2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
基础过关练
题组一 直线的点斜式方程
1.经过点P(-1,0)且倾斜角为60°的直线的方程是( )
A.x-y-1=0 B.x-y+=0
C.x-y-=0 D.x-y+1=0
2.已知直线kx+y-6k+2=0恒过点P,则P的坐标为( )
A.(0,-2) B.(-2,0) C.(6,-2) D.(-6,2)
3.直线l:y=2x-1绕着点A(1,1)逆时针旋转后与直线l1重合,则l1的斜截式方程是 .
4.已知平面内两点A(6,-6),B(2,2).
(1)求过点P(2,-3)且与直线AB平行的直线l的方程;
(2)求过点P(2,-3)且与直线AB垂直的直线m的方程.
题组二 直线的斜截式方程
5.在平面直角坐标系Oxy中,在y轴上的截距为-1且倾斜角为的直线方程为( )
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0 D.x-y-1=0
6.若直线y=ax+c经过第一、二、三象限,则有( )
A.a>0,c>0 B.a>0,c<0 C.a<0,c>0 D.a<0,c<0
7.(教材习题改编)已知直线l经过点A(-2,1),B(3,-3),求直线l的方程,并求直线l在y轴上的截距.
题组三 直线的点斜式、斜截式方程的应用
8.(多选题)对于直线l:x=my+1,下列说法错误的是( )
A.直线l恒过定点(1,0)
B.直线l的斜率必定存在
C.m=2时,直线l与两坐标轴围成的三角形面积为
D.m=时,直线l的倾斜角为60°
9.已知直线l1:y=2x+3a,l2:y=(a2+1)x+3,若l1∥l2,则实数a= .
10.在平行四边形ABCD中,
A(-1,2),B(1,3),C(3,-1),E是线段BC的中点.
(1)求直线CD的方程;
(2)求过点A且与直线DE垂直的直线.
答案与分层梯度式解析
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
基础过关练
1.B 2.C 5.A 6.A 8.BD
1.B 由题知斜率k=tan 60°=,∴所求直线的方程是y-0=(x+1),即为x-y+=0.故选B.
解后反思 点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但直线x=x0除外.
2.C 由kx+y-6k+2=0,得y-(-2)=-k(x-6),所以P的坐标为(6,-2).故选C.
3.答案 y=-3x+4
解析 易知点A(1,1)在直线l上.设直线l的倾斜角为α,则tan α=2,则tan==-3,所以直线l1:y-1=-3(x-1),化成斜截式为y=-3x+4.
4.解析 (1)因为A(6,-6),B(2,2),所以kAB==-2,因为直线l与直线AB平行,所以kl=kAB=-2,又直线l过点P(2,-3),所以直线l的方程为y+3=-2(x-2),即2x+y-1=0.
(2)由(1)知kAB=-2.
因为直线m与直线AB垂直,所以km=-=,
又直线m过点P(2,-3),
所以直线m的方程为y+3=(x-2),即x-2y-8=0.
5.A 由题意可得,直线的斜率k=tan=-1,故所求的直线方程为y=-x-1,即x+y+1=0.故选A.
6.A ∵直线y=ax+c经过第一、二、三象限,∴直线的斜率a>0,在y轴上的截距c>0.
7.解析 依题意知,直线l的斜率k==-,
则直线l的方程为y-1=-(x+2),即4x+5y+3=0,当x=0时,y=-,所以直线l的方程为4x+5y+3=0,直线l在y轴上的截距为-.
8.BD 直线l:x=my+1 m(y-0)=x-1,恒过定点(1,0),A中说法正确;m=0时,直线l:x=1垂直于x轴,其倾斜角为90°,斜率不存在,B中说法错误;m=2时,直线l:x=2y+1与x轴、y轴分别交于点(1,0),,此时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为×1×=,C中说法正确;m=时,直线l:x=y+1的斜率k=,因此其倾斜角为30°,D中说法错误.故选BD.
9.答案 -1
解析 因为l1∥l2,所以=,即2=a2+1,即a2=1,所以a=±1.经检验,a=1时,l1与l2重合,不合题意,所以a=-1.
