2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
基础过关练
题组一 点到直线的距离
1.若点P(1,3)到直线l:4x+3y+a=0(a>0)的距离为3,则a=( )
A.2 B.3 C. D.4
2.已知直线l过原点O,且点A(1,0),B(3,2)到直线l的距离相等,则直线l的方程为( )
A.x-y=0 B.x-2y=0
C.x+y=0或x+2y=0 D.x-y=0或x-2y=0
3.点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时,此最大值和此时过点P且与l垂直的直线方程分别为( )
A.,x+y-2=0 B.,3x+y-4=0
C.,2x-3y+1=0 D.,2x-3y+1=0
4.已知直线l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,点M(4,3),则M到直线l的距离d的取值范围为( )
A.[0,8) B.[0,8]
C.[0,2) D.[0,2]
5.若P(2,)到直线x+y+t=0的距离不超过2,则实数t的取值范围是 .
6.已知△ABC的顶点A(1,1),C(3,-4),边BC的垂直平分线的方程为x-y-5=0.
(1)求边BC所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积.
题组二 两条平行直线间的距离
7.平行直线x-2y+1=0,2x-4y-3=0间的距离是( )
A. B. C. D.
8.已知直线x+3y+λ=0与直线2x+6y+1=0间的距离为,则λ=( )
A.-或 B.-9
C.-9或11 D.6或-4
9.直线l1,l2是分别经过点A(1,1),B(0,-1)的两条平行直线,则l1,l2间的距离的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,]
C.(0,] D.(0,)
10.若直线l1:x+ay-2=0与l2:2x+(a2+1)y-2=0平行,则两直线之间的距离为( )
A. B.1 C. D.2
11.若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0间的距离为,则实数a=( )
A.-1 B.2 C.-1或2 D.-2或1
12.已知两条平行直线l1:2x+y+1=0,l2:ax+2y+c=0间的距离为,则a+c= .
13.已知两条平行直线l1:x-2y+1=0,l2:mx-y+n=0间的距离为,则|2m-2n|= .
能力提升练
题组 距离公式的应用
1.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.若动点M(x1,y1),N(x2,y2)分别在直线x+y+7=0与直线x+y+5=0上移动,则MN的中点P到原点的距离的最小值为( )
A.2 B.3 C.3 D.2
3.在平面直角坐标系中,点P(a,b)满足|a|+|b|=1,记d为点P到直线x-my-2=0的距离.当a,b,m变化时,d的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为 .
5.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(1,3)到直线l的距离为,则直线l的方程为 .
6.已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,能否找到一点P,使得点P同时满足:①P是第一象限的点;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶ 若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
7.已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x+y-3=0上,求直线l的方程.
8.(教材深研拓展)已知直线l:ax+by+c=0和点P(x0,y0),点P到直线l的有向距离d(P,l)的计算方法规定如下:若b≠0,d(P,l)=,若b=0,d(P,l)=.
(1)已知直线l1:3x-4y+12=0,直线l2:2x+3=0,求原点O到直线l1,l2的有向距离d(O,l1),d(O,l2);
(2)已知点A(2,1)和点B(3,-1),是否存在通过点A的直线l3,使得d(B,l3)=2 如果存在,求出所有这样的直线l3的方程;如果不存在,说明理由;
(3)设直线l4:xcos α+2ysin α-2=0,问是否存在实数t>0,使得对任意的参数α都有:点F1(-t,0),F2(t,0)到l4的有向距离d(F1,l4),d(F2,l4)满足d(F1,l4)·d(F2,l4)=1 如果存在,求出所有满足条件的实数t;如果不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
基础过关练
1.A 2.D 3.C 4.C 7.D 8.A 9.C 10.C
11.A
1.A 由点到直线的距离公式知,d===3,又a>0,故a=2.故选A.
2.D 由题知直线l的斜率存在.∵直线l过原点O,∴可设直线l的方程为y=kx,即kx-y=0,∵A(1,0),B(3,2)两点到直线l的距离相等,∴=,解得k=1或k=,故直线l的方程为x-y=0或x-2y=0.故选D.
