第2课时 直线与抛物线的位置关系
基础过关练
题组一 直线与抛物线的位置关系
1.(多选题)过点(1,0)且与抛物线C:x2=4y只有一个交点的直线的方程可能是( )
A.x=1 B.y=0
C.x-y-1=0 D.x+y-1=0
2.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )
A.若|AB|=8,则点M到y轴的距离为4
B.过点(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
C.P是准线上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|FP|=6
D.9|AF|+|BF|≥16
3.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l绕点P(-2,1)旋转,点Q为C上的动点,O为坐标原点,则( )
A.以Q为圆心,|QF|为半径的圆与直线x=-1相切
B.若直线l与抛物线有且只有一个公共点,则这样的直线l有两条
C.线段PF的垂直平分线的方程为3x-y+2=0
D.过点F的直线交C于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有2条
4.已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,则实数a的值为 .
5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(2,y0)为抛物线上一点,且|AF|=4.
(1)求抛物线的方程;
(2)不过原点的直线l:y=x+m与抛物线交于不同两点P,Q,若OP⊥OQ,求m的值.
题组二 弦长及中点弦问题
6.已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为-2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M,N两点,若|MN|=,则该抛物线的方程是( )
A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=6x
7.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点,且弦AB的长是,则p=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.设直线y=k(x-2)(k>0)与抛物线y2=2x相交于A,B两点,若|AB|=2,则k的值为 .
9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,位于第一象限的两点A,B均在抛物线上,且满足|BF|-|AF|=4,|AB|=4.若线段AB中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为 .
10.已知直线l与抛物线y2=2x交于点A,B,且与x轴、y轴分别交于点P,Q,且A为线段PQ的中点.若|QA||PB|=,则直线l的方程为 .
11.已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,P(x0,-6)是抛物线C上的点,且|PF|=9.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知直线l交抛物线C于M,N两点,且MN的中点为(3,-6),求直线l的方程.
12.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,点P在C上,点Q满足=2,点Q的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点F的直线l与曲线E交于M,N两点,且|MN|=4,求直线l的方程.
13.已知点P到F(0,4)的距离与它到x轴的距离的差为4,P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)若直线l与C交于A,B两点,且弦AB中点的横坐标为-4,求l的斜率.
14.以抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB为直径的圆与准线切于点(-2,-3).
(1)求这个圆的方程;
(2)求△AOB的面积.
能力提升练
题组 直线与抛物线的综合应用
1.斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=9相切于点M,且M为线段AB的中点,则k=( )
A.± B.± C.± D.±
2.已知点A,B在抛物线y2=x上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则直线AB一定过点( )
A.(2,0) B. C.(0,2) D.
3.如图,抛物线Γ1的顶点为A,焦点为F,准线为l1,焦准距为4;抛物线Γ2的顶点为B,焦点也为F,准线为l2,焦准距为6.Γ1和Γ2交于P,Q两点,分别过P,Q作直线与两准线垂直,垂足分别为M,N,T,S,过F的动直线与封闭曲线APBQ交于C,D两点,有下列说法:①|AB|=5;②四边形MNST的面积为100;③·=0;④|CD|的取值范围为.其中正确的是( )
A.①②④ B.①③④ C.②③ D.①③
4.已知直线AB是曲线y=-及抛物线y2=2px(p>0)的公切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>0),则x1y1= ,若|AB|=,则p= .
5.已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M,N两点,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B,求证:以AB为直径的圆经过定点.
6.如图,已知椭圆C1:+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2在第一象限内的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于点M(B,M不同于A).
(1)若p=,求抛物线C2的焦点坐标;
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.
7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(1,-2),过点Q(0,-1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
(2)证明:存在定点T,使得=λ,=μ,且+=-4.
8.设抛物线E:y2=2px(p>0),过焦点F的直线与抛物线E交于点A(x1,y1),B(x2,y2).当直线AB垂直于x轴时,|AB|=2.
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)如图,已知点P(1,0),当直线AB不垂直于x轴时,直线AP,BP分别与抛物线E交于点C,D.
①求证:直线CD过定点;
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值.
9.已知抛物线C:y2=4x,点P(4,4).
(1)设斜率为1的直线l与抛物线C交于A,B两点,若△PAB的面积为2,求直线l的方程;
(2)是否存在定圆M:(x-m)2+y2=4,使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线,与曲线C交于另外两点A,B时,总有直线AB也与圆M相切 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第2课时 直线与抛物线的位置关系
基础过关练
1.ABC 2.CD 3.AC 6.B 7.B
1.ABC 由抛物线C:x2=4y,可知其对称轴为直线x=0.
当所求直线与抛物线对称轴平行时,其方程为x=1,此时直线与抛物线只有一个交点,成立;
当所求直线与抛物线的对称轴不平行时,可知直线斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),
联立消去y,得x2-4kx+4k=0,
由直线与抛物线只有一个交点,可知Δ=(-4k)2-4×4k=16k2-16k=0,解得k=0或k=1,
所以直线方程为y=0或y=x-1,即y=0或x-y-1=0.
综上所述,所求直线方程为x=1或y=0或x-y-1=0,
故选ABC.
2.CD 因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,所以p=2,则抛物线C:y2=4x,所以焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
对于A选项,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8,解得x1+x2=6,
又M为线段AB的中点,故M,
所以点M到y轴的距离为=3,故A错误.
对于B选项,若过点(0,1)的直线的斜率不存在,则该直线为y轴,易知y轴与抛物线C相切,二者只有一个公共点;
若过点(0,1)的直线的斜率为零,则该直线的方程为y=1,联立可得
故直线y=1与抛物线C只有一个公共点;
若过点(0,1)的直线的斜率存在且不为零,设该直线的方程为y=kx+1,
联立可得k2x2+(2k-4)x+1=0,
则解得k=1,
即直线y=x+1与抛物线C只有一个公共点,
故满足条件的直线共有三条,故B错误.
对于C选项,不妨设准线与x轴交于点D,Q位于第一象限,P在x轴上方,过点Q作准线的垂线,垂足为Q',如图,则|QQ'|=|QF|,
易知△PQ'Q∽△PDF,
因为=4,所以===,
则|Q'Q|=,则xQ=|QQ'|-1=,所以yQ=,
即|Q'D|=,所以|PD|=4,则|PF|==6,故C正确.
对于D选项,依题意可设过点F的直线的方程为x=my+1,A(xA,yA),B(xB,yB),
由消去x得y2-4my-4=0,
显然Δ>0,所以yA+yB=4m,yAyB=-4,则xA+xB=m(yA+yB)+2=4m2+2,xAxB==1,
所以+=+===1,
所以9|AF|+|BF|=(9|AF|+|BF|)
=10++≥10+2=16,
当且仅当=,即|AF|=,|BF|=4时取等号,故D正确.
故选CD.
3.AC 由抛物线C:y2=4x可知,C的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
对于A,由抛物线的定义可知A正确.
对于B,当过点P(-2,1)的直线的斜率不存在时,直线与抛物线无公共点;当直线的斜率存在时,设斜率为k,则过点P(-2,1)的直线方程为y=k(x+2)+1,当k=0时,直线方程为y=1,此时直线与抛物线有且只有一个公共点,
当k≠0时,联立整理可得k2x2+(4k2+2k-4)x+4k2+4k+1=0,
所以Δ=(4k2+2k-4)2-4k2(4k2+4k+1)=0,化简得2k2+k-1=0,解得k=-1或k=,
所以过P(-2,1)与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条,故B错误.
对于C,线段PF的中点为,又kPF==-,所以线段PF的中垂线方程为y-=3,即3x-y+2=0,故C正确.
对于D,因为|AB|=4=2p,所以线段AB为抛物线的通径,这样的直线只有一条,故D错误.
故选AC.
4.答案 0或-1或-
解析 当a=0时,曲线y2=ax为直线y=0,显然直线y=x-1与y=0有唯一公共点(1,0),因此a=0满足题意.
当a≠0时,由消去y并整理,得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0,
当a=-1时,x=-1,y=-1,此时直线y=-1与曲线y2=-x有唯一公共点(-1,-1),因此a=-1满足题意;
当a≠-1时,Δ=[-(3a+2)]2-4(a+1)2=5a2+4a=0,则a=-,
此时直线y=x-1与曲线y2=-x相切,有唯一公共点,因此a=-满足题意.
所以实数a的值为0或-1或-.
5.解析 (1)由抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,y0),|AF|=4,得2+=4,∴p=4,
所以抛物线方程为y2=8x.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得x2+(2m-8)x+m2=0,
所以x1+x2=8-2m,x1x2=m2,由题意知Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,所以m<2,
因为OP⊥OQ,所以·=0,则x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,
∴2m2+m(8-2m)+m2=0,即m2+8m=0,解得m=0或m=-8,
当m=0时,直线过原点,不符合题意,故舍去.
