2.2.2 直线的方程
基础过关练
题组一 直线的点斜式方程与斜截式方程
1.已知某直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为2,则此直线的方程为( )
A.y=x+2
C.y=-x-2
2.经过点P(2,-1),倾斜角为45°的直线方程为( )
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y+3=0 D.x-y-3=0
3.(多选题)下列说法正确的有( )
A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则点(k,b)在第二象限内
B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)
C.过点(2,-1),斜率为-的点斜式方程为y+1=-(x-2)
D.斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±3
4.若直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到直线l,则直线l的点斜式方程为 .
5.已知△ABC的三个顶点都在第一象限内,A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求:
(1)直线AB的方程;
(2)直线AC和BC的方程.
题组二 直线的两点式方程与截距式方程
6.已知直线l在x轴上的截距为3,在y轴上的截距为-2,则l的方程为( )
A.=1
C.=1
7.若直线l过点A(2,1),B(-1,-1),则直线l的方程为( )
A.2x-3y-1=0 B.2x-3y+1=0
C.2x+3y+1=0 D.2x+3y-1=0
8.(多选题)下列说法错误的是( )
A.过点A(-2,-3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为x+y+5=0
B.直线=1在y轴上的截距为3
C.若直线l的一个方向向量是e=(-1,),则直线l的斜率为-
D.过点(x1,y1),(x2,y2)的直线的方程可表示为
9.两条直线=1与=1的图形可能是( )
10.已知入射光线经过点(3,1),被x轴反射后经过点(0,2),则反射光线所在直线的方程为 .
11.过点P(1,3)的直线l与x轴,y轴分别交于A,B两点,若P为AB的中点,则直线l的截距式方程是 .
12.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,
-2),则直线l的方程为 .
题组三 直线的一般式方程
13.在平面直角坐标系中,直线x-y+3=0绕它与x轴的交点A按顺时针方向旋转30°所得的直线方程是( )
A.x-
C.x-=0
14.若方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一条直线,则实数m的取值范围为( )
A.m≠0 B.m≠2
C.m≠±2 D.m≠±2且m≠0
15.(1)求经过点(0,2),且倾斜角为的直线的一般式方程;
(2)求经过点(1,2),且一个方向向量为v=(1,)的直线的一般式方程;
(3)在△ABC中,点A(8,4),B(4,-1),C(-6,3),求BC边上中线所在直线的一般式方程.
题组四 直线方程几种形式的相互转化
16.已知直线kx+y-6k+2=0恒过点P,则P的坐标为( )
A.(0,-2) B.(-2,0)
C.(6,-2) D.(-6,2)
17.若ac>0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图形可能为( )
A B C D
18.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=-2m+6,根据下列条件分别确定m的值.
(1)直线l在x轴上的截距为-3;
(2)直线l的倾斜角为45°.
能力提升练
题组 直线方程的应用
1.已知直线l过原点,且平分平行四边形ABCD的面积,若该平行四边形的两个顶点分别为B(1,4),D(5,0),则直线l的方程为( )
A.y=x B.y=2x+3
C.y=-x+5 D.y=x
2.(多选题)已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:2x-y+3=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论正确的是( )
A.直线l与直线l1的斜率互为相反数
B.直线l与直线l1的倾斜角互补
C.直线l在y轴上的截距为-1
D.这样的直线l有两条
3.已知直线=1经过第一、二、三象限且斜率小于1,则下列不等式中正确的是( )
A.|a|<|b| B.
C.(b-a)(b+a)>0 D.
4.已知O为坐标原点,过点P(3,2)的直线l与坐标轴交于A,B两点,三角形AOB的面积为16,则符合条件的直线的条数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.已知直线l1:y=x-k+4,直线l2:2x+k2y-4k2-4=0(k≠0),若直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,则当k>4时,四边形面积的取值范围是 .
6.如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一块矩形草坪,另外△AEF内部为一文物保护区域,不能占用,经过测量,AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应该如何设计才能使草坪的面积最大
7.设m为实数,直线(2m+1)x+(m+1)y-5m-3=0.
(1)求证:无论m为何值,直线必过定点M,并求出定点M的坐标;
(2)过点M引直线l1,使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小,求l1的方程.
答案与分层梯度式解析
2.2.2 直线的方程
基础过关练
1.A 2.D 3.ABC 6.C 7.A 8.ABD 9.B 13.C
14.B 16.C 17.B
1.A 由题意得,直线的斜率k=tan 60°=,又直线在y轴上的截距为2,故直线的方程为y=x+2.故选A.
2.D 因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1,又直线经过点P(2,-1),所以直线方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.故选D.
3.ABC 对于A,由直线y=kx+b过第一、二、四象限,知k<0,b>0,故点(k,b)在第二象限内,故A正确;
对于B,将直线方程y=ax-3a+2整理得y-2=a(x-3),故直线过定点(3,2),故B正确;
显然C正确;
对于D,直线方程为y=-2x+3,故D错误.故选ABC.
4.答案 y-4=-(x-3)
解析 ∵直线y=x+1的斜率为1,∴其倾斜角为45°.∴直线l的倾斜角为135°,∴直线l的斜率为tan 135°=-1.又点P(3,4)在直线l上,∴直线l的点斜式方程为y-4=-(x-3).
