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1.2 空间向量在立体几何中的应用
知识 清单破
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 1.2.2 空间中的平面与空间向量
知识点 1 空间中点、直线的向量表示及平面的法向量
1.点的位置向量
一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量 唯一确定,
此时, 通常称为点P的位置向量.
2.直线的方向向量
一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在
的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l.
3.平面的法向量
(1)平面的法向量的概念:如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的
有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记
作n⊥α.
(2)求平面的法向量的步骤:
①设平面的一个法向量为n=(x,y,z);
②在平面内找两个不共线向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3);(可以利用平面上点的坐标来求向量的
坐标)
③建立方程组
④解方程组:用一个未知量表示其他两个未知量,然后对用来表示两个未知量的未知量赋予
特殊值(不能取0,赋值时一般尽量保证x,y,z∈Z,这样求得的法向量在后续解题运算中更为简
便),从而得到平面的一个法向量.
知识点 2 空间中线面的位置关系
位置关系 向量表示
线线平行 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则u1∥u2 l1∥l2或l1与l2重合
线面平行 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,则l∥α或l α u⊥n
面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β或α与β重合 n1∥n2
线线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2 u1⊥u2
线面垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α u∥n
面面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β n1⊥n2
设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=
或θ=π-.
特别地,sin θ=sin,cos θ=|cos|.
注意:异面直线所成角的范围为 .
知识点 3 空间中两条直线所成的角
知识点 4 三垂线定理及其逆定理
1.三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂
直.三垂线定理可表述为:设l为平面α的一条斜线,l'是l在平面α内的射影,直线a α,若a⊥l',则a
⊥l.
2.三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂
直.三垂线定理的逆定理可表述为:设l为平面α的一条斜线,l'是l在平面α内的射影,直线a α,
若a⊥l,则a⊥l'.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.直线的方向向量是唯一的. ( )
2.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. ( )
√
3.若直线l⊥平面α,则l的方向向量一定是平面α的法向量. ( )
√
4.若点A,B在平面α上,且 ∥ ,则直线CD与平面α平行. ( )
提示
题目未说明直线CD在平面α外,所以有两种可能,直线CD在平面α内或与平面α平行.
5.一条直线若垂直于斜线,则它必垂直于斜线在平面内的射影. ( )
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 利用空间向量解决平行问题
1.利用空间向量证明线线平行
(1)基底法:用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过线性运算,证明方向向量共线
即可.
(2)坐标法:建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量的坐标之间的线性关系进行证明.
2.利用空间向量证明线面平行
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)根据线面平行的判定定理,要证明一条直线和一个平面平行,只需在平面内找一个向量与
已知直线的方向向量是共线向量即可,需要特别说明的是已知直线不在平面内.
3.利用空间向量证明面面平行
(1)证明两个平面的法向量平行.
(2)转化为线面平行、线线平行来证明.
典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证:
(1)MN∥平面A1BD;
(2)平面A1BD∥平面CB1D1.
证明 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),M ,N ,
∴ =(1,0,1), =(1,1,0), =(0,-1,1), =(1,1,0), = .
(1)证法一:设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则
令x=1,则y=-1,z=-1,
∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1).
∵ ·n= ×1+0×(-1)+ ×(-1)=0,
∴ ⊥n.
又MN 平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
证法二:∵ = = (1,0,1)= ,
∴ ∥ .
又MN 平面A1BD,DA1 平面A1BD,
∴MN∥平面A1BD.
(2)设平面CB1D1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则
令y1=1,则x1=-1,z1=1,
∴平面CB1D1的一个法向量为m=(-1,1,1).
又平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1),
∴m=-n,∴m∥n,故平面A1BD∥平面CB1D1.
疑难 2 利用空间向量解决垂直问题
1.利用空间向量证明线线垂直只需证明两直线的方向向量垂直即可.
2.利用空间向量证明线面垂直
(1)基底法:先用基底分别表示直线与平面内两条相交直线的方向向量,然后利用直线的方向
向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积分别为0得到线线垂直,从而得到线面垂直.
