2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
基础过关练
题组一 直线与圆的位置关系
1.圆x2+(y+1)2=1与直线x+2y+3=0的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
2.直线3x+my-2m=0平分圆C:x2+2x+y2-2y=0,则m=( )
A. B.1 C.-1 D.-3
3.若点(m,n)在圆O:x2+y2=4上,则直线mx+ny=4与圆O的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
4.圆x2+y2=1与直线xsin θ+y-1=0的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.相切或相交
5.(教材习题改编)已知直线mx-y-m-1=0,圆x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点
(2)只有一个公共点
(3)没有公共点
6.已知圆C经过A(2,0),B(0,4)两点,且圆心在直线2x-y-3=0上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)过点T(-1,0)的直线l与圆C交于P,Q两点,且·=-5,求直线l的方程.
题组二 圆的相交弦问题
7.若直线l:y=x+2与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则|AB|=( )
A. B.2 C.2 D.4
8.已知直线l:y=2x与圆C:x2+y2+2x-4ay+1=0(a≠0)交于A,B两点,且点C到直线l的距离等于|AB|,则a的值为( )
A.1 B.2+4
C.1或- D.2+4或2-4
9.直线y=kx+2与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
10.已知直线xsin θ+2ycos θ=2(θ∈R)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,则|AB|的最大值为 .
11.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求m的值.
12.已知定点A(1,-3),点B为圆(x+1)2+(y+1)2=4上的动点.
(1)求AB的中点C的轨迹方程;
(2)若过定点P的直线l与C的轨迹交于M,N两点,且|MN|=,求直线l的方程.
题组三 圆的切线问题
13.过点P(2,4)向圆(x-1)2+(y-1)2=1引切线,则切线的方程为( )
A.x=-2或4x+3y-4=0 B.4x-3y+4=0
C.x=2或4x-3y+4=0 D.4x+3y-4=0
14.已知直线l:x+y-4=0上有一动点P,过点P向圆x2+y2=1引切线,则切线长的最小值是( )
A. B. C.2-1 D.2
15.过圆O:x2+y2=1外一点P(a-2,a)作圆O的切线,切点分别为A,B,则直线AB过定点( )
A. B.
C. D.
16.过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则△ABP的外接圆的方程是 .
17.已知圆M:x2+(y-2)2=1,点P是直线l:x+2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B.
(1)当切线PA的长度为时,求点P的坐标;
(2)求线段AB长度的最小值.
能力提升练
题组一 直线与圆的位置关系
1.无论实数t取何值,直线tx+y+t-1=0与圆(x-2)2+(y-2)2=m2恒有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.m>
B.m≥
C.m<-或m>
D.m≤-或m≥
2.若圆M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为,则k的取值范围是( )
A.[-,0)∪(0,]
B.[-,]
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
3.(多选题)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下列命题中正确的是( )
A.对任意实数k和θ,直线l和圆M都有公共点
B.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切
C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切
D.存在实数k与θ,使得圆M上有一点到直线l的距离为3
4.已知直线l:kx-y+k=0,若直线l与圆x2-2x+y2-4y+3=0在第一象限内的部分有公共点,则k的取值范围是 .
题组二 圆的相交弦、切线问题
5.已知圆C:(x-1)2+y2=4,直线l:x-my+2m=0与圆C相交于A,B两点,若圆C上存在点P,使得△ABP为正三角形,则实数m的值为( )
A.- B.
C.-或0 D.或0
6.在平面直角坐标系Oxy中,过点A(0,a)向圆C:(x-2)2+(y-1)2=3引切线,切线长为d1,设点A到直线x-y+4=0的距离为d2,当d1+d2取最小值时,a=( )
A. B.3 C.2 D.1
7.已知圆O:x2+y2=r2(r>0),A(x1,y1),B(x2,y2)是圆O上两点,满足x1+y1=x2+y2=3,x1x2+y1y2=-r2,则r=( )
A. B.3 C.2 D.3
8.已知P,Q是圆O:x2+y2=2上的两个动点,点A在直线l:x+y-4=0上,若∠PAQ的最大值为90°,则∠PAQ最大时,点A的坐标是( )
A.(1,) B.
C.(4,0) D.
