2.4.2 圆的一般方程
基础过关练
题组一 二元二次方程与圆的关系
1.若方程x2+y2+4x+2y-m=0表示一个圆,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-5) B.(-5,+∞)
C.(-∞,5) D.(5,+∞)
2.(多选题)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆,则实数m的可能取值为( )
A.-1 B.0 C. D.
题组二 圆的一般方程及其应用
3.圆的一般方程为x2+y2-4x-6y-3=0,则它的圆心坐标和半径分别为( )
A.(2,3), B.(3,2),
C.(2,3),4 D.(3,2),4
4.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则x2+y2的最小值为( )
A.2- B.7+4 C.2+ D.7-4
5.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆圆心位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.已知点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),M(2,a)四点共圆,则a= .
7.赵州桥,又名安济桥,位于河北省石家庄市赵县的洨河上,距今已有1 400多年的历史,是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥,其高超的技术水平和不朽的艺术价值,彰显了中国古代劳动人民的智慧和力量.2023年以来,中国文旅市场迎来强劲复苏,某地一旅游景点为吸引游客,参照赵州桥的样式在景区内兴建圆拱桥(如图1),该圆拱桥的圆拱跨度为16 m,拱高为4 m,在该圆拱桥的示意图中建立如图2所示的平面直角坐标系.
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程;
(2)若该景区游船宽10 m,水面以上高3 m,试判断该景区游船能否从桥下通过,并说明理由.(附:≈1.732)
题组三 与圆有关的动点的轨迹问题
8.(教材习题改编)已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是 .
9.(2023四川成都双流中学期中)已知点A(-2,0),B(2,0),C(1,).
(1)求△ABC的外接圆的方程;
(2)在外接圆上任取一点P,过点P作x轴的垂线PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹方程.
能力提升练
题组 圆的方程及其应用
1.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
2.已知过坐标原点O的直线l与圆C:x2-12x+y2+16y-25=0相交于M,N两点,当线段MN的长为整数时,所有满足条件的直线的条数为( )
A.12 B.13 C.25 D.26
3.已知两定点P,Q(m,0),如果动点M与P,Q的距离之比=λ(λ>0且λ≠1),那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,若其方程为x2+y2=4,则λ+m的值为( )
A.-8 B.-4
C.0 D.4
4.已知圆O:x2+y2=16,过点P(8,0)的动直线l与圆O相交于A,B两点,线段AB的中点为M,则M的轨迹的长度为( )
A.8 B.
C. D.
5.已知定点M(-3,4),动点N在圆O:x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹为 .
6.在平面直角坐标系Oxy中,A和B是圆C:x2-2x+y2=0上两点,且|AB|=,点P的坐标为(2,1),则|2-|的取值范围为 .
7.已知圆C上的任意一点到两个定点A(2,0),B(-2,0)的距离之比为,则圆C的方程是 ;在直线l:3x+4y+m=0上存在点P满足:过P作圆C的切线,切点分别为M,N,且四边形PMCN的面积为4,则实数m的取值范围是 .
8.已知某圆的圆心在直线y=x上,且该圆过点(-2,2),半径为2,直线l的方程为(m+1)x+(2m-1)y-3m=0.
(1)求此圆的方程;
(2)若直线l过定点A,点B,C在此圆上,且AB⊥AC,求|BC|的范围.
9.(教材习题改编)()如图,已知正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求对角线AC所在直线的方程;
(2)求正方形ABCD外接圆的方程;
(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN的中点M的轨迹是什么 并求出轨迹方程.
答案与分层梯度式解析
2.4.2 圆的一般方程
基础过关练
1.B 2.BC 3.C 4.D 5.D
1.B 因为方程x2+y2+4x+2y-m=0表示一个圆,所以42+22+4m>0,解得m>-5.故选B.
解题技巧 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.
2.BC 方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0,变形得[x-(m+3)]2+[y+(1-4m2)]2=-7m2+6m+1,当且仅当-7m2+6m+1>0,即7m2-6m-1<0时此方程表示圆,解得-
3.C x2+y2-4x-6y-3=0即(x-2)2+(y-3)2=16,故圆心坐标为(2,3),半径为4.故选C.