(2)坐标法:建立空间直角坐标系,证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
3.利用空间向量证明面面垂直
(1)利用两个平面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.
(2)直接求解两个平面的法向量,证明两个平面的法向量垂直,从而得到两个平面垂直.
典例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.
证明 证法一:设 =a, =c, =b,连接BD,则 = + = ( + )= ( + )=
( + - )= (-a+b+c).
∵ = + =a+b,∴ · = (-a+b+c)·(a+b)= (b2-a2+c·a+c·b)= (|b|2-|a|2+0+0)=0,∴
⊥ ,即EF⊥AB1.
同理可证EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C 平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.
证法二:设正方体的棱长为2a,建立空间直角坐标系,如图,
则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a),∴ =(-a,-a,a), =(0,2a,2a), =(-2a,2a,0).
∵ · =-a×0+(-a)×2a+a×2a=0,
· =2a2-2a2+0=0,∴EF⊥AB1,EF⊥AC.
又AB1∩AC=A,AB1,AC 平面B1AC,
∴EF⊥平面B1AC.
典例2 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点,证明:平
面AEC1⊥平面AA1C1C.
证明 由题意得BA,BC,BB1两两互相垂直.以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴,y
轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,
则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E ,∴ =(0,0,1), =(-2,2,0), =(-2,2,1), =
.
设平面AA1C1C的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则 即
令x1=1,得y1=1,∴n=(1,1,0).
设平面AEC1的一个法向量为m=(x2,y2,z2),则 即
令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴m=(1,-1,4).
∵n·m=1×1+1×(-1)+0×4=0,
∴n⊥m,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
利用空间向量求异面直线所成的角(或夹角的余弦值)的方法
(1)坐标法:
①建立适当的空间直角坐标系,并写出相应点的坐标;
②求出两条异面直线的方向向量;
③利用公式cos= 求向量夹角的余弦值;
④将所求向量夹角的余弦值加上绝对值,得异面直线所成角的余弦值,进而求出异面直线所
成角的大小.
(2)基底法:在一些不适合建立坐标系的题目中,我们经常用基底法.在由公式cos=
疑难 3 利用空间向量求异面直线所成的角(或夹角的余弦值)
讲解分析
求向量a,b的夹角时,一般是把a,b用一组基底表示出来,再求有关的量.
典例 直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则异面直
线BM与AN所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
C
解析 以C为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图.
设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,0),N(1,0,2),M(1,1,2),B(0,2,0),∴ =(-1,0,2), =(1,-1,2),
∴cos< , >= = = ,∴异面直线BM与AN所成角的余弦值为 .
疑难 4 利用空间向量解决立体几何中与平行、垂直相关的探索性问题
讲解分析
1.存在、判断型
先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程“是否有解”或“是否有规定范围内的
解”的问题.若有解且满足题意,则存在;若有解但不满足题意或无解,则不存在.
2.位置探究型
借助向量,引入参数,综合题目信息列关系式,解出参数,从而确定位置.
典例 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在BB1,DD1上,且AM⊥A1B,AN⊥A1D.
(1)求证:A1C⊥平面AMN;
(2)当AB=2,AD=2,A1A=3时,问:在线段AA1上是否存在一点P,使得C1P∥平面AMN 若存在,试确
定点P的位置;若不存在,请说明理由.
解析 (1)证明:因为CB⊥平面AA1B1B,AM 平面AA1B1B,所以CB⊥AM.
又因为AM⊥A1B,A1B∩CB=B,
所以AM⊥平面A1BC,所以A1C⊥AM.
同理可证A1C⊥AN.
又AM∩AN=A,所以A1C⊥平面AMN.
(2)存在.
以C为坐标原点,CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,CC1所在直线为z轴,建立空间直角坐标
系Cxyz,如图.
因为AB=2,AD=2,A1A=3,所以C(0,0,0),A1(2,2,3),C1(0,0,3),所以 =(2,2,3).