9.(多选题)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则所给说法错误的是( )
A.y-x的最大值为-2
B.x2+y2的最大值为7+4
C.的最大值为
D.x+y的最大值为2+
10.在平面直角坐标系Oxy中,圆O:x2+y2=1,圆C:(x-4)2+y2=4.若存在过点P(m,0)的直线l被两圆截得的弦长相等,则实数m的取值范围是 .
11.已知直线l:x+y+m=0,圆C:x2+y2-4x=0,若在直线l上存在一点P,使得过点P所作的圆的切线PA,PB(切点分别为A,B)满足∠APB=60°,则m的取值范围为 .
题组三 直线与圆的位置关系的综合应用
12.设m∈R,圆M:x2+y2-2x-6y=0,若动直线l1:x+my-2-m=0与圆M交于点A,C,动直线l2:mx-y-2m+1=0与圆M交于点B,D,则|AC|+|BD|的最大值是 .
13.已知圆O:x2+y2=1和直线l:x+y-2=0,圆P以点(-1,-2)为圆心,且直线l被圆P所截得的弦长为.
(1)求圆P的方程;
(2)设M为圆P上任意一点,过点M向圆O引切线,切点为N,试探究:平面内是否存在一定点R,使得为定值 若存在,请求出定点R的坐标,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.
14.为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全,海事部门在某平台O的正东方向设立了两个观测站A,B(点A在点O与点B之间),它们到平台O的距离分别为3海里和12海里,记海平面上到两观测站A,B的距离的比值为的点P的轨迹为曲线E,规定曲线E及其内部区域为安全预警区(如图).
(1)如图,以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,1海里为单位长度,建立平面直角坐标系,求曲线E的方程;
(2)某日在观测站B处发现,在该海上平台O的正南方向相距2海里的C处,有一艘轮船正以每小时10海里的速度向北偏东30°方向航行,如果航向不变,该轮船是否会进入安全预警区 如果不进入,说明理由;如果进入,请求出它在安全预警区中的航行时间.
答案与分层梯度式解析
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
基础过关练
1.A 2.D 3.B 4.D 7.B 8.C 9.A 13.C
14.A 15.B
1.A 由已知可得圆的圆心为(0,-1),半径为1,
圆心到直线x+2y+3=0的距离d==<1,
∴直线与圆的位置关系为相交.故选A.
2.D 因为直线3x+my-2m=0平分圆C:x2+2x+y2-2y=0,所以直线过圆心C(-1,1),所以-3+m-2m=0,解得m=-3.故选D.
3.B 圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,
O(0,0)到直线mx+ny=4的距离d=,
又点(m,n)在圆O:x2+y2=4上,则m2+n2=4,故d=2=r,所以直线mx+ny=4与圆O相切.故选B.
4.D 圆x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径r=1,圆心到直线xsin θ+y-1=0的距离d=≤1,即d≤r,∴直线与圆的位置关系为相交或相切.(速解:易知直线xsin θ+y-1=0恒过点(0,1),而(0,1)是圆上的点,∴直线与圆的位置关系是相交或相切)故选D.
5.解析 解法一:将直线方程mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简并整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.易知Δ=4m(3m+4).
(1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点.
(2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0,即-解法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,
故圆心为(2,1),半径r=2.
设圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离为d,
则d==.
(1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点.
(2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.
(3)当d>2,即-6.解析 (1)由题得线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为=-2,
所以线段AB的中垂线方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0,
易知圆心C为AB的中垂线与直线2x-y-3=0的交点,
联立解得x=y=3,故圆心为C(3,3),
又圆C的半径r=|AC|==,
所以圆C的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=10.
(2)因为过点T(-1,0)的直线l与圆C相交于P,Q两点,所以||=||=,又·=-5,故×cos∠PCQ=-5,可得∠PCQ=120°,
所以C到直线PQ的距离为,
易知直线l的斜率存在,设为k,则直线l:y=k(x+1),即kx-y+k=0,
可得=,解得k=或k=,
则直线l的方程为x-3y+1=0或13x-9y+13=0.
7.B 圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2,
所以圆心到直线l:y=x+2的距离d==,所以|AB|=2=2,故选B.