3.C 直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R),即x+y-2+λ(3x+y-4)=0(λ∈R),从代数观点来看,若 λ∈R,有x+y-2+λ(3x+y-4)=0成立,则只能满足解得即直线l过定点(1,1),记Q(1,1).若要P(-2,-1)到直线l的距离最大,只需PQ⊥l,此时点P(-2,-1)到直线l的最大距离等于线段PQ的长度,且|PQ|==,又直线PQ的斜率为=,故此时直线PQ的方程为y+1=(x+2),即2x-3y+1=0.故选C.
4.C 当M在直线l上时,有4(m+2)+3(m-1)-3m-3=0,解得m=-,即直线l:x-y-1=0,此时M到l的距离d=0;当M在直线l外时,由(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,可得m(x+y-3)+2x-y-3=0,由解得x=2,y=1,即直线l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0过定点(2,1),记A(2,1),易知当MA⊥l时,d取得最大值,且dmax=|MA|==2,此时kMA==1,所以直线l的斜率为-1,即-=-1,此时无解,所以d<2.故d∈[0,2).故选C.
5.答案 [-9,-1]
解析 因为P(2,)到直线x+y+t=0的距离不超过2,所以≤2,解得-9≤t≤-1,即实数t的取值范围是[-9,-1].
6.解析 (1)由边BC的垂直平分线的方程为x-y-5=0,得kBC=-1,又C(3,-4),∴BC边所在直线的方程为y+4=-(x-3),即x+y+1=0.
(2)因为直线x-y-5=0是BC边的垂直平分线,
所以点B与点C关于直线x-y-5=0对称,
设B(a,b),则BC的中点为,将中点坐标代入得解得
所以B(1,-2),
故|BC|==2,
点A到直线BC的距离为=,
所以S△ABC=×2×=3.
7.D 直线x-2y+1=0可化为2x-4y+2=0,∴平行直线x-2y+1=0,2x-4y-3=0间的距离是=.故选D.
8.A 直线x+3y+λ=0可化为2x+6y+2λ=0,由题意可得=,解得λ=-或λ=.故选A.
9.C 易知两直线之间的最大距离为A,B两点间的距离.由两点间的距离公式得|AB|==.故l1,l2间的距离的取值范围为(0,].
10.C 因为直线l1:x+ay-2=0与l2:2x+(a2+1)y-2=0平行,所以解得a=1(二重根),
故直线l1:x+y-2=0,l2:2x+2y-2=0,即x+y-1=0,所以这两条平行直线之间的距离为=.故选C.
11.A 当a=1时,可得l1:x+2=0,l2:x+2y+1=0,由≠,可知此时不符合题意.当a≠1时,可得直线l1的斜率=,直线l2的斜率=-,由题知=-,整理可得a2-a-2=0,则(a-2)(a+1)=0,解得a=2或a=-1,当a=-1时,可得l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0,即x-2y-1=0,由两平行直线之间的距离公式得=,符合题意;当a=2时,可得l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+1=0,即x+y+=0,由两平行直线之间的距离公式得=≠,不符合题意.综上可得a=-1.故选A.
12.答案 -4或16
解析 因为直线l1:2x+y+1=0与l2:ax+2y+c=0平行,所以2×2=a×1,即a=4,故l2:4x+2y+c=0,
则l1与l2间的距离为=,解得c=-8或c=12,故a+c=-4或a+c=16.
13.答案 5
解析 根据题意,得1×(-1)=(-2)×m,解得m=,则l2:x-y+n=0,变形可得x-2y+2n=0,又两条平行直线间的距离为,故=,解得n=3或n=-2,故|2m-2n|=5.
能力提升练
1.C 2.B 3.C
1.C 设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.|AB|==2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为=,因此,S△ABC=×2×=5.
2.B 由题意知,P点的轨迹为平行于直线x+y+7=0与直线x+y+5=0且到两直线距离相等的直线,易得其方程为x+y+6=0,∴P到原点的距离的最小值即原点到直线x+y+6=0的距离,为=3.故选B.
3.C 直线x-my-2=0恒过点(2,0),设其为C.
作出点P满足的图形如图所示.
旋转直线x-my-2=0,可以发现,当直线垂直于x轴时,点A(-1,0)到直线的距离最大,为|AC|=3.