4.D 方程x2+y2-4x+1=0即(x-2)2+y2=3,圆心为(2,0),设为C,半径r=.x2+y2表示圆上的点与原点O(0,0)的距离的平方,又|OC|==2,所以x2+y2的最小值为（|OC|-r）2=7-4.故选D.
5.D ∵方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,∴a2+(-2a)2-4(2a2+3a)>0且圆心为,解得-46.答案 1
解析 设过A,B,C的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以过A,B,C的圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0,
又点M在此圆上,所以4+a2+12-2a-15=0,即a2-2a+1=0,所以a=1.
7.解析 (1)设这座圆拱桥的拱圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为该拱圆过A(-8,0),B(8,0),C(0,4),
所以解得所以拱圆的方程为x2+y2+12y-64=0,即x2+(y+6)2=100.
(2)当x=5时,52+(y+6)2=100,所以y=5-6≈5×1.732-6=2.66<3,
所以该景区游船不能从桥下通过.
8.答案 (x-8)2+y2=36(y≠0)
解析 设C(x,y)(y≠0),则D.∵B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,∴+=9,即(x-8)2+y2=36(y≠0).
9.解析 (1)设外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,
因为外接圆经过A(-2,0),B(2,0),C(1,)三点,
所以解得
所以外接圆的方程为x2+y2-4=0.
(2)设M(x,y),P(xP,yP),则D(xP,0),
因为M为线段PD的中点,所以xP=x,yP=2y,
又点P在圆x2+y2=4上,
所以x2+(2y)2=4,即+y2=1,
故点M的轨迹方程为+y2=1.
能力提升练
1.B 2.C 3.B 4.B
1.B 把圆的方程化为标准方程得(x-1)2+(y-3)2=10,则圆心坐标为(1,3),半径为,设M(1,3),根据题意画出图形,如图.
由图可知过点E的最长弦为直径AC,最短弦为过E且与直径AC垂直的弦BD,则|AC|=2,|MB|=,|ME|==,所以|BD|=2|BE|=2=2,所以四边形ABCD的面积S=|AC|·|BD|=×2×2=10.故选B.
2.C 圆C的标准方程为(x-6)2+(y+8)2=125,可得圆心为C(6,-8),半径r=5.由|OC|==10<5,可知原点在圆C内部.又过原点的直线l与圆C相交于M,N两点,故|MN|max=2r=10,当OC与直线l垂直时,|MN|min=2=2=10,因此10≤|MN|≤10,又22<10<23,因此满足条件的直线l的条数为(22-10)×2+1=25.故选C.
3.B 设M(x,y),由=λ(λ>0且λ≠1),得=λ,所以x2-2mx+m2+y2=λ2x2+λ2x+λ2+λ2y2,所以x2+y2-x=,又M的轨迹方程为x2+y2=4,所以=0且=4,解得m=-(舍去)或m=-8,所以λ2=-2×(-8)=16,所以λ=4,所以λ+m=-4.故选B.
4.B 圆O的圆心为O(0,0),半径为4,设M(x,y),由线段AB的中点为M,可得OM⊥MP,即有·=(x,y)·(8-x,-y)=x(8-x)-y·y=0,即(x-4)2+y2=16,由题知点M在圆O内,所以点M的轨迹是以C(4,0)为圆心,4为半径的圆在圆x2+y2=16内部的部分.
如图,EF垂直平分OC于D,=,所以∠ECD=60°,∠ECF=120°,
所以M的轨迹的长度为×2πr=×2π×4=.故选B.
5.答案 以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点和点
解析 如图所示.设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分,所以线段OP与线段MN的中点重合,
所以即故N(x+3,y-4).
又点N(x+3,y-4)在圆x2+y2=4上,
所以(x+3)2+(y-4)2=4.
当点P在直线OM上时,有x=-,y=或x=-,y=.因此所求轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点和点.
