3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
基础过关练
题组一 双曲线的简单几何性质
1.双曲线9x2-16y2=144的焦点坐标为( )
A.(-,0),(,0) B.(0,-),(0,)
C.(-5,0),(5,0) D.(0,-5),(0,5)
2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于( )
A.- B.-4 C.4 D.
3.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是( )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
4.若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到其渐近线的距离为c,则=( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线-=1(a>0)的两条渐近线的夹角为,则a的值为( )
A. B.2
C.或2 D.2
6.(教材习题改编)已知双曲线C的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则双曲线C的标准方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
7.已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若C的右支上存在一点M,满足2|MF1|=3|MF2|,则双曲线C经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围为( )
A.(0,2] B.[2,+∞)
C.(0,5] D.[5,+∞)
8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3∶1,则双曲线C的渐近线方程为 .
9.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,其右焦点F(c,0)到渐近线的距离为,O为坐标原点,P(x0,y0)为双曲线右支上一动点.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)求·的最小值.
题组二 求双曲线的离心率的值或者范围
10.双曲线-=1的离心率是( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线C的中心在原点处,焦点在坐标轴上,渐近线方程为y=±2x,则C的离心率为( )
A. B. C.或 D.或
12.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为e,若点(2,)与点(e,2)都在双曲线上,则e=( )
A. B.或 C.2或3 D.
13.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与直线y=2围成了一个等边三角形,则C的离心率为( )
A. B.+1 C. D.2
14.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的下、上焦点分别为F1,F2,点M在C的下支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为D.若|MD|>|F1F2|-|MF2|恒成立,则C的离心率的取值范围为( )
A. B.
C.(1,2) D.
15.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,坐标原点为O,以F1F2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点P,且∠PA1A2=45°,则双曲线C的离心率为 .
16.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上),且|PF1|=5|PF2|.
(1)用a表示|PF1|,|PF2|;
(2)若∠F1PF2是钝角,求双曲线的离心率e的取值范围.
17.双曲线-=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.
能力提升练
题组一 双曲线的离心率及其应用
1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在C上,且MF1⊥MF2,△OMF1的面积为(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D.
2.设椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:-=1的离心率分别为e1,e2,且双曲线C2的渐近线的斜率k小于,则的取值范围是( )
A.(1,4) B.(4,+∞)
C.(1,2) D.(2,+∞)
3.如图所示,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,C的右支上存在一点B满足BF1⊥BF2,BF1与C的左支的交点A满足=,则双曲线C的离心率为( )
A.3 B.2 C. D.
4.双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,离心率为e,O为坐标原点,且=k(k>1),以P为圆心,|PF|为半径的圆与双曲线有公共点,则k-8e的最小值为( )
A.-9 B.-7 C.-5 D.-3
5.已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A(0,-a),若双曲线的左支上存在一点P,使得|PA|+|PF|=7,则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A. B.(1,]
C. D.[,+∞)
6.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1,F2,M是它们的一个交点,且cos∠F1MF2=,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则的最大值为 .
7.如图,过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线l,使直线l与双曲线C的一条渐近线垂直,垂足为A,且与另一条渐近线交于点B(A,B均在y轴右侧).已知O为坐标原点,若△OAB的内切圆的半径为a,则双曲线C的离心率为 .
题组二 双曲线性质的综合应用
8.(多选题)已知圆锥曲线C1:mx2+ny2=1(n>m>0)与C2:px2-qy2=1(p>0,q>0)的公共焦点为F1,F2,M为C1,C2的一个公共点,且满足∠F1MF2=90°,若圆锥曲线C1的离心率为e1,C2的离心率为e2,则下列说法正确的是( )
A.+=2
B.+=2
C.当e1=时,C2的渐近线方程为y=±x
D.当e1=时,C2的渐近线方程为y=±x
9.(多选题)设双曲线C:x2-y2=2的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2,l为双曲线C的一条渐近线,过F2作F2M⊥l,垂足为M,P为双曲线C在第一象限内的一点,则 ( )
A.|F2M|=2
B.∠PA2A1-∠PA1A2=90°
C.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为2
D.若PM平行于x轴,则|PF2|=|PM|
10.(多选题)已知双曲线C:x2-=1,C的两条渐近线分别为l1,l2,P为C右支上任意一点,它到l1,l2的距离分别为d1,d2,到右焦点F的距离为d3,则( )
A.d1的取值范围为
B.d3的取值范围为[2,+∞)
C.d1+d2的取值范围为[,+∞)
D.d1+d3的取值范围为[,+∞)
11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点与椭圆+=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为其右支上任意一点,则双曲线C的离心率为 ;的最小值为 .
12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,左、右焦点分别为F1,F2,且F1到渐近线的距离为3,过F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点,O为坐标原点,若△AF1F2和△BF1F2的内心分别为M,N,则|MN|的最小值为 .
13.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点在圆O:x2+y2=26上,圆O与双曲线C的渐近线在第一、四象限分别交于点P,Q,若点E(a,0)满足+=-,求△OPQ的面积.
答案与分层梯度式解析
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
基础过关练
1.C 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7.A 10.C
11.D 12.D 13.D 14.A
1.C 将双曲线方程9x2-16y2=144化为标准形式为-=1,则a2=16,b2=9,
所以c2=a2+b2=16+9=25,即c=5,
易知焦点在x轴上,所以焦点坐标为(-5,0),(5,0).故选C.
2.A 将双曲线方程化为标准形式为y2-=1,则a2=1,b2=-.由题意得2=,解得m=-.
3.A 设等轴双曲线的方程为-=1(a>0).在方程3x-4y+12=0中,令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(-4,0),∴c=4,∴a2=c2=×16=8,故所求双曲线的方程是x2-y2=8.故选A.
4.A 根据双曲线的几何性质可知,右焦点F(c,0)到渐近线bx±ay=0的距离为=b=c,∴=.
故选A.
5.C 双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,因为双曲线-=1(a>0)的两条渐近线的夹角为,所以=tan 或=tan ,解得a=或a=2.
故选C.
6.C 由题意可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),因为双曲线C的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,所以解得(负值舍去),所以双曲线C的标准方程为-=1.故选C.
7.A 由题易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,其中过第一、三象限的渐近线的方程为y=x,其斜率为.设|MF1|=s,|MF2|=t,由2|MF1|=3|MF2|,可得2s=3t①,
因为M在双曲线的右支上,所以根据双曲线的定义可知s-t=2a②,由①②解得s=6a,t=4a.
由于M在双曲线的右支上,所以|MF1|=6a≥a+c,即5a≥c,两边平方得25a2≥c2,又c2=a2+b2,所以24a2≥b2,即≤24,所以∈(0,2].故选A.
8.答案 y=±x
解析 易知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点在y轴上,其渐近线方程为y=±x,
由双曲线的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3∶1,可知c=3a(依据:相似三角形对应边成比例),则b==2a,
则双曲线C的渐近线方程为y=±x.
9.解析 (1)因为双曲线C:-=1的渐近线方程为y=±x,所以a=b,
又右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离为,故=,解得c=2,
又c2=a2+b2,所以a2=b2=2,
所以双曲线C的标准方程为-=1.
(2)由(1)及题知F(2,0),x0≥,=(x0,y0),=(x0-2,y0),=-2,则·=x0(x0-2)+=2-2x0-2=-,
所以当x0=时,·取得最小值,为2-2.
10.C 由双曲线-=1可知,a2=4,b2=3,所以c2=a2+b2=7,故离心率e==.故选C.
11.D 当焦点在x轴上时,=2,可得e===;
当焦点在y轴上时,=2,可得e===.
(易错点:焦点位置不确定,应分类讨论)
故选D.
12.D 由点(2,),(e,2)在双曲线-=1上,得则-=0,即===e2-1,
整理得e4-5e2+6=0,解得e2=2或e2=3.
当e2=2时,a2=b2,此时方程-=1无解,不满足题意;
当e2=3时,b2=2a2,又-=1,所以a=1,b=,满足题意.
所以e=.故选D.
13.D 由题意得,渐近线y=x与y轴的夹角为30°,则其倾斜角为60°,故其斜率为,所以=,
所以C的离心率e===2.故选D.
14.A 由题知|F1F2|=2c,点F1到渐近线y=±x的距离d==b.由双曲线的定义可得|MF2|-|MF1|=2a,故|MF2|=|MF1|+2a,则|MD|+|MF2|=|MD|+|MF1|+2a的最小值为d+2a=2a+b,由|MD|>|F1F2|-|MF2|恒成立,得|MD|+|MF2|>|F1F2|恒成立,即2a+b>2c,即b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac,故1<<,即C的离心率的取值范围为.故选A.
15.答案
解析 不妨设P在第一象限内,由已知得PF1⊥PF2,在Rt△PF1F2中,|OP|=|F1F2|=c,
在△OPA2中,tan∠POA2=,则cos∠POA2=,
又|OA2|=a,故由余弦定理得|PA2|2=|OP|2+-2|OP|·|OA2|·cos∠POA2,解得|PA2|=b(负值舍去),
由|OP|2-|OA2|2=|PA2|2知PA2⊥OA2,即PA2⊥A1A2,
所以在Rt△PA1A2中,tan∠PA1A2=,即1=,则=2,
所以双曲线C的离心率e==.