所以m的值为-8.
6.B 由题可得直线MN的方程为y=-2,即y=-2x+p,
与抛物线方程联立,可得4x2-6px+p2=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=p,x1x2=,
故|MN|=·=p=,
解得p=1,则该抛物线的方程是y2=2x,故选B.
7.B 易知弦AB所在直线的斜率存在.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2.
又点A,B在抛物线y2=2px上,故
两式作差可得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),
故=p,即kAB=p,故弦AB所在直线的方程为px-y+1-p=0.
联立整理得p2x2-2p2x+(1-p)2=0,所以x1x2=.
所以|AB|=·=·=,得(1+p2)(2p-1)=15,
即8p3-19p2+8p-4=0,即(p-2)(8p2-3p+2)=0,解得p=2.故选B.
8.答案 1
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=k(x-2)代入y2=2x,整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0,
则Δ=4(2k2+1)2-4k2·4k2=16k2+4>0,
x1+x2==,x1x2=4.
则|AB|=|x1-x2|=·=·=2,整理得(1+k2)(16k2+4)=40k4,所以k2=1,
又k>0,故k=1.
9.答案 y2=8x
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|BF|-|AF|=4,
所以-=4,所以x2-x1=4,
又因为|AB|=×|x1-x2|=4,所以=1,
因为A,B都位于第一象限,所以kAB=1,
又因为kAB====1且y1+y2=4×2=8,
所以2p=8,即p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.
10.答案 y=-2x+2或y=2x-2
解析 由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为y=kx+b(k≠0,b≠0),则P,Q(0,b),
由A为线段PQ的中点,得A,又A在抛物线上,∴=2×,即kb=-4.①
不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得k2x2+(2kb-2)x+b2=0,令Δ>0,则kb<,
由根与系数的关系知x1+x2=-,x1x2=,
∴x2=,y2=,即B.
∵|QA||PB|=,且Q,A,P,B四点共线,与同向,∴·=+=,②
由①②可得或
∴直线l的方程为y=-2x+2或y=2x-2.
11.解析 (1)由抛物线的定义可知|PF|=6+=9,
所以p=6,故抛物线C的方程为x2=-12y.
(2)易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,M(x1,y1),N(x2,y2),
则两式相减得-=-12(y1-y2),
整理得=-,
因为MN的中点为(3,-6),所以x1+x2=6,
所以k==-=-,
所以直线l的方程为y+6=-(x-3),即x+2y+9=0.
12.解析 (1)由题意得F(1,0),设Q(x,y),
则=(1-x,-y),=2=(2-2x,-2y),
所以(x-xP,y-yP)=(2-2x,-2y),即xP=3x-2,yP=3y,所以P(3x-2,3y),
由P在抛物线C上可得(3y)2=4(3x-2),即9y2=12x-8,则曲线E的方程为9y2=12x-8.
(2)显然当直线l的斜率为0时,它与曲线E只有一个交点,不符合要求,故可设直线l的方程为x=my+1,
另设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去x得9y2-12my-4=0,
则Δ=144m2+144>0,y1+y2=,y1y2=-,
所以|MN|==·=·=(m2+1)=4,所以m=或m=-.
所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
13.解析 (1)设P(x,y),由题意可知|PF|-|y|=4,即=4+|y|,两边同时平方,得x2+y2-8y+16=16+y2+8|y|,即x2=8y+8|y|,
当y≥0时,C:x2=16y;当y<0时,C:x=0,
所以C的方程为x2=16y(y≥0)或x=0(y<0).
(2)由题中“弦AB”可知直线l与曲线C在y≥0的部分相交于A,B两点,即l与抛物线x2=16y相交于A,B两点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2×(-4)=-8.
由A,B均在抛物线上,得两式作差,
得-=(x1-x2)(x1+x2)=16(y1-y2),
所以l的斜率为==-.
14.解析 (1)由抛物线的方程知其准线方程为x=-,设焦点弦AB的中点为M(x0,y0),由以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切于点(-2,-3),可知∴所以焦点为(2,0),抛物线方程为y2=8x,记F(2,0).
由题可设弦AB所在直线的斜率为k(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AB:y=k(x-2),
与抛物线方程联立,得 ky2-8y-16k=0,所以y1+y2==2y0=-6,y1y2=-16,
∴k=-,∴直线AB:y=-x+.将y0=-3代入,得x0=,则这个圆的圆心为,半径为,
故所求圆的方程为+(y+3)2=.
(2)S△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|×|y1-y2|=×2×=10.
能力提升练
1.A 2.A 3.B
1.A 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则=4x1,=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
即=,即k=,即ky0=2,
因为直线与圆相切于点M,所以=-,所以x0=3,由M在圆上可得(x0-5)2+=9,将x0=3代入,可得y0=±,故M(3,±),
由=-,可得k=±,故选A.
2.A 当直线AB的斜率为0时,直线AB与抛物线只有1个交点,不符合题意,所以直线AB的斜率不为0,
设直线AB的方程为x=ty+m,因为点A,B在抛物线y2=x上,所以可设A(,yA),B(,yB),
所以·=+yAyB=2,解得yAyB=1或yAyB=-2.
又因为A,B位于x轴的两侧,所以yAyB=-2.
联立消去x,得y2-ty-m=0,所以Δ=t2+4m>0,yAyB=-m=-2,即m=2,
所以直线AB的方程为x=ty+2,所以直线AB一定过点(2,0).故选A.
3.B 不妨以抛物线Γ1的顶点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
因为抛物线Γ1的顶点为A,焦点为F,准线为l1,焦准距为4,所以|AF|=2,则抛物线Γ1的标准方程为y2=8x.
因为抛物线Γ2的顶点为B,焦点也为F,准线为l2,焦准距为6,所以|BF|=3,则|AB|=2+3=5,故①正确.
结合图象的平移变换可知抛物线Γ2的方程为y2=-12(x-5),因为Γ1和Γ2交于P,Q两点,所以联立解得故P(3,2),Q(3,-2),
从而可得M(-2,2),N(8,2),S(8,-2),T(-2,-2),
则四边形MNST的面积为10×4=40,故②错误.
又F(2,0),故=(-4,-2),=(6,-2),
易知·=0,故③正确.
由抛物线的对称性,不妨设点D位于封闭曲线APBQ在x轴上方的部分,C在直线l1上的射影为C1,D在直线l2上的射影为D1,连接CC1,DD1,
当点D在抛物线Γ2的曲线段BP上,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时,由抛物线的定义可知,|CD|=|CF|+|DF|=|CC1|+|DD1|,
故当C,D分别与A,B重合时,|CD|最小,最小值为5,
当D与P重合,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时,
因为P(3,2),F(2,0),所以直线CD的方程为y=(x-2),即y=2(x-2),
联立消去y并整理,得3x2-13x+12=0,不妨设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=,
所以|CD|=x1+x2+4=,所以|CD|∈;
当点D在抛物线Γ1的曲线段PA上,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时,
不妨设直线CD的方程为x=ty+2,
联立消去x并整理,得y2-8ty-16=0,
不妨设C(x3,y3),D(x4,y4),则y3+y4=8t,
所以|CD|=x3+x4+4=t(y3+y4)+8=8t2+8≥8,
当t=0,即CD⊥AB时,等号成立,
由抛物线的对称性可知|CD|∈;
当点D在抛物线Γ1的曲线段PA上,点C在抛物线Γ2的曲线段QB上时,
由抛物线的对称性可知|CD|∈.
综上,|CD|∈,故④正确.
故说法正确的有①③④.故选B.
4.答案 -1;或8
解析 易知直线AB的斜率存在,不妨设直线AB的方程为y=kx+b,
联立消去y并整理,得kx2+bx+1=0,此时k≠0,由Δ1=b2-4k=0,解得k=,
代入kx2+bx+1=0,得b2x2+4bx+4=0,解得x=-(二重根),则A,则x1y1=-×=-1.
联立消去y并整理,得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,此时k≠0,由Δ2=(2kb-2p)2-4k2b2=0,解得p=2kb,代入k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,得k2x2-2kbx+b2=0,解得x=(二重根),所以y=k·+b=2b,则B,
若|AB|=,则+=,
又k=,故b2=2或b2=8,
因为p=2kb,且p>0,k=,所以b>0,
当b2=2,即b=时,p=2kb=2××b=;
当b2=8,即b=2时,p=2kb=2××b=8.
5.解析 (1)因为抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),所以22=-2p×(-1),解得p=2,
则抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.
