(共10张PPT)
2.2 直线及其方程
知识 清单破
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
知识点 1 直线的倾斜角
1.倾斜角的概念
一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的
交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角.
如果一条直线与x轴平行或重合,那么规定这条直线的倾斜角为0°.
2.倾斜角的范围
平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角,倾斜角的取值范围是[0,π).
知识点 2 直线的斜率
1.若直线l的倾斜角为θ,则当θ=90°时,直线l的斜率不存在;当θ≠90°时,直线l的斜率k=tan θ.
2.已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,则直线l的斜率不存在;若x1≠x2,则直线l的斜率
k= .
知识点 3 直线的方向向量和法向量
1.直线的方向向量与斜率的关系
(1)当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为(1,k);
(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k= .
2.直线的法向量
(1)一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为l的法向量,记
作v⊥l.
(2)一条直线的方向向量与法向量互相垂直.特别地,当x0与y0不全为0时,因为向量(x0,y0)与(y0,-x0)
是互相垂直的,所以,如果其中一个为直线l的一个方向向量,则另一个一定是直线l的一个法向量.
只有当0°≤α<180°,且α≠90°时,才能由直线的斜率为tan α推出其倾斜角为α,否则不能,例如直线的斜率可以为tan 240°,但其倾斜角为60°.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.直线与x轴的夹角称为直线的倾斜角.( )
2.每一条直线都有唯一的倾斜角与斜率.( )
3.若直线的倾斜角为60°,则它的一个方向向量为(1, ). ( )
√
4.若直线的斜率等于tan α,则α就是直线的倾斜角. ( )
提示
5.直线的倾斜角越大,斜率就越大. ( )
只有当倾斜角α∈ 或α∈ 时,直线的斜率才随倾斜角的增大而增大.
提示
6.若直线的一个法向量是(2,-3),则它的一个方向向量为(3,2). ( )
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 倾斜角与斜率的关系及应用
所有直线都有倾斜角,但并非所有直线都存在斜率.当直线的倾斜角α满足0°≤α<90°时,斜率
非负,倾斜角越大,斜率越大;当直线的倾斜角α满足90°<α<180°时,斜率为负,倾斜角越大,斜率
越大.k=tan α 的图象如图所示:
由斜率k的范围截取函数图象,可得到倾斜角α的范围;反过来,由倾斜角α的范围截取函数
图象,可得到斜率k的范围.
典例 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的倾斜角α的取值范围;
(2)若直线l的斜率存在,求直线l的斜率k的取值范围.
解析 如图,由题意可知kPA= =-1,kPB= =1.
(1)由图可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括PB与PA的倾斜角),
∵PB的倾斜角是 ,PA的倾斜角是 ,
∴直线l的倾斜角α的取值范围是 ≤α≤ .
(2)根据倾斜角与斜率的关系知,直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.
疑难 2 直线斜率的应用
讲解分析
1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即
kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或AB与BC或AC
与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B或C),所以点A,B,C在同一条直线上.
2.形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义(过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜
率),借助图形,将求 的范围(最值)问题转化为求直线斜率的范围(最值)问题,从而简化运
算过程.
典例 已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求 的最大值和最小值.
思路点拨 的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线
的斜率,结合图形求出斜率的最大值和最小值即可.
解析 的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线的斜
率.
作出y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图象,如图.
由图可知,当直线经过点P(-2,-3)和B(-1,5)时,斜率最大;
当直线经过点P(-2,-3)和A(1,1)时,斜率最小.
又kPA= = ,kPB= =8,
所以 的最大值为8,最小值为 .2.2 直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
基础过关练
题组一 直线的倾斜角与斜率
1.下列说法中错误的是( )
A.任何一条直线都有唯一的倾斜角
B.若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等
C.直线的倾斜角的取值范围是[0,π)
D.若k是直线l的斜率,则k∈R
2.直线l:x=0的倾斜角为( )
A.0 B. C.π D.不存在
3.如图,斜率最小的直线是( )
A.l1 B.l2 C.l3 D.l4
4.已知直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍,且l1的斜率为-,则l2的斜率为( )
A.3或-或-3 D.
5.已知直线l的斜率为k,倾斜角为α,若45°<α<135°,则k的取值范围为( )
A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
6.设直线l的斜率为k,且-1≤k<,则直线l的倾斜角α的取值范围为( )
A.
C.
题组二 直线的斜率公式及其应用
7.若倾斜角为120°的直线经过点(2,)和(3,a),则实数a=( )
A.0 B.2
8.已知A(0,3),B(1,2),C(3,m)三点共线,则实数m的值为 .
9.若以A(3,1),B(-2,k),C(8,1)三点为顶点能构成三角形,则实数k的取值范围为 .
题组三 直线的方向向量和法向量
10.(多选题)若直线l的倾斜角为,则下列向量是l的方向向量的是( )
A.(1,-,-1)
C.(-2,2,-2)
11.若直线l的一个法向量是,则其倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
12.若直线l的方向向量是(2,2cos θ),则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A.
C.
