专题强化练1 空间向量的运算练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 专题强化练1 空间向量的运算练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 103.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-15 11:23:33 | ||
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文档简介
专题强化练1 空间向量的运算
1.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)⊥(λa-b),则λ等于( )
A. D.1
2.(多选题)已知向量a=(1,-1,0),
b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则( )
A.向量a,b的夹角为
B.(a+2b)·(b+c)=7
C.(a+5b)⊥c
D.a∥(b-c)
3.(多选题)如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,3,…,16)是上、下底面上除A,B两点以外其余的十六个点,则的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=2AB=2CD=2,E是BC的中点,H是△ABD内的动点(含边界),且EH∥平面ACD,则的取值范围是( )
A.[0,3] B.
5.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1上一点,则的取值范围是 .
6.已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=,若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=,且对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0+y0= ,|b|= .
7.如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.
(1)求证:;
(2)求夹角的余弦值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练1 空间向量的运算
1.A 2.CD 3.AB 4.B
1.A ∵a⊥b,∴a·b=0.
∵(3a+2b)⊥(λa-b),∴(3a+2b)·(λa-b)=0,即3λa2+(2λ-3)a·b
-2b2=0,∴2λ-3=0,解得λ=.
2.CD 由题意得|a|=,|b|=,a·b=-1,
设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,因为θ∈[0,π],所以θ=,故A错误;
易得a+2b=(-1,-1,2),b+c=(1,-3,2),则(a+2b)·(b+c)=-1×1+(-1)×(-3)+2×2=6,故B错误;
易得a+5b=(-4,-1,5),则(a+5b)·c=-4×2+(-1)×(-3)+5×1=0,故(a+5b)⊥c,故C正确;
易得b-c=(-3,3,0),因为b-c=-3a,所以a∥(b-c),故D正确.
故选CD.
3.AB 由题图知,AB与正四棱柱的上底面垂直,所以AB⊥BPi(i=1,2,
…,8),则|·||·cos∠BAPi=||·||=1;同理,AB与正四棱柱的下底面垂直,所以AB⊥APi(i=9,10,…,16),所以=0.故的值为0或1.
4.B 设F,G分别为AB,BD的中点,连接FG,EF,EG,如图.
易得FG∥AD,EF∥AC,EG∥CD,
因为FG 平面EFG,AD 平面EFG,所以AD∥平面EFG.同理,AC∥平面EFG.
又因为AC,AD 平面ACD,AC∩AD=A,
所以平面EFG∥平面ACD.
因为EH∥平面ACD,所以H为线段FG上的点.
因为AB⊥平面BCD,CD 平面BCD,所以AB⊥CD.
因为∠BDC=90°,所以BD⊥CD.
又AB∩BD=B,AB,BD 平面ABD,
所以CD⊥平面ABD,
因为EG∥CD,所以EG⊥平面ABD,所以EG⊥FG.
因为BD=2AB=2CD=2,
所以FG=,
所以·(
=2|·||cos (π-∠EFG)
=2|·||cos∠EFG
=2|·||.
因为||∈,所以.故选B.
5.答案
解析 解法一:以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,DD1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(1,0,0),C1(0,1,1).
设点P的坐标为(x,y,1),0≤x≤1,0≤y≤1,
∴=(-x,1-y,0),
∴,
∴当x=y=时,取得最小值,最小值为-;当x=0或1,且y=0或1时,取得最大值,最大值为0.
故.
解法二:连接D1P,D1A.
设(0≤x≤1,0≤y≤1),
则,
∴]·[(1-y)·,
易知当x=y=时,取得最小值,为- ;当x=0或1,且y=0或1
时,取得最大值,为0.
∴.
6.答案 3;2
解析 根据题意不妨设e1=(1,0,0),e2=.
设b=(m,n,t),则由
故b=(2,,t),
所以|b-(xe1+ye2)|=
=
=,
同理,|b-(x0e1+y0e2)|==1,
所以当时,|b-(xe1+ye2)|有最小值|t|,故|t|=1,解得t=±1,
所以x0+y0=3,|b|=.
7.解析 解法一:由题意得,CA,CB,CC'两两互相垂直.以的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系(图略).设CA=CB=CC'=2,则C(0,0,0),E(0,2,1),
A'(2,0,2),D(1,1,0),A(2,0,0),C'(0,0,2).
(1)证明:易得=(-1,1,-2).
∵.
(2)由(1)得=(0,2,1).又=(-2,0,2),
∴cos<.
∴.
解法二:(1)证明:设=a,=b,=c,
根据题意知,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0.
∵向量a,b,c不共面,
∴a,b,c可构成空间向量的一组基底,
∴=b+,=-c+-,
∴2+2=0,∴.
