∞,此时k≥kPA==;当直线l由PC的位置绕点P转动到PB的位置时,l的斜率为负值,且由-∞逐渐增大至kPB,此时k≤kPB==-.
综上所述,直线l的斜率k的取值范围是∪.
4.答案 ∪
解析 因为A(a+2,a),B(1,-a),C(a-4,a-1),所以kAC==.当a+2=1,即a=-1时,A(1,-1),B(1,1),C(-5,-2),则直线AB的斜率不存在,此时A,B,C三点能构成一个三角形;当a+2≠1,即a≠-1时,kAB=,要使A,B,C三点能构成一个三角形,则kAB≠kAC,即≠,解得a≠.综上可得,实数a的取值范围为∪.
5.A 易知表示线段AB上的点(x,y)与点(-1,2)连线的斜率.设Q(-1,2),则kQA==,kQB==-,结合图形(图略)可知的取值范围为∪[,+∞).故选A.
6.答案
解析 设P(x,0).易知A点关于x轴对称的点A'的坐标为(-2,-3),则kA'P==,kA'B==.易知A',B,P三点共线,∴kA'P=kA'B,即=,解得x=,故点P的坐标为.
解题模板 求解光线的反射问题通常用到对称的知识,若A点经x轴上的P点反射至B点,则A点关于x轴的对称点A'与P,B共线,此直线为反射线所在直线;B点关于x轴的对称点B'与P,A共线,此直线为入射线所在直线.
7.解析 (1)若选择路线O→A,设|AP|=t,其中0tan∠APE==,tan∠APF==,
所以tan∠EPF=tan(∠APF-∠APE)
=
===≤=,
当且仅当t=,即t=16时,等号成立,
此时|OP|=|OA|-|AP|=(72-16)码.
由题意知∠EPF∈,因为函数y=tan x在上单调递增,所以tan∠EPF最大时,∠EPF最大,
所以若选择路线O→A,则甲带球(72-16)码时,到达最佳射门位置.
(2)若选择路线O→B,设线段EF的中点为N,以N为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(-36,0),O(36,72),F(-4,0),E(4,0),
则kOB==1,则∠OBA=45°,
过P作x轴的垂线,垂足为M,根据三角形相似可设点P(x,x+36),其中-36当x≠±4时,tan∠AFP=kPF=,tan∠AEP=kPE=,
所以tan∠EPF=tan(∠AEP-∠AFP)
=
===,
令m=x+36,则m∈(0,72],x=m-36,
所以(x+36)+=m+=2m+-72≥2-72=32-72,
当且仅当2m=,即m=8,即x=8-36时等号成立,
所以tan∠EPF=≤=,当且仅当x=8-36时等号成立,
此时|OP|=|36-(8-36)|=72-16;
当x=4时,P(4,40),tan∠EPF===;
当x=-4时,P(-4,32),tan∠EPF===.
由题意知∠EPF∈,因为函数y=tan x在上单调递增,所以tan∠EPF最大时,∠EPF最大,
所以若选择路线O→B,则甲带球(72-16)码时,到达最佳射门位置.
7