(2)证明:由(1)知抛物线C的焦点为(0,-1),
根据题意,不妨设直线l的方程为y=kx-1(k≠0),
联立消去y并整理,得x2+4kx-4=0,
不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4,
易知直线OM的方程为y=x,
令y=-1,解得xA=-,同理可得xB=-,
易知以AB为直径的圆与y轴恒有交点,不妨设定点在y轴上,且定点为D(0,n),则·=+(n+1)2=+(n+1)2=+(n+1)2=(n+1)2-4,
由D为以AB为直径的圆上的点,可知·=0,解得n=1或n=-3.
综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).
6.解析 (1)当p=时,C2的方程为y2=x,故抛物线C2的焦点坐标为.
(2)解法一(根与系数的关系+基本不等式法):设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),l:x=λy+m(λ≠0,m≠0),
由得(2+λ2)y2+2λmy+m2-2=0,
∴y1+y2=,y0=,x0=λy0+m=,
由M在抛物线上,可得=,即=4p,①
又 y2=2p(λy+m) y2-2pλy-2pm=0,
∴y1+y0=2pλ,∴x1+x0=λy1+m+λy0+m=2pλ2+2m,
∴x1=2pλ2+2m-.②
由得x2+4px-2=0,
∴x1==-2p+,③
由①②③得-2p+=2pλ2+2m·=2pλ2++8p≥16p,当且仅当λ2=2,即λ=时取“=”,
∴≥18p,即p2≤,故0
∴p的最大值为,此时λ=,m=.
解法二(直接法):设直线l:x=my+t(m≠0,t≠0),A(x0,y0).
将直线l的方程代入椭圆C1的方程+y2=1,
得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,∴y0+yB=,
∵M为AB的中点,∴点M的纵坐标yM=-.
将直线l的方程代入抛物线C2的方程y2=2px,
得y2-2pmy-2pt=0,
∴y0yM=-2pt,∴y0=,因此x0=,
结合+=1得=2+4≥160,
∴当m=,t=时,p取到最大值,为.
解法三(点差法+判别式法):设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),其中x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.
∵∴+-=0.
整理得·=-,∴·=-.
又=kAB=kAM=,=2px1,=2px0,
∴·=-,整理得+y1y0+8p2=0.
由题意知上述关于y0的二次方程有解,∴Δ=-32p2≥0.①
由解得x1=-2p+(舍负).因此=2px1=-4p2+2p,将此式代入①式解得p≤.
当且仅当点M的坐标为时,p的最大值为.
7.解析 (1)将(1,-2)代入抛物线方程,解得p=2,∴抛物线C:y2=4x,
依题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=kx-1(k≠0),
由得ky2-4y-4=0,
则解得k>-1且k≠0,
又直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N,所以直线l不能过点P(1,-2)及(1,2),∴k≠-1且k≠3.
综上,k∈(-1,0)∪(0,3)∪(3,+∞).
(2)证明:设点M(0,yM),N(0,yN),∵=λ,=μ,Q(0,-1),∴可设T(0,t),则=(0,yM+1),=(0,t+1),∵=λ,∴yM+1=λ(t+1),
故=,同理可得=.
∵kPA==,∴直线PA:y+2=(x-1),
令x=0得yM=,同理可得yN=,
∴==(t+1)·,==(t+1)·,
∴+=(t+1)·=(t+1)·=(t+1)·=2(t+1),
又+=-4,∴t=-3,∴存在定点T(0,-3)满足题意.
8.解析 (1)由题意知,当直线AB垂直于x轴时,x1=,代入抛物线方程得y1=±p,则|AB|=2p,所以2p=2,即p=1,所以抛物线E:y2=2x.
(2)①证明:设C(x3,y3),D(x4,y4),直线AB:x=my+,
联立消去x,得y2-2my-1=0,因此y1+y2=2m,y1y2=-1.
设直线AC:x=ny+1,联立消去x,得y2-2ny-2=0,
因此y1+y3=2n,y1y3=-2,则y3=.同理可得y4=.
所以kCD=====-=,因此直线CD:x=2m(y-y3)+x3,
由对称性知,定点在x轴上,
令y=0得,x=-2my3+x3=-2my3+=-2m·+=+=+=2+2=2+2·=2,所以直线CD过定点(2,0),记Q(2,0).
②因为S△PAB=|PF|·|y1-y2|=|y1-y2|,
S△PCD=|PQ|·|y3-y4|====|y1-y2|,
所以S△PAB+S△PCD=|y1-y2|==≥,当且仅当m=0时取到最小值.
9.解析 (1)设直线l的方程为y=x+n,A(x1,y1),B(x2,y2),
把y=x+n代入y2=4x,可得x2+(2n-4)x+n2=0,
∴x1+x2=4-2n,x1·x2=n2,
∴|AB|=|x2-x1|==4,
点P到直线l的距离d=,
∴S△PAB=|AB|d=×4×=2,
解得n=-1,∴直线l的方程为y=x-1.
(2)假设存在.取Q(0,0),设切线方程为y=kx,
由=2,解得k2=,①
将y=kx代入y2=4x,得k2x2=4x,不妨设A在B上方,
故A,B,
则直线AB的方程为x=,
若直线AB和圆相切,则=2,②
由①得m2>4,由①②解得m=3.
下面证m=3时,对任意的动点Q,直线AB和圆M相切.
设Q,当a=0时,上面假设已经说明成立;
当a=±2,过Q作圆的切线时,一条切线与x轴平行,不能与抛物线交于另一点,故a≠±2;
以下就a≠0且a≠±2的情况进行证明.
设过Q的切线方程为x=t(y-a)+a2,A,B,
由=2,可得(a2-4)t2-at+-4=0,
∴t1+t2=,t1t2=.
把x=t(y-a)+a2代入y2=4x,可得y2-4ty+4ta-a2=0,
又切线与抛物线相交于两点A,B,
故得=4t1(y1-a)+a2,=4t2(y2-a)+a2,
则a,y1是方程y2=4t1(y-a)+a2的两根,即有ay1=4t1a-a2,即y1=4t1-a,同理可得y2=4t2-a.则有A(4t1-a)2,4t1-a,B(4t2-a)2,4t2-a,
故直线AB:y-(4t1-a)=,
即y-(4t1-a)=,
则圆心(3,0)到直线AB的距离
d=,
由(a2-4)-at1+-4=0,
可得d==2,
则对任意的动点Q,存在实数m=3,使得直线AB与圆M相切.
73.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
基础过关练
题组一 抛物线的定义及应用
1.在平面直角坐标系中,与点(1,2)和直线x+y-3=0的距离相等的点的轨迹是( )
A.直线 B.抛物线
C.圆 D.双曲线
2.已知动圆M经过点A(2,0),且与直线x=-2相切,则此动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.y2=8x B.y2=4x C.y2=-8x D.y2=-4x
3.在平面直角坐标系Oxy中,已知动圆M与圆x2+y2-2x=0内切,且与直线x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( )
A.y2=12x B.y2=8x C.y2=6x D.y2=4x
4.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+3=0的距离大1,则M的轨迹方程是 .
5.若点P(x,y)满足方程=,则点P的轨迹是 .(填圆锥曲线的类型)
6.动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,求动点M(x,y)的轨迹方程.
题组二 抛物线的标准方程及应用
7.准线方程为y=2的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-4x B.y2=8x C.x2=4y D.x2=-8y
8.焦点坐标为(-1,0)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-2x B.x2=2y C.x2=-4y D.y2=-4x
9.以坐标轴为对称轴,焦点在直线4x-5y+10=0上的抛物线的标准方程为( )
A.x2=10y或y2=-8x B.x2=-10y或y2=8x
C.y2=10x或x2=-8y D.y2=-10x或x2=8y
10.(多选题)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为( )
A.y2=x B.x2=8y C.x2=-8y D.y2=-8x
11.如图,一抛物线形拱桥的拱顶O比水面高2米,水面宽12米,即|AB|=12米.当水面下降1米后,水面宽( )
A.3米 B.8米 C.6米 D.12米
12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l上有两点A,B,若△FAB为等腰直角三角形且面积为8,则抛物线C的标准方程是( )
A.y2=4x B.y2=8x
C.y2=4x或y2=8x D.y2=4x
13.已知抛物线y=mx2的准线方程为y=,则实数m= .
14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,O为坐标原点,点P在C上,直线PF交y轴于点Q,若=3,则P到准线l的距离为 .
15.已知F是抛物线x2=4y的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到x轴的距离为 .
16.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到原点的距离,则点P的坐标为 .
17.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直于x轴,垂足为N.若|MF|=6,则点M的横坐标为 ;△FMN的面积为 .
18.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是东方之门的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线形,如图1,两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一个窗户,两个窗户的水平距离为30 m,如图2,则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为 m.
