第2课时 直线与椭圆的位置关系
基础过关练
题组一 直线与椭圆的位置关系
1.已知椭圆C:+y2=1,直线l:x-2y+=0,则l与C的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上选项都不对
2.若直线l:mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为( )
A.0 B.0或1 C.1 D.2
3.若直线l过点(0,2)且与椭圆C:+=1仅有1个交点,则直线l的斜率为 .
题组二 直线与椭圆的相交弦问题
4.(多选题)已知直线l:y=2x+1被椭圆C:+=1(0
A.y=2x-2 B.y=-2x-1
C.y=-2x+1 D.y=2x-1
5.过椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点F作弦AB,若|AF|=d1,|BF|=d2,则+=( )
A. B.
C. D.
6.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为2,离心率为,过右焦点F且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当|AB|=时,求直线l的方程.
题组三 直线与椭圆的位置关系的简单应用
7.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,且椭圆E过T(2,1),直线l:y=x+m与椭圆E交于A,B两点.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设直线TA,TB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2=0.
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点D,A为左顶点,且直线DA的斜率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设M(m,0)在椭圆内部,T(t,0)在椭圆外,过M作斜率存在且不为0的直线交椭圆C于P,Q两点,若∠PTM=∠QTM,求证:m·t为定值,并求出这个定值.
9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M,F为椭圆C的右焦点,O为坐标原点,△OFM的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)椭圆C的左、右两个顶点分别为A,B,过点K(,0)的直线m的斜率存在且不为0,设直线m交椭圆C于M,N两点,直线n过点T(-,0)且与x轴垂直,直线AM交直线n于点P,直线BN交直线n于点Q,则是不是定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
能力提升练
题组一 “点差法”在椭圆中的应用
1.已知椭圆+=1,则与椭圆相交且以A(1,1)为弦中点的直线的方程为 .
2.已知椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),点F(2,0)是椭圆C的右焦点,过F的直线与椭圆C相交于A,B两点,且线段AB的中点为D,则椭圆C的离心率e= .
3.已知直线l与椭圆+=1在第一象限内交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于点M,N,且|MA|=|NB|,|MN|=4,则l的方程为 .
4.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的焦距为2c,左、右焦点分别为F1,F2,圆F1:(x+c)2+y2=1与圆F2:(x-c)2+y2=9相交,且交点在椭圆E上,直线l:y=x+m与椭圆E交于A,B两点,且线段AB的中点为M,直线OM的斜率为-,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若m=1,试问E上是否存在P,Q两点关于l对称,若存在,求出直线PQ的方程;若不存在,请说明理由.
题组二 椭圆中的面积问题
5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=kx(k≠0)交椭圆C于M,N两点,且|MN|=|F1F2|,若四边形MF1NF2的面积为16,则b=( )
A.2 B.2 C.4 D.4
6.已知中心在原点O,焦点在y轴上,且离心率为的椭圆与经过点C(-2,0)的直线l交于A,B两点,若点C在椭圆内,△OAB被x轴分成两部分,且△OAC与△OBC的面积之比为3∶1,则△OAB的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点A为椭圆C的右顶点,点B为椭圆上一动点,O为坐标原点,若△OAB的面积的最大值为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,若kOM·kON=,求△MON的面积的最大值.
题组三 直线与椭圆的位置关系的综合应用
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为,O为坐标原点,过C上一点P分别作与l1:y=2x和l2:y=-2x平行的直线,交直线l2,l1于点M,N,则线段MN长度的最大值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
9.(多选题)椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射,反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在x轴上,中心在坐标原点O处,从左焦点F1射出的一束光线经过椭圆镜面反射到右焦点F2.若两段光线走过的路程的总长度为4,且椭圆的离心率为,左顶点和上顶点分别为A,B.则下列说法正确的是( )
A.椭圆的标准方程为+y2=1
B.若点P在椭圆上,则|BP|的最大值为
C.若点P在椭圆上,则∠F1PF2的最大值为
D.过直线y=x+1上一点M作椭圆的切线,分别交椭圆于点P,Q,则直线PQ恒过定点(-4,1)
10.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(2,1),且焦距为2.
(1)求C的方程;
(2)已知点B(2,-1),D(3,0),E为线段AB上一点,且直线DE交C于G,H两点.证明:=+.
11.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的焦点分别为F1,F2,过左焦点F1的直线与椭圆交于M,N两点,△MNF2的周长为4|F1F2|.
(1)求椭圆E的离心率e;
(2)直线l:y=k(x-4)与椭圆有两个不同的交点A,B,直线l与x轴的交点为D,若A,B都在x轴上方且点A在线段DB上,O为坐标原点,△AOD和△BOD的面积分别为S1,S2,记λ=,当满足条件的实数k变化时,λ的取值范围是,求椭圆E的方程.
答案与分层梯度式解析
第2课时 直线与椭圆的位置关系
基础过关练
1.A 2.D 4.BCD 5.B
1.A 解法一:由消去y并整理,得x2+x-1=0,显然Δ=()2-4×1×(-1)=6>0,因此方程组有两个不同的解,所以l与C相交.故选A.
解法二:易得直线l过点(-,0),因为+02<1,所以点(-,0)在椭圆+y2=1的内部,故直线l与椭圆C必相交,故选A.
2.D 因为直线l:mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,所以圆心O(0,0)到直线l的距离d=>2,即m2+n2<4,所以点P(m,n)是以原点为圆心,2为半径的圆内部的点,
由椭圆方程+=1,可得a=3,b=2,所以圆x2+y2=4内切于椭圆,故点P(m,n)是椭圆+=1内部的点,所以过点P(m,n)的直线与椭圆的交点个数为2.故选D.
3.答案 ±
解析 由已知可设直线l:y=kx+2,
联立消去y,化简得(2+7k2)x2+28kx+14=0.
因为直线与椭圆仅有1个交点,所以Δ=(28k)2-4×14×(2+7k2)=0,解得k=±.
4.BCD 易知椭圆C关于原点、x轴、y轴对称.
直线y=2x-2与直线l平行,且两直线不关于原点对称,则直线y=2x-2被椭圆C所截得的弦长不为,A不符合要求;
直线y=-2x-1与直线l关于x轴对称,直线y=-2x+1与直线l关于y轴对称,直线y=2x-1与直线l关于原点对称,则直线y=-2x-1,y=-2x+1,y=2x-1被椭圆C所截得的弦长均为,B,C,D符合要求.
5.B 令F(c,0),A(x1,y1),B(x2,y2).
①当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=c,
由解得y=±,则d1=d2=,所以+=;
②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-c),
由消去y,整理得(a2k2+b2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
又离心率e=,|AF|=a-ex1,|BF|=a-ex2,即d1=a-ex1,d2=a-ex2,
所以+====.
综上,+=.故选B.
6.解析 (1)因为椭圆C的长轴长为2,所以2a=2,解得a=,
因为椭圆C的离心率e==,所以c=1,
所以b2=a2-c2=1,
则椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由(1)知椭圆C的右焦点为F(1,0),易知直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y并整理得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,此时Δ=8k2+8>0,
由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,
因为|AB|=·=,
所以·=,
即=,解得k=±,则直线l的方程为y=±(x-1).
7.解析 (1)由题可知这个直角三角形为等腰直角三角形,腰长为a,斜边长为2c,此时a2+a2=(2c)2,即a2=2c2,
又b==c,所以椭圆E的方程可表示为+=1,因为椭圆E过T(2,1),所以将(2,1)代入其方程,得+=1,解得c=(负值舍去),
则椭圆E的标准方程为+=1.