8.C 圆C:x2+y2+2x-4ay+1=0(a≠0)即(x+1)2+(y-2a)2=4a2(a≠0),所以其圆心为C(-1,2a),半径r=|2a|,
则圆心到直线l:y=2x的距离d=,
因为点C到直线l的距离等于|AB|,所以d2+=r2,
即+=4a2,解得a=1或a=-.故选C.
9.A 由圆的方程:(x-3)2+(y-2)2=4,可得其圆心为(3,2),半径r=2,所以圆心到直线y=kx+2的距离d==,由弦长公式可得|MN|=2=2,因为|MN|≥2,所以2≥2,所以0≤d≤1,即∈[0,1],解得-≤k≤,故k的取值范围是.故选A.
10.答案 2
解析 易知圆O的圆心为O(0,0),半径R=2,设圆心O到直线的距离为d,则d==≥1(仅当cos2θ=1时取等号),又|AB|=2=2,故当d取最小值时|AB|取得最大值,即d=1时,|AB|取得最大值,且|AB|max=2.
11.解析 (1)证明:易知直线l过定点(1,1),记P(1,1),∵|PC|==1<,即点P在圆C内,∴对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)∵圆C的半径r=,|AB|=,∴圆心(0,1)到l的距离d==,即=,解得m=±.
12.解析 (1)设点C的坐标为(x,y),则点B的坐标为(2x-1,2y+3),
∵点B为圆(x+1)2+(y+1)2=4上的动点,
∴(2x-1+1)2+(2y+3+1)2=4,即x2+(y+2)2=1,
∴AB的中点C的轨迹方程为x2+(y+2)2=1.
(2)由(1)知点C的轨迹为圆,且该圆的圆心为(0,-2),半径r=1.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=,此时|MN|=,满足条件;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k,
∵r=1,|MN|=,∴圆心(0,-2)到直线l的距离d=,即d==,解得k=,
∴直线l的方程为y+1=,即6x-8y-11=0.
综上,直线l的方程为x=或6x-8y-11=0.
13.C 若切线与x轴垂直,则切线方程为x=2,此时圆心(1,1)到直线x=2的距离为1,与圆的半径相等,符合题意;
当切线的斜率存在时,设切线的方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
由题意可得==1,解得k=,
此时,所求切线的方程为4x-3y+4=0.
综上所述,所求切线方程为x=2或4x-3y+4=0.
故选C.
14.A 设坐标原点为O,圆x2+y2=1的半径为r.根据切线的性质可得切线长==,要使切线长最小,则要求|OP|最小,易知当OP⊥l时,满足要求,此时|OP|==2,∴切线长的最小值为=,故选A.
15.B 不妨设P(x0,y0),则以OP为直径的圆的方程为x(x-x0)+y(y-y0)=0,即x2+y2-x0x-y0y=0①,记该圆为M.因为PA,PB是圆O的切线,所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以A,B在圆M上,所以AB是圆O与圆M的公共弦,又因为圆O:x2+y2=1②,所以由①-②得直线AB的方程为x0x+y0y-1=0,又x0=a-2,y0=a,代入得(a-2)x+ay-1=0,即a(x+y)-2x-1=0,令解得所以直线AB过定点.故选B.
16.答案 (x-2)2+(y-1)2=5
解析 不妨设yA>yB,坐标原点为O.由题意可得A(0,2),所求圆的圆心在AP的垂直平分线(即直线x=2)上,且在弦AB的垂直平分线(即直线OP)上,易得直线OP的方程为y=x,联立x=2和y=x,可得x=2,y=1,∴所求圆的圆心为(2,1),故所求圆的半径的平方r2=(2-0)2+(1-2)2=5,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
17.解析 (1)由题意可知,圆M的圆心为M(0,2),半径r=1,设P(-2b,b),
因为PA是圆M的一条切线,A为切点,所以∠MAP=90°,又|AM|=r=1,|AP|=,
所以|MP|===2,解得b=0或b=,
所以点P的坐标为(0,0)或.
(2)设P(-2t,t),因为PA,PB是圆M的两条切线,切点分别为A,B,所以∠PAM=∠PBM=90°,
所以A,P,B,M四点共圆,且以MP为直径,
设圆心为N,可得圆N的方程为x(x+2t)+(y-2)(y-t)=0,即x2+y2+2tx-(t+2)y+2t=0①,
又圆M:x2+y2-4y+3=0②,
所以由①-②得圆M与圆N的相交弦AB所在直线的方程为2tx-(t-2)y+2t-3=0.