16.解析 (1)∵点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上),
∴根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,
∵|PF1|=5|PF2|,∴|PF2|=a,|PF1|=a.
(2)在△F1PF2中,由余弦定理的推论可得,cos∠F1PF2=,
∵∠F1PF2是钝角,∴a2+a2-4c2<0,即>,
∴>,即e>,故离心率e的取值范围为.
17.解析 易得直线l的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.
由点到直线的距离公式及a>1,b>0,得点(1,0)到直线l的距离d1=,
同理得到点(-1,0)到直线l的距离d2=,
则s=d1+d2==.
由s≥c,得≥c,即5a≥2c2,
左、右两侧同除以a2,得5≥2e2,即4e4-25e2+25≤0,解得≤e2≤5.
由于e>1,所以e的取值范围是≤e≤.
能力提升练
1.A 2.C 3.C 4.A 5.C 8.BD 9.BCD 10.CD
1.A 设|MF1|=s,|MF2|=t,由双曲线的定义可得|s-t|=2a,故s2+t2-2st=4a2,
由MF1⊥MF2,可得△OMF1的面积为st=,即st=,
又s2+t2=4c2,故2st+4a2=+4a2=4c2,即c=a,即e==.故选A.
2.C 不妨设椭圆、双曲线的半焦距分别为c1,c2.
易知c1=,c2=,又e1=,e2=,
所以=,
若双曲线C2的渐近线的斜率k小于,即k=±<,则0
3.C 在△ABF2中,由正弦定理得=①,
在△AF1F2中,由正弦定理得=②,
又∠BAF2+∠F1AF2=π,故sin∠BAF2=sin∠F1AF2,
∴由,得·=,
又=,故·=,即|AB|=|AF1|,
设|AB|=|AF1|=x(x>0),则|BF1|=2x,由双曲线的定义得|BF2|=2x-2a,|AF2|=x+2a,
由BF1⊥BF2,得|AF2|2=|AB|2+|BF2|2,即(x+2a)2=x2+(2x-2a)2,∴x=3a,
∴|BF1|=6a,|BF2|=4a,
在Rt△BF1F2中,由勾股定理得|F1F2|2=|BF1|2+,即(2c)2=(6a)2+(4a)2,整理得c2=13a2,
∴双曲线C的离心率e==.故选C.
4.A 由题意可知右焦点为F(c,0),由=k,可得P(kc,0),|PF|=(k-1)c,
故以P为圆心,|PF|为半径的圆的方程为(x-kc)2+y2=(k-1)2c2,
联立消去y,可得c2x2-2kca2x+a2(2kc2-c2-b2)=0,由圆与双曲线有公共点,可得Δ≥0,即4k2c2a4-4c2a2(2kc2-c2-b2)≥0,
结合b2=c2-a2,化简可得(k-1)[(k+1)a2-2c2]≥0,
∵k>1,∴(k+1)a2-2c2≥0,即k≥2e2-1,所以k-8e≥2e2-8e-1=2(e-2)2-9,
又e>1,故当e=2时,k-8e取得最小值,为-9.故选A.
5.C 设双曲线C的左焦点为F',则|PF|-|PF'|=2a,
故|PA|+|PF|=2a+|PF'|+|PA|≥2a+|F'A|,当且仅当A,F',P三点共线, 且P在A,F'之间时等号成立,
∴|PA|+|PF|的最小值为2a+|F'A|=2a+,
由题意可知2a+≤7,即≤7-2a,∴c2+a2≤4a2-28a+49,又c2=a2+1,∴a2-14a+24≥0,解得a≥12或a≤2,当a≥12时,2a+>7,不满足题意,∴a≤2,∴a2≤4=4(c2-a2),结合e>1,可得e≥,∴离心率的取值范围是.故选C.
6.答案
解析 不妨设M为第一象限内的点,F1为左焦点,椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,
则根据椭圆及双曲线的定义可得|MF1|+|MF2|=2a1,|MF1|-|MF2|=2a2,
所以|MF1|=a1+a2,|MF2|=a1-a2,
在△MF1F2中,cos∠F1MF2=,|F1F2|=2c,由余弦定理得4c2=+-2(a1+a2)(a1-a2)·cos∠F1MF2,
化简得3+5=8c2,即+=8,
所以+=8≥2,从而≤,
当且仅当=,即e1=,e2=时等号成立,即的最大值为.
7.答案
解析 设△OAB的内切圆的圆心为M,则M在∠AOB的平分线Ox上,过点M分别作MN⊥OA于N,MT⊥AB于T,如图,
由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形,由焦点到渐近线的距离为b得|FA|=b,又|OF|=c,所以|OA|=a,
又|NA|=|NM|=a,所以|NO|=a,
所以=tan∠AOF=tan∠NOM==,从而可得e===.
8.BD 不妨设M在第一象限内,F1,F2分别为左、右焦点,且|MF1|=r,|MF2|=s,
设圆锥曲线C1:mx2+ny2=1(n>m>0)与C2:px2-qy2=1(p>0,q>0)的基本几何量分别为a1,b1,c;a2,b2,c,且a1=,b1=,a2=,b2=,
则根据题意可得∴2(r2+s2)=4(+),
∴r2+s2=2(+)=4c2,
∴+=2,即+=2,∴A错误,B正确;
当e1=时,由+=2,可得=,
∴C2的渐近线的斜率为±=±=±=±,∴C2的渐近线方程为y=±x,∴C错误,D正确.故选BD.
9.BCD 由双曲线C:x2-y2=2,可得a=,b=,c=2,∴左、右顶点分别为A1(-,0),A2(,0),左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),
不妨设l为双曲线C经过第一、三象限的渐近线,则其方程为y=x,则|F2M|==,故A错误;
设P(x,y),x>,y>0,则=,=,可得·=·=1,∴=,
∴tan∠PA1A2=tan(90°-∠PA2x),∴∠PA1A2=90°-∠PA2x,∴∠PA1A2=90°-(180°-∠PA2A1),
∴∠PA2A1-∠PA1A2=90°,故B正确;
易得|PF1|-|PF2|=2,两边平方得|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=8,
又∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16,
∴|PF1|·|PF2|=4,
则△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=2,故C正确;
由M在直线y=x上,F2(2,0),可得M(1,1),若PM平行于x轴,则P(,1),
∴|PM|=-1,|PF2|===-=(-1)=|PM|,故D正确.
故选BCD.
10.CD 由题可知,a=1,b=,c===2,设P(x1,y1)(x1≥1),右焦点F到渐近线的距离为d4.
易得两条渐近线的方程分别为y=x,y=-x,根据双曲线的对称性,不妨设它们所对应的直线分别为l1,l2,
则d1=,d2=,d1d2=,d4==,又P(x1,y1)在双曲线上,故-=1,即3-=3,故d1d2=,
d3===≥1,故B错误;
d1+d2≥2=2=,当且仅当d1=d2=时等号成立,故C正确;
由图可知,d1+d3≥d4=,故D正确;
由双曲线的性质知,当|x|无穷大时,双曲线与渐近线无限接近,所以d1的最小值无限趋近于0,所以d1无最小值,故A错误.
故选CD.
11.答案 3;8
解析 易知椭圆+=1的离心率为=,半焦距c1==3,
因为双曲线C与椭圆+=1的离心率互为倒数,
所以双曲线C的离心率为3,①
因为双曲线C的焦点与椭圆+=1的焦点重合,
所以双曲线C的半焦距c2=3,②
又a2+b2=,③
故由①②③可得a=1,b=2,
则双曲线C的方程为x2-=1.
由F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为其右支上任意一点,可得|PF1|-|PF2|=2a=2,即|PF1|=2+|PF2|,
所以===+|PF2|+4,因为|PF2|≥c2-a=2,
所以+|PF2|+4≥2+4=8,
当且仅当=|PF2|,即|PF2|=2时,等号成立,
则的最小值为8.
12.答案 2
解析 易知在双曲线C:-=1(a>0,b>0)中,焦点到渐近线的距离为b,则b=3,又离心率为2,c2=a2+b2,
∴解得(舍负).∴双曲线C的方程为-=1.
不妨设A在第一象限内,△AF1F2的内切圆与边AF1,AF2,F1F2的切点分别为H,G,E,如图,
则|AH|=|AG|,|F1H|=|F1E|,|F2G|=|F2E|,
由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2a,即|AH|+|HF1|-(|AG|+|GF2|)=2a,即|HF1|-|GF2|=2a,即|F1E|-|F2E|=2a,
记M的横坐标为x0,则E(x0,0),
于是x0+c-(c-x0)=2a,解得x0=a,
同理可得内心N的横坐标也为a,故MN⊥x轴.
设直线AB的倾斜角为θ,则∠OF2N=,∠MF2O=90°-,
在△MF2N中,|MN|=(c-a)tan+tan90°-=(c-a)·=(c-a)·=.
由于直线l与C的右支交于两点,且C的一条渐近线的斜率为=,对应的倾斜角为60°,
∴60°<θ<120°,即∴|MN|的取值范围是[2,4),即|MN|的最小值为2.
13.解析 因为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点在圆O:x2+y2=26上,所以c=.