图1 图2
19.(教材习题改编)一种卫星接收天线如图1所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处,如图2所示,已知接收天线的口径(直径)为4.8 m,深度为0.5 m.
(1)试建立适当的坐标系,并求抛物线的标准方程和焦点坐标;
(2)为了增强天线对卫星波束的接收能力,拟将接收天线的口径增大为5.2 m,求此时卫星波束反射聚集点在(1)中所建坐标系下的坐标.
20.如图,A地在B地东偏北45°方向相距2 km处,且B与高铁线l(近似看成直线)相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于其到高铁线l的距离,现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计).
(1)试建立适当的直角坐标系,并求公路PQ所在曲线的方程;
(2)在(1)的条件下,问变电房M应建在相对于A地的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线的长度最短 并求出最短长度.
能力提升练
题组一 抛物线及其标准方程的应用
1.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||=( )
A.6 B.4 C.3 D.2
2.(多选题)()已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的取值可以为( )
A.3 B.4 C. D.
3.曲线W具有如下3个性质:(1)曲线W上没有一个点位于第一、三象限;(2)曲线W上位于第二象限的任意一点到点(0,1)的距离等于其到直线y=-1的距离;(3)曲线W上位于第四象限的任意一点到点(2,0)的距离等于其到直线x=-2的距离.那么曲线W的方程可以为( )
A.(x2-4y)(8x-y2)=0 B.y=
C.y= D.y=
4.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,B在D上方.若∠ABD=90°,且△ABF的面积为9,则( )
A.△ABF是等边三角形
B.|BF|=3
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2=6x
5.已知P为抛物线C:y2=4x上的动点,抛物线C的焦点为F,点A(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为 ;若点B(4,5),则|PB|+|PF|的最小值为 .
6.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,点A的坐标为(2,6),点P是C上的任意一点,若当P在点P1处时,|PF|-|PA|取得最大值,当P在点P2处时,|PF|-|PA|取得最小值,则P1,P2两点间的距离是 .
7.如图,抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆F:x2+y2-2x=0,M(x,y)为抛物线上一点,且x∈[1,3],过M作圆F的两条切线,切点分别为A,B,求|AB|的取值范围.
8.在平面直角坐标系Oxy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线x=3与抛物线C交于A,B两点,|AF|=4,圆E为△FAB的外接圆,直线OM与圆E切于点M,点N在圆E上,求·的取值范围.
9.已知F是抛物线y2=4x的焦点,A,B是该抛物线上的动点,O为坐标原点.
(1)P(4,1)是一个定点,求|AP|+|AF|的最小值;
(2)若焦点F是△AOB的垂心,求点A,B的坐标.
题组二 抛物线的实际应用
10.党的二十大报告指出,必须坚持在发展中保障和改善民生,不断实现人民对美好生活的向往.为响应中央号召,某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4 m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下:在水池中心竖直安装一根高出水面2 m的喷水管(水管半径忽略不计),它喷出的水柱呈抛物线形,要求水柱在与水池中心的水平距离为 m处达到最高,且水柱刚好落在池内,则水柱的最大高度为( )
A. m B. m
C. m D. m
11.(2024陕西渭南期中)已知一个抛物线形拱桥,在一次暴雨前后桥下水位之差为1.5 m,暴雨后的水面宽为2 m,暴雨来临之前的水面宽为4 m,求暴雨后的水面离桥拱顶的距离.
12.一隧道内设有双行线公路,其截面近似由一长方形和一抛物线构成,如图所示.为保证安全,要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米.若行车道的总宽度为8米,即|AB|=8米.
(1)计算车辆通过隧道时的限制高度;
(2)现有一辆载重汽车宽3.5米,高4.2米,试判断该车能否安全通过隧道.
答案与分层梯度式解析
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
基础过关练
1.A 2.A 3.D 7.D 8.D 9.D 10.AC 11.C
12.C
1.A 因为点(1,2)在直线x+y-3=0上,所以所求点的轨迹是过点(1,2)且与直线x+y-3=0垂直的直线,故选A.
易错警示 到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹不一定是抛物线:①F l时,为抛物线;②F∈l时,为直线.
2.A 设M(x,y).因为动圆M经过点A(2,0),且与直线x=-2相切,所以|MA|=|x+2|,即点M到点A(2,0)的距离与其到直线x=-2的距离相等,由抛物线的定义知圆心M的轨迹为抛物线,且焦点为(2,0),准线方程为x=-2,所以所求轨迹方程为y2=8x.故选A.
3.D 设圆M的半径为r,易知圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,记F(1,0).
因为圆M与圆F内切,且圆M与直线x=-2相切,
所以|MF|=r-1,且圆心M到直线x=-2的距离为r,
故M到直线x=-1的距离为r-1,故圆心M到点F的距离与其到直线x=-1的距离相等,
由抛物线的定义,可知圆心M的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.
故选D.
4.答案 y2=16x
解析 解法一:由题意知,动点M到点F的距离等于它到直线x=-4的距离,
由抛物线的定义知,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,直线x=-4为准线的抛物线,所以其轨迹方程为y2=16x.
解法二:由题意可知=|x-(-3)|+1,
整理得y2-14x+6=2|x+3|.
由题意知x>-3(若x≤-3,则题中距离差至少为7),所以得y2=16x.
5.答案 抛物线
解析 由=,得=,
易知等式左边表示点P(x,y)到点(1,2)的距离,右边表示点P(x,y)到直线3x+4y+12=0的距离,即点P(x,y)到点(1,2)的距离与其到直线3x+4y+12=0的距离相等,
又因为点(1,2)不在直线3x+4y+12=0上,所以由抛物线的定义知,点P的轨迹是以(1,2)为焦点,直线3x+4y+12=0为准线的抛物线.
6.解析 当x≥0时,∵动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,
∴动点M到定点(2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等,
∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线,此抛物线的方程为y2=8x(x≥0);
当x<0时,∵x轴上点(0,0)左侧的点到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,
∴点M的轨迹方程为y=0(x<0).
综上,得动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x(x≥0).
7.D 由抛物线的准线方程为y=2,可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线,设其方程为x2=-2py(p>0),则其准线方程为y==2,得p=4.∴该抛物线的标准方程是x2=-8y.
故选D.
名师支招 求抛物线标准方程的关键是确定参数p.当焦点位置不确定时,应分类讨论,为避免对开口方向的讨论,可设抛物线方程为y2=mx或x2=my.
8.D ∵抛物线的焦点坐标是(-1,0),∴可设抛物线方程为y2=-2px(p>0),∴-=-1,得p=2.∴抛物线的标准方程为y2=-4x.故选D.
9.D 直线4x-5y+10=0与两坐标轴的交点分别为,(0,2),当抛物线的焦点为时,其标准方程为y2=-10x;当抛物线的焦点为(0,2)时,其标准方程为x2=8y.故选D.
10.AC ∵点P(4,-2)在第四象限内,∴设所求的抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0),
将(4,-2)代入,可得4=2p·4或16=-2p·(-2),
∴2p=1或2p=8.
故所求的抛物线方程为y2=x或x2=-8y.
故选AC.
11.C 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,
易得B(6,-2),将(6,-2)代入x2=my,得m=-18,∴x2=-18y,
设当水面下降1米后,水面宽2x0米,易知此时点(x0,-3)在抛物线上,将(x0,-3)代入x2=-18y,得x0=3,故此时水面宽6米.故选C.
12.C 由题意得,当∠AFB=时,S△AFB=×2p×p=8,解得p=2(舍负);当∠FAB=或∠FBA=时,S△AFB=p2=8,解得p=4(舍负),所以抛物线的标准方程是y2=4x或y2=8x.故选C.
13.答案 -2
解析 由y=mx2可得x2=·y,则抛物线的准线方程为y=-=,解得m=-2.
易错警示 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,一定要先将所给方程化为标准形式.
14.答案 5
解析 由抛物线C:y2=4x,可知F(1,0),准线l:x=-1,则|OF|=1,
过点P作y轴的垂线,垂足为N,由△QOF∽△QNP可知==,
所以|PN|=4|FO|=4,所以点P到准线l的距离为5.
15.答案
解析 抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=5,解得y1+y2=3,∴线段AB的中点的纵坐标为,∴线段AB的中点到x轴的距离为.
16.答案 或
解析 设焦点为F,原点为O,P(x0,y0),由条件及抛物线的定义知,|PF|=|PO|,
又F,∴x0=,∴=,∴y0=±,
所以点P的坐标为或.
17.答案 5;4
解析 因为抛物线的方程为y2=4x,所以p=2且F(1,0).因为|MF|=6,所以xM+=6,解得xM=5,故yM=±2,所以S△FMN=×(5-1)×2=4.