(2)证明:不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y并整理得3x2+4mx+2m2-6=0,此时Δ=16m2-12(2m2-6)=72-8m2>0,
解得-3由根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=,
易知m≠-1,否则直线l过点T(2,1),
所以k1+k2=+=+=2++=2+=2+
=2+=2-
=2-2=0,故k1+k2=0.
8.解析 (1)由题意得A(-a,0),所以
解得故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设直线PQ的方程为x=ny+m(n≠0),与椭圆方程+=1联立,消去x,整理得(3n2+4)y2+6mny+3m2-12=0,
记P(x1,y1),Q(x2,y2),因为M(m,0)在椭圆内部,所以Δ>0,
所以y1+y2=,y1y2=,
若∠PTM=∠QTM,则kTP+kTQ=0,可得+=0,
即y1(ny2+m-t)+y2(ny1+m-t)=0,
即2ny1y2+(m-t)(y1+y2)=0,可得+=0,即-24n+6mnt=0,又n≠0,
所以mt=4(定值).
9.解析 (1)由已知得
又a2=b2+c2,故a=2,b=1,c=,则椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)易知K(,0)在椭圆+y2=1内,因为直线m过点K且与椭圆相交,直线m的斜率存在且不为0,
所以不妨设直线m的方程为x=ty+(t≠0),另设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去x并整理得(t2+4)y2+2ty-1=0,
由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-,易知ty1y2=-=(y1+y2),直线n:x=-,
又A(-2,0),所以直线AM的方程为y=(x+2),
联立解得yP=(2-),同理得yQ=-(2+),
所以==(7-4)·,
因为==
==(7-4)·=7-4,
则=(7-4)(7-4)=97-56.
能力提升练
5.B 6.D 8.A 9.ABD
1.答案 3x+4y-7=0
解析 设直线与椭圆的两个交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),
由题意知且①-②,得+=0,整理得=-=-,
所以所求直线的斜率k=-,其方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
2.答案
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知直线的斜率存在,
则kAB=kDF==-,且x1+x2=2,y1+y2=,
又A,B在椭圆上,故
两式作差得+=0,
故=-=-×=,
故椭圆C的离心率e====.
3.答案 x+y-2=0
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为E,坐标原点为O,
由题知+=1,+=1,两式相减可得=-,则kOE·kAB=·==-,
不妨设直线l的方程为y=kx+m,则k<0,m>0,M,N(0,m),
∵|MA|=|NB|,∴E也为MN的中点,
故E,∴kOE=-k,∴-k·k=-,解得k=-,
∵|MN|=4,∴=4,即+m2=16,
∴4m2=16,由m>0,得m=2,
∴l的方程为y=-x+2,即x+y-2=0.
4.解析 (1)因为圆F1:(x+c)2+y2=1与圆F2:(x-c)2+y2=9相交,且交点在椭圆E上,所以2a=1+3,即a=2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则①-②,得+=0,即+·=0,
即kOM·kAB=-,即-=-,即b2=1,
则椭圆E的方程为+y2=1.
(2)假设存在P,Q两点关于l对称,设直线PQ的方程为y=-x+t,P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ的中点为N(xN,yN),
联立消去y并整理,得5x2-8tx+4t2-4=0,则Δ=64t2-20(4t2-4)>0,解得-则xN==,yN=,即N,
由N在l上,可得=+1,解得t=-,此时t∈(-,),满足题意,
故存在P,Q两点关于l对称,且直线PQ的方程为y=-x-.
5.B 由题意知四边形MF1NF2为矩形,其对角线的长为2c,且|MF1|2+|MF2|2=4c2,|MF1|+|MF2|=2a,
所以=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|×|MF2|=4a2,
故|MF1|×|MF2|==2b2,
故四边形MF1NF2的面积为|MF1|×|MF2|=2b2=16,解得b=2(负值舍去).故选B.
6.D 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),直线l的方程为x=my-2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x并整理得(b2+a2m2)y2-4ma2y+4a2-a2b2=0(*),
由椭圆的离心率e===,得b2=a2,
代入(*)式并整理得(7+9m2)y2-36my+36-7a2=0,
则y1+y2=,y1y2=,由△OAC与△OBC的面积之比为3∶1,可得y1=-3y2,则y2=,
所以△OAB的面积为S△OAC+S△OBC=×|OC|×|y1|+|OC|×|y2|=|y1|+|y2|=4|y2|=≤==,
当且仅当9m2=7,即m=±时等号成立,
故△OAB的面积的最大值为.故选D.
7.解析 (1)设焦距为2c(c>0),由题意知,e==,当点B是椭圆的上或下顶点时,△OAB的面积最大,此时有ab=1,即ab=2,又因为a2=b2+c2,所以a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
所以x1+x2=-,x1x2=,Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,化简得m2<4k2+1①,
所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
因为kOM·kON=,所以=,即5x1x2=4y1y2=4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2,
所以(4k2-5)·-4km·+4m2=0,即(4k2-5)·(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,
整理得,m2+k2=②,由①②知,因为直线l:y=kx+m与x轴的交点坐标为,
所以△MON的面积S=··|y1-y2|=··|k(x1-x2)|=·=·=2|m|·
=2
=,
令t=4k2+1,则所以S==≤=1,当且仅当=-=,即t=2时等号成立,
所以△MON的面积的最大值为1.
8.A 由椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为,可得c=,a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),则y1=-2x1,y2=2x2,
易知四边形PMON为平行四边形,
所以即
故|MN|===,因为-2≤x0≤2,所以0≤≤4,可得|MN|max=4.故选A.
9.ABD 根据题意,设该束光线从F1射出,经椭圆上的E点反射至F2,如下图所示:
由题可得|EF1|+|EF2|=2a=4,即a=2.
又椭圆的离心率e==,所以c=,所以b2=a2-c2=1,故椭圆的标准方程为+y2=1,所以A正确.
易知A(-2,0),B(0,1),设P(xP,yP),则+=1,
且|BP|====,
又-1≤yP≤1,故|BP|=≤=,当且仅当yP=-时取等号,
所以|BP|的最大值为,所以B正确.
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4,不妨设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),
则cos∠F1PF2====-1,
又m+n=4≥2,当且仅当m=n时取等号,所以0所以cos∠F1PF2=-1≥-1=-,
当且仅当m=n=2时,等号成立,
即∠F1PF2的余弦值最小为-,所以∠F1PF2的最大值为,所以C错误.
易知椭圆+=1(a>b>0)在其上一点(x0,y0)处的切线方程为+=1,证明如下:
当切线的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,切点为(x0,y0),
联立消去y,可得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0,
所以Δ=(2a2km)2-4a2(m2-b2)(a2k2+b2)=0,整理可得m2=a2k2+b2,
又易知y0=kx0+m,即m=y0-kx0,所以可得m2=(y0-kx0)2=a2k2+b2,
整理可得k2(a2-)+b2-+2kx0y0=0①.
又因为切点(x0,y0)在椭圆上,所以+=1,整理可得②
联立①②可得k2·++2kx0y0=0,即=0,可得k=-(二重根),
所以切线方程为y-y0=-(x-x0),化简可得+=1,经检验,当切线的斜率不存在时也符合此式,
故椭圆+=1(a>b>0)在其上一点(x0,y0)处的切线方程为+=1.
设M(t,t+1),P(x1,y1),Q(x2,y2),
则椭圆+y2=1在点P处的切线PM的方程为+y1y=1,
同理,在点Q处的切线QM的方程为+y2y=1,
又两切线交于点M,所以可得
即P,Q的坐标满足方程+(t+1)y=1,所以直线PQ的方程为+(t+1)y-1=0,即t+y-1=0,
若直线PQ过定点,则此方程与t无关,
所以可得x=-4,y=1,即直线PQ恒过定点(-4,1),所以D正确.