由(1)知CA1⊥平面AMN,
故平面AMN的一个法向量为 =(2,2,3).
假设线段AA1上存在一点P(2,2,t)(0≤t≤3),使得C1P∥平面AMN,则 =(2,2,t-3).
因为C1P∥平面AMN,所以 ⊥ ,
所以 · =4+4+3t-9=0,解得t= ,所以P ,所以在线段AA1上存在一点P ,使得C1P∥平面AMN.1.2.2 空间中的平面与空间向量
基础过关练
题组一 平面的法向量
1.(多选题)已知平面ABC内的两个向量=(0,2,-2),则平面ABC的一个法向量可以是( )
A.(,1,1)
C.(-3,)
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱DD1的中点,以A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),则平面ABE的一个法向量为( )
A.(1,0,-2) B.(0,1,2)
C.(0,2,-4) D.(-2,1,4)
3.已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立空间直角坐标系,求平面SAB、平面SDC的一个法向量.
题组二 用法向量解决平行问题
4.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的一个法向量为n=(2,-3,1),向量=
(1,1,1),则( )
A.平面α∥平面ABC
B.平面α⊥平面ABC
C.平面α与平面ABC相交但不垂直
D.以上均有可能
5.已知n1=(1,y,-2),n2=(x,-2,1)分别是平面α,β的法向量,若α∥β,则x+y=( )
A.-
C.3 D.
6.已知n为平面α的一个法向量,l为一条直线,则“l⊥n”是“l∥α”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点N在线段AC上,点M在线段A1D上,且A1M=,MN∥平面AA1B1B,则MN的长为( )
A.
C.2 D.
题组三 用法向量解决垂直问题
8.若直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则下列能使l⊥α成立的是( )
A.u=(2,1,1),n=(-1,1,1)
B.u=(1,-2,0),n=(-2,4,0)
C.u=(1,2,4),n=(1,0,1)
D.u=(1,-1,2),n=(0,3,1)
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则下列结论正确的是( )
A.BD1⊥平面B1EF B.BD⊥平面B1EF
C.A1C1∥平面B1EF D.A1D∥平面B1EF
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,求证:
(1)BD1⊥平面AB1C;
(2)平面EAC⊥平面AB1C.
题组四 三垂线定理的应用
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.AC B.BD C.A1D D.A1A
12.如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD.若在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥QD,则a= .
13.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,若O,Q分别是△ABC,△PBC的垂心,求证:OQ⊥平面PBC.
能力提升练
题组一 利用空间向量研究平行、垂直问题
1.(多选题)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BB1的中点,AA1=AB=BC,AA1⊥平面ABC,∠ABC=90°,则下列结论错误的是( )
A.平面ABC1⊥平面ACC1A1
B.平面A1BC⊥平面ABC1
C.A1D∥平面ABC1
D.A1D⊥AC1
2.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是线段AD的中点,动点P在底面正方形ABCD内(不包括边界),若直线B1P∥平面A1BM,则||的取值范围是 .
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2AC=4,
AA1=2,AB⊥AC,AD⊥BC1,垂足为D,E为线段A1B上一点.
(1)若E为线段A1B的中点,证明:DE∥平面ABC;
(2)若平面ADE⊥平面A1BC1,求的值.
题组二 利用空间向量解决立体几何中的探索性问题
4.如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,E,F,G分别是BC,PC,CD的中点.
(1)求证:BG⊥平面PAE;
(2)在线段BG上是否存在点H,使得FH∥平面PAE 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC=AA1=1,AC⊥BC,且D,E,F分别为棱AB,BC,AC的中点.
(1)证明直线A1F与B1E共面,并求其所成角的余弦值;
(2)在棱CC1上是否存在点M,使得DM⊥平面A1B1EF 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
1.2.2 空间中的平面与空间向量
基础过关练
1.BC 2.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.B 9.C
11.B
1.BC 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),
则取y=1,得n=(-,1,1);取y=,得n=(-3,).故选BC.