18.答案 200
解析 建立如图所示的平面直角坐标系,
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),D(15,t)(t<0),则B(30,t-150).
由点B,D均在抛物线上,得
解得所以抛物线顶端O到连桥AB的距离为150+50=200 m.
19.解析 (1)在接收天线的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系Oxy,使接收天线的顶点为原点,焦点与原点连线所在直线为x轴,
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由题意知点(0.5,2.4)在抛物线上,将(0.5,2.4)代入其方程,可得2.42=2p·0.5,解得p=5.76,
所以抛物线的标准方程为y2=11.52x,焦点坐标为(2.88,0).
(2)设此时抛物线的标准方程为y2=2mx(m>0),
由题意知点(0.5,2.6)在抛物线上,将(0.5,2.6)代入其方程,可得2.62=2m·0.5,解得m=6.76,
所以抛物线的标准方程为y2=13.52x,焦点坐标为(3.38,0),即卫星波束反射聚焦点的坐标为(3.38,0).
20.解析 (1)取经过点B且垂直于l的直线为y轴,垂足为K,并使原点O与线段BK的中点重合,建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(0,2),A(2,4),
∵公路PQ上任意一点到B地的距离等于其到高铁线l的距离,
∴PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点,l为准线的抛物线.
设该抛物线的方程为x2=2py(p>0),则p=4.
∴公路PQ所在曲线的方程为x2=8y.
(2)要使架设电路所用电线的长度最短,即使|MA|+|MB|最小,
过M作MH⊥l,垂足为H,∴|MA|+|MB|=|MA|+|MH|,
易知当A,M,H三点共线时,|MA|+|MH|取得最小值,即|MA|+|MB|取得最小值,
此时M,位于A地正南方且与A地相距 km,所用电线的最短长度为4+2=6 km.
能力提升练
1.A 2.ABD 3.B 4.ACD 10.C
1.A 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).由题意得抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.因为++=0,所以点F是△ABC的重心,故x1+x2+x3=3,则||+||+||=x1+1+x2+1+x3+1=x1+x2+x3+3=3+3=6.故选A.
2.ABD 抛物线上的点P到准线的距离等于其到焦点F的距离,过焦点F(1,0)作直线4x-3y+11=0的垂线,垂足为M,则|FM|为d1+d2的最小值,如图所示:
所以(d1+d2)min==3,结合选项可知选ABD.
3.B 根据抛物线的定义,可知到点(0,1)的距离等于到直线y=-1的距离的点的轨迹是以(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,其方程为x2=4y.
同理可得,到点(2,0)的距离等于到直线x=-2的距离的点的轨迹方程为y2=8x.
(x2-4y)(8x-y2)=0存在位于第一象限的点,根据性质(1)可得A错误.
根据性质(2)与(3),可知曲线W的方程可以为y=故选B.
4.ACD 根据题意作图,如图所示:
因为以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,所以|FA|=|FB|,
又A在抛物线上,所以|FA|=|AB|,所以△ABF为等边三角形,故A正确;
因为∠ABD=90°,所以AB∥x轴,过F作FE⊥AB于点E,则点E为AB的中点,
故点E的横坐标为,又点B的横坐标为-,所以|AB|=2|BE|=2p,
所以S△ABF=|AB|2=×4p2=9,解得p=3(舍负),则|BF|=|AB|=2p=6,故B错误;
焦点F到准线的距离为p=3,故C正确;
抛物线C的方程为y2=6x,故D正确.故选ACD.
5.答案 4;
解析 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,
过点P作准线的垂线,垂足为点E,如图,由抛物线的定义得|PF|=|PE|,故|PA|+|PF|=|PA|+|PE|,
易知当点A,P,E三点共线,即当AP所在直线与直线x=-1垂直时,|PA|+|PF|取得最小值,且最小值为3+1=4.
由三角形的性质可知|PB|+|PF|≥|BF|,由两点间的距离公式可得|BF|=,即当P是线段BF与抛物线的交点时,|PB|+|PF|取得最小值,为.
6.答案
解析 依题意知F(2,0),过P作抛物线准线:x=-2的垂线,垂足为Q,
一方面:||PF|-|PA||=||PQ|-|PA||≤|AQ| |PF|-|PA|≤|AQ|,
当P,A,Q三点共线,即PA平行于x轴时,|PF|-|PA|取得最大值,此时P1;
另一方面:||PF|-|PA||≤|AF| |PF|-|PA|≥-|AF|,
当P,F,A三点共线,且F在P,A之间时,|PF|-|PA|取得最小值,此时P2(2,-4),
故|P1P2|=.
7.解析 连接MF,由题意知,圆F的圆心为F(1,0),半径r=1,故抛物线方程为y2=4x,
四边形MAFB的面积S=|MA|×|AF|×2=|MA|=,
又S=|AB|·|MF|,所以|AB|==2,
由抛物线的定义,得|MF|=x+1,又x∈[1,3],所以|MF|2∈[4,16],
所以∈,所以|AB|∈.
8.解析 由题意,不妨设A位于第一象限,故A(3,),所以|AF|=3+=4,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,则A(3,2),B(3,-2),F(1,0),所以直线AF的方程为y=(x-1),
由题易知圆E的圆心在x轴上,设E(x0,0),由|EF|=|EA|得(x0-1)2=(3-x0)2+12,解得x0=5,即E(5,0),∴圆E的方程为(x-5)2+y2=16,不妨设yM>0,直线OM的方程为y=kx,则k>0,根据=4,解得k=,由解得或故M.由题可设N(4cos θ+5,4sin θ),θ∈[0,2π],所以·=cos θ+sin θ+9=(3cos θ+4sin θ)+9,
因为3cos θ+4sin θ=5sin(θ+φ)∈[-5,5],其中tan φ=,所以·∈[-3,21].
9.解析 (1)由题可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.设点A在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|AF|=|AD|,
∴要求|AP|+|AF|的最小值,即求|AP|+|AD|的最小值,
易知当D,A,P三点共线时,|AP|+|AD|最小,为4-(-1)=5,即|AP|+|AF|的最小值为5.
(2)∵焦点F是△AOB的垂心,∴直线AB⊥x轴,
∴A,B关于x轴对称.
不妨设A(y1>0),则B.
∴kOB==-,kAF==.
∵焦点F是△AOB的垂心,∴AF⊥OB,
∴kOB·kAF=-1,即-·=-1,∴y1=2.
∴A(5,2),B(5,-2)或A(5,-2),B(5,2).
10.C 取一截面建系如图,其中A为喷水管管口,B为水池边缘上的点,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),记水柱的最大高度为h m,
依题意可知A,B在抛物线上,故两式相除,有=,解得h=.故选C.
11.解析 如图,以抛物线形拱桥的顶点为坐标原点O,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
由已知得A(1,yA),B(2,yB),且yA-yB=1.5,所以yA-yB=-+=1.5,解得p=1,所以yA=-0.5,即暴雨后的水面离桥拱顶的距离为0.5 m.
12.解析 (1)建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
根据题意,可知此抛物线经过点(-5,-5),将(-5,-5)代入抛物线方程,解得p=,所以抛物线的方程为x2=-5y.
在此方程中,令x=-4,得y=-,又7--0.5=3.3,所以车辆通过隧道时的限制高度为3.3米.
(2)对于抛物线方程x2=-5y,令x=3.5,得y=-,
因为7--0.5=4.05<4.2,所以该车不能安全通过隧道.
7(共38张PPT)
3.3 抛物线
平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做
抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
注意:当F∈l时,动点的轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
知识点 1 抛物线的定义
必备知识 清单破
1.抛物线的标准方程与简单几何性质
知识点 2 抛物线的标准方程与简单几何性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
性 质 焦点坐标
准线方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0
对称轴 x轴 y轴 顶点坐标 (0,0) 离心率 e=1 说明:(1)从表中可知,一次项中的变量决定焦点位于x轴还是y轴,一次项系数的正负决定
开口方向.
(2)抛物线标准方程中的参数p是抛物线的焦点到其准线的距离(即焦准距),所以p的值一
定大于0.
2.通径
过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线,交抛物线于A,B两点,则线段AB称为抛物线的通
径,通径是所有焦点弦中长度最短的弦,其长度为2p.p越大,通径越长,抛物线的“张口”越大;
反之,p越小,通径越短,抛物线的“张口”越小.
直线与抛物线有三种位置关系:相离,相切,相交.以抛物线y2=2px(p>0)为例:
(1)直线斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,代入y2=2px得k2x2+2(mk-p)x+m2=0.
当k=0时,直线平行于抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴重合,直线与抛物线只有一个公共
点.