10.解析 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴直线CD的斜率等于直线AB的斜率,为=,故直线CD的方程为y+1=(x-3),即x-2y-5=0.
(2)∵E是线段BC的中点,∴E(2,1).根据(1)中求得的直线CD的方程,可设D(2m+5,m),在平行四边形ABCD中,AD∥BC,易知直线BC的斜率存在,则kAD=kBC,即=,解得m=-2,故D(1,-2),故直线DE的斜率为=3.故过点A且与直线DE垂直的直线的斜率为-,其方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.
72.2.2 直线的两点式方程
基础过关练
题组一 直线的两点式方程
1.过点A(5,6)和点B(-1,2)的直线的两点式方程是( )
A.= B.=
C.= D.=
2.已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为( )
A.- B. C.- D.
3.已知直线l经过(-2,-2),(2,4)两点,点(1 348,m)在直线l上,则m的值为( )
A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024
4.已知A(3,2),B(-2,3),C(4,5),则△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为( )
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x+y-5=0 D.x-y-5=0
题组二 直线的截距式方程
5.在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是( )
A.4x+3y-12=0 B.4x-3y+12=0
C.4x+3y-1=0 D.4x-3y+1=0
6.经过点M(1,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( )
A.x+y=2 B.x+y=1 C.x=1或y=1 D.x+y=2或y=x
7.已知直线mx+3y-12=0在两个坐标轴上的截距之和为7,则实数m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.已知直线l分别交x轴和y轴于A,B两点,若M(2,1)是线段AB的中点,则直线l的方程为( )
A.2x-y-3=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-4=0 D.x-2y+3=0
题组三 直线的两点式、截距式方程的应用
9.直线l经过点A(1,2),且在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是 .
10.若直线l过点A(2,3),则直线l与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积的最小值为 .
11.设直线l的方程为y=-(a+1)x+a-2(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围;
(3)若直线l交x轴正半轴于点A,交y轴负半轴于点B,O为坐标原点,记△AOB的面积为S,求S的最小值及S最小时直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
2.2.2 直线的两点式方程
基础过关练
1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.C
1.B 过点A(5,6)和点B(-1,2)的直线的两点式方程是=或=,故选B.
2.A 由题意知,直线l过点(-3,2),(0,-3),所以l的斜率为=-.
3.C 由题意知l不与x,y轴平行,故由直线l的两点式方程可得=,解得m=2 023.
一题多解 也可由直线的斜率公式得=,解得m=2 023.
4.C 由题意知边BC的中点为(1,4),记D(1,4),
∴BC边上的中线所在直线过A(3,2),D(1,4),
其方程为=,整理得x+y-5=0.故选C.
5.B 根据直线的截距式方程得直线方程为+=1,化简得4x-3y+12=0.故选B.
6.D 当直线过原点时,斜率为1,由点斜式求得直线的方程是y-1=x-1,即y=x;当直线不过原点时,设直线的方程是+=1,把(1,1)代入方程得a=2,则直线的方程是x+y=2.综上,所求直线的方程为y=x或x+y=2.故选D.
易错警示 (1)直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行的直线,也不能表示过原点的直线,解题时不要忽视截距为0的情形.
(2)直线在x,y轴上的截距分别是直线与对应坐标轴的交点的横、纵坐标,而不是“距离”.
7.C 由题意知m≠0,令x=0,得y=4,令y=0,得x=,∵直线mx+3y-12=0在两个坐标轴上的截距之和为7,∴4+=7,∴m=4,故选C.
8.C 设A点的坐标为(a,0),B点的坐标为(0,b),因为M(2,1)是线段AB的中点,所以=2,=1,所以a=4,b=2,即A点的坐标为(4,0),B点的坐标为(0,2),故直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0.故选C.
9.答案 k>或k<-1
解析 记B(-3,0),C(3,0),如图.
直线AC,AB的斜率分别为=-1,=,因为直线l过点A(1,2),且在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),所以结合图形可知k>或k<-1.