故选ABD.
10.解析 (1)设椭圆的焦距为2c,c>0,
由焦距为2,知c=,所以a2-b2=c2=3①,
因为点A(2,1)在椭圆上,所以+=1②,
由①②解得a2=6,b2=3,所以C的方程为+=1.
(2)证明:当直线DE的斜率为0时,直线DE与椭圆的两个交点分别为(,0),(-,0),不妨设G(,0),H(-,0),易得E(2,0),
所以|DE|=1,|DG|=3-,|DH|=3+,
所以==2,+====2,所以=+;
当直线DE的斜率不为0时,易知其必存在,设直线DE的方程为x=ty+3,G(xG,yG),H(xH,yH),
在x=ty+3中,令x=2,得y=-,即E,
联立消去x,得(t2+2)y2+6ty+3=0,所以yG+yH=-,yGyH=,
要证=+,只需证=+,
而==-2t,+===-2t,
所以=+,即=+.
综上所述,=+.
11.解析 (1)易知△MNF2的周长为|MN|+|MF2|+|NF2|=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a,
即4a=4|F1F2|=8c,所以e==.
(2)由题可知D(4,0),因为A,B两点都在x轴上方,所以点D必在椭圆外,则a<4,
不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题可知λ==,因为点A在线段DB上,所以不妨设=λ,其中λ∈,
所以(xD-x2,yD-y2)=λ(xD-x1,yD-y1),
所以xD==4,yD==0,
因为A,B两点都在椭圆E上,
所以+=1,+=1,则+=λ2,则+=1-λ2,即··+··=1,
又xD==4,yD==0,所以·=1,
所以解得
不妨设过点D且和椭圆上半部分相切的直线与椭圆的切点为P,易知x1∈(xP,a)①,
因为a<4,所以-2<0,又λ∈,故x1=+2+∈②,联立①和②,可得+2+=a,解得a=1或a=4(舍去),又e=,所以c=,则b2=a2-c2=,故椭圆E的方程为x2+=1.
73.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
基础过关练
题组一 椭圆的简单几何性质及其应用
1.椭圆+=1与椭圆+=1(0A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
2.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线,用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的截面是圆;把平面渐渐倾斜,得到的截面是椭圆.若用面积为48的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆C,且椭圆C与矩形ABCD的四边均相切.设椭圆C在平面直角坐标系中的方程为+=1,则下列选项中满足题意的方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.设B是椭圆C:+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为( )
A. B. C. D.
4.已知P1(1,1),P2(0,1),P3,P4四点中恰有三点在椭圆+=1(a>b>0)上,则a=( )
A.8 B.6 C.4 D.2
5.(多选题)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于M,N两点,点T(4,4),则( )
A.四边形MF1NF2的周长为8
B.+的最小值为9
C.直线BM,BN的斜率之积为-
D.若点P为椭圆C上的一个动点,则|PT|-|PF1|的最小值为1
题组二 椭圆的离心率
6.下列四个椭圆中,形状最扁的是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
7.(教材习题改编)假设某宇宙飞船的飞行轨道可以看成以地球球心为左焦点的椭圆,我们把飞行轨道的长轴端点与地面上的点的最近距离叫近地距离,最远距离叫远地距离.设地球半径为R,若该飞船飞行轨道的近地距离为,远地距离为,则该飞船的飞行轨道的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图,已知圆柱的底面半径为2,高为3,轴截面是矩形ABCD,E,F分别是母线AB,CD上的动点(含端点),过EF且与轴截面ABCD垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆,当此交线是椭圆时,其离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.数学家蒙日发现:椭圆的两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,且圆半径的平方等于长半轴长、短半轴长的平方和,此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆+=1的蒙日圆为x2+y2=20,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
10.设F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点.若在直线x=上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是 .
11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A,B.
(1)若椭圆C上的点M到F1,F2两点的距离之和等于4,求椭圆C的方程;
(2)设直线x=与x轴交于点H,点O为坐标原点,试求的最大值;
(3)若P是椭圆C上异于A,B的任一点,记直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=-,试求椭圆C的离心率.
题组三 椭圆的简单几何性质的综合运用
12.(多选题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点(异于左、右顶点),且△PF1F2的周长为6,则下列结论正确的是( )
A.椭圆C的焦距为1
B.椭圆C的短轴长为2
C.△PF1F2面积的最大值为
D.椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°
13.已知椭圆+=1(b>0)的左、右顶点分别为A和B,右焦点的坐标为(c,0),点P为直线l:x=上一点.若△PAB外接圆的面积的最小值为64π,则b= .
14.已知椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,P为该椭圆上一点,O为坐标原点且|OP|=λa,若满足=|PF1|·|PF2|,则λ的取值范围为 .
能力提升练
题组一 求椭圆的离心率的值或取值范围
1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
2.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M,N是椭圆C上两点,且=2,·=0,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上不与左、右顶点重合的一点,I为△PF1F2的内心,且3+2=2,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
4.已知焦点分别在x,y轴上的两个椭圆C1,C2,且椭圆C2经过椭圆C1的两个顶点与两个焦点,设椭圆C1,C2的离心率分别是e1,e2,则( )
A.<且+<1 B.<且+>1
C.<且+<1 D.<且+>1
5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,△PF2Q的面积S≥|PQ|2,则C的离心率的取值范围为 .
题组二 椭圆几何性质的综合运用
6.(多选题)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上的动点,点Q是圆E:(x-2)2+(y-4)2=2上任意一点,O为坐标原点.若|PQ|+|PF2|的最小值为4-,则下列说法中正确的是( )
A.k=
B.·的最大值为5
C.存在点P使得∠F1PF2=
D.|PQ|-|PF2|的最小值为4-6
7.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,过点P作圆(x+3)2+y2=的切线,切点为M,则|PM|的最小值是 .
8.已知椭圆C:+=1,F1,F2分别是其左、右焦点,P为椭圆C上非长轴端点的任意一点,D是x轴上一点,使得PD平分∠F1PF2.过点D作PF1,PF2的垂线,垂足分别为A,B,则
+的最小值是 .
答案与分层梯度式解析
3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
基础过关练
1.D 2.C 3.A 4.D 5.ACD 6.A 7.D 8.A
9.A 12.BC
1.D 椭圆+=1的长轴长是10,短轴长是6,焦距是8,离心率是.
椭圆+=1(0由02.C 由题意可知2a×2b=48,所以ab=12.
A中,a=2,b=1,ab=2,不满足;B中,a=6,b=4,ab=24,不满足;C中,a=4,b=3,ab=12,满足;D中,a=4,b=2,ab=8,不满足.故选C.
3.A 设点P(x0,y0),则+=1,又B(0,1),所以|PB|2=+=3(1-)+=-2-2y0+4=-2+,而-1≤y0≤1,所以当y0=-时,|PB|取得最大值,为.故选A.
4.D 由于椭圆关于y轴对称,且P3,P4关于y轴对称,故P3,P4必然同时在或同时不在椭圆上.由于四点中恰有三点在椭圆上,故P3,P4都在椭圆上.
若P1(1,1)在椭圆上,则+=1.因为P3,P4都在椭圆上,所以+=1.两个等式矛盾,故P1(1,1)不在椭圆上.
因此P2(0,1),P3,P4三个点在椭圆上,故=1,+=1,解得a2=4,b2=1,所以a=2.故选D.
