2.5.2 圆与圆的位置关系
基础过关练
题组一 圆与圆的位置关系
1.圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x-2y-a=0(a∈R)的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.内含 D.以上均有可能
2.若圆C1:x2-2x+y2+4y+4=0与圆C2:(x+2)2+(y-2)2=r2(r>0)恰有一条公切线,则r=( )
A.4 B.6 C.4或6 D.8
3.已知圆C1:x2+(y-1)2=1和圆C2:(x-a)2+(y-1)2=16,其中a>0,则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是( )
A.2
C.34.已知圆C1的方程为(x-a)2+y2=1,圆C2的方程为(x-a-1)2+(y-b)2=4,其中a,b∈R.那么这两个圆的位置关系不可能为( )
A.外离 B.外切 C.内含 D.内切
5.已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-4)2+(y+a)2=64,其中a∈N*.若圆C1,C2仅有2条公切线,则a的值可能是 (给出满足条件的一个值即可).
6.我们把圆心在一条直线上且相邻圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中,圆A的方程为x2+(y-1)2=2,圆C的方程为(x-6)2+(y-7)2=2,则圆B的方程为 .
题组二 两圆的公共弦问题
7.已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,则两圆的公共弦所在直线的方程为( )
A.3x+4y+6=0 B.3x+4y-6=0
C.3x-4y-6=0 D.3x-4y+6=0
8.圆x2+y2+4x-2y=0和圆x2+y2-2x-3=0交于A,B两点,则相交弦AB的垂直平分线的方程为( )
A.6x-2y+3=0 B.x+3y-1=0
C.2x-2y+3=0 D.x-3y-1=0
9.若圆O1:x2+y2=25与圆O2:(x-7)2+y2=r2(r>0)的公共弦的长为2,则r=( )
A. B.
C.或 D.或
10.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求它们的内公切线方程;
(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2.求圆O2的方程.
能力提升练
题组 圆与圆的位置关系的应用
1.已知圆C1:(x-a)2+(y+3)2=9与圆C2:(x+b)2+(y+1)2=1外切,则ab的最大值为( )
A.2 B.2 C. D.3
2.圆O1:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有( )
A.公共弦AB所在直线的方程为x-2y+1=0
B.公共弦AB的长为
C.线段AB的中垂线方程为2x-y=0
D.∠AO2B>
3.(多选题)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,1),B(m,-1)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m可能的取值为( )
A.7 B.6
C.5 D.4
4.已知圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1,圆C2:(x-5)2+(y-6)2=16,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,当P点的横坐标为x0时,|PM|+|PN|取得最小值,则此时|PM|+|PN|+x0=( )
A.2+4 B.4-3 C.2+2 D.9
5.已知点A,B分别为圆C1:x2+y2-2x+8y+16=0与圆C2:x2+y2-6x+5=0上的两个动点,点P为直线l:x-y+2=0上一点,则|PA|+|PB|的最小值为 ,|PA|-|PB|的最小值为 .
6.在平面直角坐标系Oxy中,若圆C1:+(y+2)2=r2(r>1)上任意一点关于原点的对称点都不在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围为 .
7.已知P,Q分别是圆C:(x-4)2+y2=8与圆D:x2+(y-4)2=5上的点,O是坐标原点,则|PQ|+|PO|的最小值为 .
8.已知圆O:x2+y2=1与圆O1:x2+y2+6x-8y-10-a=0,当a=1时,两圆的公切线方程为 ;若两圆相交于A,B两点,且|AB|=,则a= .
9.已知圆C过点M(1,4),N(3,2),且圆心在直线4x-3y=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知平面内两点A(-2,0),B(2,0),P是圆C上的动点,求|AP|2+|BP|2的最小值;
(3)若Q是x轴上的动点,QR,QS与圆C相切,切点分别为R,S,试问直线RS是否恒过定点 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
2.5.2 圆与圆的位置关系
基础过关练
1.D 2.B 3.B 4.C 7.D 8.B 9.D
1.D 设圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x-2y-a=0的圆心分别为O1,O2,则O1(0,0),O2(-1,1),且圆心O2(-1,1)在圆O1上,因为圆O2的半径不确定,所以两圆可能相交,可能内切,也可能内含.故选D.
2.B 圆C1:(x-1)2+(y+2)2=1的圆心为C1(1,-2),半径r1=1,圆C2:(x+2)2+(y-2)2=r2(r>0)的圆心为C2(-2,2),半径为r,因为圆C1与圆C2恰有一条公切线,所以圆C1与圆C2内切,则|C1C2|=5=|r-1|,所以r=6.故选B.