点M(0,2)到直线AB的距离d=,所以|AB|=2=2=2,
所以当t=时,线段AB的长度取最小值,为.
能力提升练
1.D 2.C 3.AC 5.C 6.C 7.D 8.A 9.CD
1.D 直线tx+y+t-1=0即t(x+1)+y-1=0,所以直线过定点(-1,1),因为直线与圆恒有公共点,所以点(-1,1)在圆内或在圆上,所以(-1-2)2+(1-2)2≤m2,解得m≤-或m≥.故选D.
2.C 圆M:x2+y2-6x+8y=0可化为(x-3)2+(y+4)2=25,∴圆心坐标为(3,-4),半径为5.若圆M上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为,则圆心(3,-4)到直线l的距离应小于或等于,即≤,解得k≥或k≤-,∴k的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).
3.AC 圆心M(-cos θ,sin θ)到直线l的距离d===|sin(θ+φ)|,其中tan φ=k.∵d≤1,∴直线l与圆M恒有公共点,A正确.当θ=0时,d=<1恒成立,此时不存在实数k,使得直线l和圆M相切,B错误.无论k为何值,d=|sin(θ+φ)|=1都有解,即对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切,C正确.∵d≤1,且圆上任一点到直线l的距离都不超过d+1,∴d+1≤2,D错误.故选AC.
4.答案 [2-,3)
解析 圆x2-2x+y2-4y+3=0可化为(x-1)2+(y-2)2=2,∴圆心为(1,2),半径r=,记C(1,2).
由直线l:kx-y+k=0即y=k(x+1),可得直线l过定点(-1,0),记A(-1,0).
如图,当直线与圆相切于点M时直线斜率最小,且直线斜率的最大值趋近于kAB.
由=,可得k=2±,结合图形可知kAM=2-;
由A(-1,0),B(0,3),可得kAB==3,
∴k的取值范围是[2-,3).
5.C 圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为C(1,0),半径r=2,圆心C到直线l的距离d==,|AB|=2=2,由△ABP为等边三角形,可得P到直线AB的距离为|AB|=,过P作直线n∥l,设直线n:x-my+t=0,t≠2m,可得直线n与圆C相切,即有=2,解得t=-1±2,则直线l,n间的距离为=,由|AB|>0,得m<,所以m=0或m=-.故选C.
6.C 由题可知圆C的圆心为C(2,1),半径r=,
点A(0,a)到圆心C的距离为|AC|==,
所以切线长d1===,可看成点A到定点P(1,1)的距离,
由(1-2)2+(1-1)2<3,可知P(1,1)在圆C内.
如图,设过A向圆引的切线的切点为B,过点P作PH垂直于直线x-y+4=0,垂足为H,与y轴的交点为A',所以kPH=-1,
则直线PH:y-1=-(x-1),即y=-x+2,
令x=0,得y=2,即A'(0,2).易知当点A与A'重合时,d1+d2有最小值,此时a=2.故选C.
7.D 因为A(x1,y1),B(x2,y2)满足x1+y1=x2+y2=3,所以AB所在直线的方程为x+y=3,由题知A,B是圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x+y=3的公共点,联立消去x,可得2y2-6y+9-r2=0,可得y1y2=,同理可得x1x2=,又x1x2+y1y2=-r2,故+=-r2,解得r=3(负值舍去).故选D.
8.A O(0,0)到直线x+y-4=0的距离d==2>,故直线与圆相离,故直线上任意一点A与圆上两点P,Q所成角最大时,AP,AQ均为圆的切线,如图,
因为∠PAQ的最大值为90°,所以当∠PAQ最大时,四边形APOQ是边长为的正方形,则|OA|=2,此时d=|OA|,令A(4-y,y),则有(4-y)2+y2=4,即y2-2y+3=0,所以y=,即A(1,).故选A.