解后反思 本题求轨迹方程的方法为代入法,先找到所求动点与已知动点的关系,再代入已知动点的轨迹方程.
6.答案 [-,+]
解析 设2-=,则有=(+),所以A为BE的中点,|AE|=|AB|=.过C作CF⊥AB,垂足为F,因为|AB|=,所以|AF|=|BF|=,|CF|==,|EF|=|AE|+|AF|=+=,所以|CE|===,所以点E的轨迹方程为(x-1)2+y2=5,又|CP|=,所以=-,=+.所以|2-|的取值范围为[-,+].
7.答案 (x+4)2+y2=12;[-8,32]
解析 设(x,y)是圆C上的任意一点,则=,化简得圆C的方程为(x+4)2+y2=12.圆心C的坐标为(-4,0),半径为2,由题意知PM⊥CM,PN⊥CN,所以|PM|=|PN|=,又S四边形PMCN=2×|PM|×|CM|=×2=4,所以|PC|=4.又点P在直线l:3x+4y+m=0上,所以|PC|不小于C到直线l的距离,即4≥d=,解得-8≤m≤32,
故实数m的取值范围是[-8,32].
8.解析 (1)∵圆心在直线y=x上,∴设圆心为(a,a),
又圆过点(-2,2),半径为2,
∴=2,∴a=0,
∴圆的方程为x2+y2=8.
(2)(m+1)x+(2m-1)y-3m=0即(x+2y-3)m+(x-y)=0,
令解得∴直线l过定点A(1,1),
取线段BC的中点为D(x,y),原点为O,
∵AB⊥AC,D为BC的中点,∴|BD|=|AD|,|BC|=2|AD|,又|OB|2=|OD|2+|BD|2,∴8=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,
化简得+=,即D的轨迹是以为圆心,为半径的圆,记M,
又|AM|=<,∴|AD|的取值范围为,
∴|BC|的取值范围为[-,+].
9.解析 (1)由直线方程的两点式可知,对角线AC所在直线的方程为=,整理得x-y-2=0.
(2)设G为正方形ABCD外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G(2,0).
设r为正方形ABCD外接圆的半径,则r=|AC|,
又|AC|==4,∴r=2.
∴正方形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.
(3)设P(x0,y0),M(x,y),
则∴∵P为外接圆上一点,
∴(2x+2-2)2+(2y)2=8,整理,得x2+y2=2.
∴点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=2.
7(共16张PPT)
2.4 圆的方程
1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r.
2.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为 ,半径为 .
说明:对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
①当D2+E2-4F<0时,它不表示任何图形;
②当D2+E2-4F=0时,它表示一个点 .
3.圆的直径式方程:平面上以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=
0.
知识点 1 圆的方程
必备知识 清单破
4.圆的参数方程:以(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是 其中α是参数.
点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)或圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的位置关系及判
断方法:
知识点 2 点与圆的位置关系
位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 + +Dx0+Ey0+F=0
点M在圆外 |CM|>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 + +Dx0+Ey0+F>0
点M在圆内 |CM|知识辨析
1.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆吗
2.方程 (x+2)2+(y+2)2=5是否表示圆心是(2,2),半径是 的圆
3.过原点的圆的标准方程是否可以表示为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)
4.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)一定表示圆吗
5.圆的标准方程和一般方程各有什么特点
6.如果方程x2+y2+2kx+2y+2k2=0表示圆,那么k的取值范围是什么 点A(1,2)与此圆有怎样的位
置关系
一语破的
1.不一定.当m=0时,方程表示一个点;当m≠0时,方程表示一个圆.
2.不是.圆心应为(-2,-2).
3.可以.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由原点在圆上得a2+b2=r2>0,因此过原点的圆的
标准方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0).
4.一定.原方程可化为x2+y2+ax-ay=0(a≠0),因为D2+E2-4F=2a2>0,所以方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a
≠0)一定表示圆.
5.从圆的标准方程可以直接得出圆心与半径,有较强的几何特点.圆的一般方程是一种特殊的
二元二次方程,圆心和半径需要通过代数运算才能得出,代数特征更明显.