5.ACD 对于A,由椭圆方程+=1,可知a=2,b=,c==1,
因为l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于M,N两点,
所以M,N关于原点对称,且|MF1|+|MF2|=2a=4,|NF1|+|NF2|=2a=4,
故四边形MF1NF2的周长为|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=8,A正确;
对于B,由于M,N关于原点对称,故|NF1|=|MF2|,
所以+=(|MF1|+|MF2|)=5++≥5+2=,
当且仅当|MF2|=2|MF1|,|MF1|+|MF2|=4,即|MF1|=,|MF2|=时等号成立,B错误;
对于C,设M(x1,y1),则N(-x1,-y1),而B(0,),
故kBM·kBN=·=,
而M(x1,y1)在椭圆C:+=1上,故+=1,
即=4=(3-),故kBM·kBN==-,C正确;
对于D,由于点P为椭圆C上的一个动点,故|PF1|+|PF2|=4,则|PF1|=4-|PF2|,故|PT|-|PF1|=|PT|+|PF2|-4≥|TF2|-4,当且仅当T,P,F2共线,且P在T,F2之间时等号成立,
而F2(1,0),T(4,4),故|TF2|==5,
故|PT|-|PF1|的最小值为5-4=1,D正确.
故选ACD.
6.A 结合选项可知四个椭圆的a相同,当a相同时,椭圆的离心率越大,椭圆越扁,
又离心率e==,所以b越小,离心率越大,故选A.
7.D 根据题意,可得a-c=R+,a+c=R+,解得a=R,c=R,故离心率e==.故选D.
8.A 当EF与AD行时,交线近似为一个圆,此时离心率接近于0;
当|EF|=|AC|时,交线是一个“最扁”的椭圆,此时离心率最大,
且长轴长为|EF|=|AC|=2a=5,解得a=,
又短半轴长b=2,则半焦距c==,
所以此时的离心率e=.
所以离心率的取值范围是.故选A.
9.A 由题意得12+b2=20,故b2=8,所以c===2,故离心率为==.故选A.
10.答案
解析 设直线x=交x轴于点M,如图,
由已知可得|F1F2|=|F2P|,
又|PF2|≥|F2M|,故2c≥-c,则3c2≥a2,即≥,即e=∈.
11.解析 (1)由题知2a=4,解得a=2,故椭圆C的方程为+=1,将代入方程+=1,解得b2=3,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)易得|F2B|=a-c,|OH|=,所以===-e2+e=-+,又e∈(0,1),
故当e=时,取得最大值,且=.
(3)设点P的坐标为(x0,y0)(x0≠±a),则=(a2-),又A(-a,0),B(a,0),
所以k1·k2=·===-,
又k1·k2=-,所以=,即1-e2=,所以e=.
12.BC 根据题意可得∴
椭圆C的焦距为2c=2,∴A错误;
椭圆C的短轴长为2b=2,∴B正确;
△PF1F2面积的最大值为×2c×b=bc=,∴C正确;
设∠F1PF2=2θ,则tan θ≤=,∴θ≤30°,
∴∠F1PF2=2θ≤60°,∴椭圆C上不存在点P,使得∠F1PF2=90°,∴D错误.
故选BC.
13.答案 2
解析 易知椭圆+=1(b>0)的左、右顶点分别为A(-4,0),B(4,0),
易知△PAB外接圆的圆心在y轴上,又右焦点为(c,0),故c>0,>0.
如图所示,当△PAB外接圆的面积取到最小值时,其半径最小,此时外接圆与直线l:x=相切,又外接圆的面积的最小值为64π,故此时圆的半径r==8,解得c=2,又a2=16,故b===2.
14.答案
解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,m,n>0,
由题意可得mn=4c2,m+n=2a,
∴2a≥2=4c,∴e≤,∴≤,解得≥,
∵|OP|=λa,∴
∴≤λ≤1,
∴≤λ≤1.
能力提升练
1.A 2.C 3.B 4.A 6.ABC
1.A 解法一:设P(m,n)(n≠0),则Q(-m,n),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=·==(*).因为点P在椭圆C上,所以+=1,得n2=(a2-m2),代入(*)式,得=,结合b2=a2-c2,得3a2=4c2,所以e==.故选A.
解法二:设椭圆C的右顶点为B,则直线BP与直线AQ关于y轴对称,所以kAQ=-kBP,所以kAP·kBP=-kAP·kAQ=-=e2-1,所以e=.故选A.
知识拓展 椭圆的一个性质
椭圆+=1(a>b>0)上的点(长轴的端点除外)与长轴的两个端点连线的斜率之积为定值-或e2-1(e为椭圆的离心率).
2.C 连接NF2,如图:
设|NF1|=n,则|MF1|=2n,|MF2|=2a-2n,|NF2|=2a-n,∵·=0,∴MF2⊥MN,
在Rt△MNF2中,|MN|2+|MF2|2=|NF2|2,即(3n)2+(2a-2n)2=(2a-n)2,∴9n2+4a2-8an+4n2=4a2-4an+n2,
∴12n2=4an,则n=,∴|MF1|=,|MF2|=,
在Rt△MF1F2中,|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2,即4c2=+,∴36c2=20a2,即e2==,
又∵e∈(0,1),∴e=.故选C.
3.B 设M是PF2的中点,连接IM,如图,则+=2,又3+2=2,故3+2+2=3+4=0,∴F1,I,M三点共线,且3=4,∴=.易知F1M平分∠PF1F2,又F1M是PF2边上的中线,故F1M⊥PF2,|PF1|=|F1F2|=2c,∴|PF2|=2a-2c,|MF2|=a-c.作IN⊥x轴于点N,则Rt△F1IN∽Rt△F1F2M,且|IN|=|IM|,
∴====,
∴4a=10c,∴e==.
4.A 不妨设椭圆C1的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a1,b1,c1,椭圆C2的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a2,b2,c2,
因为椭圆C2经过椭圆C1的两个顶点与两个焦点,
所以a2=b1,b2=c1,
故=1-,=1-=1-=2-,
因为a2>b2,即b1>c1,所以>=-,可得2>,
故<<1,即1<<2,故0<1-<,0<2-<1,
即0<<,0<<1.不妨令t=,
则+=3-=3-,t∈,
易知函数y=t+在上单调递减,
所以+=3-∈.故选A.
5.答案
解析 因为P,Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,所以四边形PF1QF2为矩形,并且c≥b,设|PF1|=m,|PF2|=n,m,n>0,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=m+n=2a,所以m2+2mn+n2=4a2,在Rt△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2-b2),所以mn=2b2,因为四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=2b2,所以△PF2Q的面积S=b2,又S≥|PQ|2,故b2≥·4c2,即2(a2-c2)≥c2,可得-≤≤,故0又c≥b,故c2≥a2-c2,可得e≥,所以e∈.
6.ABC 由椭圆C的方程为+=1,可知a=3,所以|PF1|+|PF2|=2a=6,
圆E:(x-2)2+(y-4)2=2的圆心为E(2,4),半径r=,
当k=时,可通过画图得出圆E与椭圆C相离,如图,而0所以|PQ|+|PF2|≥|PE|+|PF2|-≥|EF2|-,当且仅当E,Q,P,F2四点共线(Q,P在E,F2之间)时等号成立,
所以|EF2|==4,解得c=2(二重根),
所以9-k2=4,解得k=(负值舍去),故A正确;
·=(+)·(+)=+·+·+·=+·
(+)-·=-=-4,
又||∈[,3],所以||2∈[5,9],所以·∈[1,5],即·的最大值为5,当且仅当P为左或右顶点时取最大值,故B正确;
设B为椭圆的上顶点,则|OB|=,|OF2|=2,
所以tan∠OBF2=>,所以∠OBF2>,所以∠F1BF2>,则存在点P使得∠F1PF2=,故C正确;
因为|PQ|-|PF2|=|PQ|-(6-|PF1|)=|PQ|+|PF1|-6≥|PE|+|PF1|-6-≥|EF1|-6-=3-6,当且仅当E,Q,P,F1四点共线(Q,P在E,F1之间)时取等号,故D错误.