2.C 易得A(0,0,0),E(0,2,1),B(2,0,0),
所以=(2,0,0).
设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z),
则取y=1,得m=(0,1,-2),
所以平面ABE的一个法向量为m=(0,1,-2),
所以2m=(0,2,-4)也是平面ABE的一个法向量.
故选C.
3.解析 由已知得SA,AB,AD两两垂直,
∴以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
∵SA=AB=BC=1,AD=,
∴S(0,0,1),A(0,0,0),C(1,1,0),D,
∴.
易知平面SAB的一个法向量为.
设平面SDC的一个法向量为m=(x,y,z),
则取z=1,则x=2,y=-1,
∴平面SDC的一个法向量为m=(2,-1,1).
解后反思 求解平面的法向量时,如果题目中已经给出坐标,可以直接利用坐标运算来求解法向量,如果题目中未给出坐标,需先分析条件,利用共点的相互垂直的三条直线建立恰当的空间直角坐标系,再利用坐标运算求解法向量.
4.A 因为n·=0,n·=0,AB∩AC=A,所以n也是平面ABC的一个法向量,又平面α与平面ABC不重合,所以平面α与平面ABC平行.故选A.
5.D ∵α∥β,∴n1∥n2,∴,解得x=-.故选D.
6.B 若l⊥n,则l在平面α内或l∥α.若l∥α,则l⊥n.故“l⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.故选B.
7.A 以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,所以D(0,0,0),A(2,0,0),则平面AA1B1B的一个法向量为=(2,0,0).
因为A1M=,所以M为A1D的中点,所以M(1,0,1).
因为点N在线段AC上,所以设N(m,2-m,0)(0≤m≤2),则=(m-1,2-m,-1).
因为MN∥平面AA1B1B,所以,
则2(m-1)=0,所以m=1,所以=(0,1,-1),
所以MN=|.
8.B 若l⊥α,则u∥n.故选B.
9.C 以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.
设正方体的棱长为2,则B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0),所以
=(2,0,2).
设平面B1EF的一个法向量为m=(x,y,z),
则令z=-1,则y=2,x=2,
所以m=(2,2,-1).
因为与m不平行,所以BD1与平面B1EF不垂直,故A错误;
因为与m不平行,所以BD与平面B1EF不垂直,故B错误;
因为·m=0,且A1C1 平面B1EF,所以A1C1∥平面B1EF,故C正确;
因为·m=2≠0,所以A1D与平面B1EF不平行,故D错误.
10.证明 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则E(0,0,1),A(2,0,0),
C(0,2,0),B1(2,2,2),B(2,2,0),D1(0,0,2).
(1)易得=(-2,-2,2).
设平面AB1C的一个法向量为m=(x,y,z),
则取x=1,则y=1,z=-1,
∴m=(1,1,-1)是平面AB1C的一个法向量.
∵=-2m,∴∥m,∴BD1⊥平面AB1C.
(2)易得=(-2,0,1).
设平面EAC的一个法向量为n=(x',y',z'),
则取x'=1,则y'=1,z'=2,
∴n=(1,1,2)是平面EAC的一个法向量.
由(1)知m=(1,1,-1)是平面AB1C的一个法向量.
∵m·n=1+1-2=0,∴平面EAC⊥平面AB1C.
11.B 直线CE在平面ABCD内的射影为AC,又AC⊥BD,∴BD⊥CE,故选B.
12.答案 2
解析 连接AQ,∵PA⊥平面ABCD,∴AQ是PQ在平面ABCD内的射影.由PQ⊥QD,得AQ⊥QD,则△AQD为直角三角形.
设BQ=x,则CQ=a-x,∴AQ2=1+x2,QD2=1+(a-x)2,
则a2=1+x2+1+(a-x)2,整理得x2-ax+1=0.
由题意知,该方程有两个相等的实数根,
∴Δ=a2-4=0.又∵a>0,∴a=2.
13.证明 如图,连接AO并延长,交BC于点E,连接PE.