10.答案 12
解析 由题意可设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),由直线l过点A(2,3),得+=1,故1=+≥2=2,解得ab≥24,当且仅当即a=4,b=6时等号成立,故三角形面积S=ab≥×24=12,所以直线l与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积的最小值为12.
11.解析 (1)当直线l过原点时满足条件,此时a-2=0,即a=2,则直线l的方程为y=-3x.当直线l不过原点时,由直线l在两坐标轴上的截距相等可知其斜率为-1,故a+1=1,即a=0,可得直线l的方程为y=-x-2.综上所述,直线l的方程为y=-3x或y=-x-2.
(2)∵l不经过第二象限,∴
解得a≤-1.∴实数a的取值范围是(-∞,-1].
(3)对于方程y=-(a+1)x+a-2,令x=0,解得y=a-2,由题知a-2<0,解得a<2;令y=0,解得x=,由题知>0,解得a>2或a<-1.综上可得a<-1.∴S=|a-2|·=a+1+-6=3+(-a-1)+≥3+×2=6,当且仅当-a-1=,即a=-4时取等号.
∴△AOB的面积S的最小值是6,此时直线l的方程为y=3x-6.
名师点评
求直线方程时方程形式的选择技巧
(1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程时,通常选用点斜式方程.
(2)已知直线的斜率,通常选用点斜式或斜截式,再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距.
(3)已知直线在两坐标轴上的截距时,通常选用截距式方程.
(4)已知直线上两点时,通常选用两点式方程,也可选用点斜式.
7(共23张PPT)
2.2 直线的方程
知识点 1 直线的方程形式与适用条件
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式
方程形式 y-y0=k(x-x0) y=kx+b = (x1≠x2,y1≠y2) + =1(a≠ 0,b≠0) Ax+By+C=0
(A,B不同时
为0)
已知条件 直线上一定
点(x0,y0),斜率
k 斜率k,直线在
y轴上的截距
b 直线上两点(x
1,y1),(x2,y2) 直线在x轴上
的非零截距a,
直线在y轴上
的非零截距b 系数A,B,C
必备知识 清单破
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式
适用范围 不垂直于x轴
的直线 不垂直于x轴
的直线 不垂直于x轴
和y轴的直线 不垂直于x轴
和y轴,且不过
原点的直线 任何位置的
直线
注意:两点式方程不必记忆,可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率,再用点斜式写出
方程.
斜截式: l1:y=k1x+b1; l2:y=k2x+b2 一般式:
l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0);
l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)
l1,l2相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0
l1∥l2
l1,l2重合
l1⊥l2 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0
知识点 2 直线方程的斜截式、一般式与两直线的位置关系
知识辨析
1.方程k= 与y-y0=k(x-x0)表示的图形相同吗
2.直线y-3=k(x+1)是否恒过定点
3.直线l在y轴上的截距是直线l与y轴的交点到原点的距离吗
4.方程 = 和方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0表示的直线相同吗
5.直线y=kx+b就是一次函数y=kx+b的图象吗
6.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程在任何情况下都可以与一般式方程进行互
化吗
7.当A=0或B=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线
一语破的
1.不相同.方程k= 表示的图形中少了一点(x0,y0).
2.是.恒过定点(-1,3).
3.不是.直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标.
4.不一定相同.方程 = 不能表示垂直于坐标轴的直线,方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=
0表示经过两点(x1,y1),(x2,y2)的任意直线.
5.不一定.当k≠0时,y=kx+b为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数,所以只有直线方程y=kx+b
中的k≠0时,该直线才是一次函数的图象.
6.不是.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程均可以化为一般式方程,但一般式方程
转化为其他形式时,必须要在该形式的适用范围内.
7.当A=0,B≠0时,原方程可化为y=- ,它表示与y轴垂直的一条直线;
当B=0,A≠0时,原方程可化为x=- ,它表示与x轴垂直的一条直线.
定点 1 直线方程的选择和求解
关键能力 定点破
1.求直线方程时对方程形式的选择一般有以下几类:
①已知一点的坐标,一般选取点斜式方程,求解时根据其他条件确定直线的斜率.注意斜率不
存在的情况.