所以当a,b,m变化时,d的最大值为3.故选C.
4.答案 +
解析 如图,由两平行直线间的距离公式得|PQ|=.
过点A作垂直于l1的直线,并在该直线上截取|AA'|=|PQ|.
设A'(x0,y0),
则所以A'.
连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,所以|AP|=|A'Q|,又|A'B|=,故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=.因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥+.故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为+.
5.答案 x-y=0或7x+y=0或x+y-2=0或x+y-6=0
解析 若截距为0,则可设直线l的方程为y=kx(k≠0),由题意知=,解得k=1或k=-7,此时直线l的方程为x-y=0或7x+y=0;若截距不为0,则可设直线l的方程为x+y-a=0(a≠0),由题意知=,解得a=2或a=6,此时直线l的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综上,直线l的方程为x-y=0或7x+y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.
6.解析 设P(x0,y0).
若点P满足条件②,则=·,化简得4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0.
若点P满足条件③,则=·,化简得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
又P是第一象限的点,∴3x0+2=0不合题意,舍去.
由得不合题意,舍去.
由得
∴满足题意的点P的坐标为.
7.解析 解法一:因为点M在直线x+y-3=0上,
所以设点M的坐标为(t,3-t),因为点M到直线l1,l2的距离相等,所以=,解得t=,
所以M.又直线l经过点A(2,4),
所以直线l的方程为5x-y-6=0.
解法二:设与l1,l2平行且距离相等的直线为l3:x-y+c=0(c≠1,c≠-1),由两平行直线间的距离公式得=,解得c=0,即l3:x-y=0.由题意得中点M在直线l3上,又点M在直线x+y-3=0上,所以由解得所以M.
又l过点A(2,4),所以直线l的方程为5x-y-6=0.
8.解析 (1)根据点到直线的有向距离的计算方法得,d(O,l1)==-,d(O,l2)==,即d(O,l1)=-,d(O,l2)=.
(2)当直线l3的斜率不存在时,直线l3的方程为x-2=0,此时d(B,l3)==1≠2,舍去;
当直线l3的斜率存在时,设直线l3的方程为y-1=k(x-2),即-kx+y-1+2k=0,
若d(B,l3)==2,则3k2-4k=0,解得k=0或k=.
所以存在这样的直线l3,其方程为y-1=0或4x-3y-5=0.
(3)当sin α=0时,直线l4:xcos α-2=0,d(F1,l4)=,d(F2,l4)=,
由d(F1,l4)·d(F2,l4)==1,整理得4-t2cos2α=cos2α,因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1,所以t2=3,因为t>0,所以t=;
当sin α≠0时,直线l4:xcos α+2ysin α-2=0,
可得d(F1,l4)=,d(F2,l4)=,
由d(F1,l4)·d(F2,l4)=1,得=1,
即|4-t2cos2α|=cos2α+4sin2α=4-3cos2α,即4-t2cos2α=4-3cos2α或4-t2cos2α=3cos2α-4,解得t2=3或(t2+3)cos2α=8,
由题意知对任意的参数α都有d(F1,l4)·d(F2,l4)=1恒成立,且t>0,所以t=.
综上所述,存在满足条件的实数t,且t=.
72.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式
基础过关练
题组一 直线的交点坐标及其应用
1.已知三条直线3x-4y+11=0,x+2y-3=0和(2m-3)x-(m+1)y-2m+3=0相交于一点,则实数m=( )
A.-1 B.1 C. D.
2.若直线ax+y-4=0与直线x-y-2=0的交点位于第一象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,2) B.(-1,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
3.(多选题)已知三条直线l1:ax+y-3=0,l2:x+y-1=0,l3:2x-y-5=0不能围成一个封闭图形,则实数a的值可以是( )
A.-2 B.1 C.2 D.3
4.已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+2(k为常数)上两个不同的点,则关于l1:a1x+b1y-2=0和l2:a2x+b2y-2=0的交点情况,正确的是( )
A.无论k,P1,P2如何,总有唯一交点
B.存在k,P1,P2使之有无穷多个交点
C.无论k,P1,P2如何,总是无交点
D.存在k,P1,P2使之无交点
5.已知a>0,直线l1:x+ay=2a+4与y轴的交点为A,l2:2x+ay=2a+8与x轴的交点为B,l1与l2的交点为C,则四边形OACB的面积的最小值为( )
A.8+4 B.16 C.8 D.16+8
6.已知O为坐标原点,直线l1:x+my-2=0与l2:mx-y+2m=0交于点P,则|OP|的值为 .