故选ABC.
7.答案
解析 易知圆(x+3)2+y2=的圆心为(-3,0),半径r=,且椭圆+=1的左、右焦点分别为(-3,0),(3,0),a=5,c=3,记F1(-3,0),F2(3,0).
因为|PM|==,所以要求|PM|的最小值,即求焦半径PF1的长的最小值.
由焦半径公式知,当点P位于椭圆的左顶点时,|PF1|取得最小值,为a-c=2,
则|PM|min===.
归纳总结 焦半径公式
设P(x0,y0)是椭圆+=1(a>b>0)上任一点,F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆的两个焦点,
则|PF1|====,
∵-a≤x0≤a,∴a+≥a-c>0,∴|PF1|=a+ex0.
8.答案
解析 根据题意可作图如下:
易知点P为短轴的端点时,∠F1PF2最大,因为椭圆C:+=1,所以a=4,b=2,c=2,则∠F1PF2的最大值为.
不妨设∠F1PF2=2θ,因为PD平分∠F1PF2,所以|DA|=|DB|,
不妨设|DA|=|DB|=m,易知=b2tan θ=12tan θ,
又因为=m(|PF1|+|PF2|)=ma=4m,所以12tan θ=4m,解得m=3tan θ,
而S△DAB=m2sin∠ADB=m2sin(π-2θ)=m2sin 2θ=9tan2θsin θcos θ=,
所以==sin2θ,
则+=sin2θ+,
因为0<θ≤,所以sin θ∈,不妨令sin2θ=t,则t∈,+=t+,
易知函数y=t+在t∈上单调递减,所以+≥×+×4=.
7第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
基础过关练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.(教材习题改编)如图,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
2.已知M是椭圆C:+=1上的一点,则点M到两焦点的距离之和是( )
A.6 B.9 C.10 D.18
3.已知椭圆C:+=1,A(0,-4),B(0,4),过A作直线PQ与C交于P,Q两点,则△BPQ的周长为( )
A.24 B.20 C.16 D.12
4.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点且|PF1|=2|PF2|,则△PF1F2的面积为( )
A.2 B. C.4 D.
5.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上一点,则|PF1|·|PF2|的最大值是( )
A. B.9 C.16 D.25
题组二 椭圆的标准方程
6.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=16,B(-1,0),A为圆C上任意一点,若P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点,则点P的轨迹方程为( )
A.+=1 B.-=1
C.+=1 D.-=1
7.已知直线x+2y+4=0与椭圆+=1(a>b>0),若椭圆过直线与坐标轴的交点,则椭圆的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
8.已知动圆M过定点A(-3,0),并且内切于定圆B:(x-3)2+y2=64,则动圆圆心M的轨迹方程是 .
9.过点(2,3)且与椭圆x2+2y2=8有相同焦点的椭圆方程为 .
10.已知P是圆O:x2+y2=4上一动点,P点在x轴上的射影是D点,点M满足=.求动点M的轨迹方程.
11.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),并且经过点;
(2)经过两点(2,-),.
题组三 椭圆标准方程的应用
12.“1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
13.已知椭圆+=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5 C.7 D.8
14.(多选题)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且不和椭圆与x轴的交点重合,则下列关于△PF1F2的说法正确的有( )
A.△PF1F2的周长为4+2
B.当∠PF1F2=90°时,△PF1F2的边PF1的长为2
C.当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为
D.椭圆上有且仅有6个点P,使得△PF1F2为直角三角形
15.已知椭圆M与椭圆N:+=1有相同的焦点,且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
能力提升练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.方程+=10的化简结果是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.已知F是椭圆+=1的左焦点,P是椭圆上一动点,若A(1,1),则|PA|+|PF|的最小值为( )
A.6- B.6- C.6- D.6-
3.如图,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上的点,直线PT为△F1PF2的外角平分线所在直线,F2T⊥PT,则|OT|=( )
A.1 B.2 C. D.4
4.已知椭圆的两个焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是该椭圆上一点,且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,则该椭圆的方程为 .
题组二 椭圆的标准方程及其应用
5.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,且|PF1|=|F1F2|,则点P到y轴的距离为( )
A. B. C. D.
6.(多选题)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,△PF1F2的面积为6,则( )
A.点P的横坐标为
B.△PF1F2的周长为16
C.△PF1F2的内切圆的半径为
D.△PF1F2的外接圆的半径为
7.在平面直角坐标系Oxy中,点B与点A关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.
(1)求动点P的轨迹方程,并注明x的范围;
(2)设直线AP与BP分别与直线x=3交于点M,N,问是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
基础过关练
1.A 2.A 3.A 4.B 5.D 6.C 7.B 12.B
13.D 14.ACD
1.A 由题意知,CD所在直线是线段MF的垂直平分线,∴|MP|=|PF|,
∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|,为定值,
显然|MO|>|FO|,∴根据椭圆的定义可推断出点P的轨迹是以F,O为焦点的椭圆.故选A.
2.A 由题意可知a==3,因为点M是椭圆C:+=1上的一点,所以根据椭圆的定义可知,点M到两焦点的距离之和是2a=2×3=6.故选A.
3.A 由椭圆方程可知a=6,b=2,则c==4,
所以A(0,-4),B(0,4)是椭圆C的两个焦点,
所以△BPQ的周长为|AP|+|BP|+|AQ|+|BQ|=4a=24.故选A.
4.B 由椭圆方程+=1可知a=3,b=,c==2,故|PF1|+|PF2|=2a=6,
结合|PF1|=2|PF2|,可得|PF1|=4,|PF2|=2,而|F1F2|=2c=4,
故△PF1F2为等腰三角形,其面积为×2×=,故选B.
5.D 由题意知,|PF1|+|PF2|=10,
∵|PF1|+|PF2|≥2,
∴10≥2,∴|PF1|·|PF2|≤25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时等号成立,
∴|PF1|·|PF2|的最大值是25.故选D.
6.C 因为P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点,所以|PA|=|PB|,
所以|PB|+|PC|=|PA|+|PC|=|AC|=4,而|BC|=2,且4>2,所以P点的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,
设其方程为+=1(a>b>0),
则2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,则b==,
所以P点的轨迹方程是+=1.故选C.
7.B 易得直线x+2y+4=0交x轴于点(-4,0),交y轴于点(0,-2),依题意知,a=4,b=2,
所以椭圆的方程为+=1.故选B.
8.答案 +=1
解析 设动圆M与定圆B的切点为N,M(x,y),
依题意有|MA|+|MB|=|MN|+|MB|=|BN|=8(定值),所以点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且a=4,c=3,所以b===,
所以动圆圆心M的轨迹方程为+=1.
9.答案 +=1
解析 椭圆x2+2y2=8即+=1,可得c2=8-4=4,可得c=2,故椭圆的焦点为(±2,0),设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0),
由题意可得+=1,a2-b2=4,所以a=4,b=2,
故所求的椭圆方程为+=1.
10.解析 设P(x0,y0),M(x,y),则D(x0,0).
因为=,所以(x-x0,y)=(0,y0),从而x0=x,y0=2y,
又点P在圆O上,所以+=4,即x2+4y2=4,
即+y2=1,故动点M的轨迹方程是+y2=1.