9.CD 方程x2+y2-4x+1=0即(x-2)2+y2=3,它表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.令y-x=a,=k,x+y=b,则这三条直线都与该圆有公共点,所以≤,≤,≤,解得--2≤a≤-2,-≤k≤,2-≤b≤2+,所以y-x的最大值为-2,的最大值为,x+y的最大值为2+,所以A中说法正确,C、D中说法错误;易知x2+y2表示圆上的点与坐标原点间距离的平方,且圆上的点到原点的距离的范围为[2-,2+],即2-≤≤2+,故7-4≤x2+y2≤7+4,所以x2+y2的最大值为7+4,B中说法正确.故选CD.
方法总结 若P(x,y)是定圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上一动点,则mx+ny,,x2+y2的最值一般都采用几何法求解,具体求法如下:
①mx+ny的最值:设mx+ny=t,则圆心C(a,b)到直线mx+ny=t的距离d=,由d≤r可得两个t值,一个为最大值,一个为最小值.
②的最值:即点P与原点连线的斜率,通过数形结合可求得斜率的最大值和最小值.
③x2+y2的最值:x2+y2可视为点P到原点的距离d的平方,可通过圆心到原点的距离加上或者减去半径得到d的最大值或最小值,然后平方即可.
10.答案 -4解析 显然直线l的斜率存在,设直线l:y=k(x-m),即kx-y-km=0,
依题意得1->0,4->0,且1-=4-有解,故∴∴13-8m>0,
消去k2可得3m2+8m-16<0,解得-411.答案 [-4-2,4-2]
解析 圆C:x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4,其圆心为(2,0),半径r=2,
过点P作圆C的两条切线,切点分别为A,B,连接PC,CA,CB,如图所示,
若直线l:x+y+m=0上存在点P满足∠APB=60°,则∠APC=30°,
又CA⊥PA,
故|PC|=2|CA|=2r=4,
故点C到直线l的距离d=≤4,
解得-4-2≤m≤4-2,
即m的取值范围是[-4-2,4-2].
12.答案 2
解析 圆M:x2+y2-2x-6y=0可化为(x-1)2+(y-3)2=10,∴其圆心为M(1,3),半径r=.
由直线l1:x+my-2-m=0,即x-2+m(y-1)=0,可知l1过定点(2,1),记E(2,1),
由直线l2:mx-y-2m+1=0,即m(x-2)-y+1=0,可知l2过定点E(2,1).
易知l1⊥l2,如图,设线段AC和BD的中点分别为F,G,则四边形EFMG为矩形,
设|MF|=d,0≤d≤|ME|=,则|MG|===,
则|AC|+|BD|=2+2=2(+)≤2=2,
当且仅当10-d2=5+d2,即d=时取等号.
13.解析 (1)点P(-1,-2)到直线l的距离d==,
故圆P的半径r==4,
所以圆P的方程为(x+1)2+(y+2)2=16.
(2)设M(x,y),R(a,b),则(x+1)2+(y+2)2=16,整理得x2+y2=-2x-4y+11,
则|MN|2=|MO|2-1=x2+y2-1,|MR|2=(x-a)2+(y-b)2,
则==
=,
若使为定值,则==,
解得或
所以平面内存在一定点R,使得为定值,且当R的坐标为时,=,当R的坐标为1-,2-时,=.
14.解析 (1)设P(x,y),由题意知A(3,0),B(12,0),且=,即2=,
化简得x2+y2=36,所以曲线E的方程为x2+y2=36.
(2)由题意知C(0,-2),设D为轮船原航线上任意一点,如图.
∵轮船向北偏东30°方向航行,
∴直线CD的倾斜角为60°,即直线CD的斜率为,
∴直线CD的方程为y=x-2,
∵曲线E的方程为x2+y2=36,圆心O(0,0),半径R=6海里,
圆心O到直线CD的距离d==(海里),满足d∴如果轮船不改变航向,那么它一定会进入安全预警区.
直线CD被圆O截得的弦长l=2=10(海里),
∵轮船以每小时10海里的速度航行,
∴它在安全预警区中的航行时间t==1(小时).
故如果航向不变,轮船一定会进入安全预警区,它在安全预警区中的航行时间为1小时.
7(共38张PPT)
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
设圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0).圆心M(a,b)到直线l的距离
d= .由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式
为Δ.