设线段PQ与x轴的交点为M,结合双曲线与圆的对称性可知M为线段PQ的中点,
因为+=-,所以2=-,
又点E(a,0),所以M.
易得直线OP的方程为y=x,所以P,
又点P在圆O上,所以+=26,
又a2+b2=26,所以a2=8,b2=18,故a=2,b=3,
从而P(3,2),故S△OPQ=×3×2×2=12.
7第2课时 直线与双曲线的位置关系
基础过关练
题组一 直线与双曲线的位置关系
1.双曲线-=1与直线l:y=-x+m(m∈R)的公共点的个数为( )
A.0 B.1
C.0或1 D.0或1或2
2.已知直线l:y=2x-8,双曲线C:-y2=1,则( )
A.直线l与双曲线C有且只有一个公共点
B.直线l与双曲线C的左支有两个公共点
C.直线l与双曲线C的右支有两个公共点
D.直线l与双曲线C的左右两支各有一个公共点
3.已知双曲线E:-y2=1,直线l:y=kx+1,若直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上,则k的取值范围是( )
A.k<-或k> B.-C.k<-或k> D.-4.(多选题)已知两点A(-2,0),B(2,0),若某直线上存在点P,使得|PA|-|PB|=2,则称该直线为“点定差直线”,下列直线中,是“点定差直线”的有( )
A.y=x+1 B.y=3x+1
C.y=2x+4 D.y=x+3
5.直线mx-y-2m=0与曲线x2+y|y|=1恰有两个交点,则实数m的取值范围为 .
6.已知直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1,分别求出满足下列条件的k的值或者取值范围.
(1)l与C没有公共点;
(2)l与C只有一个公共点;
(3)l与C有两个公共点.
7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,点M(,)在双曲线上,O为坐标原点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)如图,若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点Q,P,且·=0,求证:+是定值.
题组二 直线与双曲线的相交弦问题
8.过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若满足|AB|=λ的直线l恰有3条,则实数λ=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
9.已知双曲线C:-=1(a>0)的右焦点为F,过点F作直线l与C交于A,B两点,若满足|AB|=4的直线l有且仅有1条,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.或
10.(多选题)过双曲线C:-=1的右焦点作直线l与该双曲线交于A,B两点,则( )
A.存在四条这样的直线l,使|AB|=6
B.存在直线l,使弦AB的中点为M(4,1)
C.与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲线的标准方程为-=1
D.若A,B都在该双曲线的右支上,则直线l的斜率的取值范围是∪
11.已知双曲线W:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过原点O的直线l与双曲线W的左、右两支分别交于点A,B,以AB为直径的圆过点F,延长BF交右支于另一点C,若|CF|=2|FB|,则双曲线W的渐近线方程是( )
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±3x
12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作C的两条渐近线的平行线,与C分别交于点A,B,若|AB|=2b,则C的离心率为 .
13.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,且|PF1|-|PF2|=4.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点D(4,0)的直线l交双曲线C于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点O,求弦AB的长.
14.在平面直角坐标系Oxy中,设双曲线2x2-y2=6的左、右焦点分别为F1,F2,一条过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点,M为线段PQ的中点.
(1)若M在直线x=4上,求|PQ|;
(2)设I是△F1PQ的内心,求证:O,I,M三点共线.
能力提升练
题组一 “点差法”在双曲线中的应用
1.(多选题)已知双曲线E过点(-2,3)且与双曲线-=1共渐近线,直线l与双曲线E交于A,B两点,分别过点A,B且与双曲线E相切的两条直线交于点P,则下列结论正确的是( )
A.双曲线E的标准方程是-=1
B.若AB的中点为(1,4),则直线l的方程为9x-16y+55=0
C.若点A的坐标为(x1,y1),则直线AP的方程为9x1x-4y1y+36=0
D.若点P在直线3x-4y+6=0上运动,则直线l恒过点(3,6)
2.已知曲线Γ的对称中心为O,若对于Γ上的任意一点A,Γ上都存在另两点B,C,使得O为△ABC的重心,则称曲线Γ为“自稳定曲线”.现有如下两个命题:①任意椭圆都是“自稳定曲线”;②存在某双曲线是“自稳定曲线”.则( )
A.①是假命题,②是真命题
B.①是真命题,②是假命题
C.①②都是假命题
D.①②都是真命题
3.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F(-3,0)的直线与双曲线交于M,N两点,且线段MN的中点坐标为(3,6),则双曲线的方程为 .
4.已知双曲线E:-=1,过P(4,t)(t>0)作直线l交双曲线于A,B两点,若不存在直线l使得P是线段AB的中点,则t的取值范围是 .
题组二 双曲线中的面积问题
5.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,M是E上一点,△ABM为等腰三角形,且△ABM的外接圆的面积为3πa2,则双曲线E的离心率为( )
A.2 B. C. D.
6.已知直线2x-y-2=0与双曲线C:x2-y2=1交于点A(x1,y1),B(x2,y2).P(x3,y3)为C上一点,且x17.双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点P,且点P到双曲线C的两条渐近线的距离之比为4∶1.
(1)求C的方程;
(2)过点P作不平行于坐标轴的直线l1交双曲线于另一点Q,作直线l2∥l1分别交C的两条渐近线于点A,B(A在第一象限内),使|AB|=|PQ|,记l1和直线QB的斜率分别为k1,k2.
(i)证明:k1·k2是定值;
(ii)若四边形ABQP的面积为5,求k1-k2.
题组三 直线与双曲线的位置关系的综合应用
8.已知双曲线C:-=1(a>0)的左顶点为A,右焦点为F,P是直线l:x=上一点,且P不在x轴上,以点P为圆心,线段PF的长为半径作圆,圆弧AF交C的右支于点N.
(1)证明:∠APN=2∠NPF;
(2)取a=1,若直线PF与C的左、右两支分别交于点E,D,过E作l的垂线,垂足为R,试判断直线DR是否过定点,若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
9.在平面直角坐标系Oxy中,已知圆O:x2+y2=1,点F(2,0),以线段FG为直径的圆与圆O相切,记动点G的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)设点M在x轴上,点N(0,1),在W上是否存在两点A,B,使得当A,B,N三点共线时,△ABM是以AB为斜边的等腰直角三角形 若存在,求出点M的坐标和直线AB的方程;若不存在,请说明理由.
10.如图,椭圆+=1(a>b>0)与一等轴双曲线相交,并且双曲线的左、右顶点分别是该椭圆的左、右焦点F1(-2,0),F2(2,0),双曲线的左、右焦点分别是椭圆的左、右顶点,设P为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,且直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D.
(1)分别求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)证明:k1k2=1;
(3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第2课时 直线与双曲线的位置关系
基础过关练
1.C 2.C 3.B 4.AD 8.C 9.B 10.ACD 11.C
1.C 易得双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,
所以当m=0时,直线l:y=-x+m与渐近线y=-x重合,此时直线l与双曲线无公共点;当m≠0时,直线l与渐近线y=-x平行,此时直线l与双曲线有一个公共点.故选C.
2.C 解法一:易知直线l经过定点(4,0),记M(4,0),因为点M在双曲线C的右顶点(2,0)的右侧,双曲线的渐近线方程为y=±x,且kl=2>,所以直线l与双曲线C的右支有两个公共点.故选C.
解法二:联立解得或
所以直线l与双曲线C的右支有两个公共点.
故选C.
3.B 联立消去y并整理,得(1-3k2)x2-6kx-6=0,
由直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上,
得解得-所以k的取值范围是-规律总结 运用方程思想解决直线与双曲线的位置关系时,可将直线方程与双曲线方程联立,消去y(或x),得到一个关于x(或y)的一元二次方程,则二次项系数为0时,直线与双曲线的渐近线平行(或重合),此时直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点);二次项系数不为0时,若Δ>0,则直线与双曲线有两个公共点,若Δ=0,则有一个公共点,若Δ<0,则无公共点.
4.AD 结合双曲线的定义,可知满足|PA|-|PB|=2的点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,且c=2,a=1,所以b=,此双曲线的方程为x2-=1,渐近线方程为y=±x.
依题意,若该直线为“点定差直线”,则这条直线必与双曲线的右支相交,逐项分析可得,直线y=x+1,y=x+3的斜率分别为1,,均小于,且两直线均与y轴交于正半轴,故与右支有一个交点;直线y=3x+1,y=2x+4的斜率分别为3,2,均大于,且两直线均与y轴交于正半轴,故与右支无交点.故选AD.
5.答案
解析 当y≥0时,曲线x2+y|y|=1即x2+y2=1,当y<0时,曲线x2+y|y|=1即x2-y2=1.
当m=0时,直线方程为y=0,与曲线恰好有两个交点,符合题意.
当m≠0时,直线方程为y=m(x-2),直线过定点(2,0),
若m>0,则直线与双曲线x2-y2=1在x轴下方的部分恰有两个交点,又双曲线的渐近线方程为y=±x,故0若m<0,则直线与圆x2+y2=1在x轴上方的部分恰有两个交点,所以圆心(0,0)到直线的距离d综上,m的取值范围是-6.解析 联立消去y,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0.
(1)若l与C没有公共点,则k≠±1,且Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2<0,解得k>或k<-.