当k≠0时,若判别式Δ>0,则直线与抛物线相交,有两个公共点;若判别式Δ=0,则直线与抛物线
相切,有一个公共点;若判别式Δ<0,则直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)直线的斜率不存在时,设直线方程为x=m,
显然,当m<0时,直线与抛物线相离,无公共点;
当m=0时,直线与抛物线相切,有一个公共点;
当m>0时,直线与抛物线相交,有两个公共点.
知识点 3 直线与抛物线的位置关系
如图所示,AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条弦,其所在直线的倾斜角为α,设A(x1,
y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),抛物线的准线为l,AA1⊥l,BB1⊥l,MM1⊥l.
(1)以AB为直径的圆必与准线l相切;以AF,BF为直径的圆都与y轴相切.
(2)∠A1FB1=90°.
(3)M1F⊥AB.
(4)直线M1A与M1B是抛物线的两条互相垂直的切线.
知识点 4 与抛物线的焦点弦有关的结论
(5)|AB|=2 =x1+x2+p= .
(6)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2= ,y1y2=-p2.
(7)S△AOB= .
(8) + = .
(9)|AF|= ,|BF|= ; = .
(10)kOA·kOB= =-4,进一步地,若直线过抛物线对称轴上一定点(a,0),且与抛物线交于P,Q两
点,则kOP·kOQ=- .
知识辨析
1.平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹一定是抛物线吗
2.已知抛物线上的一个点可以确定抛物线的方程吗
3.方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且该抛物线的焦点坐标是 ,准线
方程为x= .正确吗
4.“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的充分必要条件吗
一语破的
1.不一定.若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
2.不可以.抛物线的标准方程有四种,故由一个点能得到两个抛物线的标准方程.
3.不正确.将方程y=ax2(a≠0)化成标准形式为x2= y,其表示焦点在y轴上的抛物线,且该抛物
线的焦点坐标是 ,准线方程为y=- .
4.不是.当直线与抛物线有一个交点时,直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行(或
重合);当直线与抛物线相切时,直线与抛物线有一个交点.因此“直线与抛物线只有一个交
点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.
求抛物线标准方程的两种常用方法
(1)直接法:利用已知条件确定参数p及抛物线的开口方向.
(2)待定系数法:根据焦点位置先设出抛物线的方程,再根据题中条件确定参数的值.
定点 1 抛物线标准方程的求解
关键能力 定点破
典例 根据下列条件求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(2)经过点(-3,-1);
(3)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为9,且点M到x轴的距离为4 .
解析： (1)将双曲线方程化为标准形式为 - =1,易知双曲线的左顶点为(-3,0).
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
则- =-3,所以p=6,
所以抛物线的标准方程为y2=-12x.
(2)因为点(-3,-1)在第三象限内,
所以设抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0),
则(-1)2=-2p1×(-3),解得p1= ;
若抛物线的标准方程为x2=-2p2y(p2>0),
则(-3)2=-2p2×(-1),解得p2= .
故所求抛物线的标准方程为y2=- x或x2=-9y.
(3)设点M(x0,y0),由题意可知|y0|=4 ,
所以(4 )2=2px0,解得x0=8.
因为|MF|=x0+ =8+ =9,所以p=2.
所以抛物线C的标准方程为y2=4x.
规律总结 抛物线上一点(x0,y0)到焦点的距离称为抛物线的焦半径,公式如下:
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py
(p>0)
焦半径 x0+ -x0 y0+ -y0
抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点的距离及其与准线的距离的转化,通过
这种转化可以解决点的轨迹方程、最值、参数、距离等问题.
定点 2 抛物线定义的应用
典例 (1)已知点P是抛物线y2=-2x上的动点,则点P到点M(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的
距离之和的最小值为( )
A. B.3 C. D.
(2)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为
.
A
x2=-12y
解析：(1)设抛物线的焦点为F,连接PF,MF,如图所示.
易知抛物线的焦点F ,准线方程为x= .由抛物线的定义知,点P到准线的距离等于点P
到焦点F的距离,因此点P到点M(0,2)的距离与点P到准线的距离之和等于点P到点M(0,2)的距
离与点P到点F 的距离之和,根据“三角形任意两边之和大于第三边”知,其最小值为
点M(0,2)到点F 的距离(此时点P位于P'的位置),故最小值为 = .
(2)设动圆圆心M(x,y).由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.
由抛物线的定义可知,动圆圆心M的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的抛物线,其方程为x2=
-12y.
1.解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的结论,并灵活运用.有关焦点弦的诸多结
论实质是利用抛物线的定义并结合相关知识推得的.
2.知识点4中有关焦点弦的结论都是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的,但在实际应用
中,有些抛物线的方程可能不是这种形式,这时相关结论会随之变化,不能盲目套用.
定点 3 抛物线的焦点弦问题
典例 已知抛物线y2=4x,经过其焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于M,N两点,且|MF|
=3|NF|,则k= .
解析：解法一:过M,N两点作准线的垂线,垂足分别为P,Q,过N向PM作垂线,垂足为S.设|NF|=m
(m>0),则|MF|=3m.
由抛物线的定义得|MP|=3m,|NQ|=m,
所以|MS|=2m,|MN|=m+3m=4m,
则sin∠MNS= = ,所以∠MNS=30°,
故直线l的倾斜角为60°,所以k=tan 60°= .
解法二:设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ .由于|MF|= ,|NF|= ,且|MF|=3|NF|,所以
= ,
解得cos θ= ,所以θ= ,所以k=tan θ= .
解法三:抛物线y2=4x中,p=2,
所以 + = =1,又因为|MF|=3|NF|,所以|MF|=4,|NF|= ,于是|MN|= .设直线l的倾斜角
为θ,则θ∈ ,所以 = ,解得sin θ= sin θ=- 舍去 ,所以θ= ,故k=tan θ= .
研究直线与抛物线的位置关系的方法与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类
似,一般是联立直线与抛物线的方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意
“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.
定点 4 直线与抛物线的位置关系
典例1 已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)过(-1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=-4于点E,直线BF交直线x=-1于点D.
是否存在这样的直线l,使得DE∥AF 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解析：(1)由题意及抛物线的定义可得1+ =3,解得p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x,准线方
程为x=-2.
(2)假设存在满足题意的直线l.显然直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠
0),A(x1,y1),B(x2,y2).
联立 消去y,得k2x2+(2k2-8)x+k2=0.
由Δ=(2k2-8)2-4k4>0,解得- 所以- 由根与系数的关系得x1+x2= ,x1x2=1.
解法一:易知F(2,0),所以直线BF的方程为y= (x-2),
又xD=-1,所以yD= ,所以D .
因为DE∥AF,所以kDE=kAF,
易得E(-4,-3k),所以 = ,
即k= + ,即k= + ,
化简,得1= + ,
即1= ,即x1+x2=7.
所以 =7,整理得k2= ,解得k=± .
经检验,k=± 符合题意.
所以存在满足题意的直线l,直线l的方程为y= (x+1)或y=- (x+1).
解法二:因为DE∥AF,所以 = ,所以 = ,整理得x1x2+(x1+x2)=8,即 =7,整
理得k2= ,解得k=± .
经检验,k=± 符合题意.
所以存在满足题意的直线l,直线l的方程为y= (x+1)或y=- (x+1).
典例2 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l
交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.
(1)若点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形,求C的方程;
(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0) ,点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且
AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.
解析： (1)由题意知F ,|FA|=3+ ,则D(3+p,0),
则线段FD的中点坐标为 ,则 + =3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.
(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
(这种设直线方程的方法避免了分类讨论,且计算量小)
则E(x2,-y2),
由 消去x,得y2-4my-4x0=0,
因为x0≥ ,所以Δ=16m2+16x0>0.
y1+y2=4m,y1y2=-4x0.
设点P的坐标为(xP,0),则 =(x2-xP,-y2), =(x1-xP,y1).
由题知 ∥ ,
所以(x2-xP)·y1+(x1-xP)·y2=0,
即(y1+y2)xP=x2y1+x1y2= = ,
因为y1+y2=4m≠0,所以xP= =-x0.
所以点P的坐标为(-x0,0).
由题知△EPB为等腰直角三角形,
所以kAP=1,即 =1,即 =1,
所以y1-y2=4,
所以(y1+y2)2-4y1y2=16,
即16m2+16x0=16,m2=1-x0,
所以x0<1,
又因为x0≥ ,所以 ≤x0<1.
d= = = ,
令 =t,则t∈ ,x0=2-t2,所以d= = -2t.
易知y= -2t在 上单调递减,所以d∈ .
方法总结 求解范围问题的常用方法:(1)利用判别式来构造不等式,从而确定参数的取值范
围;(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解决这类问题的核心在于建立两个参数之间的
等量关系;(3)利用隐含的或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的范围;(4)利用基本不
等式求出参数的取值范围等.