7.若三条直线l1:x-2y=0,l2:x+y-3=0,l3:2x+ky-3=0围成三角形,则k的取值范围是 .
题组二 两点间的距离公式及其应用
8.(教材习题改编)已知三角形的三个顶点分别为A(2,-1),B(3,2),C(-5,4),则△ABC的中线AD的长为( )
A.3 B.5 C.9 D.25
9.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且|AB|=|AC|,则实数a的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
10.(多选题)直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-1,2) D.(0,1)
11.已知A(1,0),B(4,0),D(0,3),动点P满足|PB|=2|PA|,则2|PD|+|PB|的最小值是( )
A.8 B. C.10 D.2
12.很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得y=+的最小值为( )
A.2 B.2
C.+ D.3+
13.已知直线3x+2y-6=0分别与x,y轴交于点A,B,若直线x+y-1=0上存在一点C,使|CA|+|CB|最小,则点C的坐标为( )
A. B. C. D.
答案与分层梯度式解析
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
基础过关练
1.C 2.A 3.ABC 4.A 5.A 8.B 9.A 10.BC
11.D 12.A 13.A
1.C 由解得即交点为(-1,2),因为三条直线相交于一点,所以点(-1,2)在直线(2m-3)x-(m+1)y-2m+3=0上,所以(2m-3)×(-1)-(m+1)×2-2m+3=0,解得m=.
2.A ∵直线ax+y-4=0与直线x-y-2=0的交点位于第一象限,∴a≠-1,联立可得解得-1
3.ABC 若l1,l2,l3中有两条相互平行(重合),或三条线过同一点,则它们不能围成封闭图形.若l1∥l2,则a=1;若l1∥l3,则a=-2;若l1,l2,l3交于同一点,联立l2,l3的方程,可得解得故l2,l3的交点为(2,-1),将(2,-1)代入直线l1的方程,可得a=2.故选ABC.
4.A 因为P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+2(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+2的斜率存在,所以k=,a1≠a2,且b1=ka1+2,b2=ka2+2,所以a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+2a2-2a1=2a2-2a1,联立方程组可得(a1b2-a2b1)x=2(b2-b1),即(a1-a2)x=b2-b1,所以方程有唯一解,即无论k,P1,P2如何,l1与l2总有唯一交点.故选A.
5.A 易知直线l1:x-4=-a(y-2),l2:2(x-4)=-a(y-2)都恒过点(4,2),则点C的坐标是(4,2),在方程x+ay=2a+4中,令x=0,得y=2+,所以A,同理可得B(4+a,0),所以S四边形OACB=S△OAC+S△OBC=×4×+×2×(4+a)=8+a+≥8+2=8+4,当且仅当a=,即a=2时等号成立,此时四边形OACB的面积取得最小值,为8+4.故选A.
6.答案 2
解析 易知直线l1过定点(2,0),l2过定点(-2,0),记A(2,0),B(-2,0).当m≠0时,两直线l1,l2的斜率分别为-,m,因为-·m=-1,且P为l1与l2的交点,所以AP⊥BP,从而|OP|=|AB|=2;当m=0时,易求得P(2,0),此时|OP|=2.
综上可知,|OP|=2.
7.答案 {k|k≠-4且k≠-1且k≠2}
解析 易知l1的斜率为,l2的斜率为-1,
由解得∴l1与l2的交点坐标是(2,1),记A(2,1).当k=0时,l3:2x-3=0,即x=,此时直线l3不过A点且与l1,l2均不平行,三条直线可围成三角形,符合题意;当k≠0时,要使三条直线能围成三角形,则需解得k≠-4且k≠-1且k≠2,
所以k的取值范围是{k|k≠-4且k≠-1且k≠2}.
8.B 因为B(3,2),C(-5,4),所以BC的中点为D(-1,3),又因为A(2,-1),所以|AD|==5.故选B.