3.B 由题意知圆C1的圆心为C1(0,1),半径R1=1,圆C2的圆心为C2(a,1),半径R2=4,所以|C1C2|=a,要使两圆相交,只需R2-R1<|C1C2|4.C 根据题意,知圆C1的圆心为C1(a,0),半径r=1,圆C2的圆心为C2(a+1,b),半径R=2,所以r+R=3,R-r=1,因为|C1C2|=≥1,所以|C1C2|≥R-r,故两圆的位置关系不可能是内含.故选C.
5.答案 5(答案不唯一)
解析 圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2:(x-4)2+(y+a)2=64的圆心为C2(4,-a),半径r2=8,所以|C1C2|=,因为圆C1,C2仅有2条公切线,所以圆C1,C2相交,所以6<<10,即20故答案为5(答案不唯一,填写5,6,7,8,9均可).
6.答案 (x-3)2+(y-4)2=8
解析 依题意可得,A(0,1),C(6,7),且B为线段AC的中点,所以B(3,4).又|AC|=6,圆A,圆C的半径都是,所以圆B的半径r=2.故圆B的方程为(x-3)2+(y-4)2=8.
7.D 将两个圆的方程相减,得3x-4y+6=0.故选D.
8.B 圆x2+y2+4x-2y=0即(x+2)2+(y-1)2=5,其圆心坐标为(-2,1),圆x2+y2-2x-3=0即(x-1)2+y2=4,其圆心坐标为(1,0).易知过两圆圆心的直线为弦AB的垂直平分线,则弦AB的垂直平分线的方程是=,即x+3y-1=0.故选B.
9.D 因为公共弦的长为2,所以圆心O1到公共弦所在直线的距离d1==2,又|O1O2|=7,所以圆心O2到公共弦所在直线的距离d2=7-2=5或d2=7+2=9,则r==或r==.故选D.
规律总结 与两圆公共弦的长有关的问题,通常利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成一个直角三角形,结合勾股定理进行求解.
10.解析 (1)由圆O1的方程可得其圆心为O1(0,-1),半径r1=2,设圆O2的半径为r2(r2>0),
由题意可得|O1O2|==2,
由两圆外切可得r1+r2=|O1O2|,即2+r2=2,可得r2=2-2,
所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=(2-2)2.
将圆O1与圆O2的方程作差,可得x+y+1-2=0,即内公切线方程为x+y+1-2=0.
(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).
将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程,即4x+4y+r2-8=0,
O1(0,-1)到直线AB的距离d==,
由弦长|AB|=2=2,可得d2=2,即=2,可得r2=4或r2=20,所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
方法归纳 将两圆方程作差得直线方程时,若两圆外切,则此直线方程是两圆的内公切线方程;若两圆内切,则此直线方程是两圆的外公切线方程;若两圆相交,则此直线方程是两圆公共弦所在的直线方程.
能力提升练
1.D 2.D 3.CD 4.B
1.D 由于圆C1:(x-a)2+(y+3)2=9与圆C2:(x+b)2+(y+1)2=1外切,所以=3+1,整理得(a+b)2=16-4=12,故12=a2+b2+2ab≥4ab,即ab≤3,当且仅当a=b时,等号成立.故选D.
2.D 由x2+y2-4=0与x2+y2+2x-4y=0作差,可得2x-4y+4=0,即x-2y+2=0,即公共弦AB所在直线的方程为x-2y+2=0,故A错误;圆心O1(0,0)到直线x-2y+2=0的距离d=,圆O1的半径r=2,所以|AB|=2=,故B错误;易知O1O2垂直平分AB,因为圆O1的圆心为O1(0,0),圆O2:x2+y2+2x-4y=0的圆心为O2(-1,2),所以线段AB的中垂线方程为2x+y=0,故C错误;对于D,圆心O2(-1,2)到直线x-2y+2=0的距离d'==,又|AB|=,d'<|AB|,所以∠AO2B>,故D正确.故选D.
3.CD 圆C:(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为C(3,4),半径为1,∵∠APB=90°,∴P是以AB为直径的圆上的点,又AB的中点为(0,0),记O(0,0),∴P是以O为圆心的圆上的点,∵C(3,4)到O(0,0)的距离为5,∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6,最小值为4,又|PO|=|AB|==,故4≤≤6,解得≤m≤,故选CD.
4.B 圆C1的圆心为C1(1,2),半径为1;圆C2的圆心为C2(5,6),半径为4.如图所示,设点C1关于x轴的对称点为C3,则C3(1,-2).