(2)当k=-1时,l:y=-x+1;当k=1时,l:y=x+1,均与一条渐近线平行,满足l与C只有一个公共点;
当k≠±1时,Δ=0,解得k=±.
所以若l与C只有一个公共点,则k=±1或k=±.
(3)若l与C有两个公共点,则k≠±1,且Δ>0,即-7.解析 (1)因为双曲线C的离心率e==2,
所以c=2a,又b2=c2-a2=3a2,
故双曲线C的方程为-=1,即3x2-y2=3a2,
因为点M(,)在双曲线上,所以6-3=3a2,
解得a2=1,
则双曲线C的方程为x2-=1.
(2)证明:根据题意,不妨设直线OP的方程为y=kx(k>0),
由(1)知双曲线C的渐近线方程为y=±x,则k≠.
因为·=0,所以直线OQ的方程为y=-x,
联立解得x2=,y2=,
则|OP|2=x2+y2=,
同理可得|OQ|2==,
则+===,
故+为定值,定值为.
8.C 若A,B两点在两支上,∵双曲线的两个顶点之间的距离是2,
∴此时一定有两条斜率存在且过双曲线的右焦点的直线,满足它与双曲线的两个交点之间的距离等于3或4或6.
若A,B两点都在右支上,当所作直线与实轴垂直时,A,B两点的横坐标均为,
将x=代入双曲线方程,可得3-=1,∴y=±2,
此时线段AB的长度最小,是4,且对应直线只有一条.
综上可知,有三条直线满足|AB|=4,∴λ=4.故选C.
9.B 易得双曲线C:-=1(a>0)的实轴长为2a,通径长为=2a+>2a,∵满足|AB|=4的直线l有且仅有1条,∴2a=4,解得a=2,∴c==3,
∴双曲线C的离心率为=,故选B.
10.ACD 对于A,易知双曲线的通径长为=5<6,实轴长2a=4<6,故存在四条这样的直线l,使|AB|=6,故A正确.
对于B,假设存在直线l,使弦AB的中点为M(4,1),
设直线l的方程为y-1=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,可得(5-4k2)x2+(32k2-8k)x-64k2+32k-24=0,则Δ>0恒成立,
则x1+x2==8,y1+y2=k(x1-4)+1+k(x2-4)+1=k·-8k+2==2,
所以k=5,所以直线l的方程为y-1=5(x-4),但此时右焦点(3,0)不在直线l上,故不存在这样的直线l,故B错误.
对于C,设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为-=λ(λ≠0且λ≠1),
将(8,10)代入可解得λ=-4,所以所求双曲线的标准方程为-=1,故C正确.
对于D,设直线l的方程为x=my+3,A(xA,yA),B(xB,yB),
联立消去x,得(5m2-4)y2+30my+25=0,则Δ>0恒成立,
则yA+yB=,yAyB=,
若A,B都在该双曲线的右支上,则yAyB=<0,
即5m2-4<0,解得-故选ACD.
11.C 设双曲线的左焦点为F',连接BF',AF',CF',AF,如图,
设|BF|=t,则|CF|=2t,|BF'|=2a+t,|CF'|=2t+2a,
由题意知AF⊥BF,根据双曲线的对称性可知四边形AFBF'为矩形,
在Rt△BCF'中,|CF'|2=|CB|2+|BF'|2,即(2t+2a)2=(3t)2+(2a+t)2,解得t=(t=0舍去),
在Rt△FBF'中,|FF'|2=|BF|2+|BF'|2,即(2c)2=+,得=,∴=-1=,
故双曲线W的渐近线方程为y=±x.故选C.
12.答案 +2
解析 不妨设双曲线的左焦点为F1,点A在第一象限内,如图所示,
易知过F且与渐近线y=x平行的直线的方程为y=(x-c),与双曲线方程联立,
解得x=,y=-,
因为|AB|=2b,所以2×=2b,即b2=2ac,即c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,
解得e=+2(e=-2舍去).
13.解析 (1)由题意及双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=4,解得a=2.
因为双曲线C的离心率为,所以==,解得c=2.因为c2=a2+b2,所以b2=c2-a2=8.
故双曲线C的标准方程为-=1.
(2)当直线l的斜率为0时,A,B两点为双曲线的顶点,此时以AB为直径的圆不过原点O,舍去.
当直线l的斜率不为0时,设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x,整理得(2m2-1)y2+16my+24=0,则y1+y2=-,y1y2=,
故x1x2=(my1+4)(my2+4)=m2y1y2+4m(y1+y2)+16.
因为以AB为直径的圆过原点O,所以⊥,
所以·=x1x2+y1y2=0,
所以(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=0,
即(m2+1)·+4m·+16=0,
整理得8-8m2=0,即m2=1,
则|y1-y2|===4,
故|AB|=|y1-y2|=×4=8,即弦AB的长为8.
14.解析 (1)由题意知直线PQ的斜率不为0,F2(3,0),
设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为x=my+3,
由得(2m2-1)y2+12my+12=0,
则解得m2≠.
由根与系数的关系得y1+y2=,y1y2=,
则x1+x2=m(y1+y2)+6=+6=8,解得m2=.
经检验,当m2=时,直线与双曲线的右支有两个交点,满足题意,
此时|PQ|=|y1-y2|==6.
(2)证明:设M(xM,yM),直线PQ的倾斜角为θ,
由(1)可知yM==,xM=myM+3=,则kOM==2m.
因为内心I是△F1PQ三个角的平分线的交点,|PF1|+|QF1|-|PQ|=4a,所以由切线长定理可知,△F1PQ的内切圆切PQ边于点F2.
设内心I(xI,yI),内切圆的半径为r,
则△F1PQ的面积S=(|PQ|+|PF1|+|QF1|)·r=|F1F2|·|y1-y2|,即(|PQ|+2a)·r=3|y1-y2|,
则·r=,整理得r=2,
又xI=c-rsin θ=c-r·=1,yI=rcos θ=2·=2m,
所以kOI==2m=kOM,即O,I,M三点共线.
能力提升练
1.BC 2.B 5.C
1.BC 因为双曲线E与双曲线-=1共渐近线,所以可设双曲线E的方程为-=λ(λ≠0,λ≠1),又双曲线E过点(-2,3),所以-=λ,即λ=-1,所以双曲线E的标准方程是-=1,故A错误;
设A(xA,yA),B(xB,yB),由A,B在双曲线E上,得两式相减,得-=0,
即-=0,
又AB的中点为(1,4),所以xA+xB=2,yA+yB=8,所以kAB==,故直线l的方程为y-4=(x-1),即9x-16y+55=0,故B正确;
由题可设直线AP:y=k(x-x1)+y1,与双曲线E的方程联立,消去y可得(4k2-9)x2+(8ky1-8k2x1)x+(4k2+9)-8kx1y1=0,令Δ=0,得(+4)k2-2kx1y1+-9=0,解得k=(二重根),则直线AP的方程为9x1x-4y1y+36=0,故C正确;
设B(x2,y2),同C中分析,可得直线BP的方程为9x2x-4y2y+36=0,由点P在直线3x-4y+6=0上运动,可设P,
因为点P既在直线AP上,又在直线BP上,所以因此直线l的方程为9ax-(3a+6)y+36=0,即(9x-3y)a+(36-6y)=0,
令解得
所以直线l恒过点(2,6),故D错误.
故选BC.
规律总结 涉及直线被圆锥曲线所截弦的中点及直线斜率的相关问题,可以利用“点差法”求解,先设出弦的两个端点坐标,然后代入曲线方程并作差,还要注意验证.
2.B 任意椭圆都是“自稳定曲线”.理由如下:
根据对称性,不妨令椭圆方程为+=1(a2≠b2,a>0,b>0),A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),则b2+a2=a2b2,
假设O是△ABC的重心,则直线BC过点.
当y0=0时,x0=±a,
若A(a,0),易知直线y=-与椭圆有两个交点,即B,C存在,符合题意;
若A(-a,0),易知直线y=与椭圆有两个交点,即B,C存在,符合题意,
则当y0=0,即A(±a,0)时,存在两点B,C,使得△ABC的重心为原点O.
同理,当x0=0,即A(0,±b)时,存在两点B,C,使得△ABC的重心为原点O.
当x0y0≠0时,由B,C均在椭圆上,得两式相减得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0,
易得直线BC的斜率为=-,则其方程为y+=-,即y=-x-,
由消去y并整理,得x2+x0x+-·=0,
则Δ=-a2+=-+=>0,即直线BC与椭圆交于两点,且O是△ABC的重心,
即当x0y0≠0时,对于椭圆上任意一点A,在椭圆上都存在另两点B,C,使得O为△ABC的重心.
综上,对椭圆上任意一点A,在椭圆上都存在另两点B,C,使得O为△ABC的重心,故①为真命题.
任意双曲线都不是“自稳定曲线”,理由如下:
根据对称性,不妨令双曲线方程为-=1(m>0,n>0),A(t,s),B(t1,s1),C(t2,s2),则n2t2-m2s2=m2n2,
假设O是△ABC的重心,则直线BC过点.
