本章复习提升练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第一册

本章复习提升
易混易错练
易错点1　对空间向量的相关概念理解不清致错
1.下列命题中正确的是(　　)
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面
C.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
D.零向量是模为0,方向任意的向量
2.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是(　　)
A.2 B.2
C.2 D.2
3.若(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为　　　　　　　　　　.
4.已知向量a=(2,3,-1),b=(-4,
t,2),若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为　　　　.
易错点2　混淆空间角与向量的夹角致错
5.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=
60°,FC⊥平面ABCD,CB=CD=CF,则二面角F-BD-C的余弦值为 .
6.如图1,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=2,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,如图2.
(1)求证:A1O⊥BD;
(2)求直线A1C与平面A1BD所成角的正弦值;
(3)在线段A1C上是否存在点F,使得直线DF和BC所成角的余弦值为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
易错点3　不能正确建立空间直角坐标系致错
7.如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:BD∥平面 FGH;
(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求二面角H-GF-C的大小.
思想方法练
一、函数与方程思想在空间向量与立体几何中的应用
1.如图所示,圆锥的高PO=2,底面圆O的半径为R,延长直径AB到点C,使得BC=R,分别过点A,C作底面圆O的切线,两切线相交于点E,点D是切线CE与圆O的切点.
(1)证明:平面PDE⊥平面POD;
(2)若直线PE与平面PBD所成角的正弦值为,求点A到平面PED的距离.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,AD=CD,∠ABC=120°.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBD;
(2)若M为PB的中点,N为线段PC上一动点,求直线MN与平面PAC所成角的正弦值的取值范围.
二、转化与化归思想在空间向量与立体几何中的应用
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,平面AB1D1与平面BC1D之间的距离为(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.
4.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,E是BC的中点.
(1)求证:AD⊥PE;
(2)若PA⊥PC,求二面角B-PC-D的余弦值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.D　由于零向量与任意向量共线,所以当b为零向量时,a与c的关系不确定,故A错误;当向量a,b,c共面时,它们所在的直线不一定共面,故B错误;在共线向量定理中,当b不是零向量时,才存在唯一的实数λ,使a=λb,否则λ可能不存在,故C错误;D显然正确.
易错警示　本题容易忽略零向量的特殊性和共线向量定理中的限制条件而误认为A,C正确.
2.B　由题意得的夹角均为π-的夹角为π,的夹角为0,故2
=a2,故选B.
易错警示　由于向量具有方向,因此其夹角不同于两直线的夹角.如向量的夹角不是∠BAC,而是π-∠BAC.
3.答案　AB 平面CDE或AB∥平面CDE
解析　由(λ,μ∈R)及共面向量定理可知,向量共面,则直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.
易错警示　由向量共线得到的相关直线的位置关系有平行和重合两种可能;由向量共面得到的线面关系有平行和线在面内两种可能.
4.答案　(-∞,-6)∪
解析　∵a与b的夹角为钝角,∴a·b<0,即-8+3t-2<0,解得t<.
由a∥b,得,解得t=-6.
综上,实数t的取值范围为(-∞,-6)∪.
易错警示　向量a,b的夹角为钝角等价于a·b<0且a与b不共线.注意两个向量同向共线时,数量积大于零,反向共线时,数量积小于零.
5.答案　
解析　因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,
所以∠ADC=∠BCD=120°.
又CB=CD,所以∠CDB=30°,
所以∠ADB=90°,
故AD⊥BD.
连接AC,则AC⊥BC.
因为FC⊥平面ABCD,
所以FC⊥AC,FC⊥BC,
所以CA,CB,CF两两互相垂直.
以C为坐标原点,CA,CB,CF所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设CB=1,则C(0,0,0),B(0,1,0),D,F(0,0,1),所以=(0,0,1).
设平面BDF的一个法向量为m=(x,y,z),
则
取z=1,则x=,y=1,所以m=(,1,1).
易知=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量,
则cos由图可知,二面角F-BD-C为锐二面角,
所以二面角F-BD-C的余弦值为.
易错警示　求二面角的大小时,应用向量法分别求出两个半平面的法向量,它们的夹角的大小与二面角的大小可能相等也可能互补,一般结合图形判断所求二面角是钝二面角还是锐二面角.
6.解析　(1)证明:因为AB=AC,D,E分别为AB,AC的中点,所以AD=AE,即A1D=A1E.又O为DE的中点,所以A1O⊥DE.因为平面A1DE⊥平面BCED,平面A1DE∩平面BCED=DE,所以A1O⊥平面BCED.
又BD 平面BCED,所以A1O⊥BD.
(2)过点O作OH⊥BC交BC于点H,则H为BC的中点.
因为在题图1中,AB=AC=2,BC=4,
所以OH==2,A1O=OH=2,OE=OD=1,HC=HB=2.
易得OA1,DE,OH两两互相垂直,以O为坐标原点,OH,OE,OA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则A1(0,0,2),C(2,2,0),B(2,-2,0),D(0,-1,0),所以
=(2,2,-2).
设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令z=1,则x=-1,y=-2,所以n=(-1,-2,1).
设直线A1C与平面A1BD所成的角为α,
则sin α=|cos所以直线A1C与平面A1BD所成角的正弦值为.
(3)假设在线段A1C上存在一点F满足题意.
设=λ(0≤λ≤1).
由(2)易得=(2,2,-2),则=(2λ,1+2λ,2-2λ).
因为直线DF和BC所成角的余弦值为,
所以|cos<,
即,整理,得λ2+3λ=0,解得λ=0或λ=
-3(舍去),所以当点F与点A1重合时,直线DF和BC所成角的余弦值为,此时=0.