则|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-4=|PC3|-1+|PC2|-4≥|C2C3|-5,
而|C2C3|==4,
所以|PM|+|PN|≥4-5,又==2,
故直线C2C3的方程为y+2=2(x-1),即y=2x-4,
令y=0,得x=2,所以x0=2,
所以|PM|+|PN|取得最小值时,|PM|+|PN|+x0=4-3.故选B.
5.答案 3-3;2+3
解析 由C1:x2+y2-2x+8y+16=0,得(x-1)2+(y+4)2=1,∴其圆心为C1(1,-4),半径r1=1,由C2:x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,∴其圆心为C2(3,0),半径r2=2.设点C2关于直线l:x-y+2=0对称的点为C(a,b),∴解得a=-2,b=5,即C(-2,5),
则|PA|+|PB|≥|PC1|-r1+|PC2|-r2=|PC1|-r1+|PC|-r2≥|CC1|-r1-r2,
而|CC1|==3,∴|PA|+|PB|≥3-3.
由三角形的相关性质可知|PA|-|PB|≤|AB|,当|AB|取到最大值时,|PA|-|PB|取到最大值,设C1C2所在直线交圆C1,C2分别于点M,N,如图,
由图可知,|AB|max=|MN|=|C1C2|+r1+r2=2+3,
∴|PA|-|PB|的最大值为2+3.
6.答案
解析 设圆C1:+(y+2)2=r2(r>1)关于原点的对称圆为C3,则C3:+(y-2)2=r2.圆C2的圆心为C2(2,1),半径为1,圆C3的圆心为C3,半径为r,所以|C2C3|==,由已知得,圆C3与C2无公共点,所以|C2C3|>r+1或|C2C3|<|r-1|,所以>r+1或<|r-1|,解得r<-1或r>+1,又r>1,所以r∈.
7.答案
解析 由(x-4)2+y2=8得x2-8x+y2+8=0,于是2x2-8x+2y2+8=x2+y2,从而x2-4x+y2+4=(x2+y2),即=,设P(x,y),则|PO|等于点P到点(2,0)的距离,记M(2,0),所以|PQ|+|PO|=|PQ|+|PM|≥|MQ|,而|MQ|min=-=,所以|PQ|+|PO|的最小值为.
8.答案 3x-4y-5=0;-8或-10
解析 当a=1时,圆O1:x2+y2+6x-8y-11=0,即(x+3)2+(y-4)2=36.因为两圆圆心距为=5,恰为两圆半径之差,所以两圆内切,即两圆有唯一公切线,
圆x2+y2=1与圆x2+y2+6x-8y-11=0的方程作差,可得两圆的公切线方程为3x-4y-5=0.
若两圆相交于A,B两点,则由两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线的方程为6x-8y-9-a=0.因为|AB|=,圆O的半径r=1,所以点O到直线AB的距离d==,则由点到直线的距离公式,可得=,即|-9-a|=1,解得a=-8或a=-10.
9.解析 (1)∵圆心C在直线4x-3y=0上,∴设C,由圆C过点M,N,可得|CM|=|CN|,
即=,
解得a=3,
∴圆心为C(3,4),半径r=|CM|=2,
∴圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=4.
(2)设O为坐标原点,P(x,y),则|AP|2+|BP|2=(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=2(x2+y2)+8=2|PO|2+8.
∵|PO=(|OC|-r)2=(5-2)2=9,
∴(|AP|2+|BP|2)min=18+8=26.
(3)设Q(t,0),则以CQ为直径的圆的圆心为,半径为|CQ|=,记D,
则圆D的方程为+(y-2)2=,
即x2+y2-(3+t)x-4y+3t=0.
易知直线RS为圆C与圆D的相交弦所在直线,两圆方程作差可得直线RS的方程,为(3-t)x+4y+3t-21=0,即(3-x)t+3x+4y-21=0.
由解得
∴直线RS恒过定点,定点坐标为(3,3).
7(共17张PPT)
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
知识点 1 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系的判定方法
(1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆圆心距为d,则两圆的位置关系如下:
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1,r2的关
系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|必备知识 清单破
(2)代数法:设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>
0),联立两圆方程得
则此方程组解的情况与两圆位置关系的相关结论如下:
方程组的解 2组 1组 0组
两圆的公共点 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
两圆公切线条数与两圆位置关系的相关结论如下:
知识点 2 两圆公切线条数和两圆的位置关系
位置关系 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含
图示
公切线条数 4 3 2 1 0
知识辨析
1.由两圆的公切线条数能推出两圆的位置关系吗
2.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆的位置关系是什么
3.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆一定相交吗
4.若两圆有公共点,则两圆的圆心距d和两圆的半径r1,r2需满足什么条件
一语破的
1.能.由知识点2知它们有一定的对应关系.
