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知识 清单破
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
知识点 1 空间向量的坐标与运算
1.空间向量的坐标
如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基
底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果p=xe1
+ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量.
名称 坐标表示
线性运算 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
λa=(λa1,λa2,λa3)
数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
模 |a|= =
夹角 cos
= = (a≠0,b≠0)
2.空间向量坐标的运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R.
平行 a∥b(a≠0) b=λa b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3;当a的每一个坐标分量都不为零时,a∥b = =
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
知识点 2 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy,然后过
O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴,这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.
2.相关概念
在空间直角坐标系Oxyz中,x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴;通过每两个
坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面,它们把空间分成八个
部分,如图所示.
注意:在平面内画空间直角坐标系Oxyz时,一般把x轴、y轴画成水平放置,x轴正方向与y
轴正方向夹角为135°(或45°),z轴与y轴(或x轴)垂直.
3.空间直角坐标系下点的坐标
空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z).
此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐
标),z称为点M的竖坐标(或z坐标).
知识拓展 空间直角坐标系中对称点的问题常常用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相
反”这个结论来解决.
(1)点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c);
(2)点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c);
(3)点(a,b,c)关于y轴的对称点为(-a,b,-c);
(4)点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c);
(5)点(a,b,c)关于xOy平面的对称点为(a,b,-c);
(6)点(a,b,c)关于yOz平面的对称点为(-a,b,c);
(7)点(a,b,c)关于zOx平面的对称点为(a,-b,c).
知识点 3 空间向量坐标的应用
1.两点之间的距离公式
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间直角坐标系中的两点,O是坐标原点,则 = - =(x2-x1,y2-y1,
z2-z1),所以P1P2=| |= .
2.中点坐标公式
已知空间直角坐标系中的两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则线段P1P2的中点的坐标为
.
知识拓展 已知△ABC的三个顶点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC重心的坐标为
.
在这里要强调b的每一个坐标分量都不为0.
提示
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)(b≠0),则a∥b的充要条件是 = = . ( )
2.空间向量 的坐标就是点P的坐标.( )
提示
当O为坐标原点时,向量 的坐标才是点P的坐标.
3.点(2,1,3)关于xOy平面的对称点为(-2,-1,3). ( )
提示
根据“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”知,对称点为(2,1,-3).
4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量 与 的夹角为60°. ( )
提示
由已知得 =(0,3,3), =(-1,1,0),所以cos< , >= = ,故< , >=60°.
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题
1.与向量坐标有关的平行、垂直问题主要有两种类型:一是判定平行或垂直;二是已知平行
或垂直求参数.
2.利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题的一般步骤:
(1)建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标;
(2)求出相关向量的坐标;
(3)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),利用“a∥b(a≠0) b=λa(λ∈R) b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3”“a⊥b
a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0”建立关系;
(4)得出结论.
典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.
(1)求证: ∥ , ⊥ ;
(2)若点M在线段AC1上,且 ⊥ ,求点M的坐标.
解析 以A为坐标原点,{ , , }为单位正交基底建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,
0),B1(1,0,1),C1(1,1,1),E ,G ,H .
(1)证明: =(1,0,1), = , = .因为 =2 , · =1× +0+1× =
0,所以 ∥ , ⊥ .
(2)设M(x,y,z),则 =(x,y,z), =(x-1,y,z).易知 =(1,1,1).
由 ⊥ ,得 · =0,即x-1+y+z=0.①
因为点M在AC1上,所以设 =μ (0≤μ≤1),得x=μ,y=μ,z=μ.②
由①②得μ= ,
所以x= ,y= ,z= .
所以点M的坐标为 .
利用空间向量的坐标运算求夹角或线段长度的步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标;
(2)求出相关向量的坐标;
(3)利用向量数量积的坐标公式求两向量的夹角,利用两点之间的距离公式求线段的长度.
疑难 2 利用空间向量的坐标运算求夹角和长度
讲解分析
典例 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=
CD,H是C1G的中点.
(1)求 与 夹角的余弦值;
(2)求FH的长.
解析 如图所示,以{ , , }为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz,
则E ,F ,C1(0,1,1),G ,H .
(1) = , = ,
∴| |= ,| |= , · = ,
∴cos< , >= = .