素养解读
在圆锥曲线的学习中,要树立“坐标化”观点,借助平面直角坐标系,将图形的位置关系
和度量关系转化为数学代数问题,解题时一般先用图形探索解决问题的思路,进而解决复杂
的数学问题,其前提是严谨的逻辑推理.
通过研究圆锥曲线中图形的特征和变化,将圆锥曲线中常见的轨迹问题、中点弦问题、角度
问题、面积问题、垂直类问题、平行类问题转化为代数意义下的计算问题,准确的计算是必
备素养.
学科素养 情境破
素养 通过圆锥曲线相关问题的解决发展逻辑推理和数学运算的素养
例题 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一
部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于该椭圆
的另一个焦点F2.椭圆有光学性质:从一个焦点出发的光线,经过椭圆面反射后经过另一个焦
点,即椭圆上任意一点P处的切线与直线PF1,PF2的夹角相等.已知BC⊥F1F2,|BF1|=3 cm,|F1F2|=
4 cm,以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求截口BAC所在椭圆的方程;
典例呈现
(2)点P为该椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点.
①是否存在m,使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值 如果存在,求出m的值;如果不存
在,请说明理由;
②若∠F1PF2的平分线PQ交y轴于点Q,设直线PQ的斜率为k,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,
问: + 是不是定值 若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
解题思路 (1)设所求椭圆方程为 + =1(a>b>0).
在Rt△BF1F2中,|BF2|= = =5.
由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=8=2a,
所以a=4,
所以b= = =2 ,
所以所求椭圆的方程为 + =1.
(2)易得F1(-2,0),F2(2,0).
①假设存在m,使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值.
设P(x0,y0),则|PF2|= ,
P到直线x=m的距离d=|m-x0|,
所以 =
=
= ,
所以当m=8时, 为定值 .
故存在m=8,使得P到F2和P到直线x=8的距离之比为定值 .
②设P(x',y'),
则k1= ,k2= ,
椭圆 + =1在点P(x',y')处的切线方程为 + =1,
所以椭圆在点P(x',y')处的切线的斜率为- .
设椭圆在P(x',y')处的切线为l,
由光学性质可知直线PQ⊥l,
所以- ·k=-1,即k= .
所以 = · = ,
= · = ,
所以 + = + = .
思维升华
有关圆锥曲线的题目往往运算量大,解法灵活多变,除了要掌握部分技巧外,更多的是要
关注通性通法,打好坚实的基础,这就要求我们应科学有效地落实解题要求,深挖试题内部的
隐含条件,按部就班地写出文字说明,完善解答过程或演算步骤.熟练准确的运算也是完成数
学题目的基本要求,在平时的学习中要加强运算能力的训练,养成良好的运算习惯.数学运算
能力的养成不是一朝一夕可以实现的,要在思想上重视计算,行动上落实计算,习惯上强化计
算.3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
基础过关练
题组一 抛物线的简单几何性质
1.(多选题)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6,则p的值可取为( )
A.1 B.2 C.9 D.18
2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点M(x0,3),点M到抛物线C的焦点F的距离为3,则抛物线C的准线方程为( )
A.x=- B.x=-3 C.x=-1 D.x=-2
3.等腰直角三角形AOB的三个顶点均在抛物线y2=2px(p>0)上,O为抛物线的顶点,且OA⊥OB,则△AOB的面积是( )
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
4.已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=2x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )
A. B. C. D.
5.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点A∈l,线段AF交抛物线C于点B,过点B作l的垂线,垂足为H,若=3,则( )
A.||= B.||=4
C.||=3|| D.||=4||
6.已知抛物线y2=8x,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,O为坐标原点.若焦点F是△OAB的重心,则△OAB的周长为 .
7.已知抛物线M:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M的准线为l,且与x轴相交于点B,A为M上的一点,AO所在直线与直线l相交于C点,若∠BOC=∠BCF,|AF|=6,则M的标准方程为 .
题组二 抛物线的焦点弦
8.已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为k的直线l交抛物线于A,B两点,若|AF|=3|BF|,则k=( )
A. B.± C. D.±
9.过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F的直线l交C于A,B两点,若直线l过点P(1,0),且|AB|=8,则抛物线C的准线方程是( )
A.y=-3 B.y=-2
C.y=- D.y=-1
10.(多选题)已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限内),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是( )
A.p= B.|AF|=6
C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点
11.已知O为坐标原点,P(a,0)(a>0),Q为抛物线y2=x上任意一点,且|PQ|≥|PO|恒成立,则实数a的取值范围是 .
能力提升练
题组一 抛物线中与焦点弦有关的最值问题
1.已知过抛物线C:y2=2x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A,B两点,Q为AB的中点,P为C上一点,则|PF|+|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
2.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经过抛物线反射后,沿平行(或重合)于抛物线对称轴的方向射出;反之,平行(或重合)于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,坐标原点为O,一束平行于x轴的光线沿直线l1从点P(m,n)(n2<4m)射入,经过抛物线上的点A(x1,y1)反射后,再经抛物线上另一点B(x2,y2)反射,最后沿直线l2射出,则直线l1与l2间的距离的最小值为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
3.定长为3的线段AB的端点A,B均在抛物线y2=x上移动,则AB的中点M到y轴的距离的最小值为 ,此时M的坐标为 .
4.已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为M,过M作MN垂直于抛物线的准线,垂足为N,则+的最小值是 .
题组二 抛物线的几何性质的综合应用
5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆+=1的右焦点重合,斜率为k(k>0)的直线l经过点F,且与C的交点为A,B.若|AF|=2|BF|,则直线l的斜率为( )
A.1 B. C. D.2
6.(多选题)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点,设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的是( )
A.抛物线的方程是x2=2y
B.抛物线的准线方程是y=-1
C.sin∠QMN的最小值是
D.线段AB的长的最小值是6
7.(多选题)抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点(点A在x轴的下方),则下列结论正确的是( )
A.若|AB|=8,则AB中点到y轴的距离为4
B.弦AB的中点的轨迹为抛物线
C.若=3,则直线AB的斜率k=
D.4|AF|+|BF|≥9
8.一束光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线所在直线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为 .
9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足·=0.设线段AB的中点M在l上的射影为N,则的最大值是 .
答案与分层梯度式解析
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
基础过关练
1.BD 2.A 3.B 4.D 5.BC 8.D 9.D 10.BCD
1.BD 由抛物线y2=2px(p>0)可得准线方程为x=-.设点M(x1,y1),∴=2px1.
∵点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,∴x1+=10,y1=±6,结合=2px1,解得x1=1,p=18或x1=9,p=2,即p的值可取为18,2.故选BD.
2.A 由已知得所以x0=,p=3,
故抛物线C的准线方程为x=-=-,故选A.
3.B 不妨设点A在x轴上方,由抛物线的对称性及题意可知kOA=1,故直线OA的方程为y=x,则A(2p,2p),B(2p,-2p),故S△AOB=×2p×4p=4p2.
4.D 易知抛物线C:y2=2x的焦点为F,准线方程为x=-,由抛物线的定义得|PF|=xP+=4,解得xP=,所以|yP|==,所以△POF的面积S=|OF||yP|=.故选D.
5.BC 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线l的方程为x=-1,
设准线l与x轴交于点M,如图,
∵=3,∴由△ABH与△AFM相似得==,
易得|FM|=2,∴|BH|=×2=,即||=,故A错误;
由抛物线的定义得|BF|=|BH|,∴|AF|=3|BF|=3|BH|=4,即||=4,||=3||,故B、C正确,D错误.故选BC.
6.答案 2+4
解析 由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M,A位于第一象限,如图所示.
因为焦点F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|.因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0).故可设A(3,m)(m>0),将(3,m)代入y2=8x,得m2=24,所以m=2,所以A(3,2),B(3,-2),|OA|=|OB|=,
所以△OAB的周长为2+4.
7.答案 y2=8x
解析 如图,因为∠BOC=∠BCF,∠OBC=∠CBF=90°,所以△OBC∽△CBF,则=,
因为|OB|=,|BF|=p,
所以=,
解得|BC|=p(负值舍去),
所以tan∠AOF=tan∠COB==,即直线OA的斜率为,故直线OA的方程为y=x,与抛物线方程联立,得解得或故A(p,p),
所以|AF|=xA+==6,故p=4,则抛物线的标准方程为y2=8x.
8.D 当点A位于第一象限时,过点A,B分别向准线作垂线,垂足为M,N,作BC⊥AM,垂足为C,图略,则BN∥AM∥x轴,设|BF|=t(t>0),则|AF|=3t,|AB|=4t,由抛物线的定义得|BN|=|BF|=t,|AM|=|AF|=3t,则有|AC|=2t,易知∠BAC等于直线AB的倾斜角,其正切值即为k,又|AC|=|AB|,∴∠ABC=30°,∴∠BAC=60°,于是直线l的倾斜角为60°,故其斜率k=.当点A位于第四象限时,根据抛物线的对称性可得斜率k=-.故选D.