当s=0时,t=±m,易知直线x=-、直线x=与双曲线-=1都不相交,因此s≠0,
由B,C均在双曲线上,得两式相减得n2(t1-t2)(t1+t2)-m2(s1-s2)(s1+s2)=0,
易得直线BC的斜率为=,则其方程为y+=,即y=x+,
由消去y并整理,得x2+tx++·s2=0,
则Δ'=t2-m2-s2=s2-s2=-s2<0,即直线BC与双曲线不相交,
所以对双曲线上任意一点A,双曲线上不存在另两点B,C,使得O为△ABC的重心,故②是假命题.
故选B.
3.答案 -=1
解析 设M(x1,y1),N(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减可得=,所以=,
因为点(3,6)是线段MN的中点,所以x1+x2=6,y1+y2=12,
所以kMN==×=×=,又因为kMN==1,所以=1,即b2=2a2,
因为c2=a2+b2=3a2=9,所以a2=3,b2=6,所以双曲线的方程是-=1.
规律总结 已知AB是双曲线-=1(a>0,b>0)的一条弦,线段AB的中点为M(x0,y0),则直线AB的斜率为.
4.答案 [6,4]
解析 由题知直线l的斜率一定存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),若P为线段AB的中点,则x1+x2=8,y1+y2=2t,因为A,B为双曲线E上的点,所以两式相减并化简可得=,
又直线l的斜率k=,故k=,
易得直线l的方程为y-t=k(x-4),
联立
消去y,整理可得(3-k2)x2-(24-8k2)x-t2+84-16k2=0,
因为直线与双曲线有两个不同的交点,
所以Δ=[-(24-8k2)]2-4(3-k2)(-t2+84-16k2)>0,又k=,故t4-84t2+123>0,所以t>4或0所以不存在直线l使得P是线段AB的中点时,t的取值范围为[6,4].
5.C 不妨设点M在第一象限内,如下图所示:
由图可知,|AM|>|BM|,且|AM|>|AB|,
因为△ABM为等腰三角形,所以|BM|=|AB|=2a,
设△ABM的外接圆的半径为r,则πr2=3πa2,可得r=a,
在△ABM中,由正弦定理可得=2r,
则sin∠AMB===,即sin∠BAM=,
易知∠BAM为锐角,
则cos∠BAM===,
所以tan∠BAM==×=,
又tan∠xBM=tan 2∠BAM=
==2,所以kAM=,kBM=2,
所以直线AM的方程为y=(x+a),直线BM的方程为y=2(x-a),
联立解得
即点M,
将点M的坐标代入双曲线E的方程可得-=1,可得=2,
因此双曲线E的离心率e=====.故选C.
6.答案
解析 联立解得或
因为x1由于x1当P距离直线AB最远时,△PAB的面积取得最大值,
设直线2x-y+t=0(t≠-2)与双曲线C相切于P点,
由消去y并化简,得3x2+4tx+t2+1=0,
由Δ=16t2-12(t2+1)=4t2-12=0,解得t=-或t=,
结合图形(图略)可知切线方程为2x-y-=0,
直线2x-y-2=0与直线2x-y-=0的距离为,
所以△PAB的面积的最大值为××=.
7.解析 (1)将代入双曲线C的方程,得-=1,
双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,取l3:bx+ay=0,l4:bx-ay=0,
则点P到l3的距离d1=,点P到l4的距离d2=.
∵a>0且b>0,∴|5b+3a|>|5b-3a|,∴d1>d2,
由题意可得d1=4d2,即|5b+3a|=4|5b-3a|,
又-=1>0,∴5b>3a,故5b+3a=4(5b-3a),解得b=a,∴-=-==1,解得a2=8,
则双曲线C:-=1.
(2)(i)证明:由题可设l1的方程为y=k1x+m,l2的方程为y=k1x+n,其中k1≠0,m≠n,另设Q(xQ,yQ),
将点P的坐标代入直线l1的方程,得=+m,即m=3-5k1,
联立直线l1和双曲线的方程,消去y,得(-1)x2+2k1mx+m2+8=0,
则xP+xQ=-,①
易得双曲线的渐近线方程为y=±x,
联立解得x=y=-,
则A,
联立解得x=-,y=,
则B,∴=,
又l1∥l2,|AB|=|PQ|,∴=,
于是xQ-xP=,②
①-②,得--=2xP,又xP=,
故n=-k1m-5(-1)=-k1(3-5k1)-5(-1)=5-3k1,
则k2=====,即k1·k2=1,故k1·k2为定值1.
(ii)直线l1与l2之间的距离d===.
由(i)可知四边形ABQP是平行四边形,
而|AB|=·=·.
故四边形ABQP的面积S=|AB|·d=··=5,解得k1=5或k1=,
又k1k2=1,故k1-k2=或k1-k2=.
8.解析 (1)证明:过N作l的垂线并延长,垂足为H,交圆弧AF于点M,则MN∥AF,连接AM,PM,NF.
因为在圆P中,PH⊥AF,PH⊥MN,所以|AM|=|NF|,|MH|=|HN|.
证法一:由题易知右焦点为F(2a,0),设点N(x0,y0),则-=1,整理得=3-3a2.
因为=====2,所以|NF|=2|HN|,
所以|AM|=|NF|=|MN|.
由同一圆中等长的弦所对的圆心角相等,可得∠APM=∠MPN=∠NPF,所以∠APN=2∠NPF.
证法二:易知直线l:x=为双曲线C:-=1(a>0)的准线,根据双曲线的第二定义,可知==2,即|NF|=2|HN|,即得|AM|=|NF|=|MN|.
由同一圆中等长的弦所对的圆心角相等,可得∠APM=∠MPN=∠NPF,所以∠APN=2∠NPF.
(2)由题知双曲线C:x2-=1,其渐近线方程为y=±x,右焦点为F(2,0),直线PF的斜率不为0,设直线PF的方程为x=my+2,
因为直线PF与C的左、右两支分别交于点E,D,所以m∈∪.
设D(x1,y1),E(x2,y2),R(y1≠y2),
联立消去x,得(3m2-1)y2+12my+9=0,
则y1+y2=-,y1y2=.
易得直线DR的方程为y-y2=,
令y=0,得x=====
=,所以直线DR过定点.
9.解析 (1)设F1(-2,0),以线段FG为直径的圆的圆心为点C,圆C与圆O相切于点H,则|CF|=|CH|.
因为C为FG的中点,O为F1F的中点,所以|FG|=2|CF|,|GF1|=2|CO|.
当圆C与圆O内切时,|GF|-|GF1|=2(|CF|-|CO|)=2(|CH|-|CO|)=2|OH|=2;
当圆C与圆O外切时,|GF1|-|GF|=2(|CO|-|CF|)=2(|CO|-|CH|)=2|OH|=2,
所以||GF1|-|GF||=2,为定值,又因为|F1F|=4>2,所以动点G的轨迹是以F1,F为焦点的双曲线,设它的方程是-=1(a>0,b>0),则a=1,a2+b2=4,即b2=3,所以W的方程为x2-=1.
(2)假设存在符合题意的两点A,B,
由A,B,N三点共线,知直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y并整理,得(3-k2)x2-2kx-4=0,
则解得-2则x1+x2=,x1x2=-,
设线段AB的中点为T(x0,y0),
则x0==,y0=+1=.
设点M(m,0),则|AM|=|BM|,AM⊥BM,TM⊥AB,
故·k=-1,即·k=-1,整理得m=,由AM⊥BM,得·=(m-x1,-y1)·(m-x2,-y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2=0,
即(x1-m)(x2-m)+(kx1+1)(kx2+1)=0,
即(1+k2)x1x2+(k-m)(x1+x2)+m2+1=0,
所以-+++1=0,整理得3k4-3=0,解得k=±1,满足-2当k=1时,点M的坐标为(2,0),直线AB的方程为y=x+1;
当k=-1时,点M的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=-x+1.
所以存在满足题意的两点A,B,此时M(2,0),直线AB的方程为y=x+1,或M(-2,0),直线AB的方程为y=-x+1.
10.解析 (1)设双曲线的标准方程为-=1(a1>0,b1>0).由题意知,a1=b1=2,故双曲线的标准方程为-=1.在椭圆中,c=2,a=2,故b==2,
故椭圆的标准方程为+=1.
(2)证明:设点P(x0,y0),则k1=,k2=,则k1k2=·=.
由点P在双曲线上,可知-=1,即有-4=,从而=1,故k1k2=1.
(3)假设存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.
由(2)知k1k2=1,又直线AB过点F1,直线CD过点F2,所以可设直线AB的方程为y=k(x+2),直线CD的方程为y=(x-2).
将直线AB的方程y=k(x+2)与椭圆方程联立,消去y,整理得(1+2k2)x2+8k2x+8(k2-1)=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-,x1x2=,
因此|AB|==.同理可得|CD|=.
因此由|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|知λ=+=+==.
所以存在常数λ=,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.
7(共38张PPT)
3.2 双曲线
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1 ,F2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做
双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.注意:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0,当2a<|F1F2|时,点M的轨
迹是双曲线;当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是两条射线,端点分别是F1,F2;当2a>|F1F2|时,点M的轨迹
不存在.
知识点 1 双曲线的定义
必备知识 清单破
知识拓展 1.双曲线的第二定义:平面内到定点F的距离与到定直线l(定点F不在定直线l上)
的距离之比为常数e(e>1)的点的集合,其中定点F为双曲线的焦点,定直线l称为双曲线的准线.