知识点 直线与圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
几何法 dr
代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0
必备知识 清单破
知识辨析
1.若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解,则直线和圆的位置关系有哪些可能
2.若直线与圆相交,则相交弦的垂直平分线经过圆的圆心吗
3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线方程与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程是
否有解
4.经过圆内一点(非圆心)的最长弦与最短弦所在直线的位置关系如何
5.若两条不重合的直线被同一个圆截得的弦长相等,则这两条直线一定平行吗
一语破的
1.相交或相切.
2.经过.
3.没有.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,消元后的方程一定无解.
4.垂直.经过圆内一点(非圆心)的最长弦即为经过该点的直径,最短弦和该直径垂直.
5.不一定.也可能相交.
判断直线和圆的位置关系主要有几何法和代数法两种方法.几何法侧重图形的几何性
质,较代数法步骤简捷,所以一般选用几何法.
定点 1 直线与圆的位置关系
关键能力 定点破
典例 已知圆x2+y2=1与直线y=kx-3k,当k分别为何值时,直线与圆:①相交 ②相切 ③相离
解析：解法一(代数法):联立
消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,
则Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).
①当直线与圆相交时,Δ>0,故- ②当直线与圆相切时,Δ=0,故k=± ;
③当直线与圆相离时,Δ<0,故k<- 或k> .
解法二(几何法):圆心(0,0)到直线y=kx-3k的距离d= = .
由题意知,圆的半径r=1.
①当直线与圆相交时,d②当直线与圆相切时,d=r,即 =1,解得k=± ;
③当直线与圆相离时,d>r,即 >1,解得k<- 或k> .
技巧点拨：直线与圆的位置关系的判断方法
直线与圆的位置关系反映在三个方面,一是点到直线的距离与圆半径大小的关系;二是直线
与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可直接根据公共
点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法求解,几何法计算量小,代数
法可一同求出交点.解题时可根据已知条件做出恰当的选择.
1.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法
过定点P作已知圆的切线,当点P在圆内时,无切线;当点P在圆上时,有且只有一条切线;当点P
在圆外时,有两条切线.
(1)当点P在圆上时,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记其为k,则切线斜率为- ;
若斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.
(2)当点P在圆外时,设切线斜率为k,由点斜式写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径
r解出k即可(若仅求出一个k值,则还有一条斜率不存在的切线).
2.切线长的求法
过圆外一点P可作圆的两条切线,我们把点P与切点之间的距离称为切线长.切线长可由
勾股定理来计算.
定点 2 与圆有关的切线问题
如图,从圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线,则切线长为 .
3.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论
(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的圆的切线方程为x0x+y0y=r2;
(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的圆的切线方程为x0x+y0y+D·
+E· +F=0.
4.过圆外一点的切线有两条,可熟记下列结论
(1)若点P(x0,y0)为圆x2+y2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,如图1,则直线
AB的方程为x0x+y0y=r2.
(2)若点P(x0,y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,如图2,
则直线AB的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)若点P(x0,y0)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为
A,B,则直线AB的方程为x0x+y0y+D· +E· +F=0.
典例 (1)已知圆的方程为x2+y2=13,它与斜率为- 的直线相切,则该切线方程为
.
(2)过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,则其切线长为 .
(3)已知圆C:x2+y2=9,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,且A,B为切
点,则直线AB经过定点 .
2x+3y-13=0或2x+3y+13=0
4
(1,2)
解析：(1)解法一:由题可设所求切线方程为y=- x+b,即2x+3y-3b=0.
因为圆x2+y2=13与直线2x+3y-3b=0相切,
所以圆心(0,0)到直线2x+3y-3b=0的距离d= = ,解得b=± .所以所求切线方程为2x+
3y-13=0或2x+3y+13=0.
解法二:由题可设所求切线方程为y=- x+b.
由 消去y并整理,得 x2- x+b2-13=0.令Δ=0,即 b2-4× ×(b2-13)=0,解得b=± .
所以所求切线方程为2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.
(2)易得点A在圆C外,圆心C的坐标为(3,1),圆的半径为1.
设切点为B,则△ABC为直角三角形,
易得|AC|= = ,|BC|=1,所以|AB|= = =4,所以切线长
为4.
(3)设P(9-2b,b),易得直线AB的方程为(9-2b)x+by=9,即b(y-2x)+9x=9,令 解得 故
直线AB经过定点(1,2).