②已知直线的斜率,一般选用斜截式方程,求解时根据其他条件确定直线的截距.
③已知两点坐标,一般选用两点式方程或点斜式方程,若两点是与坐标轴的交点,则选用截距
式方程.
=0(A,B不同时为0,C1≠C),与其垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0(A,B不同时为0),再由直线
所过的点确定C1或C2即可.
2.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)直接法:确定已知直线的斜率,再利用平行(垂直)关系得出所求直线的斜率,最后由直线的
点斜式求方程.
(2)待定系数法:已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则与其平行的直线方程可设为Ax+By+C1
典例1 求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(5,-2),且与y轴平行;
(2)过P(-2,3),Q(5,-4)两点;
(3)过点(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数;
(4)过点(2,2)且与直线3x+4y-20=0平行或垂直.
解析：(1)与y轴平行的直线的斜率不存在.
∵所求直线经过点(5,-2),∴该直线上的点的横坐标均为5,故所求直线方程为x=5.
(2)解法一(两点式):过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线方程为 = ,整理可得x+y-1=0.
解法二(点斜式):易知过P,Q两点的直线的斜率存在,且kPQ= =-1.
∴所求直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.
(3)①当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,设直线方程为 + =1.
又过点(3,4),
∴ + =1,解得a=-1.
∴所求直线方程为 + =1,即x-y+1=0.
②当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0,即直线过原点时,设直线方程为y=kx.又过点
(3,4),
∴4=k×3,解得k= ,
∴所求直线方程为y= x,即4x-3y=0.
综上,所求直线方程为x-y+1=0或4x-3y=0.
(4)解法一:直线3x+4y-20=0的斜率为- ,故过点(2,2)且与其平行的直线方程为y-2=- (x-2),即3
x+4y-14=0;过点(2,2)且与其垂直的直线方程为y-2= (x-2),即4x-3y-2=0.
解法二:设与直线3x+4y-20=0平行、垂直的直线方程分别为3x+4y+a=0(a≠-20)和4x-3y+b=0,
把(2,2)分别代入两方程,解得a=-14,b=-2,∴所求直线方程分别为3x+4y-14=0,4x-3y-2=0.
易错警示 若题目中出现直线在两坐标轴上的截距“相等”“互为相反数”或“在一坐标
轴上的截距是其在另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,可采用截距式求直线的方程,
但一定要考虑截距为0的情况.
典例2 已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).
(1)分别求边AC和AB所在直线的方程;
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程;
(3)求AC边上的中垂线的方程;
(4)求AC边上的高所在直线的方程.
解析：(1)由截距式,得边AC所在直线的方程为 + =1,即x-2y+8=0.由两点式,得边AB所在
直线的方程为 = ,即x+y-4=0.
(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),由两点式,得中线BD所在直线的方程为 = ,即2x-
y+10=0.
(3)由(1)可知kAC= ,故AC边上的中垂线的斜率为-2.
又AC的中点坐标为(-4,2),
所以由点斜式,可得AC边上的中垂线的方程为y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0.
(4)由(1)可知kAC= ,故AC边上的高所在直线的斜率为-2.
又所求直线过点B(-2,6),
所以由点斜式,可得AC边上的高所在直线的方程为y-6=-2(x+2),即2x+y-2=0.
1.根据斜截式方程中k,b的几何意义确定对应函数的大致图象.
2.方程中含参的直线过定点类问题常用的三种方法:
①将方程化为点斜式:y-y0=k(x-x0),其中k为参数,从而求得直线恒过定点(x0,y0).
②分离参数法:将方程中的参数分离,把含x,y的关系式作为参数的系数,即有参数的放在一起,
没参数的放在一起,因为此式子在参数取任意的值时都成立,所以令参数的系数和不含参数
的式子为零,解方程组可得x,y的值,从而得到直线所过的定点的坐标.
③赋值法:因为参数取任意实数时方程都成立,所以可给参数任意赋两个值,得到关于x,y的二
元一次方程组,解方程组可得x,y的值,从而得到直线过的定点的坐标.
