第二章 平面解析几何
2.1 坐标法
基础过关练
题组一 数轴上的基本公式及应用
1.已知数轴上不同的两点A(a),B(b),则在数轴上满足条件|PA|=
|PB|的点P的坐标为( )
A. D.b-a
2.数轴上一点P(x),它与点A(-8)之间的距离是它与点B(-4)之间的距离的3倍,则x= .
题组二 平面直角坐标系中的基本公式及其应用
3.已知点M(1,-1),N(2,5),则线段MN的中点坐标为( )
A.(3,4) B.
4.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是( )
A.2
C.6+3
5.已知M(-1,4),N(7,0),y轴上一点P满足|PM|=|PN|,则点P的坐标为( )
A.(0,-3) B.(0,-4)
C.(0,-6) D.(0,-7)
6.若点A在x轴上,点B在y轴上,AB
的中点是(2,-1),则|AB|等于( )
A.5 B.4
7.已知点(0,2)是点(-2,b)与点(2,4)的对称中心,则b= .
8.在△ABC中,A(1,-2),B(-3,2),C(-4,12),则其重心坐标为 ,AB边上的中线长为 .
题组三 坐标法及其应用
9.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B经过的路程为( )
A.5
10.已知A(-3,8),B(2,2),点M在x轴上,则|MA|+|MB|的最小值是( )
A.
11.在平面直角坐标系中,有A(-1,0),B(2,1),C(1,5),D(-2,2)四点,P为该平面内的动点,则P与A,B,C,D四点的距离之和的最小值为( )
A.10
C.14
12.事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题解决,如:可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得的最大值为 .
13.在△ABC中,AO是BC边上的中线,求证:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+
|OC|2).
答案与分层梯度式解析
第二章 平面解析几何
2.1 坐标法
基础过关练
1.C 3.B 4.C 5.B 6.C 9.C 10.B 11.D
1.C 设点P的坐标为x.
∵|PA|=|PB|,∴P是线段AB的中点,∴x=.
故选C.
2.答案 -2或-5
解析 由题知|x+8|=3|x+4|,解得x=-2或x=-5.
3.B
4.C 由题意知|AB|=,
|AC|==3,
|BC|==3,
故△ABC的周长为|AB|+|AC|+|BC|=6+3.
5.B 设P(0,b),则,解得b=-4,所以点P的坐标为(0,-4).故选B.
6.C 设A(a,0),B(0,b).由AB的中点是(2,-1)得故A(4,0),B(0,-2),∴|AB|=.故选C.
7.答案 0
解析 由题意得b+4=2×2,解得b=0.
8.答案 (-2,4);3
解析 设△ABC的重心为G,
则xG==4,
∴重心坐标为(-2,4).
易得AB的中点为(-1,0),
∴AB边上的中线长为.
9.C 作点A(-3,5)关于x轴的对称点(-3,-5),记为C,连接BC,则光线从A到B经过的路程为CB的长度,即|CB|=.
10.B 如图,点A关于x轴的对称点为A'(-3,-8),则当点M为A'B与x轴的交点时,|MA|+|MB|取得最小值,即(|MA|+|MB|)min=|A'B|
=.
11.D 易知A(-1,0),B(2,1),C(1,5),D(-2,2)构成一个四边形ABCD.|PA|+|PC|≥|AC|,当且仅当P在对角线AC上时取等号,|PB|+|PD|≥|BD|,当且仅当P在对角线BD上时取等号,
所以|PA|+|PC|+|PB|+|PD|≥|AC|+|BD|=,当且仅当P为两条对角线的交点时取等号,故P与A,B,C,D四点之间的距离之和的最小值为.
12.答案
解析 ,则原问题可转化为求x轴上一点(x,0)(记为P)与点(1,2)(记为M)的距离和它与点(0,1)(记为N)的距离之差的最大值.
易得|PM|-|PN|≤|MN|=,
所以.
13.证明 以BC的中点O为坐标原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图,则O(0,0).设B(-a,0),C(a,0),A(m,n),其中a>0,则|AB|2+|AC|2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+n2+a2),|AO|2+|OC|2=m2+n2+a2,故|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).
2(共5张PPT)
2.1 坐标法
知识 清单破
知识点 1 平面直角坐标系中的基本公式
1.两点之间的距离公式
若A(x1,y1),B(x2,y2)是平面上的两点,则|AB|= .
2.中点坐标公式
若A(x1,y1),B(x2,y2)是平面上的两点,M(x,y)是线段AB的中点,则x= ,y= .
通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算等解决问题,
这种解决问题的方法称为坐标法.
知识点 2 坐标法
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.若P是线段AB的中点,则A,B两点关于点P对称. ( )
2. 可以看成平面上的点(x,y)与原点之间的距离. ( )
3.在利用坐标法解决几何问题时,建立坐标系的方法是不唯一的. ( )
√
√
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 最值问题
1.形如 的式子,其几何意义是点(a,m)与点(b,n)之间的距离,因此遇到这种形
式(或可转化为这种形式)的代数式时,可以将其与两点间的距离公式相联系,通过设出相关点
的坐标,将所给代数式看成平面上两点间的距离,从而将代数问题转化为几何问题进行求解.
2.若A,B两点在直线l的异侧,则连接AB,线段AB与直线l的交点即为直线l上到A,B两点的距离
之和最小的点;若A,B两点在直线l的同侧,则作A点(或B点)关于直线l的对称点A'(或B'),连接A'B
(或AB'),线段A'B(或AB')与直线l的交点即为直线l上到A,B两点的距离之和最小的点.
典例 求函数f(x)= + 的最小值.
解析 f(x)= +
= +
= + .
设P(x,0),A(1,1),B(5,2),
则|AP|= ,
|BP|= ,
因此f(x)表示的是x轴上的点P(x,0)与点A(1,1),B(5,2)的距离之和.
由于A(1,1),B(5,2)在x轴的同侧,因此作点A关于x轴的对称点A'(1,-1),则当P,A',B三点共线时,点
P与点A,B的距离之和最小,最小值为|A'B|= =5,故函数f(x)的最小值为5.