∵PA⊥平面ABC,AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心),∴PE⊥BC(三垂线定理),∴点Q在PE上.
∵AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,∴BC⊥平面PAE,
∵OQ 平面PAE,∴BC⊥OQ.①
连接BO并延长,交AC于点F,则BF⊥AC.
连接BQ并延长,交PC于点M,则BM⊥PC.
连接MF.
∵PA⊥平面ABC,BF⊥AC,∴BF⊥PC(三垂线定理).
∵BM⊥PC,BF⊥PC,BM∩BF=B,
∴PC⊥平面BMF,
∵OQ 平面BMF,∴PC⊥OQ.②
由①②知,OQ⊥平面PBC.
能力提升练
1.ABC 易得BB1,BA,BC两两垂直,故以点B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AA1=2,所以AB=BC=2,则A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),
D(0,0,),所以).
设平面ABC1的一个法向量为u=(x1,y1,z1),
则取y1=,则u=(0,,-1).
设平面ACC1A1的一个法向量为m=(x2,y2,z2),
则取x2=1,则m=(1,1,0).
设平面A1BC的一个法向量为n=(x3,y3,z3),
则取x3=,则n=(,0,-1).
对于A,因为u·m=≠0,所以平面ABC1与平面ACC1A1不垂直,A中结论错误;
对于B,因为u·n=1≠0,所以平面A1BC与平面ABC1不垂直,B中结论错误;
对于C,因为·u=≠0,所以A1D与平面ABC1不平行,C中结论错误;
对于D,因为=4-4=0,所以AC1⊥A1D,D中结论正确.故选ABC.
2.答案
解析 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则M.
设P(x,y,0)(0设平面A1BM的一个法向量为n=(x1,y1,z1),
则
令x1=2,则y1=z1=-1,∴n=(2,-1,-1).
若B1P∥平面A1BM,则n⊥,即n·=2(x-1)-(y-1)+1=2x-y=0,∴y=2x.
∴=(x,y-1,-1)=(x,2x-1,-1),
∴|
≤|.
3.解析 (1)证明:连接AC1,易得AC1==4,∴AC1=AB.又AD⊥BC1,∴D为BC1的中点.
又E为A1B的中点,∴DE∥A1C1.
∵AC∥A1C1,∴DE∥AC,
又DE 平面ABC,AC 平面ABC,∴DE∥平面ABC.
(2)以A为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),
则A(0,0,0),C1(2,0,2),所以).
设,0≤λ≤1,则E(0,4λ,2λ),所以λ).
设平面A1BC1的一个法向量为n=(x1,y1,z1),
则取z1=2,得n=(0,,2).
设平面ADE的一个法向量为m=(x2,y2,z2),
则
取z2=-2λ,得m=(4λ,-2λ).
∵平面ADE⊥平面A1BC1,
∴n·m=3-3λ-4λ=0,解得λ=.
∴当平面ADE⊥平面A1BC1时,.
4.解析 因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形,且PA⊥平面ABCD,所以PA,AB,AD两两互相垂直.
以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(2,1,0),F(1,1,1),G(1,2,0).
(1)证明:=(2,1,0).
因为=0,所以BG⊥AP,BG⊥AE,
又AE∩AP=A,AE,AP 平面PAE,所以BG⊥平面PAE.
(2)假设在线段BG上存在点H,使得FH∥平面PAE.连接FB.设(0≤λ≤1),则=(1-λ,2λ-1,-1).
因为FH∥平面PAE,BG⊥平面PAE,
所以=-1×(1-λ)+2×(2λ-1)+0×(-1)=5λ-3=0,所以λ=,所以在线段BG上存在点H,使得FH∥平面PAE,且.
5.解析 (1)∵E,F分别是棱BC,AC的中点,∴EF∥AB.由棱柱的性质易得A1B1∥AB,∴EF∥A1B1,
∴E,F,A1,B1四点共面,即直线A1F与B1E共面.
取A1B1的中点H,连接EH(图略).