11.解析 (1)由已知得c=4,且焦点在x轴上,
由椭圆的定义得2a=+=10,所以a=5,b2=a2-c2=9,所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
则解得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
方法总结 求椭圆方程的常见方法
(1)当焦点位置能确定时,直接根据条件求出a,b的值,即可求得方程;
(2)当焦点位置不能确定时,可以分两种情况讨论并求解,也可直接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
12.B 方程+=1表示椭圆
解得1∴“113.D 依题意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,且m-2>10-m,解得614.ACD 由椭圆的方程+=1可得a=2,c=,所以F1(-,0),F2(,0),
所以△PF1F2的周长为2a+2c=4+2,故A正确.
当∠PF1F2=90°时,xP=-,代入椭圆方程可得yP=±1,所以|PF1|=1,故B错误.
当∠F1PF2=60°时,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,在△PF1F2中,
由余弦定理得(2)2=+-2r1r2cos 60°,
所以(r1+r2)2-3r1r2=8,所以r1r2=,所以=××sin 60°=,故C正确.
当∠PF1F2=90°时,由B中的分析知满足题意的点P有2个;
同理,当∠PF2F1=90°时,满足题意的点P也有2个;
当∠F2PF1=90°时,有解得|PF1|=2(二重根),所以满足题意的点P为椭圆与y轴的交点,有2个,
综上,满足题意的点P共6个,故D正确.
故选ACD.
知识积累 焦点三角形F1MF2的常用公式
(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.
(2)在△F1MF2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos∠F1MF2.
(3)焦点三角形的面积=|MF1|·|MF2|sin∠F1MF2=b2tan .
15.解析 (1)由题意知椭圆N的焦点坐标分别为(-2,0),(2,0).
设椭圆M的标准方程为+=1(a>b>0),
则化简并整理得5b4+11b2-16=0,
解得b2=1或b2=-(舍去),所以a2=5,
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,所以y0=±.又+=1,所以=,解得x0=±.所以满足条件的点P有4个,坐标分别为,,,-,-.
能力提升练
1.B 2.C 3.B 5.C 6.BCD
1.B 题中所给方程可理解为点(x,y)到定点(4,0),(-4,0)的距离之和为10,又10>4+4,故由椭圆的定义可知点(x,y)的坐标满足以(4,0),(-4,0)为焦点,且2a=10的椭圆方程,即满足+=1.故选B.
2.C 由椭圆+=1,可得a=3,b=,c==2,如图,设椭圆的右焦点为F',则F'(2,0),
|PF|+|PF'|=2a=6,
∴|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF'|=6+|PA|-|PF'|,
由图可知,当P在直线AF'上(即P为直线AF'与椭圆的交点)时,||PA|-|PF'||=|AF'|=,
当P不在直线AF'上时,根据三角形中两边之差小于第三边,可得||PA|-|PF'||<|AF'|=.
∴当P为F'A的延长线与椭圆的交点时,|PA|-|PF'|取得最小值-,∴|PA|+|PF|的最小值为6-.故选C.
3.B 延长F2T,交F1P的延长线于点M,如图所示,
因为直线PT为∠MPF2的平分线所在直线,F2T⊥PT,
所以△PTF2≌△PTM,所以|PF2|=|PM|,|TF2|=|TM|,
结合椭圆的定义得|MF1|=|PF1|+|PM|=|PF1|+|PF2|=4,
又T为F2M的中点,O为F1F2的中点,
所以在△F1F2M中,|OT|=|MF1|=2.故选B.
4.答案 +=1
解析 ∵椭圆的两个焦点F1,F2在x轴上,
∴设椭圆方程为+=1(a>b>0),
∵P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,
∴又a2=b2+c2,∴a=2,b=,c=,
∴该椭圆的方程为+=1.
5.C 不妨设F2,F1分别为上、下焦点,如图.
由椭圆方程可得a2=16,b2=7,c2=9,
∴|PF1|+|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=6,
∴|PF1|=|F1F2|=6,故|PF2|=2.在△PF1F2中,
cos∠F1PF2=
==,
∵cos2∠F1PF2+sin2∠F1PF2=1,且sin∠F1PF2>0,
∴sin∠F1PF2=,
设P的坐标为(x0,y0),则=|F1F2|·|x0|=|PF2|·|PF1|sin∠F1PF2,
∴|x0|=,∴点P到y轴的距离为.故选C.
6.BCD 由椭圆方程+=1,可知a=5,b=4,c=3,
∴△PF1F2的面积为×2c×|yP|=3|yP|=6,
∴|yP|=2.
对于A选项,将|yP|=2代入+=1,可得|xP|=,即xP=±,∴A错误;
对于B选项,△PF1F2的周长为2a+2c=16,∴B正确;
对于C选项,设△PF1F2的内切圆的半径为r,
则△PF1F2的面积为(2a+2c)r=8r=6,∴r=,∴C正确;
对于D选项,不妨设P在第一象限内,
则由上述分析可得P,又F1(-3,0),F2(3,0),∴=,=,
∴cos<,>===,
∴sin<,>===,
设△PF1F2的外接圆的半径为R,
则2R==,∴R=,∴D正确.
故选BCD.
7.解析 (1)因为点B与点A关于原点O对称,所以点B的坐标为,设点P的坐标为(x,y),由题意得直线AP,BP的斜率均存在,故x≠±1,且·=-,整理得+=1(x≠±1),故动点P的轨迹方程为+=1(x≠±1).
(2)设存在点P(x0,y0)使得△PAB与△PMN的面积相等,则|PA|·|PB|·sin∠APB=|PM|·|PN|·sin∠MPN,因为sin∠APB=sin∠MPN,所以=,所以=,即(3-x0)2=|-1|,解得x0=,因为点P的坐标满足+=1(x≠±1),所以将x0=代入,可得y0=±,故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为.
7(共46张PPT)
3.1 椭圆
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1 ,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点
叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
2.定义的三个要点
(1)在平面内,F1,F2是两个定点;
(2)|MF1|+|MF2|=2a为定长;
(3)定长2a>|F1F2|.
注意:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数,当2a>|F1F2|时,点M的轨
知识点 1 椭圆的定义
必备知识 清单破
迹是椭圆;当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,点M的轨迹不存在.
知识拓展 1.椭圆的第二定义:平面内到定点F的距离与到定直线l(定点F不在定直线l上)的
距离之比为常数e(0的准线,常数e叫做椭圆的离心率.
2.与两定点A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积为- (a>b>0)或e2-1(0圆(不含A1,A2两点).
焦点位置 在x轴上 在y轴上
图形
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
知识点 2 椭圆的标准方程与简单几何性质
性 质 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c(c= ) 范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a
对称性 对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点 顶点 (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0)
轴长 长轴(线段A1A2)长为2a, 短轴(线段B1B2)长为2b 离心率 e= = (0一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,e为椭圆的离心率,记r1=|PF1|,r2=|PF2|,则
①当焦点在x轴上时,r1=a+ex0,r2=a-ex0;
②当焦点在y轴上时,r1=a+ey0,r2=a-ey0.
已知点P(x0,y0),椭圆 + =1(a>b>0)的焦点为F1,F2,则
①|PF1|+|PF2|=2a 点P在椭圆上 + =1;
②|PF1|+|PF2|<2a 点P在椭圆内部 + <1;
③|PF1|+|PF2|>2a 点P在椭圆外部 + >1.
知识点 3 点与椭圆的位置关系
1.联立直线与椭圆的方程,根据方程组解的情况可得直线与椭圆的公共点个数(位置关系).