9.D 因为直线l过点F,P(1,0),所以其斜率kPF==-,所以直线l的方程为y=-(x-1),
由消去y,整理可得x2+p2x-p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-p2,x1x2=-p2,则y1+y2=-(x1+x2-2)=-(-p2-2)=+p,由抛物线的定义可得|AB|=y1+y2+p=+p+p=8,即p3+4p-16=0,即(p-2)(p2+2p+8)=0(小技巧:对p3+4p-16降次分解的方法为p3-23+4(p-2)=(p-2)(p2+2p+4)+4(p-2)=(p-2)(p2+2p+8)),解得p=2,
所以抛物线C的准线方程为y=-=-1.故选D.
(速解:解决选择题,可直接将各选项中的p值代入方程进行检验)
知识积累 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则①y1y2=-p2,x1x2=;②|AB|=x1+x2+p;③+=.
10.BCD 过点A,B作抛物线C的准线(记为m)的垂线,垂足分别为点E,M,如图.
设抛物线C的准线m交x轴于点P,则|PF|=p,
∵直线l的斜率为,∴其倾斜角为60°,∵AE∥x轴,∴∠EAF=60°,连接EF,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,∴∠EFP=∠AEF=∠AFE=60°,则∠PEF=30°,∵∠EAF=60°,∴∠EDA=30°,设|BD|=x,可得|BM|=,∴|BF|=|BM|=,易得Rt△DBM∽Rt△DAE,则=,∴|AE|=4+,∴|AF|=|AE|=4+,则|AB|=|AF|+|BF|=4++=4+x=8,解得x=4,∴|BF|=2,|AF|=6,∴B正确.
易得P为ED的中点,由|AF|=|EF|=2|PF|=2p=6,得p=3,∴A错误.
|BD|=x=4,|BF|==2,故|BD|=2|BF|,∴C正确.
|DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,∴D正确.
故选BCD.
11.答案
解析 设Q(x0,y0),则=x0.
因为|PQ|≥|PO|恒成立,所以=≥a2,即-2ax0+x0=x0(x0-2a+1)≥0,
因为x0≥0,所以有x0-2a+1≥0,
故a≤恒成立,故a≤=,
又a>0,所以a的取值范围是.
能力提升练
1.B 2.B 5.D 6.BC 7.BCD
1.B 易知抛物线C:y2=2x的焦点为F,准线方程为x=-,直线AB的方程为y=,联立消去y并整理,得12x2-20x+3=0,
不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>y2,则由根与系数的关系得x1+x2=,
则线段AB的中点Q的横坐标xQ==,
在抛物线C上任取一点P,过P作准线x=-的垂线,垂足为D,连接PF,PQ,DQ,过Q作准线x=-的垂线,垂足为D',交抛物线于P',连接P'F,
则|PF|+|PQ|=|PD|+|PQ|≥|DQ|≥|QD'|=+=,当且仅当点P'与点P重合时,等号成立,
所以|PF|+|PQ|的最小值为.故选B.
2.B 由抛物线的光学性质可知,直线AB过抛物线的焦点F(1,0),
设直线AB的方程为x=ty+1,将直线AB的方程代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,所以y1+y2=4t,y1y2=-4,
故直线l1与l2间的距离d=|y1-y2|==≥4,当且仅当t=0时,d取得最小值4.故选B.
3.答案 ;
解析 设F是抛物线y2=x的焦点,l为其准线,A,B两点到准线的垂线分别是AC,BD,C,D为垂足,点M到准线的垂线为MN,N为垂足,如图,则|MN|=(|AC|+|BD|),
根据抛物线的定义得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,
∴|MN|=(|AF|+|BF|)≥=,
设M点的横坐标为x,则|MN|=x+,
∴x=|MN|-≥-=,当且仅当弦AB过点F时取等号,
由于|AB|>2p=1,
∴弦AB可能过焦点,即上述取等号的条件可以满足,此时M点到y轴的距离最短,是,即AB的中点M的横坐标为.
当F在弦AB上时,设A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1y2=-p2=-,从而(y1+y2)2=++2y1y2=x1+x2+2y1y2=2×-=2,∴y1+y2=±,
∴此时M点的坐标为.
4.答案 4
解析 由题意可知,直线l的斜率不为0,故可设直线l:x=my+1,另设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
将x=my+1与y2=4x联立,消去x可得y2-4my-4=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,
所以|AB|=x1+x2+p=4m2+2+2=4(1+m2),yM==2m,xM==1+2m2,故M(1+2m2,2m),
易得准线方程为x=-1,F(1,0),N(-1,2m),
所以|NF|2=(1+1)2+(-2m)2=4(1+m2)=|AB|>4,
所以+=+≥2=4,当且仅当=,即|AB|=8时取等号.
5.D 因为椭圆的方程为+=1,所以c2=25-16=9,即c=3,所以右焦点为(3,0),
因为抛物线的方程为y2=2px,所以抛物线的焦点为,所以=3,即p=6,所以抛物线的方程为y2=12x,所以直线l的方程为y=k(x-3),抛物线的准线方程为x=-3,易知椭圆的左焦点在准线上,记左焦点为F1,则|F1F|=6.
不妨设A位于第一象限,过点A,B分别作准线x=-3的垂线,垂足为N,M,取AF的中点E,过E作准线的垂线,垂足为H,如图,
由|AF|=2|BF|,得|AB|=3|BF|,又E为AF的中点,所以|AB|=|BE|,所以|FE|=|BF|,即F为BE的中点,设|BF|=m,则|AF|=2m,|BM|=|BF|=m,|AN|=|AF|=2m,所以|EH|=3+m,
所以|F1F|==6,所以m=,所以B点的横坐标为,代入抛物线的方程可知B点的纵坐标为-3,所以B,把B点的坐标代入直线l的方程,得-3=k,即k=2,故选D.
6.BC 抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线方程为y=-,由点E(t,2)到焦点F的距离等于3,可得2+=3,解得p=2,则抛物线C的方程为x2=4y,所以A不正确.
抛物线的准线方程为y=-1,所以B正确.
由题知直线l的斜率存在,F(0,1),
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1,
由消去y得x2-4kx-4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,
所以AB的中点Q的坐标为(2k,2k2+1),
又|AB|=y1+y2+p=4k2+2+2=4k2+4,
所以圆Q的半径r=2k2+2,
在等腰三角形QMN中,sin∠QMN===1-≥1-=,当且仅当k=0时取等号,所以sin∠QMN的最小值为,所以C正确.
|AB|=4k2+4≥4,所以D不正确.故选BC.
7.BCD 由抛物线的方程可得焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),y1<0.
A中,由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=8,所以x1+x2=6,
所以AB的中点到y轴的距离d=(x1+x2)=3,故A不正确;
B中,由题可设直线AB的方程为x=my+1,弦AB的中点为(x0,y0),
由消去x得y2-4my-4=0,
则Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y0=2m,x0=my0+1=2m2+1,故=2x0-2,即弦AB的中点的轨迹方程为y2=2x-2,易知此轨迹为抛物线,故B正确;
C中,设直线AB交准线于Q,分别过A,B作准线的垂线,垂足为A1,B1,如图,
设|FA|=|AA1|=t,|AQ|=s,则|FB|=|BB1|=3t,
易知△QAA1∽△QBB1,所以=,
则=,解得s=2t,故∠A1AQ=60°,
故直线AB的斜率k=tan 60°=,故C正确;
D中,由抛物线的定义知|AF|=x1+=x1+1,|BF|=x2+=x2+1,
又x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,
+=+===1,
所以4|AF|+|BF|=(4|AF|+|BF|)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即|BF|=2|AF|时取得等号,故D正确.
故选BCD.
8.答案 y2=4x
解析 抛物线具有光学性质,即从焦点出发的光线经抛物线上一点反射后,反射光线会沿平行(或重合)于抛物线对称轴的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴xA-xB+xB+=6,即5+=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.
9.答案
解析 如图,过A点作AC⊥l,垂足为C,过B作BD⊥l,垂足为D,
设|AF|=m,|BF|=n,则由抛物线的定义知|BD|=|BF|=n,|AC|=|AF|=m,由题意知|MN|=(|BD|+|AC|)=(n+m),因为·=0,所以AF⊥BF,则|AB|2=|AF|2+|BF|2=m2+n2,又m2+n2≥,当且仅当m=n,即|AF|=|BF|时等号成立,所以|AB|2≥2|MN|2,即≤,所以≤.故答案为.
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