2.与两定点A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积为 或e2-1(e>1)的点的轨迹为双曲线(不含
A1,A2两点).
1.双曲线的标准方程与简单几何性质
知识点 2 双曲线的标准方程与简单几何性质
焦点位置 在x轴上 在y轴上
图形
标准方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
性 质 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c(c2=a2+b2) 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a
对称性 对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
轴 实轴(线段A1A2)的长:2a;虚轴(线段B1B2)的长:2b;实半轴长:a;虚半轴长:b 渐近线 y=± x y=± x
离心率 e= = (e>1)
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线,其标准方程为x2-y2=±a2(a>0),等轴双曲线的
离心率e= ,两条渐近线互相垂直.
3.双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离d= =b.
4.双曲线 - =1(a>0,b>0)的右支上任意一点到左焦点的最小距离为c+a,到右焦点的最小
距离为c-a.
1.将直线方程代入双曲线的方程,根据消元后的方程解的情况可得直线与双曲线的公共点个
数(位置关系).
设直线l:y=kx+m(m≠0)①,双曲线C: - =1(a>0,b>0)②,
把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)当b2-a2k2=0,即k=± 时,直线l与双曲线C的渐近线平行,直线与双曲线相交于一点.
(2)当b2-a2k2≠0,即k≠± 时,Δ= -4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点;
Δ=0 直线与双曲线有一个公共点;
Δ<0 直线与双曲线没有公共点.
知识点 3 直线与双曲线的位置关系
注意:与双曲线只有一个公共点的直线有两种,一种是与渐近线平行的直线,另一种是与双曲
线相切的直线.
2.弦长公式
斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|= ·|x1-x2|=
或|AB|= |y1-y2|= · (k≠0).
3.双曲线的通径
过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线所截得的弦叫做双曲线的通径,其长度为
.
知识辨析
1.平面内到两个定点F1,F2的距离之差等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线,这
种说法正确吗
2.双曲线 - =1(a>b>0)和双曲线 - =1(a>b>0)的焦点虽然不同,但都满足c2=a2+b2,正确
吗
3.双曲线 - =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,若|PF1|=5,则|PF2|的值是1或9吗
4.双曲线的渐近线和双曲线存在确定的对应关系,这种说法正确吗
5.双曲线的离心率e越大,其“张口”越大吗
一语破的
1.不正确.在双曲线的定义中要注意两点:①0<2a<|F1F2|;②关键词“绝对值”,若去掉定义中
“绝对值”三个字,则动点的轨迹是双曲线的一支.
2.正确.c2=a2+b2,且c>a,c>b,a与b的大小关系不确定.
3.不是.双曲线 - =1中,a=2,b=2 ,c= =4,若点P在双曲线的右支上,则|PF1|≥a+c=6,
若点P在双曲线的左支上,则|PF1|≥c-a=2,由|PF1|=5可得P在双曲线的左支上,则|PF2|-|PF1|=2a
=4,故|PF2|=5+4=9.
4.不正确.每一个双曲线对应一组确定的渐近线,但是对于每一组固定的渐近线,存在焦点在x
轴上的双曲线和焦点在y轴上的双曲线(我们称这一组双曲线为共轭双曲线)与之对应.
5.是.e= = = ,故e越大, 越大,即渐近线y= x的斜率越大,从而“张口”越大.
定点 1 双曲线标准方程的求解
关键能力 定点破
1.定义法
根据双曲线的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出双曲线的标准方程.
2.待定系数法
(1)根据焦点位置,设其方程为 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦点位置不定时,可设
为mx2+ny2=1(mn<0).
(2)与双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为 - =λ(λ>0)或 - =λ
(λ>0).
注:已知离心率不能确定焦点位置.
(3)与渐近线有关的双曲线标准方程的设法:
①与双曲线 - =1(a>0,b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(a>0,b>0,λ≠0).
②渐近线方程为y=kx(k≠0)的双曲线的方程可设为k2x2-y2=λ(k≠0,λ≠0).
③渐近线方程为ax±by=0(a>0,b>0)的双曲线的方程可设为a2x2-b2y2=λ(a>0,b>0,λ≠0).
(4)与双曲线 - =1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(λ≠0,-b2<λ典例1 已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解析：设动圆M的半径为r.
由题意得|MC1|=r+ ,|MC2|=r- ,
∴|MC1|-|MC2|=2 .
∵C1(-4,0),C2(4,0),∴|C1C2|=8>2 .
根据双曲线的定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支,且a= ,c=4,∴
b2=c2-a2=14,∴点M的轨迹方程是 - =1(x≥ ).
典例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)a=2 ,经过点(2,-5),焦点在y轴上;
(2)经过点P ,Q ;
(3)与双曲线 - =1有公共焦点,且过点(3 ,2);
(4)已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为 ,且经过点(-3,2 );
(5)渐近线方程为y=± x,且经过点(2,-3).
解析：(1)设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0).因为a=2 ,且点(2,-5)在双曲线上,所以
- =1,解得b2=16.故所求双曲线的标准方程为 - =1.
(2)解法一:若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),
由于点P 和Q 在双曲线上,
所以 此方程组无实数解.
若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),
由于点P 和Q 在双曲线上,
所以 解得
所以双曲线的标准方程为 - =1.
解法二:设双曲线的方程为 + =1(mn<0).
因为P,Q两点在双曲线上,
所以 解得
所以双曲线的标准方程为 - =1.
(3)解法一:设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0).由题意可得c= =2 .
因为双曲线过点(3 ,2),所以 - =1.又因为a2+b2=(2 )2,所以a2=12,b2=8,
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
解法二:设双曲线的标准方程为 - =1(-4得k=4或k=-14(舍去).
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
(4)设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0).由题意得 解得
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
(5)解法一:当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),则 = .①
因为点(2,-3)在双曲线上,所以 - =1.②
联立①②,无解.
当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),则 = .③
因为点(2,-3)在双曲线上,所以 - =1.④
联立③④,解得a2=8,b2=32.
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
解法二:设双曲线的方程为 -y2=λ(λ≠0).
因为(2,-3)在双曲线上,所以 -(-3)2=λ,即λ=-8.
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
1.双曲线上一点P(不在坐标轴上)与其两个焦点F1,F2构成的三角形PF1F2称为焦点三角形.
令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,|F1F2|=2c,则
①定义:|r1-r2|=2a.
②余弦定理的应用:4c2= + -2r1r2cos θ.
③面积公式: = r1r2sin θ= =c|yP|.
④设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则双曲线的离心率e= = = =
= .
定点 2 双曲线焦点三角形的相关问题
⑤焦点三角形PF1F2的内切圆圆心的横坐标恒为定值a或-a.
推导:设焦点三角形F1PF2内切圆的圆心为I,P在右支上,设I的横坐标为xI,△F1PF2的内切
圆与三边的切点分别为M,N,R,如图所示,则|F1R|-|F2R|=|F1M|-|F2N|=|F1M|+|PM|-(|F2N|+|PN|)=|PF
1|-|PF2|=2a,即c+xI-(c-xI)=2a,解得xI=a.同理可得点P在左支上时,xI=-a.
2.由三角形的边角关系(正、余弦定理)和双曲线的定义等知识可以解决焦点三角形的面
积、周长及有关角、变量的范围等问题.
典例 (1)设F1,F2分别是双曲线x2- =1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则
△PF1F2的面积为( )
A.4 B.8 C.24 D.48
(2)双曲线 - =1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为( )
A.1或21 B.14或36
C.1 D.21
(3)若F1,F2是双曲线 - =1的两个焦点,P是双曲线上的点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积
为 .
C
D
16
解析：(1)易知点P在双曲线的右支上,
则 解得
易得|F1F2|=10,∴△PF1F2是直角三角形,
∴ = |PF1|·|PF2|=24.故选C.
(2)设点P到另一个焦点的距离为m(m>0).
∵点P到一个焦点的距离为11,
∴由双曲线的定义得|11-m|=10,
∴m=1或m=21.
∵a2=25,b2=24,∴a=5,c= =7,
∴m≥c-a=2,∴m=1不符合题意,舍去.
∴m=21.故选D.
(3)由题意可知a=3,b=4,c= =5.
由双曲线的定义和余弦定理得||PF2|-|PF1||=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2·|PF1||PF2|cos 60°,
∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
∴|PF1|·|PF2|=64.
∴ = |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2= ×64× =16 .
易错警示 已知双曲线上一点到一焦点的距离,根据定义求该点到另一焦点的距离时要注意
双曲线上的点到焦点的距离的取值范围,设点P在双曲线左支上,左焦点为F1,右焦点为F2,则
|PF1|≥c-a,|PF2|≥c+a.
1.求双曲线的离心率
(1)易求a,c时,直接利用e= 求解,有时要结合c2=a2+b2求解.
(2)构建关于a,c的齐次方程,利用e= 将齐次方程转化为有关e的方程,解方程即可,要注意e>1.
2.求双曲线离心率的取值范围
利用题设中的条件,结合c2=a2+b2,构造关于a,c的齐次不等式,结合e>1确定离心率的范围.
解题时注意利用图形中的位置关系(如三角形中的边角关系,曲线上的点到焦点的距离的范
围等).