易错警示　(1)当两条异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,这个角就是这两条异面直线所成的角;当两条异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角是这两条异面直线所成的角.(2)求解直线和平面所成的角θ时,要注意直线的方向向量n与平面的法向量a的夹角和所求角θ之间的关系,线面角的正弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
7.解析　(1)证明:在三棱台DEF-ABC中,由AB=2DE得BC=2EF,又H为 BC的中点,所以BH=EF,又BH∥EF,所以四边形BHFE为平行四边形,所以BE∥HF.
在△ABC中,G为 AC的中点,H为 BC的中点,
所以GH∥AB.又GH∩HF=H,AB∩BE=B,
所以平面 FGH∥平面ABED.
因为BD 平面ABED,所以BD∥平面FGH.
(2)连接DG,易知DF=AC=GC,DF∥GC,
所以四边形DGCF 为平行四边形,所以DG∥CF.
又CF⊥平面 ABC,所以DG⊥平面 ABC.
在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,得AB=BC,
连接BG,因为G是AC的中点,所以GB⊥GC.
因此GB,GC,GD两两互相垂直.
以G为坐标原点,BG,GC,GD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设AB=2,则CF=DE=1,BG=CG=,所以G(0,0,0),B(,1),故,0,0).
设平面FGH的一个法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,得y=-1,z=,所以n=(1,-1,).
易知,0,0)是平面GFC的一个法向量,
所以cos<,n>=.
由图知,二面角H-GF-C为锐二面角,
所以二面角H-GF-C的大小为60°.
易错警示　运用“坐标法”解答空间几何问题时,正确建立空间直角坐标系是解题的关键.解题时,要依据空间几何体的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系.
思想方法练
1.解析　(1)证明:连接AD.由题意得PO⊥平面ABD,
∵CE 平面ABD,∴PO⊥CE.
∵CE与圆O相切于点D,∴OD⊥CE.
∵PO∩OD=O,PO,OD 平面POD,
∴CE⊥平面POD.
又CE 平面PDE,∴平面PDE⊥平面POD.
(2)以O为坐标原点,的方向分别为y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
易知CA=3R,OD=R,CD=R,△CAE∽△CDO,
∴R,
∴P(0,0,2),DR,-R,-2).
设平面PBD的一个法向量为m=(x,y,z),
则
令x=,则m=.
根据直线PE与平面PBD所成角的正弦值为构建关于R的方程.
∵直线PE与平面PBD所成角的正弦值为,
∴|cos当R=2时,P(0,0,2),D(=(0,2,2).
设平面PED的一个法向量为n=(a,b,c),
则
令a=,得n=(,1,2),
所以点A到平面PED的距离为.
当R=时,P(0,0,2),D.
设平面PED的一个法向量为l=(a1,b1,c1),
则
令a1=3,得l=(3,,2),
所以点A到平面PED的距离为.
综上,点A到平面PED的距离为.
2.解析　(1)证明:设AC∩BD=O,易得BD⊥AC.
因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
所以BD⊥PA.
又因为PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
因为BD 平面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD.
(2)以O为坐标原点,OC,OD所在直线分别为x轴,y轴,过点O且平行于PA的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(,0,2),B(0,-1,0).
因为M为PB的中点,所以M.
设(0≤λ≤1),则N(2,0,2-2λ),
所以.
由(1)知BD⊥平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为n=(0,1,0).
设直线MN与平面PAC所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,n>|=,
0≤λ≤1,
将直线和平面所成的角的正弦值用含参的式子表示,利用函数的性质求出最值.
故当λ=时,sin θ取得最大值,为;
当λ=1时,sin θ取得最小值,为.
所以≤sin θ≤,即直线MN与平面PAC所成角的正弦值的取值范围为.
思想方法　方程思想在空间向量中的应用主要表现在探索性问题中,通过设置参数,建立方程(组),求方程(组)的解解决问题.函数思想在空间向量中的应用主要表现在“运动问题”和“最值问题”中,构造出的函数一定要注意函数的定义域,应当在定义域的约束下去求最值,利用基本不等式求最值时要注意满足适用的条件.
3.C　由题意可得,原问题等价于求点C1到平面AB1D1的距离h.
将平面与平面之间的距离转化为点到平面的距离.
解法一:由等体积法可得,即,解得h=,即平面AB1D1与平面BC1D之间的距离为.故选C.
解法二:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
易得A(),所以,0,0).
设平面AB1D1的一个法向量为m=(x,y,z),
则
令x=1,得m=(1,-1,1).
所以点C1到平面AB1D1的距离为.故选C.
4.解析　以D为坐标原点,菱形ABCD的边DC的垂线为x轴,DC所在直线为y轴,DP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则D(0,0,0),A(.
设PD=a(a>0),则P(0,0,a).
(1)证明:易得.
因为=0,所以,即AD⊥PE.
(2)易得=(0,2,-a).
因为PA⊥PC,所以=-2+a2=0,解得a=(负值舍去),所以).
设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令z=,则y=1,x=,所以n=.
易得平面PCD的一个法向量为m=(1,0,0),
则cos=.
将求二面角B-PC-D的余弦值转化为求平面PBC与平面PCD的法向量的夹角的余弦值.
由图可知,二面角B-PC-D为锐二面角,所以二面角B-PC-D的余弦值为.
思想方法　转化与化归思想在空间向量中的应用主要表现在将立体几何中的位置关系转化为空间两向量的数量关系(线性表示或数量积表示)或将空间角与空间距离的计算转化为空间两向量的运算.
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