(2)FH= = .1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
基础过关练
题组一 空间向量的坐标
1.已知{e1,e2,e3}是单位正交基底,下列说法正确的是( )
A.若p=2e1-e2+3e3,则p=(2,1,3)
B.若q=-e1+2e2,则q=(-1,2)
C.若r=e1+3e2-e3,则r=(1,3,-1)
D.若s=-3e2,则s=(0,0,-3)
2.已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,{a+b,a-b,c}是空间向量的另外一组基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为( )
A.
C.
题组二 空间向量坐标的运算
3.已知向量a=(1,-2,1),b=(1,0,2),则a-b=( )
A.(2,-2,3) B.(-2,2,-3)
C.(0,2,1) D.(0,-2,-1)
4.若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是( )
A.x>4 B.x<-4 C.05.已知点A(2,2,7),B(-2,4,3),若,则点C的坐标为( )
A.(2,-1,2) B.(-2,1,-2)
C.(0,3,2) D.(0,3,5)
6.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,
-2),c=(4,5,λ),若a,b,c共面,则实数λ的值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
题组三 利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题
7.若在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为( )
A.
8.已知向量a=(1,-1,3),b=(2,2,3),
c=(m,2,n),且(a+b)∥c,则m+n= .
9.已知空间中三点A(2,1,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=,b=.
(1)若|c|=3,且c∥,求向量c的坐标;
(2)已知向量ka+b与b互相垂直,求实数k的值.
题组四 利用空间向量的坐标运算解决夹角、模(长度)问题
10.已知a=(1-t,2t-1,0),b=(3,2t-2,2),则|b-a|的最小值为( )
A. C.6 D.5
11.已知空间中三点A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,
-4,6),若向量的夹角为60°,则实数m=( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
12.若空间向量a=(3,0,4),b=(-3,2,
5),则向量b在向量a上的投影数量为 .
13.已知点A(0,1,2),
B(1,-1,3),C(1,5,-1).
(1)若D为线段BC的中点,求||;
(2)若=(2,a,1),且=1,求实数a的值及向量夹角的余弦值.
题组五 空间直角坐标系及其应用
14.(多选题)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以空间中某个点作为坐标原点建立空间直角坐标系,则
B,D1的坐标可能为( )
A.(0,0,4),(4,4,2)
B.(0,4,0),(-4,0,4)
C.(2,2,0),(-2,-2,2)
D.(2,2,-2),(-2,-2,2)
15.(多选题)在空间直角坐标系中,O为坐标原点,点P的坐标为(2,-2,1),则( )
A.点P到点O的距离是3
B.点P关于x轴对称的点的坐标是(-2,-2,1)
C.点P关于点(1,1,1)对称的点的坐标是(2,1,3)
D.点P关于xOy平面对称的点的坐标是(2,-2,-1)
16.已知点B是点A(1,2,3)在坐标平面xOy内的射影,则||= .
17.在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则线段MN的中点的坐标为 .
18.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求正三棱柱的侧棱长;
(2)求夹角的余弦值.
能力提升练
题组一 空间向量坐标的应用
1.(多选题)已知空间中三个向量a=(1,2,0),b=(-1,2,1),c=(-1,-2,1),则下列说法正确的是( )
A.a与c是共线向量
B.与a同向的单位向量是
C.c在a上的投影是(-1,-2,0)
D.a与b的夹角为90°
2.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,
-2,z),若a∥b,b⊥c,则a+c与b+c夹角的余弦值为( )
A.-
3.在空间直角坐标系中,O(0,0,0),E(2,0),B为EF的中点,C为空间中一点且满足||=3,若cos<,则=( )
A.9 B.7 C.5 D.3
4.已知O为坐标原点,向量=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为( )
A.
C.
5已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+b所成的角为锐角,则实数k的取值范围为 .
6.已知空间向量
=(1,1,2),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 .
7.已知空间直角坐标系中四个点A(1,1,1),B(1,2,3),C(4,5,6),D(7,8,x).
(1)求||;
(2)若,求x的值;
(3)若点D在平面ABC内,直接写出x的值.
题组二 空间直角坐标系的应用
8.三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,(λ∈R),,若,则λ=
( )
A.
9.如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则夹角的余弦值为( )
A.-
10.如图所示的几何体由半圆柱体与直三棱柱构成,半圆柱体底面直径BC=4,AB=AC,∠BAC=90°,D为半圆弧的中点,若cos<,则该几何体的体积为( )
A.16+8π B.32+16π
C.32+8π D.16+16π
11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC
=,AB=AC=AA1=1,G,E分别为A1B1,CC1的中点,D,F分别为线段AC,AB上的动点(不包括端点),若,则的模的取值范围为( )
A.