定点 2 利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题
典例 已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解析：(1)证明:5ax-5y-a+3=0可化为y- =a ,∴直线l的斜率为a,且过定点 .∵点
在第一象限内,
∴无论a为何值,直线l总经过第一象限.
(2)记A ,如图所示,kOA= =3.
∴要使l不经过第二象限,只需a≥kOA,
∴a≥3.
规律总结 已知方程中含参的直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0),求参数的值或取值范围的步
骤:
实际问题中,经常会遇到过定点的直线,此时可以先设出直线的点斜式方程或斜截式方
程,再综合其他知识解决问题,需要注意直线的斜率是否存在和直线在两坐标轴上的截距是
否存在、是不是0等特殊情况.
在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、线段长度等问题时,通常要先设出直线方程,再借
助其他知识(如函数、基本不等式等)解决问题.
定点 3 直线方程的应用
典例 已知O为坐标原点,直线l经过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B.
(1)求△AOB面积的最小值以及此时直线l的方程;
(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.
解析： 解法一:设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为 + =1.
因为直线l经过点P(3,2),所以 + =1.
(1)由于a>0,b>0时,1= + ≥2 =2 ,所以ab≥24,所以S△AOB= ab≥12,当且仅当 = ,
即a=6,b=4时取等号.
故△AOB面积的最小值为12,此时直线l的方程为 + =1,即2x+3y-12=0.
(2)|OA|+|OB|=a+b=(a+b) =5+ + ≥5+2 =5+2 ,
当且仅当 = 且 + =1,即a=3+ ,b=2+ 时取等号,
所以直线l的方程为 + =1,即2x+ y-6-2 =0.
解法二:依题意,直线l的斜率存在,设为k,则k<0.易得直线l的方程为y-2=k(x-3),A ,B(0,2
-3k).
(1)S△AOB= (2-3k) = 12+(-9k)+ .由于k<0,所以S△AOB≥ · 12+2 =
×(12+12)=12,
当且仅当-9k=- ,即k=- 时取等号.
故△AOB面积的最小值为12,
此时直线l的方程为y-2=- (x-3),
即2x+3y-12=0.
(2)易得|OA|=3- ,|OB|=2-3k.
因为k<0,所以-k>0,
所以|OA|+|OB|=3- +2-3k= +(-3k)+5≥2 +5=2 +5,当且仅当- =-3k,即k=-
时取等号,
所以直线l的方程为y-2=- (x-3),即2x+ y-6-2 =0.2.2.3 直线的一般式方程
基础过关练
题组一 直线的一般式方程及应用
1.(教材习题改编)过点P(-1,2)且平行于直线l:2x-y+1=0的直线方程为( )
A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0
C.2x-y=0 D.2x-y+4=0
2.直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+1=0垂直,则l的方程为( )
A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0
3.已知直线l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,直线l2的倾斜角为2θ,且直线l2在y轴上的截距为3,则直线l2的一般式方程为( )
A.x+y-3=0 B.4x-3y+9=0
C.3x-4y+3=0 D.2x+y-3=0
4.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k等于( )
A.1或3 B.5 C.3或5 D.3
5.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为( )
A.-4 B.0 C.20 D.24
6.(教材习题改编)已知点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,则当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为 .
题组二 直线方程几种形式的相互转化
7.直线3x-y-1=0的斜率k及在y轴上的截距b分别是( )
A.3,-1 B.-3,1
C.,1 D.3,1
8.无论m为何值,直线mx-y+2m+1=0所过定点的坐标为( )
A.(-2,-1) B.(2,-1)
C.(-2,1) D.(2,1)
9.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则点H的坐标为 ,直线FH的一般式方程为 .
11.已知直线(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,若它分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,则三角形AOB的面积最小时的直线的方程为 .
12.已知△ABC的三个顶点分别是A(-1,2),B(2,-2),C(3,5).
(1)求边AC上的高所在直线的一般式方程;
(2)求∠BAC的平分线所在直线的一般式方程.