易知四边形EFA1H为平行四边形,故A1F∥HE,则∠HEB1(或其补角)为直线A1F与B1E所成的角.
∵AC=BC=1,AC⊥BC,∴AB=A1B1=,
在△HEB1中,HB1=,HE=A1F=B1E=,
∴cos∠HEB1=,
即直线A1F与B1E所成角的余弦值为.
(2)以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(0,1,1),B1(1,0,1),F.
所以.
设M(0,0,m)(0≤m≤1),则.
要使DM⊥平面A1B1EF,则
即
解得m=∈[0,1],即.
故在棱CC1上存在点M,使得DM⊥平面A1B1EF,且.
21.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
基础过关练
题组一 点的位置关系和直线的方向向量
1.在空间直角坐标系Oxyz中,点A(-3,1,5),B(4,3,1),P为线段AB的中点,则点P的位置向量的坐标是( )
A.
C.(-12,3,5) D.
2.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
3.两条不同的直线l1,l2的方向向量分别为m=(1,1,-2),n=(2,-2,1),则这两条直线( )
A.相交或异面 B.相交
C.异面 D.平行
4.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于( )
A.-2 B.2
C.6 D.10
5.已知向量a,b分别是直线l1,l2的方向向量,且a=(2,4,5),b=(3,
x,y),若l1∥l2,则( )
A.x=6,y=15 B.x=3,y=15
C.x=
6.已知直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),且直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b=( )
A.0 B.1 C. D.3
题组二 空间中两条直线所成的角
7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则异面直线ON,AM所成的角是 .
8.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,∠ADC=90°,AD=AB=
3,PD=4,DC=6,则异面直线DB与CP所成角的余弦值为 .
9.在如图所示的几何体中,正方形ABCD与梯形ABEF所在的平面相交,EB∥FA,FA=AB=EB.
(1)证明:DF∥平面BCE;
(2)若BE⊥平面ABCD,求异面直线DE与CF所成角的余弦值.
答案与分层梯度式解析
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
基础过关练
1.B 2.A 3.A 4.D 5.D 6.D
1.B 由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得点P的坐标为,则点P的位置向量.故选B.
2.A 由题意可得直线l的一个方向向量为=(2,4,6),又∵(1,2,3)
=(2,4,6),∴(1,2,3)也是直线l的一个方向向量.
3.A 令m=λn,即(1,1,-2)=λ(2,-2,1),则无解,则直线l1,l2不平行,即相交或异面.故选A.
4.D ∵l1⊥l2,∴a·b=0,即-2×3+2×(-2)+1×m=0,解得m=10.
5.D ∵l1∥l2,向量a,b分别是l1,l2的方向向量,
∴a∥b,∴.故选D.
6.D 由题意得∥m,
所以设=λm,即(-1,2-a,b-3)=(2λ,-λ,3λ),
所以所以a+b=3.故选D.
7.答案
解析 建立如图所示的空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2,
则M(0,0,1),A(2,0,0),O(1,1,0),N(2,1,2),
所以=(1,0,2),
所以cos<=0,
所以,故异面直线ON,AM所成的角为.
8.答案
解析 以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(3,3,0),C(0,6,0),
P(0,0,4),所以=(0,-6,4).
设异面直线DB与CP所成的角为α,
则cos α=.
9.解析 (1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AD∥BC,又BC 平面BCE,AD 平面BCE,
∴AD∥平面BCE.
∵EB∥FA,EB 平面BCE,FA 平面BCE,
∴FA∥平面BCE.
又AD∩FA=A,AD,FA 平面FAD,
∴平面FAD∥平面BCE,
∵DF 平面FAD,
∴DF∥平面BCE.
(2)易知BA,BC,BE两两互相垂直.
以B为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略).
设AB=2,
则D(0,2,2),E(4,0,0),F(2,2,0),C(0,0,2),
∴=(2,2,-2),
∴|cos<,
∴异面直线DE与CF所成角的余弦值为.
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