(2)易知=-a+c,=b+,||a|,||a|,
∴=(-a+c)·2=|a|2,
∴cos<.
∴.
2
1.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)⊥(λa-b),则λ等于( )
A. D.1
2.(多选题)已知向量a=(1,-1,0),
b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则( )
A.向量a,b的夹角为
B.(a+2b)·(b+c)=7
C.(a+5b)⊥c
D.a∥(b-c)
3.(多选题)如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,3,…,16)是上、下底面上除A,B两点以外其余的十六个点,则的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=2AB=2CD=2,E是BC的中点,H是△ABD内的动点(含边界),且EH∥平面ACD,则的取值范围是( )
A.[0,3] B.
5.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1上一点,则的取值范围是 .
6.已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=,若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=,且对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0+y0= ,|b|= .
7.如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.
(1)求证:;
(2)求夹角的余弦值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练1 空间向量的运算
1.A 2.CD 3.AB 4.B
1.A ∵a⊥b,∴a·b=0.
∵(3a+2b)⊥(λa-b),∴(3a+2b)·(λa-b)=0,即3λa2+(2λ-3)a·b
-2b2=0,∴2λ-3=0,解得λ=.
2.CD 由题意得|a|=,|b|=,a·b=-1,
设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,因为θ∈[0,π],所以θ=,故A错误;
易得a+2b=(-1,-1,2),b+c=(1,-3,2),则(a+2b)·(b+c)=-1×1+(-1)×(-3)+2×2=6,故B错误;
易得a+5b=(-4,-1,5),则(a+5b)·c=-4×2+(-1)×(-3)+5×1=0,故(a+5b)⊥c,故C正确;
易得b-c=(-3,3,0),因为b-c=-3a,所以a∥(b-c),故D正确.
故选CD.
3.AB 由题图知,AB与正四棱柱的上底面垂直,所以AB⊥BPi(i=1,2,
…,8),则|·||·cos∠BAPi=||·||=1;同理,AB与正四棱柱的下底面垂直,所以AB⊥APi(i=9,10,…,16),所以=0.故的值为0或1.
4.B 设F,G分别为AB,BD的中点,连接FG,EF,EG,如图.
易得FG∥AD,EF∥AC,EG∥CD,
因为FG 平面EFG,AD 平面EFG,所以AD∥平面EFG.同理,AC∥平面EFG.
又因为AC,AD 平面ACD,AC∩AD=A,
所以平面EFG∥平面ACD.
因为EH∥平面ACD,所以H为线段FG上的点.
因为AB⊥平面BCD,CD 平面BCD,所以AB⊥CD.
因为∠BDC=90°,所以BD⊥CD.
又AB∩BD=B,AB,BD 平面ABD,
所以CD⊥平面ABD,
因为EG∥CD,所以EG⊥平面ABD,所以EG⊥FG.
因为BD=2AB=2CD=2,
所以FG=,
所以·(
=2|·||cos (π-∠EFG)
=2|·||cos∠EFG
=2|·||.
因为||∈,所以.故选B.
5.答案
解析 解法一:以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,DD1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(1,0,0),C1(0,1,1).
设点P的坐标为(x,y,1),0≤x≤1,0≤y≤1,
∴=(-x,1-y,0),
∴,
∴当x=y=时,取得最小值,最小值为-;当x=0或1,且y=0或1时,取得最大值,最大值为0.
故.
解法二:连接D1P,D1A.
设(0≤x≤1,0≤y≤1),
则,
∴]·[(1-y)·,
易知当x=y=时,取得最小值,为- ;当x=0或1,且y=0或1
时,取得最大值,为0.
∴.
6.答案 3;2
解析 根据题意不妨设e1=(1,0,0),e2=.
设b=(m,n,t),则由
故b=(2,,t),
所以|b-(xe1+ye2)|=
=
=,
同理,|b-(x0e1+y0e2)|==1,
所以当时,|b-(xe1+ye2)|有最小值|t|,故|t|=1,解得t=±1,
所以x0+y0=3,|b|=.
7.解析 解法一:由题意得,CA,CB,CC'两两互相垂直.以的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系(图略).设CA=CB=CC'=2,则C(0,0,0),E(0,2,1),
A'(2,0,2),D(1,1,0),A(2,0,0),C'(0,0,2).
(1)证明:易得=(-1,1,-2).
∵.
(2)由(1)得=(0,2,1).又=(-2,0,2),
∴cos<.
∴.
解法二:(1)证明:设=a,=b,=c,
根据题意知,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0.
∵向量a,b,c不共面,
∴a,b,c可构成空间向量的一组基底,
∴=b+,=-c+-,
∴2+2=0,∴.
(2)易知=-a+c,=b+,||a|,||a|,
∴=(-a+c)·2=|a|2,
∴cos<.
∴.
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