1.2.5 空间中的距离
基础过关练
题组一 空间中两点之间的距离和点到直线的距离
1.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体OABC-D'A'B'C',则A'C的中点E与AB的中点F之间的距离为( )
A.a
2.已知直线l经过A(1,1,1),B(0,2,0)两点,则点P(0,0,2)到直线l的距离是( )
A.4
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=2,则点C到直线AB1的距离为( )
A.
4.定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C1与AD1之间的距离是( )
A.
题组二 点到平面的距离
5.已知A(1,2,1)是平面α内一点,n=(-1,-1,1)是平面α的法向量,若点P(2,0,3)是平面α外一点,则点P到平面α的距离为( )
A.
6.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AD,AA1,A1B1的中点,则点B到平面EFG的距离为( )
A.a
7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,中心为O,,则四面体O-EBF的体积为( )
A.
8.如图所示,多面体ABCDFC1E是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,四边形AEC1F为平行四边形.
(1)求BF的长;
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
9.如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.
(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN∥平面CDE;
(2)求二面角E-BC-F的正弦值;
(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为45°,求点P到平面CDE的距离.
题组三 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
10.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O为正方形ADD1A1的中心,则直线A1B1到平面OD1B的距离为( )
A.
11.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD之间的距离为 .
12.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,E为线段AB的中点,F为线段A1B1的中点.
(1)求A1B1与平面A1EC所成角的正弦值;
(2)求证:FC1∥平面A1EC,并求直线FC1与平面A1EC之间的距离.
答案与分层梯度式解析
1.2.5 空间中的距离
基础过关练
1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.D 10.A
1.B 由题意得A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A'(a,0,a),则Fa.
2.D 由题意得=(-1,-1,1),所以点P到直线l的距离为.故选D.
3.B 取AC的中点O,连接OB,则OB⊥AC,OB=.
以O为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B1(,0,2),C(0,1,0),所以=(0,-2,0),所以点C到直线AB1的距离为.故选B.
4.B 易知直线A1C1与AD1为异面直线.
以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,则A(2,0,0),D1(0,
0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),所以=(-2,2,0).
设,则M(2-2λ,0,2λ),N(2-2μ,2μ,2),
所以|MN|==2
=2≥2,
当且仅当μ=时,等号成立,
又,当且仅当λ=时,等号成立,
所以|MN|≥,当且仅当λ=2μ=时,等号成立,
故直线AD1与A1C1之间的距离是.故选B.
5.C 由题意得=(1,-2,2),故点P到平面α的距离d=.故选C.
6.B 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(a,a,0),E,所以.
设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=1,z=-1,所以n=(1,1,-1),
故点B到平面EFG的距离d=a.
7.D 如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则O,
所以,
所以|.
易知BE⊥BF,所以S△EBF=.
设平面EBF的一个法向量为n=(x,y,z),
则令z=1,得n=,
所以点O到平面EBF的距离为,
所以四面体O-EBF的体积V=.
8.解析 (1)因为四边形AEC1F为平行四边形,所以.设DF=a.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则B(2,4,0),A(2,0,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),F(0,0,a),所以
=(-2,0,2),所以(-2,0,a)=(-2,0,2),所以a=2,所以F(0,0,2),所以=(-2,-4,2),所以|,即BF的长为2.
(2)易知C(0,4,0),又C1(0,4,3),A(2,0,0),E(2,4,1),所以=(0,4,1).
设平面AEC1F的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=-,z=1,所以n=.
所以点C到平面AEC1F的距离d=.
9.解析 (1)证明:取GD的中点Q,连接NQ,MQ.
因为M为CF的中点,N为EG的中点,Q为GD的中点,所以NQ∥ED,MQ∥DC.
又ED,DC 平面EDC,NQ,MQ 平面EDC,NQ,MQ 平面MNQ,NQ∩MQ=Q,所以平面MQN∥平面CDE.
又MN 平面MQN,所以MN∥平面CDE.
（2）因为DG⊥平面ABCD,DA,DC 平面ABCD,所以DG⊥DC,DG⊥DA,
又AD⊥DC,所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),B(1,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),所以
=(-1,-1,2).
设平面BCE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则取y1=1,得n1=(0,1,1).
设平面BCF的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则取y2=2,得n2=(0,2,1).
所以|cos|=.
所以二面角E-BC-F的正弦值为.
(3)设P(0,0,t),t∈[0,2],则=(-1,-2,t).
易得平面ADGE的一个法向量为(0,1,0),记为n3.
因为直线BP与平面ADGE所成的角为45°,
所以|cos所以).
由(2)得=(2,0,2).
设平面CDE的一个法向量为n4=(x4,y4,z4),
则取x4=1,得n4=(1,0,-1),
则点P到平面CDE的距离d=.
10.A 以D为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.
则B(1,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B1(1,1,1),O,所以=,=(0,0,1).
设平面OD1B的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=0,z=1,所以n=(1,0,1).
因为·n=0,且A1B1 平面OD1B,所以直线A1B1∥平面OD1B.
设直线A1B1到平面OD1B的距离为d,则d=.故选A.
11.答案
解析 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),
∴=(-2,0,4),
∴,∴EF∥MN,BF∥AM,
又EF∩BF=F,MN∩AM=M,EF,BF 平面EFBD,MN,AM 平面AMN,∴平面AMN∥平面EFBD.