9.A 由题得=,
解得a=-2.
10.BC 设所求点的坐标为(x0,y0),则有x0+y0-1=0,
且=,两式联立,
解得或故选BC.
11.D 因为动点P满足|PB|=2|PA|,所以2|PD|+|PB|=2|PD|+2|PA|≥2|AD|(当且仅当A,P,D三点共线且P在A,D之间时取等号),又|AD|==,所以2|PD|+|PB|的最小值为2.故选D.
12.A y=+=+,则y可看成x轴上一点P(x,0)到点A(1,2)与点B(3,-4)的距离之和,即|PA|+|PB|,又A,B位于x轴的两侧,故当A,P,B三点共线且P在A,B之间时,|PA|+|PB|取得最小值,即(|PA|+|PB|)min=|AB|==2.故选A.
13.A 对于方程3x+2y-6=0,令x=0,得y=3,令y=0,得x=2,则A(2,0),B(0,3),设点B关于直线x+y-1=0的对称点为D(m,n),则解得即D(-2,1),设直线AD与直线x+y-1=0交于点E,则当点C与点E重合时,|CA|+|CB|取得最小值,而直线AD:=,即y=-x+,由解得即E,所以当点C的坐标为时,|CA|+|CB|取得最小值.故选A.
7(共32张PPT)
2.3 直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的位置关系与相应方程组的解
(1)利用两直线方程组成的方程组解的个数可以判断两直线的位置关系.
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,其中A1,B1不同时为0,A2,B2不同时为0,则
知识点 1 两条直线的交点坐标
必备知识 清单破
方程组 的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
(2)两条直线相交的判定方法:①联立直线方程解方程组,若有一组解,则两直线相交;②若两直
线斜率都存在且不相等,则两直线相交;③若l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0), l2:A2x+B2y+C2=0
(A2,B2不同时为0),则l1与l2相交 A1B2-A2B1≠0.
2.两直线的交点坐标
两相交直线的交点坐标,对应两直线方程组成的方程组的解.
注意:若一条直线的方程是斜截式或易化为斜截式,则常常应用代入消元法解方程组;若
两条直线的方程都是一般式,则常常应用加减消元法解方程组.
3.设直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则过l1,l2交点的直
线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数),然后根据条件求待定系数即可.
1.两点间的距离
已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|= .
注意:①此公式与两点的先后顺序无关.②原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=
.
2.点到直线的距离
点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离 d= .
3.两条平行线间的距离
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,C1≠C2)间的距离 d= .
知识点 2 距离公式
知识辨析
1.若两直线方程组成的方程组无解,则两直线的位置关系确定吗
2.若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线一定相交吗
3.m为何值时,直线x-y+1=0与x-2my+3=0相交
4.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),当A1B2=
A2B1时,直线l1与l2一定没有交点吗
5.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离是不是
6.已知某直线的斜率为k(k≠0),那么如何利用斜率k来表示该直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的
距离
一语破的
1.确定.两直线平行.
2.不一定.当两直线的方程组成的方程组有无数组解时,两直线重合.
3.m≠ .由1×(-2m)-(-1)×1≠0得m≠ .
4.不一定.当A1B2=A2B1且B1C2=B2C1时,方程组 有无数组解,此时直线l1与l2重合,
有无数个交点;
当A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1时,方程组 无解,此时直线l1与l2平行,没有交点.
5.不是.将直线方程化为一般式为kx-y+b=0,所以点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 .
6.|P1P2|= = |x2-x1|= |y2-y1|.该公式可以用 =k进行推导,是
之后会经常用到的弦长公式.
定点 1 利用坐标法解决平面几何问题
关键能力 定点破
利用坐标法解决平面几何问题的步骤
(1)建立坐标系,尽可能将已知元素放在坐标轴上;
(2)用坐标表示有关的量;
(3)进行代数运算;
(4)把代数运算结果“翻译”成几何结论.
典例 在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).
思路点拨：建立适当的平面直角坐标系,得到相关点的坐标,利用两点间的距离公式解决有
关线段长度的问题.
证明：以D为原点,BC边所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
设A(b,c),C(a,0),B(-a,0).