定点 3 双曲线离心率的求解
典例 (1)已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三
角形,则该双曲线的离心率为 ( )
A. +1 B. +1
C.2 D.2
(2)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂
直,那么此双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
(3)已知圆C:x2+y2-10y+21=0与双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线相切,则该双曲线的离心率
是 .
B
D
解析：(1)不妨设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a.
∵△PF1F2是等腰直角三角形,
∴∠PF2F1=90°,∴|PF2|=|F1F2|=2c,
∴|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c,
∴(2a+2c)2=2·(2c)2,即c2-2ac-a2=0,
两边同除以a2,得e2-2e-1=0.
∵e>1,∴e= +1.故选B.
(2)不妨设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则与直线FB垂直的渐近线方程为
y= x.
易知kBF=- ,∴ · =-1,即b2=ac,
∴c2-a2-ac=0,两边同除以a2,得e2-e-1=0,解得e= 或e= (舍去).故选D.
(3)易得双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± x,即bx±ay=0,圆C:x2+y2-10y+21=0可化
为x2+(y-5)2=4,故圆心为C(0,5),半径r=2,
由圆C与双曲线的渐近线相切可得 =2,即 =2,可得e= = .
1.将直线方程与双曲线方程联立,消元后,用判别式、根与系数的关系和中点坐标公式求解.
2.用“点差法”和中点坐标公式求解问题时,要注意检验.在直线与椭圆的相交弦问题中,也
是利用“点差法”和中点坐标公式求解,因为一定存在过椭圆内一点的直线,并且该点为直
线被椭圆所截得的弦的中点,所以无检验环节;但是在直线与双曲线的中点弦问题中,该直线
不一定存在,因此需要检验.
定点 4 直线与双曲线的中点弦问题
典例 已知双曲线的方程为x2- =1,是否存在被点B(1,1)平分的弦 如果存在,求出弦所在的直
线方程;如果不存在,请说明理由.
解析：解法一:假设存在被B(1,1)平分的弦.易知弦所在直线的斜率一定存在,设其方程为y=k
(x-1)+1,与x2- =1联立,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0.
令Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0,解得k< .
设弦的两端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= .
∵B(1,1)是弦MN的中点,
∴ =1,解得k=2,不满足k< .
故不存在被点B(1,1)平分的弦.
解法二:假设存在被B(1,1)平分的弦.
设弦的两端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=2,y1+y2=2,且
①-②,得(x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0.
∴kMN= =2,
∴直线MN的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
由 消去y,得2x2-4x+3=0,
∴Δ=-8<0.
∴直线MN与双曲线不相交,故不存在被点B(1,1)平分的弦.
易错警示 “点差法”在求解中点弦问题时较常用,使用时除了注意运算要正确,还有注意
检验直线与双曲线是否有交点.
直线与双曲线位置关系的问题,常通过联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程
的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系并求解,注意体会“整体代入”思想.
注意:与双曲线只有一个公共点的直线,可能与渐近线平行,也可能与曲线相切,所以对于联立
直线与双曲线方程后消元得到的方程,要先考虑其二次项系数是不是零,再考虑Δ与0的大小
关系.
定点 5 直线与双曲线位置关系的应用
典例 (1)已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),讨论双曲线与直线公共点的个数.
(2)已知双曲线3x2-y2=3,直线l过双曲线的右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,
则A,B两点是否在双曲线的同一支上 并求弦AB的长.
(3)若直线l:y=kx-1与双曲线C:x2-y2=1交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为 ,求实
数k的值.
思路点拨：(1)
(2)根据条件求得直线l的方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与双曲线的方程,消元得一元二次方
程,根据根与系数的关系得到x1+x2,x1x2,由x1x2的正负,得出交点位置,由弦长公式求得|AB|.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与双曲线的方程,消元得一元二次方程,根据根与系数的关系得
到x1+x2,x1x2,并求出k的范围,根据△AOB的面积为 列出等式,进而求出k的值.
解析：(1)联立 消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)
①当1-k2=0,即k=±1时,方程(*)只有一个根x= .故k=±1时,直线与双曲线有一个公共点,此时直
线l与渐近线平行.
②当1-k2≠0,即k≠±1时,易得Δ=4(4-3k2).
(i)令Δ>0,得- 个公共点.
(ii)令Δ=0,得k=± ,此时方程(*)有两个相等的实数根,故直线与双曲线只有一个公共点,此
时直线l与曲线相切.
(iii)令Δ<0,得k<- 或k> ,此时方程(*)无实数解,故直线与双曲线无公共点.
综上所述,当k=±1或k=± 时,直线与双曲线有一个公共点;当- 时,直线与双曲线有两个公共点;当k<- 或k> 时,直线与双曲线无公共点.
(2)因为双曲线的方程可化为x2- =1,所以a=1,b= ,c=2,所以F2(2,0),又直线l过点F2,且斜率k
=tan 45°=1,所以l的方程为y=x-2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去y并整理得2x2+4x-7=0,
则x1+x2=-2,x1x2=- <0,所以A,B两点分别在双曲线的左、右两支上,|AB|= ·|x1-x2|= ·
= × =6.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由 消去y,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0,则x1+x2=- ,x1x2=- .
由 解得- 易知直线l恒过点(0,-1),设为D.
①当x1x2<0时,S△OAB=S△OAD+S△OBD= |x1|+ |x2|= |x1-x2|= .
②当x1x2>0时,S△OAB=|S△OAD-S△OBD|
= = |x1-x2|= .
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2 )2,
即 + =8,
解得k=0或k=± .
经检验,均符合题意,所以k=0或k=± .
技巧点拨 对直线与双曲线的两交点(x1,y1),(x2,y2)的位置分以下三种情况讨论:
①若两交点均在右支上,则
②若两交点均在左支上,则
③若两交点分别在左、右两支上,则 3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=8,则P点的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.直线 D.一条射线
2.如图所示,平面直角坐标系中有两点O1(-1,0)和O2(1,0).以O1为圆心,正整数i为半径的圆记为Ai.以O2为圆心,正整数j为半径的圆记为Bj.对于正整数k,点Pk是圆Ak与圆Bk+1的交点,若点P1,P2,P3,P4,P5都位于第二象限,则这五个点都在( )
A.直线上 B.椭圆上
C.射线上 D.双曲线上
3.与圆x2+y2=4及圆x2+y2-8x-6y+24=0都外切的圆的圆心在( )
A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上
C.一条直线上 D.一个圆上
4.已知P是双曲线-=1(a>0)上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且|PF1|=9,则“a=4”是“|PF2|=17”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2(2,0),O为坐标原点,P为双曲线右支上的一点,且|F1F2|=2|PF2|,△PF1F2的周长为10,M为线段PF2的中点,则|OM|=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知双曲线方程为-=1(m>0),焦距为8,左、右焦点分别为F1,F2,点A的坐标为(1,2),P为双曲线右支上一动点,则|PF1|+|PA|的最小值为 .
题组二 双曲线的标准方程
7.与椭圆C:+=1共焦点且过点P(2,)的双曲线的标准方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
8.(教材习题改编)“m>2”是“方程-=1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9.如图,F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1(-,0),过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.-=1
10.-=4表示的曲线的标准方程为( )
A.-=1(x≤-2) B.-=1(x≥2)
C.-=1(y≤-2) D.-=1(y≥2)
11.在△ABC中,已知B(-1,0),C(1,0),则满足sin C-sin B=sin A时顶点A的轨迹方程为 .
12.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(3,2);
(2)过点P,Q且焦点在坐标轴上.
题组三 双曲线标准方程的应用
13.已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,)
C.(0,3) D.(0,)
14.设F1,F2分别是双曲线-=1的下、上焦点,P是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.12 B.24 C.12 D.24
15.双曲线4x2-y2+64=0上一点M到它的一个焦点的距离等于1,那么点M到另一个焦点的距离等于 .
16.已知双曲线C的焦点分别为F1(-,0),F2(,0),且C与x轴的两个交点间的距离为4.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2,求△PF1F2的面积.
能力提升练
题组一 双曲线的方程及其应用
1.(多选题)已知方程+=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是( )
A.当1B.当t>5或t<1时,曲线C是双曲线
C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则3D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则t>5
2.双曲线C:-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为双曲线C左支上一点,直线AF2与双曲线C的右支交于点B,且|AB|=15,∠F1AF2=,则|AF1|+|AF2|=( )
A. B.26
C.25 D.23
3.黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值,此比值为,称为黄金分割数.已知双曲线-=1(m>0)与x轴的两交点间的距离与焦距的比值恰好是黄金分割数,则m的值为( )
A.2-2 B.+1 C.2 D.2
4.过双曲线x2-=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1引切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为 .
5.若椭圆+=1(t>15)与双曲线-=1在第一象限内有交点A,且双曲线的左、右焦点分别是F1,F2,∠F1F2A=120°,P是椭圆上任意一点,则△PF1F2的面积的最大值是 .
题组二 双曲线的实际应用
6.A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6 km处,C在B北偏西30°方向,相距4 km处,P为敌炮阵地.某时刻,在A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B,C两地比A地距P地远,因此经过4 s后,B,C才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s,若A地需炮击P地,则炮击的方向角为北偏东 .
7.如图所示,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比其到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B,C两地修建公路的费用都是m万元/km,求修建这两条公路的最低总费用.