C.
12.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则下列结论正确的是( )
A.
B.点P必在线段B1C上
C.AP⊥BC1
D.AP∥平面A1C1D
13.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB=1,AA1=,E为线段AB上的一个动点,则|D1E|+|CE|的最小值为( )
A.2
14.如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.
(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|;
(2)当点P是AB的中点,点Q在DC上运动时,探究|PQ|的最小值.
答案与分层梯度式解析
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
基础过关练
1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.B 7.D 10.B
11.B 14.BD 15.AD
1.C 由空间向量的坐标的概念可知p=(2,-1,3),q=(-1,2,0),r=(1,
3,-1),s=(0,-3,0).
2.B 依题意可知p=a+2b+3c.
设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
由空间向量基本定理可得故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.
3.D 由题意可得a-b=(1,-2,1)-(1,0,2)=(0,-2,-1).故选D.
4.B 由题意可知,a·b=3x+2(2-x)<0,解得x<-4,易知a,b不共线,故选B.
5.D 由题意得=(-4,2,-4),所以=(-2,1,-2),所以C(0,3,5).故选D.
6.B 若a,b,c共面,则存在实数x,y,使c=xa+yb,即(4,5,λ)=x(2,
-1,3)+y(-1,4,-2),故故选B.
7.D 由题意得=(-3,2,-k).
∵∠C=90°,∴
.故选D.
8.答案 18
解析 由题意得a+b=(3,1,6).
因为(a+b)∥c,所以,解得m=6,n=12,所以m+n=18.
9.解析 (1)由题意得=(2,1,-2).
∵c∥,
∴设c=m=(2m,m,-2m),m∈R,
∴|c|==3|m|=3,∴m=±1,
故c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).
(2)由题意得a==(-1,-2,0),b==(1,-1,-2),∴ka+b=(1-k,-1-2k,-2).
∵向量ka+b与b互相垂直,
∴(ka+b)·b=1-k+1+2k+4=0,解得k=-6.
10.B 由题意得b-a=(t+2,-1,2),所以|b-a|=,当且仅当t=-2时,等号成立,故|b-a|的最小值为.故选B.
11.B ∵A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),
∴=(4-m,-4-m,6-m).
由题意得cos 60°==,
∴m2-4m+4=0,∴m=2.
12.答案
解析 由题意得a·b=-9+0+20=11,|a|=5,所以向量b在向量a上的
投影数量为.
13.解析 (1)由题意得D(1,2,1),∴.
(2)易知=2-2a+1=1,解得a=1,
∴=(2,1,1),
∴cos<,
即向量.
14.BD 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,|BD1|=4.
对于A,|BD1|==6≠4;
对于B,|BD1|=;
对于C,|BD1|==6≠4;
对于D,|BD1|=.
故选BD.
15.AD 对于A,|OP|==3,故A正确;
对于B,点P关于x轴对称的点的坐标是(-2,2,-1),故B错误;
对于C,设点P关于点(1,1,1)对称的点的坐标是(x,y,z),则即对称点的坐标为(0,4,1),故C错误;
对于D,点P关于xOy平面对称的点的坐标是(2,-2,-1),故D正确.
故选AD.
16.答案
解析 易得B(1,2,0),所以=(1,2,0),所以|.
17.答案
解析 由题意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),所以M(0,1,1),N(1,1,0),所以线段MN的中点的坐标为.
18.解析 (1)设正三棱柱的侧棱长为h.
由题意得A(0,-1,0),B(,0,h),C1(0,1,h),则,1,h).因为AB1⊥BC1,所以=
-3+1+h2=0,解得h=(负值舍去).故正三棱柱的侧棱长为.
(2)由(1)可知,1,0),
所以|=2,
所以cos<.
能力提升练
1.BC 2.A 3.D 4.C 8.C 9.B 10.A 11.A
12.BD 13.B
1.BC 对于A,因为,所以a,c不共线,A错误;
对于B,与a同向的单位向量是,B正确;
对于C,c在a上的投影是|c|cos··a=-(1,2,0)=(-1,
-2,0),C正确;
对于D,因为a·b=3≠0,所以a,b不垂直,D错误.
故选BC.
2.A 因为a∥b,所以,解得x=2,y=-4,所以a=(2,4,1),
b=(-2,-4,-1).