因为|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+(-c)2,|AD|2=b2+c2,|DC|2=a2,
所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AD|2+|DC|2=a2+b2+c2,
所以|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).
利用点到直线的距离公式时,一般先分析并确定相应的点和直线,再利用公式计算求解.
当所给条件不能明显确定所需的点和直线时,可考虑应用待定系数法,有时要结合几何图形
的直观性,综合分析解决问题.
定点 2 点到直线的距离公式的应用
典例1 已知点A(2,-1),原点为O.
(1)求过点A且与原点的距离为2的直线方程;
(2)求过点A且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大距离;
(3)是否存在过点A且与原点的距离为3的直线 若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由.
解析： (1)当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时原点到该直线的距离等于2,符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由已知得 =2,解得k= ,
此时直线方程为3x-4y-10=0.
综上,所求直线方程为x=2和3x-4y-10=0.
(2)过点A且与原点的距离最大的直线是过点A且与直线OA垂直的直线.
易知kOA=- ,所以所求直线的斜率为2,
所以所求直线方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.
最大距离d= = .
(3)不存在,理由如下:
由(2)可知,过点A的直线与原点的最大距离为 ,因为 <3,所以不存在过点A且与原点的距
离为3的直线.
技巧点拨 解这类题目常用的方法是待定系数法,即根据题意设出方程,然后选择合适的公
式求参数.也可以综合应用直线的有关知识,充分发挥几何图形的直观性,找到所求直线的特
征,然后由已知条件写出直线的方程.
典例2 已知某正方形的中心为直线2x-y+2=0与x+y+1=0的交点,正方形一边所在直线l的方程
为x+3y-5=0,求:
(1)正方形的面积;
(2)正方形其他三边所在直线的方程.
思路点拨： (1)利用正方形中心到其一边的距离为边长的一半求解.
(2)根据所求的三边中一边所在直线与直线x+3y-5=0平行,另两边所在直线与直线x+3y-5=0垂
直及正方形的中心到四条边所在直线的距离相等求解.
解析： (1)由 得
故正方形中心的坐标为(-1,0).
∵(-1,0)到直线x+3y-5=0的距离d= = ,
∴正方形的边长为2d= ,
∴正方形的面积为 = .
(2)设正方形中与直线l:x+3y-5=0平行的边所在的直线为l1:x+3y+c=0(c≠-5).
由点(-1,0)到两直线l,l1的距离相等,
得 = ,解得c=7或c=-5(舍去),
∴l1:x+3y+7=0.
又正方形另两边所在直线均与l垂直,
∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).
∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,∴ = = ,
解得a=9,b=-3或a=-3,b=9,
∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0.
∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
1.两条平行线间距离的求法
(1)直接利用公式求解,代入公式时注意两直线方程中x,y的系数必须对应相等.
(2)利用“转化与化归”思想将求两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到
另一条直线的距离.
2.两条平行直线间距离公式的应用
已知两平行直线间的距离及其中一条直线的方程求另一条直线的方程,一般先设出直线
方程,再利用两平行直线间的距离公式求解.
定点 3 平行线间距离公式的应用
典例 (1)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是 .
(2)已知△ABC的两顶点A,B在直线l1:2x-y+3=0上,点C在直线l2:2x-y-1=0上.若△ABC的面积为
2,则AB边的长为 .
思路点拨：(1)首先利用两直线平行求出参数m的值,然后将两直线方程对应系数化相同,最
后代入距离公式求解.
(2)易知l1∥l2,所以l2上的点C到l1的距离等于以AB为底时△ABC的高,再根据S△ABC=2求出AB边
的长.
解析：(1)因为直线3x+2y-3=0和直线6x+my+1=0平行,所以 = ,即m=4.
所以对应直线方程为6x+4y+1=0.
又直线3x+2y-3=0的方程可化为6x+4y-6=0,
所以两平行线之间的距离d= = = .
(2)易知l1∥l2,故直线l1,l2间的距离d= = ,所以S△ABC= × ×|AB|=2,解得|AB|= .