1.直线与圆相交的弦长的求法
定点 3 直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题
几何法 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+ 求解
代数法 若直线与圆的交点坐标易求出,则求出交点坐标,然后用两点间的距离公式计算弦长
弦长公式法 设直线l:y=kx+b与圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得弦长l= |x1-x2|
=
= (k≠0)
2.解决与中点弦有关问题的方法
(1)联立直线方程与圆的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系求出中点
坐标;
(2)设出弦的两个端点的坐标,利用点在圆上得到两个方程,通过作差求出弦所在直线的斜率,
此法即为点差法;
(3)利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦所在直线垂直解决问题.
典例1 直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交于A,B两点,截得的弦的长为4 ,求直线l的
方程.
思路点拨：通过讨论直线斜率不存在的情况,可知直线的斜率存在,直接设出直线的点斜式
方程.
思路一:联立直线与圆的方程,消去y,得到一个关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系结
合弦长公式求出斜率k,进而求出l的方程.
思路二:求出圆心到直线l的距离,利用半径、半弦长、圆心到直线的距离之间的关系求出斜
率k,进而求出l的方程.
解析：若直线l的斜率不存在,则l:x=5,与圆C相切,不合题意,所以直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y-5=k(x-5),且与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
解法一:由 消去y,
得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0.
所以Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,解得k>0.
又因为x1+x2=- ,x1x2= ,
所以|AB|=
=
=4 ,整理得2k2-5k+2=0,解得k= 或k=2,均符合题意.
故直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
解法二:直线l:y-5=k(x-5),即kx-y+5(1-k)=0.设圆心(0,0)到直线l的距离为d,圆C的半径为r,则d=
,r=5,
又d= = = ,
所以 = ,解得k= 或k=2,均符合题意.
所以直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
典例2 已知圆x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2),求以A为中点的弦所在直线l的方程.
思路点拨：根据斜率是否存在进行分类讨论.
思路一:结合一元二次方程根与系数的关系列方程求解.
思路二:利用“点差法”及“设而不求,整体代换”的策略求解.
思路三:利用圆的几何性质——非直径的弦的中点与圆心的连线和弦所在的直线垂直求解.
解析：解法一:由题知直线l与圆有两个交点,设两个交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
当直线l的斜率存在时,设其为k,则直线l的方程为y+2=k(x-4),代入圆的方程,消去y,
得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0.
则Δ>0,x1+x2= =4×2,解得k=-2.
所以直线l的方程为2x+y-6=0.
当直线l的斜率不存在时,其方程为x=4,此时圆与直线l的两个交点分别为(4,-3- ),(4,-3+
),不满足题意.
综上,直线l的方程为2x+y-6=0.
解法二:由题知直线l与圆有两个交点,设两个交点分别为B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=-4.
当直线l的斜率不存在时,其方程为x=4,此时圆与直线l的两个交点分别为(4,-3- ),(4,-3+
),不满足题意.
当直线l的斜率存在时,设其为k,则k= .
把B,C两点的坐标分别代入圆的方程,
得
①-②,等号两边同时除以(x1-x2)并整理,得(x1+x2)+(y1+y2)· -4+6· =0,即8-4k-4+6k=0,
解得k=-2.
故直线l的方程为2x+y-6=0.
综上,直线l的方程为2x+y-6=0.
解法三:当直线l的斜率不存在时,其方程为x=4,此时圆与直线l的两个交点分别为(4,-3- ),
(4,-3+ ),不满足题意.
设圆心为M,直线l的斜率为k.
易知M(2,-3),所以kMA= ,所以k=-2.
所以直线l的方程为2x+y-6=0.
利用圆的方程解决最值问题的方法
(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关
知识,结合图形的直观性来分析并解决问题,常涉及的几何量有直线的斜率、截距,两点间的
距离等.
(2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决.
(3)利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目
标函数,利用三角函数知识求最值.
定点 4 与圆有关的最值问题
典例1 已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0.
(1)m∈R时,证明l与C总相交;
(2)当m取何值时,l被C截得的弦最短 求最短弦的长.
解析：(1)证明:直线l的方程可化为y+3=2m(x-4),由直线的点斜式方程可知,直线恒过点(4,-3),
记P(4,-3).由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0,
所以点P在圆内,故直线l与圆C总相交.