因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2),
所以a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),
所以(a+c)·(b+c)=5-12+3=-4,|a+c|=,|b+c|=
.
所以cos=.故选A.
3.D 易得B(,0),设C(x,y,z),则,0).
由cos<=,
整理可得x-y=-①.
由||=3,得,化简得x+y=②.
联立①②,解得x=,则·(0,2,0)=3.故选D.
4.C ∵点Q在直线OP上运动,∴存在唯一的实数λ,使得=(λ,λ,2λ),
∴=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)·(2-2λ)=6λ2-
16λ+10=6,
当且仅当λ=时,上式取得最小值,
此时点Q的坐标为.故选C.
5.答案
解析 易得a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).
由题意得(a+kb)·(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共线,
∴1-k+2+4k>0,且不成立,解得k>-1且k≠,∴实数k的取值范围为.
6.答案
解析 因为=(1,1,2),
所以cos∠BAC=,
所以sin∠BAC=,
故以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为||·||sin∠BAC=
.
7.解析 (1)易得=(3,4,5),所以|.
(2)由题意得=(3,3,x-6).
因为,所以=3+2x-12=2x-9=0,解得x=.
(3)由(1)(2)知=(3,4,5).
因为点D在平面ABC内,所以可设,
即(6,7,x-1)=(0,a,2a)+(3b,4b,5b)=(3b,a+4b,2a+5b),所以
8.C 如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,
则A1(0,0,1),B1(1,0,1),∴=(λ,0,0),则P(λ,0,1),又N,所以,所以=0,解得λ=.故选C.
9.B 取AC的中点O,连接OP,OB.
∵PA=PC,∴AC⊥OP.
∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,OP 平面PAC,∴OP⊥平面ABC.
∵AB=BC,∴AC⊥OB.
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,△ABC为等边三角形,
∴A(2,0),
∴),
∴cos<.
故选B.
10.A 如图,设D在底面半圆上的射影为D1,连接AD1,交BC于点O,连接A1D,交B1C1于点O1.
依题意知AD1⊥BC,A1D⊥B1C1,O,O1分别是下底面、上底面半圆的圆心,则OA⊥OB,连接OO1,则OO1与上、下底面垂直,所以OO1⊥OB,OO1⊥OA.
以OB,OA,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设几何体的高为h(h>0),则B(2,0,0),D(0,-2,h),A(0,2,0),B1(2,0,h),所以=(2,-2,h).
所以cos<,即,所以h=4(负值舍去).所以几何体的体积为×4×2×4=16+8π.故选A.
11.A 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则G.设D(0,y,0),F(x,0,0),其中x,y∈(0,1),则.
∵=0,即-=0,即x+2y=1,又∵0∴0<1-2y<1,∴0|,∴当
y=时,|;当y=0时,||=1;当y=时,
|,故.
12.BD ∵点P在侧面BCC1B1上运动,平面BCC1B1∥平面AA1D1D,∴点P到平面AA1D1D的距离即为点C到平面AA1D1D的距离,即为正方体的棱长,∴·CD=,故A中结论错误.
以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴=(-1,0,-1).设P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),则=(x-1,1,z).
∵AP⊥BD1,∴=1-x-1+z=0,∴x=z,
∴P(x,1,x),∴,即B1,P,C共线,∴点P必在线段B1C上,故B中结论正确.
易知C1(0,1,1),∴=(-1,0,1),又=1-x+x=1,∴AP与BC1不垂直,故C中结论错误.
易知A1(1,0,1),D(0,0,0),∴=(1,0,1),又 (其中0≤x≤1),∴共面,又AP 平面A1C1D,∴AP∥平面A1C1D,故D中结论正确.
故选BD.
13.B 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则D1(0,1,),C(1,1,0).
∵E为线段AB上的一个动点,
∴设E(t,0,0)(0≤t≤1),
则|D1E|=,
故问题转化为求y=(0≤t≤1)的最小值,即转化为求平面直角坐标系tOy中的一个动点P(t,0)到两定点M(0,-2),
N(1,1)的距离之和的最小值问题,如图所示:
由此可知,当M,P,N三点共线时,
,故.故选B.
14.解析 (1)由PB=2AP得P,
所以M,
所以|PM|=.
(2)由题意得P.设点Q(a,1,a),a∈[0,1],则|PQ|=,所以当a=时,|PQ|取得最小值,此时点Q的坐标为.
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