能力提升练
题组 直线方程的综合应用
1.(多选题)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是( )
A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直
B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0
C.直线l过定点(0,1)
D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等
2.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线,后人将这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(0,0),B(0,2),C(-6,0),则其欧拉线的一般式方程为 ( )
A.3x+y=1 B.3x-y=1
C.x+3y=0 D.x-3y=0
3.已知直线l不过第二象限,且与直线2x+3y+5=0垂直,写出一个满足上述条件的直线l的方程: .
4.已知直线l1:y=x-k+4,直线l2:2x+k2y-4k2-4=0(k≠0),若直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,则当k>4时,四边形面积的取值范围是 .
5.已知直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B.
(1)若直线l的斜率为-2,求△AOB的面积;
(2)若△AOB的面积S满足12≤S<,求直线l的斜率k的取值范围.
6.已知直线l1,l2均过点P(1,2).
(1)若直线l1过点A(-1,3),且l1⊥l2,求直线l2的方程;
(2)如图,O为坐标原点,若直线l1的斜率为k,其中07.已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,求k的值.
答案与分层梯度式解析
2.2.3 直线的一般式方程
基础过关练
1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 7.A 8.C 9.C
1.D 设所求直线方程为2x-y+t=0(t≠1),由点P(-1,2)在直线2x-y+t=0上,得-2-2+t=0,解得t=4,即直线方程为2x-y+4=0.故选D.
2.A 由直线l与直线2x-3y+1=0垂直,可设l的方程为3x+2y+t=0,由点(-1,2)在直线3x+2y+t=0上,得-3+4+t=0,解得t=-1,因此l的方程为3x+2y-1=0.故选A.
3.B 由直线l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,可知tan θ=,∵直线l2的倾斜角为2θ,∴直线l2的斜率为tan 2θ==,∵直线l2在y轴上的截距为3,∴直线l2的方程为y=x+3,即4x-3y+9=0.故选B.
4.C ∵l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,∴-2(k-3)=2(k-3)(4-k),解得k=3或k=5.当k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0,满足直线l1与l2平行;当k=5时,l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0,满足直线l1与l2平行.∴k=3或k=5.故选C.
易错警示 已知直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0平行求参数,可令A1B2=A2B1,但是要注意检验并舍去使两直线重合的参数值.
5.A 因为直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,
所以2a+4×(-5)=0,解得a=10.把(1,c)分别代入两直线的方程,得a+4c-2=0,2-5c+b=0,解得c=-2,b=-12.所以a+b+c=-4.故选A.
方法点拨 直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0垂直的等价条件为A1A2+B1B2=0.
6.答案 x-y+1=0
解析 当线段AB最短时,AB⊥l,此时kAB=1.所以直线AB的方程为y=x+1,化为一般式为x-y+1=0.
7.A 将直线方程3x-y-1=0化成斜截式为y=3x-1,故其斜率k=3,在y轴上的截距b=-1.故选A.
8.C 将直线方程mx-y+2m+1=0化为点斜式为y-1=m(x+2),所以直线过定点(-2,1).
9.C 由题意得B≠0,则直线方程Ax+By+C=0化为斜截式为y=-x-,∵A·C<0,B·C<0,∴A·B>0,∴-<0,->0,∴直线通过第一、二、四象限,不通过第三象限.故选C.
10.答案 (2,3);x+4y-14=0
解析 如图,过H,F作y轴的垂线,垂足分别为M,N,易知Rt△AHM≌Rt△CAO,∴|AM|=|OC|,|MH|=|OA|,∵A(0,2),C(1,0),∴|MH|=|OA|=2,|AM|=|OC|=1,可得|OM|=|OA|+|AM|=3,故点H的坐标为(2,3),同理可得F(-2,4),∴直线FH的斜率为=-,可得直线FH的方程为y-3=-(x-2),化简得x+4y-14=0.
11.答案 2x+y+4=0
解析 方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,即(2y-x+3)m+2x+y+4=0,令2y-x+3=0,且2x+y+4=0,解得x=-1,y=-2,即直线恒过定点(-1,-2).由题可设直线方程为+=1,其中a,b<0,则A(a,0),B(0,b),--=1.由基本不等式可知,1=+≥2,解得ab≥8,当且仅当=,即a=-2,b=-4时取等号,故△AOB的面积S=|ab|的最小值为4,此时直线方程为+=1,即2x+y+4=0.
