专题强化练2 利用空间向量研究空间中的角练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第一册

专题强化练2　利用空间向量研究空间中的角
1.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的动点,且AE=BF,AC与EF交于点G,EF从AB向CD滑动,但与AB和CD均不重合.在EF任一确定位置,将四边形EFCD沿直线EF折起,使平面EFCD⊥平面ABFE,则随着EF的滑动,下列选项中错误的是(　　)
A.∠AGC的大小不会发生变化
B.AC与EF所成的角先变小后变大
C.AC与平面ABFG所成的角变小
D.二面角G-AC-B先变大后变小
2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥AC,AC=BC
=1,AA1=2,点M在线段AC1上,.
(1)若∠B1MC为锐角,求实数λ的取值范围;
(2)若二面角M-B1C-B的余弦值为-,求线段AM的长度.
3.羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图,五面体ABCDEF中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,其中EF∥AD∥BC,AD=4,EF=BC=AB=2,ED=,M为AD的中点,平面BCEF与平面ADEF交于EF.从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,使得羡除ABCDEF能够确定,然后解答下列问题.
条件①:平面CDE⊥平面ABCD;
条件②:平面ADEF⊥平面ABCD;
条件③:EC=2.
(1)求证:BM∥平面CDE;
(2)求二面角B-AE-F的余弦值;
(3)在线段AE上是否存在点Q,使得MQ与平面ABE所成角的正弦值为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　利用空间向量研究空间中的角
1.D　以E为原点,EA,EF,ED所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设AB=1,AE=a(0a,0),F(0,1,0),B(a,1,0).
对于A,=(0,a-1,a-1),
则|cos∠AGC|=,
故∠AGC的大小不会发生变化,所以A正确;
对于B,=(0,1,0),设AC与EF所成的角为θ,则cos θ=,易知当a∈(0,1)时,2a2-2a+2的值随a的变大先变小后变大,所以cos θ先变大后变小,所以AC与EF所成的角先变小后变大,故B正确;
对于C,平面ABFG的一个法向量为m=(0,0,1),
设AC与平面ABFG所成的角为θ,则sin θ=|cos<,m>|= =.
因为当a∈(0,1)时,a+的值随a的变大而变小,所以sin θ随a的增大逐渐变小,所以AC与平面ABFG所成的角变小,故C正确;
对于D,设平面AGC的一个法向量为n=(x1,y1,z1),
则
令x1=1,则n=(1,1,-1),
设平面ACB的一个法向量为p=(x2,y2,z2),
又=(a,0,a-1),
则
令z2=a,则p=(1-a,0,a),
所以|cos|=
=,
设二面角G-AC-B的平面角为α,则α为钝角,
所以cos α=-.
因为当a∈(0,1)时,2a2-2a+1的值随a的变大先变小后变大,所以cos α随a的变大先变大后变小,故二面角G-AC-B先变小后变大,故D错误.
2.解析　以C为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),则C(0,0,0),A(1,0,0),C1(0,0,2),B1(0,1,2).
设M(a,b,c),由(0≤λ≤1),得(a-1,b,c)=λ(-1,0,2),所以M(1-λ,0,2λ),所以=(λ-1,0,
-2λ).
(1)因为∠B1MC为锐角,所以cos<>0,所以(λ-1)2-2λ(2-2λ)>0且0≤λ≤1,所以0≤λ<.
(2)设平面CB1M的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令z=1-λ,得n=(-2λ,2λ-2,1-λ).
易知平面CB1B的一个法向量为m=(1,0,0).
由题意得|cos|=,所以λ=,
所以M,
所以AM=.
3.解析　(1)证明:因为M是AD的中点,AD=4,所以MD=2,所以MD=BC.又MD∥BC,所以四边形BCDM为平行四边形,所以BM∥CD.又BM 平面CDE,CD 平面CDE,所以BM∥平面CDE.
(2)选①:连接AC,作CS⊥AD于点S,则DS=1,AS=3,CS=.
连接ES,同理可得AE=3.
因为AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD.
因为平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,AC 平面ABCD,所以AC⊥平面CDE.
又EC 平面CDE,所以AC⊥EC,
所以EC2=AE2-AC2=6,故EC=,所以ED2=EC2+DC2,所以EC⊥DC.
以C为坐标原点,CD,CA,CE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间
直角坐标系,
则A(0,2,0),所以
,0).
设平面BAE的一个法向量为p=(a,b,c),
则
取c=1,得p=.
设平面AEF的一个法向量为q=(x,y,z),
则
取y=1,得q=().
因为p·q=-=0,
所以二面角B-AE-F的余弦值为0.
选②:取BC的中点N,EF的中点P,连接MP,MN,则MN⊥AD,PM⊥AD.
因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,PM 平面ADEF,所以PM⊥平面ABCD.
以点M为坐标原点,MN,MD,MP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,-2,0),B(,-1,0),E(0,1,3),
所以=(0,3,3).
设平面BAE的一个法向量为n=(d,e, f),
则
令d=,则e=-3, f=3,所以n=(,-3,3).
易知m=(-1,0,0)是平面AEF的一个法向量.
所以cos=.
由图可知,二面角B-AE-F为钝二面角,
所以二面角B-AE-F的余弦值为-.
选③:取MD的中点G,连接CG,EG,则EG⊥AD,CG⊥AD.
因为EC=2,所以EC2=EG2+CG2,所以EG⊥CG.
所以平面ADEF⊥平面ABCD.
以下解法同选择②.
(3)选①:设λ),λ∈[0,1],则λ).
由题意得|cos<,p>|=,解得λ=,均不满足题意,故不存在满足题意的点Q.
选②或③:设=(0,3λ,3λ),λ∈[0,1],则=(0,3λ-2,3λ).
由题意得|cos<,n>|=,解得λ=,均不满足题意,故不存在满足题意的点Q.
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