能力提升练
题组一 直线的倾斜角与斜率
1.若直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A.0≤α≤<α<π
C.≤α<<α≤
2.过点A(2,1),B(m,3)的直线l的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是( )
A.(0,2] B.(0,4)
C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4)
3.已知两点M(-1,-3),N(2,-3),直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则直线的斜率k的取值范围是 .
题组二 直线斜率的综合应用
4.在平面直角坐标系xOy中,直线l过原点,n=(3,4)是l的一个法向量,则直线l的倾斜角的余弦值为( )
A.-
5.如图,在矩形ABCD中,|BC|=|AB|,
直线AC的斜率为,则直线BC的斜率为( )
A.
6.(多选题)若点P(x,y)在以A(-3,1),
B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC的内部运动(包括边界),则的可能取值为( )
A.
7.台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边,然后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为 .
8.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).
(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量;
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的变化范围.
答案与分层梯度式解析
2.2 直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
基础过关练
1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 6.D 7.A 10.AC
11.C 12.C
1.B A,C,D显然正确;若两条直线的倾斜角均为90°,则它们的斜率不存在,故B错误.
2.B
3.B 由题图可知,,故斜率最小的直线是l2.故选B.
4.B 设l2的倾斜角为α,则l1的倾斜角为2α.
由题意得tan 2α=,即3tan2α-8tan α-3=0,
解得tan α=3或tan α=-.
因为2α∈[0,π),所以α∈,所以tan α=3,即l2的斜率为3.故选B.
5.B 由45°<α<135°可知,k>tan 45°=1或k6.D 由-1≤k<,得-1≤tan α<,
∵α∈[0,π),∴α∈.故选D.
7.A 由题意得tan 120°=,解得a=0.故选A.
8.答案 0
解析 由题意得kAB=kBC,即,解得m=0.
规律方法 用斜率证明三点共线的方法
9.答案 (-∞,1)∪(1,+∞)
解析 因为以A,B,C三点为顶点能构成三角形,所以A,B,C三点不共线,所以kAB≠kAC,即,解得k≠1,故实数k的取值范围为(-∞,
1)∪(1,+∞).
10.AC 由题意得直线l的斜率为tan.
对于A,对应的斜率为-,A符合题意;对于B,对应的斜率为
,B不符合题意;对于C,对应的斜率为,C符合题意;对于D,对应的斜率为,D不符合题意.故选AC.
11.C 由于直线l的一个法向量为,所以直线l的一个方向向量为,所以其斜率k=,所以直线l的倾斜角为120°.
12.C 由题意得,直线l的斜率k==cos θ.因为-1≤cos θ≤1,所以-1≤k≤1.又直线l的倾斜角α∈[0,π),所以0≤α≤≤α<π.故选C.
能力提升练
1.C 2.B 4.A 5.A 6.BC
1.C 由题意可知,直线l的斜率k==1+m2≥1,即tan α≥1,因为0≤α<π,所以≤α<.故选C.
2.B 画出直线倾斜角α与斜率k的关系的图象,如图,
当直线l的斜率存在,即α∈时,k>1或k<-1,且m≠2,又k=,∴<-1或>1,解得0当直线l的斜率不存在,即α=时,m=2.
综上,实数m的取值范围是(0,4).故选B.
方法技巧 已知倾斜角的范围求直线斜率的范围或已知斜率的范围求直线倾斜角的范围时,可结合直线的倾斜角与斜率关系的图象,即k=tan α,α∈的图象进行求解,特别要注意倾斜角为,即斜率不存在的情况,必要时要分类讨论.
3.答案 (-∞,-4]∪[2,+∞)
解析 如图,若直线l与线段MN相交,则k≥kMP或k≤kNP.
易得kMP==-4,所以k≥2或k≤-4.
4.A 因为n=(3,4)是直线l的一个法向量,所以直线l的一个方向向量为(4,-3),所以直线l的斜率k=-.
设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=-,
由且0°≤θ<180°,得cos θ=-.故选A.
5.A 在Rt△ABC中,∠ABC=|AB|,所以tan∠ACB=,即∠ACB=.设直线AC的倾斜角为θ,则tan θ=,直线BC的倾斜角为θ+,故kBC=tan.故选A.
6.BC 的几何意义是过动点P(x,y)与定点(1,2)(记为M)的直线的斜率,如图,由已知得kAM=,
结合图可得,,结合选项知,k的可能取值为,1.
7.答案
数学建模 将台球中的无旋转反弹问题转化为光线的反射问题,运用的知识是①点关于线对称,求A点关于x轴的对称点A'或B点关于x轴的对称点B';②三点共线,即A',P,B三点共线或A,P,B'三点共线.再用所学公式解决问题.
解析 设P(x,0).易知A点关于x轴对称的点A'的坐标为(-2,-3),则kA'P=.∵A',B,P三点共线,∴kA'P=kA'B,即,解得x=,故点P的坐标为.
方法点拨 求解光线的反射问题通常用到对称的知识,若A点经x轴上的P点反射至B点,则A点关于x轴的对称点A'与P,B共线,B点
关于x轴的对称点B'与P,A共线.
8.解析 (1)kAB==-1,
∴直线BC的一个方向向量为(1,-1)(答案不唯一).
(2)如图,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC.易知kAB=,
∴直线AD的斜率的变化范围为.
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