6.由方程表示圆,得(2k)2+22-4×2k2>0,解得-10,故点
A在圆外.
1.几何法
利用相关几何性质确定圆心和半径,即可得到圆的标准方程.
相关几何性质如下:
①圆心与切点的连线垂直于圆的切线;
②圆心到切线的距离等于圆的半径;
③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2;
④圆的弦的垂直平分线过圆心;
⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与l的
交点即为圆心.
定点 1 圆的方程的求解
关键能力 定点破
(1)根据题意设出所求圆的标准方程或一般方程;
(2)根据已知条件建立关于参数的方程(或方程组);
(3)解方程(或方程组),求出参数的值;
(4)将求得的参数的值代入所设的方程中,即可得到所求圆的方程.
2.待定系数法
典例 求符合下列条件的圆的方程:
(1)圆心是(4,-1),且过点(5,2);
(2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5);
(3)经过A(1,4),B(-2,3),C(4,-5)三点.
解析：(1)解法一:由题意知,圆的半径为 = ,又圆心是(4,-1),故所求圆的方
程为(x-4)2+(y+1)2=10.
解法二:由题可设圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=r2(r>0),把(5,2)代入可得r2=10,故所求圆的方
程为(x-4)2+(y+1)2=10.
(2)解法一:设C为圆心.因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).由于圆过A,
B两点,所以|CA|=|CB|,即 = ,解得a=-2,因此圆心C的
坐标为(-1,-2),半径r= ,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由题意得
解得 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
解法三:易得线段AB的中点坐标为(0,-4),kAB= = ,所以弦AB的垂直平分线的斜率为-2,
所以弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4=0.
由 解得
所以圆心坐标为(-1,-2),因此圆的半径r= = ,
故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
(3)解法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
因为点A,B,C在圆上,
所以 解得
故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25.
解法二:易得kAB= = ,kAC= =-3.
因为kAB·kAC=-1,所以AB⊥AC,所以△ABC是以∠A为直角的直角三角形,其外心是线段BC的中
点,坐标为(1,-1),其外接圆半径r= |BC|=5.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=25.
技巧点拨 求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标、
半径列方程(组),那么一般选用圆的标准方程;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那
么一般选用圆的一般方程.
与圆有关的轨迹问题的求解方法
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.
(3)相关点法:找到要求点与相关点的关系,用要求点的相关信息表示出相关点,再代入相关点
满足的关系式.
定点 2 与圆有关的轨迹问题
典例 已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解析：(1)解法一:设C(x,y).由题意可知AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,AC,BC所在直线的斜率
存在.
又kAC= ,kBC= ,所以 · =-1(y≠0),化简得x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).因此,直角顶
点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).
解法二:设C(x,y).
由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化简得x2+y2-2x-3=0.又A,B,C三点不
共线,所以y≠0,即x≠3且x≠-1.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).
解法三:设线段AB的中点为D,则D(1,0).
由直角三角形的性质知,|CD|= |AB|=2.
由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应
除去此圆与x轴的交点).
设C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1).
(2)设M(x',y'),C(x0,y0).
由题意得 即
由(1)知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上,将(x0,y0)代入,得(2x'-4)2+(2y')2=4,即(x'-2)2+y'2=1(x'
≠3且x'≠1).
因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
基础过关练
题组一 圆的标准方程
1.圆心为(-2,3),半径是3的圆的标准方程为( )
A.(x-2)2+(y+3)2=9 B.(x+2)2+(y-3)2=3
C.(x+2)2+(y-3)2=9 D.(x-2)2+(y+3)2=3
2.设A(1,-1),B(5,1),则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A.(x-3)2+y2=20 B.(x-3)2+y2=5
C.(x+3)2+y2=20 D.(x+3)2+y2=5
3.圆心在x轴上,并且过点A(-1,3)和B(1,1)的圆的标准方程是( )
A.(x+4)2+y2=18 B.(x+3)2+y2=10
C.(x-2)2+y2=10 D.(x+2)2+y2=10
4.已知半径为3的圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线x-y+1=0对称,则圆C的标准方程为( )
A.(x+1)2+(y-1)2=9
B.(x-1)2+(y-1)2=81
C.x2+y2=9
D.x2+(y+1)2=9
5.过点A(4,1)的圆C与直线x-y=1相切于点B(2,1),则圆C的方程为 ( )
A.(x-3)2+(y+1)2=5 B.(x-3)2+y2=
C.(x-3)2+(y-8)2=50 D.(x-3)2+y2=2
6.已知圆M经过点(0,2),(0,4),且圆心M在直线2x-y-1=0上,则圆M的方程为 .