直线y=kx+m与椭圆 + =1(a>b>0)的位置关系的判断方法:由 消去y(或x)得到一
个一元二次方程,则
知识点 4 直线与椭圆的位置关系
位置关系 解的个数 判别式Δ
相交 两个不等的解 Δ>0
相切 两个相等的解 Δ=0
相离 无解 Δ<0
2.弦长公式
设直线斜率为k,直线与椭圆的两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ·|x1-x2|=
或|AB|= |y1-y2|= (k≠0).
3.椭圆的通径
过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径,其长度为 .
4.焦点弦
过焦点的直线与椭圆相交形成的弦.焦点弦中通径最短.
知识辨析
1.平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆,这种说法正确吗
2.椭圆 + =1(a>b>0)和椭圆 + =1(a>b>0)的焦点虽然不同,但都满足a2=b2+c2,这种说
法正确吗
3.若F1为椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点,P为椭圆上一动点,则|PF1|的取值范围是什么
4.椭圆的离心率e决定着椭圆的扁平程度,e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆,这种说法正确吗
5.两个点可以确定椭圆的标准方程吗
一语破的
1.不正确.常数大于|F1F2|时,轨迹才是椭圆.
2.正确.焦点无论是落在x轴上还是落在y轴上,都满足a2=b2+c2,且a>b,a>c.
3.[a-c,a+c].当P为椭圆的左顶点时,|PF1|最小,为a-c;当P为椭圆的右顶点时,|PF1|最大,为a+c.
4.正确.由e= = 可知,e越大, 越小,即b与a相差越大,则椭圆越扁;e越小, 越大,即b与a
相差越小,则椭圆越圆.椭圆的离心率也可被形象地理解为在椭圆的长轴长不变的前提下,两
个焦点偏离椭圆中心的程度,因此e越大,即c越大,焦点越偏离中心,椭圆也就越扁;反之,e越小,
焦点越靠近中心,椭圆也就越圆.
5.不一定.由椭圆的标准方程可知,椭圆关于x轴,y轴,原点对称,故不关于上述对称的两个点才
能确定椭圆的标准方程.
定点 1 椭圆标准方程的求解
关键能力 定点破
1.定义法
根据椭圆的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出椭圆的标准方程.
2.待定系数法
(1)如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为 + =1(a>b>0);
如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为 + =1(a>b>0);
如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴上,那么设所求的椭圆方程为
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
(2)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程可设为 + =k1(k1>0,a>b>0)或 +
=k2(k2>0,a>b>0).
(3)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程可设为 + =1(k典例1 求过点A(2,0)且与圆B:x2+4x+y2-32=0内切的圆M的圆心的轨迹方程.
思路点拨： 由两圆内切确定圆心距与半径的关系 寻找动点满足的几何条件 判定几
何条件符合椭圆的定义 求出椭圆方程.
解析：将圆B的方程化成标准形式为(x+2)2+y2=36,则圆心B的坐标为(-2,0),半径为6.
易知点A(2,0)在圆x2+4x+y2-32=0的内部.
设M(x,y),圆M与圆B相切于点C.
由于圆M与圆B内切,
所以|BC|-|CM|=|BM|.
因为|BC|=6,所以|BM|+|CM|=6.
又因为|CM|=|AM|,所以|BM|+|AM|=6>|AB|=4.
所以根据椭圆的定义知点M的轨迹是以B(-2,0)和A(2,0)为焦点,线段AB的中点(原点O)为中心
的椭圆,所以圆心M的轨迹方程为 + =1.
技巧点拨 观察几何图形,根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性,由曲线的定
义直接得到动点轨迹的方程.注意要检验是否有要剔除的点.
典例2 求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在x轴上,a=4,e= ;
(2)焦点在y轴上,c=6,e= ;
(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3;
(4)过点( ,- ),且与椭圆 + =1有相同的焦点;
(5)焦点在坐标轴上,且经过A( ,-2)和B(-2 ,1)两点.
解析： (1)由a=4,e= = ,得c=2,故b2=16-4=12.又焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为 +
=1.
(2)由c=6,e= = ,得a=9,故b2=81-36=45.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为 + =1.
(3)由题意知,a=5,c=3,故b2=25-9=16,因为焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,所以椭圆的标准
方程为 + =1或 + =1.
(4)解法一:因为所求椭圆与椭圆 + =1的焦点相同,所以所求椭圆的焦点在y轴上,且c2=25-
9=16.
设所求椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0).
因为c2=16,且c2=a2-b2,所以a2-b2=16.①
因为点( ,- )在椭圆上,
所以 + =1,即 + =1.②
由①②得b2=4,a2=20.
所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
解法二:设所求椭圆的方程为 + =1(λ>-9).因为点( ,- )在椭圆上,所以 +
=1,
化简得λ2+26λ+105=0,
解得λ=-5或λ=-21(舍).
所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
(5)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
因为点A( ,-2)和点B(-2 ,1)在椭圆上,
所以
即 解得
所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
1.焦点三角形
椭圆上异于长轴端点的一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于
椭圆的焦点三角形问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识.
2.焦点三角形的性质
(1)焦点三角形的周长C=2a+2c.
(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
(3)设P(xP,yP),则焦点三角形的面积S=c|yP|= |PF1||PF2|sin∠F1PF2=b2tan .当yP=±b,即点P
位于短轴端点时,S取得最大值bc.
(4)当且仅当点P位于短轴端点时,∠F1PF2最大,此时满足cos∠F1PF2=1-2e2.
定点 2 椭圆焦点三角形的相关问题
(5)设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则椭圆的离心率e= = = = =
.
典例 (1)已知P为椭圆 + =1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
(2)设P是椭圆 + =1上一动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求cos∠F1PF2的最小值.
解析： (1)由已知得a=2 ,b= ,
所以c= = =3,所以|F1F2|=2c=6.
在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4 ,
所以48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|=4.
所以 = |PF1|·|PF2|·sin 60°= .
(2)由题意得a=3,b=2,c= ,因此|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=2 .
所以cos∠F1PF2=
=
= -1.
因为|PF1|·|PF2|≤ =9,当且仅当|PF1|=|PF2|=3时取等号,
所以cos∠F1PF2≥ -1=- ,
所以cos∠F1PF2的最小值为- .
1.求椭圆离心率的两种常用方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e= 求解;若已知a,b或b,c,可利用a2=b2+c2求出c或a,再代入公
式e= 求解.
(2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,利用a2=b2+c2,转化为关于a,c的
齐次方程,再将方程两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程,即可求得e的值.
2.求椭圆离心率的取值范围
求离心率的取值范围时,应根据题意建立关于a,c的不等式(仿照求离心率中建立方程的方
法),结合e∈(0,1)确定离心率的范围.
定点 3 椭圆离心率的求解
典例 (1)已知F1为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,若PF1⊥
F1A,PO∥AB(O为椭圆的中心),则椭圆的离心率为 .
(2)已知椭圆 + =1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,
则椭圆的离心率的取值范围为 .
思路点拨 : (1)根据题意得点P的坐标 利用kAB=kOP或△PF1O∽△BOA得关于a,b,c的等式
求离心率.
(2)由条件列出关于a,c的不等式,将其转化为关于e的不等式,结合e∈(0,1),解不等式得到e的
取值范围.
解析：(1)解法一:由已知可设椭圆的方程为 + =1(a>b>0),c2=a2-b2(c>0),则F1(-c,0).
∵PF1⊥F1A,∴P 或P .
∵AB∥PO,
∴P ,kAB=kOP,故- =- ,
∴b=c,∴a2=2c2,∴e= = .
解法二:同解法一得P .