答案与分层梯度式解析
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
基础过关练
1.B 2.D 3.B 4.B 5.B 7.C 8.A 9.C
10.C 13.A 14.B
1.B 由于|F1F2|=2+8=10,|PF1|-|PF2|=8,8<10,所以结合双曲线的定义可知,P点的轨迹是双曲线的右支,故选B.
2.D 由题意可知|PiO2|-|PiO1|=1<|O1O2|(i=1,2,3,4,5),又因为Pi(i=1,2,3,4,5)都位于第二象限,所以这五个点都在某双曲线的左支上.故选D.
3.B 圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r1=2,记O1(0,0),圆x2+y2-8x-6y+24=0可化为(x-4)2+(y-3)2=1,其圆心为(4,3),半径r2=1,记O2(4,3),
设所求圆的圆心为P,半径为r,
由题意可知|PO1|=r+2,|PO2|=r+1,
则|PO1|-|PO2|=1<|O1O2|,
故由双曲线的定义可知,所求圆的圆心的轨迹为双曲线的一支.故选B.
4.B 由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a,
当a=4时,||PF1|-|PF2||=8,
则|PF1|-|PF2|=8或|PF1|-|PF2|=-8,
因为|PF1|=9,所以|PF2|=1或|PF2|=17.
由a=4推不出|PF2|=17,但由|PF2|=17能推出a=4,则“a=4”是“|PF2|=17”的必要不充分条件.
故选B.
5.B 因为右焦点为F2(2,0),所以|F1F2|=4,
又因为|F1F2|=2|PF2|,所以|PF2|=2,
又因为|F1F2|+|PF1|+|PF2|=10,所以|PF1|=4,
由O为坐标原点,且M为线段PF2的中点,可知OM为△PF1F2的中位线,所以|OM|=|PF1|=2.故选B.
6.答案 4+
解析 因为焦距为8,所以c=4,故c2=16,即2m=16,故m=8,所以双曲线的方程为-=1,所以a=2,F2(4,0),由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=4+|PF2|,|PF1|+|PA|=4+|PF2|+|PA|,如图所示,
当P,A,F2三点共线,且点P在点A与点F2之间时,|PF2|+|PA|取得最小值,为|AF2|==,
故=4+|AF2|=4+.
C 因为椭圆C的焦点为(±,0),即(±3,0),所以c=3,
记F1(-3,0),F2(3,0),
所以||PF1|-|PF2||=|-|=2=2a,
所以a=,所以b==,
所以双曲线的标准方程为-=1.故选C.
8.A 若方程-=1表示双曲线,则(m-2)(m-1)>0,解得m<1或m>2,
所以“m>2”是“方程-=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.
9.C 根据双曲线的定义,可得|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,
由于△ABF2为等边三角形,所以|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又因为∠F1BF2=60°,所以在△F1BF2中,由余弦定理得(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,所以双曲线的方程为x2-=1.故选C.
10.C 易知-=4表示动点P(x,y)到(0,3)与(0,-3)两点的距离之差等于4,又两个定点(0,3),(0,-3)间的距离大于4,所以根据双曲线的定义可知,动点P在双曲线上,且a=2,c=3,所以b2=32-22=5,由焦点在y轴上,得双曲线的方程为-=1,又因为P(x,y)到点(0,3)的距离比到点(0,-3)的距离大,所以y≤-2,即曲线的标准方程为-=1(y≤-2).
11.答案 -=1
解析 在△ABC中,由正弦定理得==,
∵sin C-sin B=sin A,∴|AB|-|AC|=|BC|=1<|BC|=2,∴顶点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支且除去与x轴的交点,
∴可设此双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由已知得2a=1,c=1,∴a=,∴b2=c2-a2=,
∴顶点A的轨迹方程为-=1.
易错警示 注意△ABC构成的前提条件为A,B,C三点不共线,求点的轨迹方程时要根据去除的点来限定变量的范围.
12.解析 (1)解法一:由题可设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则c2=16+4=20,即a2+b2=20①,
∵双曲线经过点(3,2),∴-=1②.
由①②得a2=12,b2=8,
∴双曲线的标准方程为-=1.
解法二:设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16).∵双曲线经过点(3,2),
∴-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去).
∴双曲线的标准方程为-=1.
(2)解法一:当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
∵点P,Q在双曲线上,∴此方程组无解.
当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
∵点P,Q在双曲线上,∴解得
∴双曲线的标准方程为-=1.
解法二:设双曲线的方程为+=1,mn<0.
∵点P,Q在双曲线上,∴解得∴双曲线的标准方程为-=1.
13.A 由题意得(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m214.B 由双曲线-=1得a=2,b=2,c=4,
又3|PF1|=5|PF2|,且||PF1|-|PF2||=2a=4,
故|PF1|=10,|PF2|=6,
所以-=64=(2c)2=,
即△PF1F2为直角三角形,∠PF2F1=90°,
所以=|PF2||F1F2|=×6×8=24.故选B.
规律总结 双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据双曲线的定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行求解,在求解过程中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
15.答案 17
解析 由双曲线4x2-y2+64=0,可得-=1,所以a2=64,所以a=8,
设双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2,则||MF1|-|MF2||=16,
因为双曲线-=1上一点M到一个焦点的距离为1,所以不妨令|MF2|=1,则||MF1|-1|=16,所以|MF1|=-15(舍去)或|MF1|=17.
故点M到另一个焦点的距离为17.
16.解析 (1)由题可知c=,2a=4,∴a=2,b=1,
∴双曲线方程为-y2=1.
(2)由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=±4,
∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=20,
∴|PF1|·|PF2|=2,
∴△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×2=1.
能力提升练
1.ABD 2.B 3.A
1.ABD 当1当t>5或t<1时,(5-t)(t-1)<0,则曲线C是双曲线,∴B正确;
若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则5-t>t-1>0,∴1若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则∴t>5,∴D正确.
故选ABD.
2.B 由题可知,|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a=10,
令|BF2|=x,则|AF1|=x+15-10=x+5,|BF1|=x+10,
在△ABF1中,|AB|=15,∠F1AB=,
则cos∠F1AB==,
即=,则x=3,故|AF1|=8,则|AF2|=18,所以|AF1|+|AF2|=26.故选B.
3.A 由题意得,a2=(-1)2,b2=m,
∴c2=a2+b2=(-1)2+m.由题意知==,
∴==,∴=,
解得m=2-2.故选A.
4.答案 13
解析 由x2-=1,得c2=1+15=16,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),
由圆C1,C2的方程知,圆C1的圆心为C1(-4,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(4,0),半径r2=1,
∵PM,PN分别为两圆C1,C2的切线,∴|PM|2=-=-4,|PN|2=|PC2|2-=|PC2|2-1,
∴|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|+|PC2|)·(|PC1|-|PC2|)-3,
∵P为双曲线右支上的点,且双曲线的两个焦点分别为C1,C2,∴|PC1|-|PC2|=2,
又|PC1|+|PC2|≥|C1C2|=8(当P为双曲线与x轴正半轴的交点时取等号),
∴|PM|2-|PN|2=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3≥8×2-3=13,即|PM|2-|PN|2的最小值为13.
5.答案 25
解析 依题意有|F1F2|=2×5=10,结合双曲线的定义可知|AF1|-|AF2|=8,设|AF2|=m,则|AF1|=8+m,
在△AF1F2中,由余弦定理得(8+m)2=m2+102-2·m·10·cos 120°,解得m=6,即|AF2|=6,|AF1|=14.
对椭圆来说,t+10-(t-15)=25,故F1,F2也分别为椭圆的左、右焦点,故|AF1|+|AF2|=14+6=20=2,解得t=90,故t-15=75,
所以椭圆方程为+=1.
易知当P为椭圆短轴的顶点,即(0,-5)或(0,5)时,△PF1F2的面积取得最大值,为|F1F2|×5=×10×5=25.
6.答案 30°
解析 如图,以直线BA为x轴,线段BA的中垂线为y轴建立坐标系,
则B(-3,0),A(3,0),C(-5,2).因为|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.
由题可知直线BC的斜率kBC=-,BC的中点为(-4,),记D(-4,),所以直线PD:y-=(x+4).①
又B地比A地晚4 s发现信号,故-=4,即|PB|-|PA|=4<|AB|=6,故P在以A、B为焦点的双曲线的右支上.
设P(x,y),则其所在双曲线的方程为-=1(x≥2).②
由①②,得x=8,y=5,所以P(8,5).
因此直线PA的斜率kPA==.故炮击的方向角为北偏东30°.
7.解析 由题意可得|AB|=4,
以AB的中点为坐标原点O,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
可得A(-2,0),B(2,0),C(3,),
由河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比其到B的距离远2 km,可得|MA|-|MB|=2,
因为2<|AB|=4,所以由双曲线的定义可得,M在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且a=1,c=2,
∴b==,
∴点M所在的双曲线的方程为x2-=1(x≥1).
设修建这两条公路的总费用为s万元,
则s=m(|MB|+|MC|)=m(|MA|+|MC|-2)≥m(|AC|-2)=(2-2)m,当且仅当A,M,C三点共线时取等号.
故修建这两条公路的最低总费用为(2-2)m万元.
7