7.已知圆C过点O(0,0),且与直线x+y+4=0相切,则满足要求的面积最小的圆C的标准方程为 .
8.(教材习题改编)已知△AOB的顶点分别为A(2,0),B(0,4),O(0,0),则△AOB外接圆的标准方程为 .
9.已知直线l:4x-3y-4=0,请写出一个同时满足以下条件的圆M的方程: .
①圆M与x轴相切;
②圆M与直线l相切;
③圆M的半径为2.
10.分别求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)经过点A(3,2),B(2,3),圆心在x轴上;
(2)经过直线x+2y+3=0与x-2y+3=0的交点,圆心为点C(-2,1).
题组二 点与圆的位置关系
11.已知a,b是方程x2-x-=0的两个不等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是( )
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
12.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则a的取值范围是 .
能力提升练
题组 圆的标准方程及其应用
1.方程|x|-1=表示的曲线为( )
A.两个半圆 B.一个圆
C.半个圆 D.两个圆
2.已知Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为 ( )
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
3.(多选题)设直线l:x+y-4=0被半径为3的圆C截得的弦AB的中点为P(3,1),且弦长|AB|=2,则圆C的标准方程为( )
A.x2+(y-3)2=9
B.(x-4)2+(y-3)2=9
C.(x-2)2+y2=9
D.(x-4)2+(y-2)2=9
4.我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理,这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便,对于勾股定理,我国历史上有多位数学家创造了不同的面积证法,如魏晋时期的刘徽,清代的梅文鼎、华蘅芳等.其中华蘅芳证明勾股定理时构造的图形如图所示,若|CB|=1,|CA|=2,∠ACB=90°,以C为原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,以AB的中点D为圆心作圆D,使得图里三个正方形的所有顶点中恰有2个顶点在圆D外部,则圆D的一个标准方程为 .(写出一个即可)
5.在平面直角坐标系Oxy中,以AB为直径的圆C与直线l交于A,D两点,且A,D的坐标分别为(3,6),(1,t),E为劣弧上一点,满足=,若点B在y轴的右侧,直线CE的斜率为2,△ABD的面积为15,则圆C的标准方程为 .
6.对非原点O的点M,若点M'在射线OM上,且|OM|·|OM'|=r2,则称M'为M的“r-圆称点”,图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形G'称为G的“r-圆称形”.则A(1,0)的“3-圆称点”为 ,圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为 .
7.在△ABC中,A(-4,1),B(8,5),△ABC的内心为D(6,1).
(1)求△ABC内切圆的方程;
(2)求△ABC外接圆的方程.
答案与分层梯度式解析
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
基础过关练
1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 11.A
1.C 圆心为(a,b),半径是r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.故选C.
2.B 由题知,所求圆的圆心为(3,0),半径为=,所以以线段AB为直径的圆的方程是(x-3)2+y2=5.故选B.
知识延伸 平面上以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
3.D ∵圆心在x轴上,∴设圆心为M(a,0),∵圆过点A(-1,3)和B(1,1),∴|MA|=|MB|,得|MA|2=|MB|2,即(a+1)2+9=(a-1)2+1,解得a=-2,可得圆心为M(-2,0),半径为|MA|==.故所求圆的方程为(x+2)2+y2=10.故选D.