12.解析 (1)由题知直线AC的斜率kAC==,设边AC上的高所在直线的斜率为k,所以k·kAC=-1,所以k=-,故所求直线方程为y+2=-(x-2),即4x+3y-2=0.
(2)由题意得=(3,-4),=(4,3),所以||=||=5,设BC的中点为D,则D,故kAD==-,由等腰三角形的性质知,∠BAC的平分线所在直线的斜率为-,
或:设e1,e2分别为与,同向的单位向量,则e1==,e2==,所以e1+e2=,所以∠BAC的平分线所在直线的斜率为-
故所求直线方程为y-2=-(x+1),即x+7y-13=0.
能力提升练
1.AC 对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与x+y=0垂直,所以正确;
对于B,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,此时直线l的方程为x-y+1=0,满足直线l与直线x-y=0平行,所以不正确;
对于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),所以正确;
对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,其在x轴,y轴上的截距分别是-1,1,所以不正确.故选AC.
2.C 显然△ABC为直角三角形,且BC为斜边,所以其欧拉线为斜边上的中线所在直线,易知线段BC的中点为(-3,1),设D(-3,1),所以AD所在直线的方程为y=-x,所以△ABC的欧拉线的一般式方程为x+3y=0.故选C.
3.答案 3x-2y=0(答案不唯一)
解析 易知直线2x+3y+5=0的斜率为-.因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以直线l的斜率为.
因为直线l不过第二象限,所以直线l在y轴上的截距小于或等于0,故满足题意的直线l的方程可以为3x-2y=0.
4.答案
解析 直线l2的方程可化为y=-x++4.
当k>4时,>0,-<0,-k+4<0,+4>0.
易知l1,l2均过定点(2,4),直线l1与x轴交于点,直线l2与y轴交于点,
∴四边形的面积S=×2×+×4×=4-16×+8=4-8,
∵k>4,∴0<<,∴S∈.
5.解析 (1)因为直线l的斜率为-2,且过点P(3,2),
所以直线l的方程为y-2=-2(x-3),即y=-2x+8,
所以直线l与x轴、y轴正半轴的交点分别为A(4,0),B(0,8),
故△AOB的面积为×4×8=16.
(2)根据题意,可知直线l的斜率k存在且k≠0,
所以直线l的方程为y-2=k(x-3)(k≠0),
整理得y=kx+2-3k,所以直线l与x轴、y轴正半轴的交点分别为A,B(0,2-3k),
所以解得k<0,
所以△AOB的面积S=··(2-3k)==-+6,
由于△AOB的面积S满足12≤S<,
所以6≤-<,整理得24k≥-18k2-8>51k,
解得-故直线l的斜率k的取值范围为.
6.解析 (1)因为直线l1过点P(1,2),A(-1,3),
所以直线l1的斜率为=-,
因为l1⊥l2,所以·=-1,所以=2,
所以直线l2的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
(2)根据题意可得直线l1的方程为y-2=k(x-1),
令x=0,得y=2-k,即N(0,2-k),
令y=0,得x=-+1,
设直线l1与x轴的交点为T,则T.
因为直线l2过点P(1,2),Q,
所以直线l2的方程为y-2=(x-1),即y-2=-(x-1),令y=0,得x=R2+1,即M(R2+1,0),
所以S四边形PNOM=S△TPM-S△TNO=R2+1-×2-××(2-k)=R2+-=R2+=R2-+2,0易知当k=2时,S四边形PNOM取得最小值,为R2+1.
7.解析 如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴,y轴于点A,B,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1).
由点C在线段OB上,且l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,可知l2⊥l1或l2与x轴交于D点,且∠BCD+∠BAD=180°.
①由l1⊥l2知1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.
②由∠BCD+∠BAD=180°得∠BAD=∠OCD.
设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)=270°-α2,
∴tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)===,∴tan α1·tan α2=1,∴-×3k=1,解得k=-1.
综上,k的值为±1.
7