(2)圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.
结合弦长公式可知,当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,l被C截得的弦最短,此时直线PC⊥l,
又kPC= =3,所以直线l的斜率为- ,则2m=- ,所以m=- .所以直线l:x+3y+5=0.
此时设直线l与圆C的两个交点分别为A,B.在Rt△APC中,|PC|= = ,|AC|=r=5,
所以|AB|=2 =2 .
故当m=- 时,l被C截得的弦最短,最短弦的长为2 .
典例2 已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上的一点.
(1)求4x-3y的最大值和最小值;
(2)求 的最大值和最小值;
(3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值.
解析：(1)令4x-3y=m,则 可以看成直线4x-3y=m在x轴上的截距,要使m最大(或最小),只需直
线在x轴上的截距最大(或最小).由图1可知,当直线4x-3y=m与圆x2+y2=4相切时,m分别取得最
大值和最小值.
图1
由圆心(0,0)到直线4x-3y-m=0的距离等于圆的半径,得 =2,即|m|=10,故m=±10.故
mmax=10,mmin=-10,即4x-3y的最大值为10,最小值为-10.
(2)令 =k,则k表示圆x2+y2=4上一点(x,y)与点(-2 ,-2)连线的斜率.
由图2知,当直线y+2=k(x+2 )与圆x2+y2=4相切时,k分别取得最大值和最小值.
图2
由 =2,得|2 k-2|=2 ,即3k2-2 k+1=k2+1,解得k=0或k= ,故kmax= ,
kmin=0,即 的最大值为 ,最小值为0.
(3)令(x-4)2+(y+3)2=d,则 表示圆上一点(x,y)与点(4,-3)的距离.如图3,由点(4,-3)到圆心(0,0)的
距离为5可知,( )max=5+2=7,( )min=5-2=3,故dmax=49,dmin=9,即(x-4)2+(y+3)2的最大值为49,最
小值为9.
图3
素养解读
通过建立平面直角坐标系写出直线和圆的方程,将实际问题中直线与圆的位置关系转化
为坐标运算,体现了数学建模的核心素养.通过代数式的变形来研究不等式或最值问题,体现
了逻辑推理和数学运算的核心素养.
典例呈现
学科素养 情境破
素养 通过直线与圆的方程和位置关系在实际问题中的应用发展逻辑推理和数学建模的核心素养
例题 如图1,某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2 m的圆柱形花柱,四周斑马线的内侧
连线构成边长为20 m的正方形.因工程需要,测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量,其
中仪器P的移动速度为1.5 m/s,仪器Q的移动速度为1 m/s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花
柱阻挡,则称仪器Q在仪器P的“盲区”中.
图1
(1)如图2,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD,仪器P在点A处,仪器Q在BC上且距离点C 4 m,
试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中,并说明理由;
(2)如图3,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD,仪器P从点A出发向点D移动,同时仪器Q从点
C出发向点B移动,在这个移动过程中,仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少
图2 图3
信息提取：仪器Q在仪器P的“盲区”中要满足P,Q的连线与圆有公共点,即相交或相切.
解题思路：(1)仪器Q在仪器P的“盲区”中,理由如下:
建立如图①所示的平面直角坐标系,则Q(10,6),P(-10,-10),
所以kPQ= ,
所以直线PQ的方程是y-6= (x-10),
即4x-5y-10=0,故圆心O到直线PQ的距离d= = <2,
所以圆O与直线PQ相交,故仪器Q在仪器P的“盲区”中.
图① 图②
(2)建立如图②所示的平面直角坐标系,则A(-10,-10),B(10,-10),C(10,10),D(-10,10).
依题意知起始时刻仪器Q在仪器P的“盲区”中.
假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为t s(t≥0),则P ,Q(10,10-t),所以kPQ=
= = ,
故直线PQ的方程是y-(10-t)= (x-10),
即(t-8)x+8y-2t=0,
从而圆心O到直线PQ的距离d= = ≤2,
即t2≤t2-16t+128,解得t≤8,
又t≥0,所以0≤t≤8.
故仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为8 s.
利用直线与圆的方程解应用题的步骤
(1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知.
(2)建系:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
(3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知.
(4)还原:将运算结果还原到实际问题中去.
思维升华