4.D 设圆心为C(a,b),由圆心C与点P关于直线y=x+1对称,得直线CP与直线y=x+1垂直,∵直线y=x+1的斜率为1,∴直线CP的斜率为-1,∴=-1,化简得a+b+1=0①,∵线段CP的中点在直线y=x+1上,∴=+1,化简得a-b-1=0②,联立①②,可解得a=0,b=-1,∴圆心C的坐标为(0,-1),∴圆C的标准方程为x2+(y+1)2=9.故选D.
5.D 设圆心为C(a,b),因为直线x-y=1与圆C相切于点B(2,1),所以kBC==-1,即a+b-3=0,易知线段AB的中垂线方程为x=3,圆心C在直线x=3上,故a=3,b=0,所以半径r==,所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.故选D.
名师点睛 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到圆的几何性质,如弦的中垂线必过圆心,圆心到切线的距离等于半径等.
6.答案 (x-2)2+(y-3)2=5
解析 因为圆M过点(0,2)和(0,4),所以圆心在直线y=3上,又圆心在直线2x-y-1=0上,故圆心的坐标为(2,3),故半径r==,故圆M的方程为(x-2)2+(y-3)2=5.
7.答案 (x+1)2+(y+1)2=2
解析 过O作直线x+y+4=0的垂线,垂足为A,如图.当OA为直径时,圆C的面积最小.又O到直线x+y+4=0的距离d==2,所以半径r=,设圆心为C(a,b),因为圆C与直线x+y+4=0相切,所以·(-1)=-1,即a=b,又a2+b2=2,所以a=-1,b=-1,故圆C的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2.
8.答案 (x-1)2+(y-2)2=5
解析 解法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为此圆过点A(2,0),B(0,4),O(0,0),
所以解得
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
解法二:由题得,kOA=0,线段OA的中点坐标为(1,0),中垂线方程为x=1,同理线段OB的中垂线方程为y=2,联立两中垂线方程得△AOB外接圆的圆心为(1,2),利用两点间距离公式可求出圆心与点O的距离为,即半径为,故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
解后反思 三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等,是三角形三边的中垂线的交点.
9.答案 x2+(y-2)2=4或(x-5)2+(y-2)2=4或(x-2)2+(y+2)2=4或(x+3)2+(y+2)2=4(写出其中的一个即可)
解析 由①③知圆心的纵坐标为2或-2,设其横坐标为a.当圆心为M(a,2)时,因为圆M与直线l相切,所以=2,解得a=0或a=5.当圆心为M(a,-2)时,因为圆M与直线l相切,所以=2,解得a=2或a=-3.所以圆M的方程为x2+(y-2)2=4或(x-5)2+(y-2)2=4或(x-2)2+(y+2)2=4或(x+3)2+(y+2)2=4.
10.解析 (1)设所求圆的标准方程为(x-a)2+y2=r2,
由题意得解得
所以所求圆的标准方程为x2+y2=13.
(2)联立解得所以交点为(-3,0),
则所求圆的半径为=,
所以所求圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2.
11.A 由题意得a+b=1,ab=-,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8,∴点P在圆C内,故选A.
12.答案
解析 因为点P在圆(x-1)2+y2=1的内部,所以(5a+1-1)2+(12a)2<1,所以-能力提升练
1.A 2.C 3.CD
1.A 两边平方得(|x|-1)2=2y-y2,整理得(|x|-1)2+(y-1)2=1,由题知|x|-1≥0,即|x|≥1,即x≥1或x≤-1.当x≥1时,方程为(x-1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半部分;当x≤-1时,方程为(x+1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(-1,1)且半径为1的圆的左半部分.
综上所述,方程|x|-1=表示的曲线为两个半圆,故选A.
2.C 解法一:设C(x,y),则|CA|2+|CB|2=|AB|2,
∴(x+3)2+y2+(x-7)2+y2=100,∴(x-2)2+y2=25.
∵A,B,C三点构成三角形,∴y≠0.
∴直角顶点C的轨迹方程是(x-2)2+y2=25(y≠0).