1.对称点的求法
(1)求点关于点的对称点坐标
若点M(x1,y1)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y),则由中点坐标公式可得
(2)求点关于直线的对称点坐标
设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B均不为0)的对称点为N(x,y),则可根据M,N连线垂直于
直线l,以及线段MN的中点在直线l上列方程组
求得.
定点 4 与点、直线有关的对称问题
(3)几个常用结论
①点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
②点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).
③点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
2.对称直线的求法
(1)求直线关于点的对称直线
求直线关于点的对称直线时,可在已知直线上任取两点,求其对称点,从而将问题转化为求点
关于点的对称点问题,通过求出的两个对称点的坐标确定对称直线的方程;也可以利用关于
点对称的两直线平行且已知点到两直线的距离相等来求解.
(2)求直线关于直线的对称直线
求直线l1关于直线l对称的直线l2时,若l1与l无交点,则可以利用l1,l2两直线平行且它们与直线l的
距离相等来求解;若l1与l有交点,则可以求直线l1上任一点(l1与l的交点除外)关于直线l的对称
点,那么该对称点以及l1与l的交点在直线l2上,由此可确定l2的方程.
典例 直线l1:3x+4y-5=0关于l:3x+4y+1=0的对称直线l2的方程为 .
思路点拨： 由题知直线l2满足条件:①l1∥l2,②l1,l2与直线l间的距离相等.
3x+4y+7=0
解析：设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5且d≠1).由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间的距离,
则 = ,解得d=7或d=-5(舍去).故直线l2的方程为3x+4y+7=0.
1.在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之和最小的求法
(1)若两定点A,B在直线l的异侧,则当点P为直线AB与l的交点时,点P到两定点的距离之和最
小,最小值为|AB|.如图①,在直线l上任取一点P',则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|.
(2)若两定点A,B在直线l的同侧,如图②,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,交直线l于点P,此
时点P到两定点A,B的距离之和最小.
图①
定点 5 与对称有关的最值问题
图②
2.在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之差最大的求法
类比1中方法,利用“三角形任意两边之差小于第三边”解决,必要时进行点关于直线的
对称转化.
典例 已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),且点P在直线l上.
(1)当|PA|+|PB|最小时,点P的坐标为 ;
(2)当||PB|-|PA||最大时,点P的坐标为 .
(-2,3)
(12,10)
思路点拨：易知A,B两点在直线l的同侧.
(1)利用对称性将同侧两点转化为异侧两点,再利用两点之间线段最短求解.
(2)根据三角形任意两边之差小于第三边求解.
解析：(1)易知A,B两点在直线l的同侧.
设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
则 解得
故A'(-2,8).因为P为直线l上一点,
所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当B,P,A'三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,此时点P为
直线A'B与直线l的交点.
又直线A'B的方程为x=-2,
所以由 得
故点P的坐标为(-2,3).
(2)易知A,B两点在直线l的同侧,
因为P是直线l上一点,
所以||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值,此时点P为直线AB与
直线l的交点.
又直线AB的方程为y=x-2,
所以由 得
故点P的坐标为(12,10).
与距离有关的最值问题的解题策略
(1)利用对称转化为两点之间的距离问题.
(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离或者两平行线间的距离问题.
一般地,形如 的式子可视为点(x,y)与点(a,b)之间的距离,所以解决相关
的最值问题时,可应用数形结合思想,将其转化为点到直线的距离或两平行线之间的距离问
题.
(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值.
定点 6 与距离有关的最值问题
典例 (1)已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则 的最小值为 ( )
A. B. C.1 D.
(2)已知实数x,y满足2x+y+3=0,则 的最小值为 .
C
解析：(1)设P(m,n),Q(a,b),则|PQ|= .
依题意,P,Q两点分别在直线l1:3x+4y-6=0与l2:3x+4y-1=0上.易知直线l1与l2平行,
所以|PQ|的最小值就是两平行直线间的距离d,又d= =1,所以 的最
小值为1.故选C.
(2)易知 = .
设P(x,y),A(-1,0),
则 表示点P与点A之间的距离.又点P(x,y)在直线2x+y+3=0上,
所以 的最小值即为点A到直线2x+y+3=0的距离.
易知点A(-1,0)到直线2x+y+3=0的距离为 = ,故所求最小值为 .