设平面AMN的一个法向量是n=(x,y,z),
则令z=1,则x=2,y=-2,
∴n=(2,-2,1).
∵=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD之间的距离d=.
12.解析 (1)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),B1(1,2,1),E(1,1,0),C(0,2,0),F(1,1,1),所以=(-1,1,0).
设平面A1EC的一个法向量为m=(x,y,z),
则令x=1,可得y=1,z=1,
所以m=(1,1,1).
设A1B1与平面A1EC所成的角为θ,
则sin θ=|cos所以A1B1与平面A1EC所成角的正弦值为.
(2)连接EF,因为E为线段AB的中点,F为线段A1B1的中点,所以EF BB1 CC1,则四边形EFC1C是平行四边形,所以FC1∥EC.
因为EC 平面A1EC,FC1 平面A1EC,
所以FC1∥平面A1EC.
由(1)知,平面A1EC的一个法向量为m=(1,1,1),=(0,0,1),所以直线FC1与平面A1EC之间的距离d=.
2(共15张PPT)
知识 清单破
1.2.5 空间中的距离
知识点 空间中的距离
1.两点之间的距离
(1)构造三角形,通过解三角形求解.
(2)利用|a|2=a·a,通过向量运算求|a|.
(3)用坐标法求向量的长度,从而得到两点间的距离,此法适用于求解的图形适宜建立空间直
角坐标系的情况.
2.点到直线的距离
如图①,若A是直线l外一点,B是直线l上一点,a是直线l的方向向量,则点A到直线l的距离
d= .
3.点到平面的距离
如图②,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的
距离d= .
4.其他距离
(1)两平行直线之间的距离:在其中一条直线上取定一点,转化为直线外一点到直线的距离.
(2)平行的线面、面面之间的距离:转化为平面外一点到平面的距离.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.若直线l平行于平面α,则直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的
距离. ( )
2.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,若点P(-2,1,4)到平面α的距离为
,则x=-1.( )
=(x+2,2,-4),由题意得 = ,即 = ,解得x=-1或x=-11.
提示
讲解分析
疑难 情境破
疑难 利用空间向量研究距离问题
1.用向量法求距离问题的两种思路
(1)转化为求向量模的问题,过已知点作直线、平面的垂线段,利用待定系数法求出垂足的坐
标,然后求出向量的模,这是求各种距离的通法.
(2)直接套用相关公式求解.
2.利用空间向量解决与距离有关的探索性问题
解决几何体中与距离有关的探索性问题的方法与解决几何体中与空间角有关的探索性问题
的方法相同,一般通过求距离的基本方法把问题转化为求关于某个参数的方程的解的问题,
根据方程解的存在性来解决.
典例1 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.
(1)求点A1到直线B1E的距离;
(2)求直线FC1到直线AE的距离;
(3)求直线FC1到平面AB1E的距离.
解析 以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,
则A(1,0,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E ,F .
(1)解法一:设点H满足 =λ 且A1H⊥B1E,连接DH,DB1,则 = + = +λ =(1,1,
1)+λ = 1-λ,1-λ,1- λ ,所以H ,所以 = .
因为A1H⊥B1E,所以 · =0,即-λ×(-1)+(1-λ)×(-1)+ × =0,解得λ= ,所以 =
,所以点A1到直线B1E的距离为| |= = .
解法二:易得 =(0,1,0), = ,
所以点A1到直线B1E的距离为 = = .
(2)易得 = , = ,所以 = ,又 与 不共线,所以C1F∥AE,所以直线
FC1到直线AE的距离等于点F到直线AE的距离.
易得 =(1,1,0),所以直线FC1到直线AE的距离为 = = .
(3)因为FC1∥AE,FC1 平面AB1E,AE 平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E,所以直线FC1到平面
AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离.
易得 =(0,1,1), = .
设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z),
则 取x=1,得z=2,y=-2,所以n=(1,-2,2).
又 =(-1,1,1),所以直线FC1到平面AB1E的距离为 = .
典例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E
为PD的中点.
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)求PC与平面ACE所成角的正弦值;
(3)在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为 若存在,确定点F的位置;若不
存在,请说明理由.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴BC⊥AB,CD⊥AD.
∵PB⊥BC,BC⊥AB,PB∩AB=B,
∴BC⊥平面PAB.
∵PA 平面PAB,
∴PA⊥BC.
∵PD⊥CD,CD⊥AD,PD∩AD=D,
∴CD⊥平面PAD.
∵PA 平面PAD,
∴PA⊥CD.
∵BC∩CD=C,
∴PA⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,
∴以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(0,
0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),∴ =(2,2,0), =(0,1,1), =(2,2,-2).
设平面ACE的一个法向量为m=(x,y,z),
则
取y=1,则x=-1,z=-1,
∴m=(-1,1,-1).
cos= = = ,
∴PC与平面ACE所成角的正弦值为 .
(3)假设存在满足题意的点F,且F(2,t,0)(0≤t≤2).
易得 =(2,t,0), =(0,0,2), =(0,1,1).
设平面PAF的一个法向量为n=(a,b,c),
则
取a=t,则b=-2,c=0,
∴n=(t,-2,0).
又 =(0,1,1),∴点E到平面PAF的距离d= = = ,解得t=1(负值舍去),即F(2,1,0),
∴在线段BC上存在点F,使得点E到平面PAF的距离为 ,且F为BC的中点.