解法二:依题意得,直角顶点C在以AB为直径的圆上运动,且点C与点A,B不重合.易知线段AB的中点坐标为(2,0),|AB|=10,所以直角顶点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=25(y≠0).故选C.
易错警示 若A,B,C三点能构成三角形,则三点不共线,在设点的坐标以及求出方程后要注意排除不满足题目要求的取值.
3.CD 由题意设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=9.圆心C(a,b)到直线l的距离d===,①
∵直线l:x+y-4=0被圆C截得的弦AB的中点为P(3,1),∴kPC·kl=-1,即×(-1)=-1,②
由①②可得a=4,b=2或a=2,b=0,∴所求圆的标准方程为(x-4)2+(y-2)2=9或(x-2)2+y2=9.故选CD.
4.答案 +(y-1)2=(答案不唯一)
解析 如图所示,A(0,2),B(1,0),C(0,0),则D,易知点D到正方形ACNM、ABRS、BCPQ的顶点A,C,N,M,B,R,S,P,Q的距离依次为,,,,,,,,,所以圆D的方程为+(y-1)2=r2.故圆D的一个标准方程为+(y-1)2=.此答案不唯一.
5.答案 (x-5)2+=
解析 根据题意画出大致图形如图,
因为点E为劣弧上一点,满足=,所以CE⊥BD,因为AB为圆C的直径,所以∠ADB=90°,即AD⊥BD,所以CE∥AD.因为kCE=2,所以kAD=2,又A(3,6),所以直线AD:y=2x,又D(1,t),所以t=2,所以D(1,2),设B的坐标为(m,n)(m>0),因为AD⊥BD,kAD=2,所以kBD=-,即=-,所以m+2n=5①.
因为△ABD的面积为15,|AD|==2,所以|AD|·|BD|=×2×=15,即|2m-n|=15②,联立①②解得或(舍去),即B(7,-1).
所以C,半径R=|AC|==,
所以圆C的标准方程为(x-5)2+=.
6.答案 (9,0);2x+4y-9=0
解析 设A的“3-圆称点”为A'.∵A(1,0),∴射线OA所在直线的方程为y=0(x>0),∵A'在射线OA上,∴设A'(a,0),a>0,由|OA|·|OA'|=r2=9,可得1×a=9,∴a=9,∴A(1,0)的“3-圆称点”为(9,0).设M(x0,y0)为圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)上任意一点,M'(x,y)为其“3-圆称形”上一点,∵点M'在射线OM上,∴O,M,M'三点共线,所以存在实数k(k>0),使=k,则(x,y)=k(x0,y0),即x=kx0,y=ky0,由|OM|·|OM'|=r2=9,可得·=·=9,可得k(+)=9,∵M(x0,y0)在圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)上,∴+-2x0-4y0=0,故k(+)-2kx0-4ky0=0,即9-2x-4y=0,整理得2x+4y-9=0,∴圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为2x+4y-9=0.
7.解析 (1)由A(-4,1),B(8,5)可得直线AB的方程为y-1=(x+4),即x-3y+7=0,
所以D(6,1)到直线x-3y+7=0的距离d==,
因此△ABC内切圆的半径为,圆心为D(6,1),
所以△ABC内切圆的方程为(x-6)2+(y-1)2=10.
(2)设直线AB与内切圆相切于点M,内切圆半径为r,连接AD,BD,DM,如图,
因为|AB|==4,
|AM|===3,
所以|BM|=|AB|-|AM|==r,
所以∠ABD=45°,
因为BD平分∠ABC,所以∠ABC=2∠ABD=90°,因此AB⊥BC,
所以△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形.
由kAB==,得kBC=-=-3,
所以直线BC的方程为y=-3(x-8)+5,
又AD∥x轴,所以直线AB,AC关于直线AD对称,因此kAC=-kAB=-,
因此直线AC的方程为y=-(x+4)+1,
联立直线AC,BC的方程,得解得故C(11,-4),
因此AC的中点坐标为,即外接圆圆心为,又外接圆的半径为|AC|=×=,
故△ABC外接圆的方程为+=.
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