易知△PF1O∽△BOA,∴ = ,
∴ = ,即b=c,∴a2=2c2,∴e= = .
(2)连接OP(O为坐标原点).
若PF1⊥PF2,则△F1PF2是直角三角形,
所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤ c,所以e≥ ,又01.求相交弦的弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点间的距离公式求弦长.
(2)联立直线(斜率存在)与椭圆的方程,消元,得到一个一元二次方程,利用弦长公式|AB|=
|xA-xB|= |yA-yB|(k≠0),其中xA,xB(或yA,yB)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的
关系求出两根之和与两根之积后可求得弦长.
2.与椭圆中点弦有关的三种题型及解法
(1)利用根与系数的关系求中点坐标:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去x(或y)得到关
于y(或x)的一元二次方程,利用根与系数的关系以及中点坐标公式求解.
(2)利用“点差法”求直线斜率或方程:利用弦的端点在曲线上,端点坐标满足椭圆方程,将端
定点 4 直线与椭圆的相交弦问题
点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系式,即若椭圆方程为 +
=1(a>b>0),直线与椭圆相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠±x2,且弦AB的中点为M(x,y),则
①-②,整理得a2( - )+b2( - )=0,所以 =- · =- · .这样就建立
了中点坐标与直线斜率之间的关系,从而使问题得以解决.
(3)利用中点坐标公式求直线方程:若椭圆 + =1(a>b>0)的弦AB的中点为P(x0,y0),设其中一
个端点为A(x,y),则另一个端点为B(2x0-x,2y0-y),所以 + =1, + =1(a>b>0),
两式作差即可得所求的直线方程.
这三种方法中“点差法”最常用,“点差法”体现了“设而不求,整体代入”的解题思
想;“点差法”还可用于解决对称问题,因为此类问题一般也与弦的中点和直线斜率有关.
典例 已知椭圆 + =1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.
(1)当直线l的斜率为 时,求线段AB的长度;
(2)当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.
解析：(1)由已知可得直线l的方程为y-2= (x-4),即y= x.
由 得 或
不妨令A ,B ,
所以|AB|= =3 .所以线段AB的长度为3 .
(2)由题意知直线l的斜率存在.
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,
则 两式相减,得 + =0,
整理,得kAB= =- .
因为P(4,2)是线段AB的中点,
所以x1+x2=8,y1+y2=4,所以kAB=- =- ,所以直线l的方程为y-2=- (x-4),即y=- x+4.
1.解决与椭圆有关的最大(小)值问题的常用方法
(1)利用定义转化为几何问题,利用几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中
的定理、性质等进行求解;
(2)利用换元法转化为三角函数的最值问题来处理;
(3)利用代数法转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y的取值范围.
2.定值问题
(1)求定值问题的常用方法:
①从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
②直接推理、计算,并在推理、计算的过程中消去变量,从而得到定值.
定点 5 与椭圆有关的最值、定值及定点问题
(2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思路是使用参数表示要解决的问题,
然后证明要解决的问题与参数无关.在这类问题中选择消元的方向是非常关键的.
3.解决定点问题需要注意两个方面
一是抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以先从斜率不存在或斜率为0的
特殊情况入手找出定点,为解题指明方向.
二是抓“参数之间的关系”,定点问题多是直线过定点,所以要熟悉直线方程的特殊形式,若
直线的方程为y=kx+b,则直线恒过点(0,b);若直线的方程为y=k(x-a),则直线恒过点(a,0).
典例1 已知椭圆E: + =1,点P(x,y)是椭圆上一点.
(1)求x2+y2的最值;
(2)若四边形ABCD内接于椭圆E,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形ABCD面积的最
大值.
解析： (1)解法一:x2+y2=(x-0)2+(y-0)2,它表示点P与原点O之间的距离d的平方,由椭圆E的方程
可得a=5,b=4,由椭圆的性质知4≤d≤5,∴16≤d2≤25,∴x2+y2的最大值为25,最小值为16.
解法二:令x=5cos θ,y=4sin θ,θ∈[0,2π],则x2+y2=25cos2θ+16sin2θ=16+9cos2θ.
又∵cos2θ∈[0,1],∴x2+y2的最大值为25,最小值为16.
解法三:由 + =1,得y2=16 ,∴x2+y2=x2+16 =16+ .
∵x∈[-5,5],∴16≤x2+y2≤25,∴x2+y2的最大值为25,最小值为16.
(2)如图所示,易知A(5,0),C(0,4),
设B(5cos α,4sin α),α∈ ,
易得直线AC的方程为 + =1,即4x+5y-20=0,
所以点B到直线AC的距离
d1=
= ∈ .
同理可得,点D到直线AC的距离d2∈ .
所以四边形ABCD的面积S= |AC|(d1+d2)≤20 ,故四边形ABCD面积的最大值为20 .
典例2 已知椭圆C: + =1,N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C于异于N的A,B两点,直线NA,
NB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.
思路点拨：当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,将k1+k2用斜率k表示,通过运算消去k,得
到定值;当直线l的斜率不存在时,可求得A,B两点的坐标,进而得到k1,k2的值,从而得k1+k2为定
值.
证明： 当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,显然k≠0,又直线l不过点N,所以k≠4,则l的
方程为y+2=k(x+1)(k≠0且k≠4).
由 得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.
由Δ=56k2+32k>0得k<- 或k>0,
故k∈ ∪(0,4)∪(4,+∞).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=- ,x1x2= .
所以k1+k2= +
=
=2k-(k-4)· =4.
当直线l的斜率不存在时,不妨设A在x轴上方,则A ,B ,此时k1=2- ,k2=2+
,所以k1+k2=4.
综上,k1+k2为定值.
典例3 已知椭圆E: + =1(a>b>0)经过点 ,离心率为 .
(1)求E的方程;
(2)若点P是椭圆E的左顶点,直线l交E于A,B两点(异于点P),直线PA和PB的斜率之积为- .
(i)证明:直线l恒过定点;
(ii)求△PAB面积的最大值.
解析：(1)由题意得 解得
所以E的方程为 + =1.
(2)(i)证明:由(1)知P(-2,0).
当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1,x2≠-2,l:y=kx+m.
由 消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则x1+x2= ,x1x2= .
所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= .
因为kPA·kPB= · =- ,
所以(x1+2)(x2+2)+4y1y2=0,
即x1x2+2(x1+x2)+4+4y1y2=0,
所以 + +4+ =0,整理得m2-km-2k2=0,所以(m-2k)(m+k)=0,解得m=2k
或m=-k.
当m=2k时,直线l的方程为y=kx+2k=k(x+2),此时直线l恒过点(-2,0),显然不符合题意;
当m=-k时,直线l的方程为y=kx-k=k(x-1),此时直线恒过点(1,0).
当直线l的斜率不存在时,设l:x=t(-2不妨设点A,B的坐标分别为 , ,
由kAP·kBP=- ,得 · =- ,所以t=1,所以直线l的方程为x=1,过点(1,0).
综上,直线l恒过点(1,0).
(ii)当直线l的斜率存在时,易知k∈R且k≠0.由(i)知x1+x2= ,x1x2= .
所以|AB|= ·
= ·
= .
又点P(-2,0)到直线l:kx-y-k=0的距离d= ,
所以S△PAB= × × = =18 .
令u=4k2+3,则u>3,k2= ,
所以S△PAB=
=
= ,
由u>3得0< < ,
所以0< < ,
即S△PAB∈ .
当直线l的斜率不存在时,由(i)知直线l:x=1,
此时|AB|=3,
所以S△PAB= ×3×3= .
综上,△PAB面积的最大值为 .