2.外切或内切.
3.不一定.还需要满足两圆圆心距大于两圆半径之差的绝对值.
4.|r1-r2|≤d≤r1+r2.
定点 1 两圆的位置关系
关键能力 定点破
一般利用几何法解决两圆位置关系的相关问题,其关键是正确找出圆心和半径,分析两
圆圆心之间的距离与两圆半径的和(或差的绝对值)的大小关系.
典例 (1)圆O1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆O2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系为 .
(2)已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0和圆C2:4x2+4y2-16x+8y+19=0,则这两个圆的公切线的条数为
.
(3)已知圆O1:x2+y2+2x+6y+9=0,圆O2:x2+y2-6x+2y+1=0,则两圆的公切线方程为
.
外切
2
y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0,x=0
解析： (1)设圆O1,O2的半径分别为r1,r2,则O1(-2,2),O2(2,5),r1=1,r2=4,
因为|O1O2|= =5=r1+r2,
所以两圆外切.
(2)易知圆C1:(x-1)2+(y+2)2=1,圆C2:(x-2)2+(y+1)2= ,
则两圆圆心距|C1C2|= = ,
又1- < <1+ ,所以两圆相交,
所以这两个圆的公切线的条数为2.
(3)圆O1的圆心为O1(-1,-3),半径r1=1;
圆O2的圆心为O2(3,-1),半径r2=3,因为|O1O2|=2 >r1+r2,所以两圆外离,故两圆有四条公切线.
当公切线的斜率存在时,设公切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,
则有
解得 或 或
所以公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0.
当公切线的斜率不存在时,易得其方程为x=0.
综上,两圆的公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0,x=0.
易错警示 本例(3)中易忽略斜率不存在的情况,防止出现这种情况的有效方法就是先判断
出两圆的位置关系,确定公切线的条数,再求解.若通过设斜截式方程求得的直线少于确定的
条数,则一定有斜率不存在的公切线.
1.两圆的公共弦所在直线方程的求法
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0).
联立,得
①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
若两圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③
就是经过两圆交点的直线方程.
有以下结论:
(1)当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线
的方程.
定点 2 两圆的公共弦问题
(2)当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线的方程.
(3)当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程.
(4)若两圆(不重合)是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平
分线的方程.
2.两圆公共弦的长度的求法
(1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点的坐标,再利用两点间的距离公式求出弦长.
(2)几何法:①将两圆的方程作差,求出公共弦所在直线的方程;②求出其中一个圆的圆心到公
共弦所在直线的距离;③利用勾股定理求出公共弦的长度.
3.求经过两圆交点的圆的方程的方法
一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F
2>0)交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),或者x2+y2+
D1x+E1y+F1+λ[(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2]=0(λ∈R),再由其他条件求出λ即得圆的方程.
典例1 求圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程及公共弦
的长.
解析：联立
两式相减并化简,得x-2y+4=0,
即两圆公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.
解法一:设两圆相交于A,B两点,则A,B两点的坐标满足方程组
解得 或
所以|AB|= =2 ,即公共弦的长度为2 .
解法二:由x2+y2-2x+10y-24=0得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径为5 .
圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0的距离为 =3 .
设公共弦的长度为2l(l>0),则50=(3 )2+l2,所以l= ,
故公共弦的长度为2l=2 .
易错警示 只有在两圆相交的前提下,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0才是圆C1:x2+y2+D1x+E1y
+F1=0( + -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0)的公共弦所在直线的方程.
典例2 求以圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆C的方程.
解析：解法一:联立两圆方程,得
两式相减并化简,得公共弦所在直线的方程为4x+3y-2=0.
联立
解得 或
即两圆交点为(-1,2),(5,-6).
∵圆C以公共弦为直径,
∴其圆心是公共弦的中点,即(2,-2),半径为 =5.
∴圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.
设所求圆的方程为x2+y2-12x-2y-13+λ(4x+3y-2)=0(λ为参数,λ∈R),即x2+y2+(4λ-12)x+(3λ-2)y-13-
2λ=0.
可求得圆心为C .
∵圆心C在公共弦所在直线上,
∴4(6-2λ)+3 -2=0,
解得λ=2.
∴圆C的方程为x2+y2-4x+4y-17=0.
解法三:由解法一可知公共弦所在直线的方程为4x+3y-2=0.
设所求圆的方程为x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数,λ≠-1).
可求得圆心为C .
解法二:由解法一可知公共弦所在直线的方程为4x+3y-2=0.
∵圆心C在公共弦所在直线上,
∴4· +3· -2=0,
解得λ= .
∴圆C的方程为x2+y2-4x+4y-17=0.