5.解析 (1)因为A(1,1),B(5,1),所以直线AB平行于x轴,所以直线AB的方程为y=1.
(2)由题意知,直线AC的倾斜角为∠A=45°,所以kAC=tan 45°=1.又直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=x-1,即y=x.
同理可知,直线BC的倾斜角为180°-∠B=135°,所以kBC=tan 135°=-1.又直线BC过点B(5,1),所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5),即y=-x+6.
6.C
7.A 由题意可得直线l的方程为,即2x-3y-1=0.故选A.
8.ABD 对于A,当直线l过点A(-2,-3)和原点时,直线方程为y=x;当直线l不过原点时,设直线l的方程为=1,将A(-2,-3)代入,得=1,解得a=-5,所以直线l的方程为x+y+5=0,故A中说法错误.对于B,在=1中,令x=0,得y=-3,所以直线在y轴上的截距为-3,故B中说法错误.显然C中说法正确.对于D,只有当x1≠x2,y1≠y2时,才能表示为,故D中说法错误.故选ABD.
9.B 直线=1在x轴,y轴上的截距分别是m,-n,直线=1在x轴,y轴上的截距分别是n,-m,因此四个截距中两正两负,对照选项中图形知B正确.
10.答案 x+y-2=0
解析 易知点(3,1)关于x轴的对称点(3,-1)在反射光线所在直线上,故反射光线所在直线的方程为,化简得x+y-2=0.
11.答案 =1
解析 设点A(m,0),B(0,n),由点P(1,3)是AB的中点可得m=2,n=6,即A,B的坐标分别为(2,0),(0,6),则直线l的截距式方程为=1.
12.答案 =1或+y=1
解析 设直线l在y轴上的截距为a(a≠0,a≠-1),则l在x轴上的
截距为a+1,则l的方程为=1,将A(6,-2)代入,得=1,即a2-3a+2=0,∴a=2或a=1,∴直线l的方程为=1或+y=1.
13.C 易知直线x-y+3=0的斜率为,倾斜角为60°,与x轴的交点为A(-,0).绕A按顺时针方向旋转30°所得的直线的倾斜角为60°-30°=30°,故斜率为tan 30°=,∴旋转后所得的直线的方程为y-0=),即x-=0.故选C.
14.B 当m2-4=0时,m=2或m=-2;
当m2-2m=0时,m=0或m=2.
∵方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一条直线,∴m2-4,m2-2m不能同时为0,∴m≠2.故选B.
15.解析 (1)因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率k=tan,又直线经过点(0,2),所以所求直线方程为y=x+2,即x-y+2=0.
(2)由直线的一个方向向量为v=(1,),得直线的斜率为,又直线经过点(1,2),所以所求直线方程为y-2=(x-1),即=0.
(3)易得BC的中点为(-1,1),又A(8,4),
所以BC边上中线所在直线的方程为,即x-3y+4=0.
16.C 由kx+y-6k+2=0,得k(x-6)+y+2=0.
令所以直线恒过点(6,-2).故选C.
17.B 将直线方程ax+by+c=0化为斜截式方程为y=-.因为ac>0,bc<0,所以ab<0,->0,所以->0,所以直线不经过第四象限.故选B.
18.解析 (1)由题意得解得m=-.
故当m=-时,直线l在x轴上的截距为-3.
(2)由题意得解得m=.
故当m=时,直线l的倾斜角为45°.
能力提升练
1.D 2.ABC 3.D 4.D
1.D 由于直线l平分平行四边形ABCD的面积,所以其必过平行四边形对角线的交点,而B(1,4),D(5,0),所以对角线的交点为(3,2),又直线l过原点,所以其方程为y=x.
2.ABC 由于直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以l与l1的倾斜角互补,斜率互为相反数,故A,B中结论均正确;易知直线l的方程为y-1=-2(x+1),因此其在y轴上的截距为-1,故C中结论正确;易知这样的直线l只有一条,故D中结论错误.
3.D 由题意得a<0,b>0,-<1,所以a<0
|b|,,故A,B错误.
对于C,易得b-a>0,b+a<0,所以(b-a)(b+a)<0,故C错误.
对于D,易得>0,所以,故D正确.
故选D.
4.D 由题意得直线l不过原点,所以设直线l:=1.因为点P(3,2)在直线l上,所以=1,所以.
因为三角形AOB的面积为16,所以|ab|=16,所以,所以
,整理得3b2-32|b-2|=0.
当b≥2时,方程为3b2-32b+64=0,解得b=或b=8,均满足题意,将b=和b=8分别代入=1中,得a的值为12,4.
当b<2时,方程为3b2+32b-64=0,解得b=或b=,均满足题意,将b=和b==1中,得a的值为-8+4
.
综上,满足题意的直线共有4条.故选D.
5.答案
解析 l2的方程可化为y=-+4.
当k>4时,+4>0.
易知l1,l2过定点(2,4),直线l1与x轴交于点,直线l2与y轴交于点,
∴四边形的面积S=-8,
∵k>4,∴0<,∴S∈.
6.解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),所以直线EF的方程为=1.
在线段EF上取一点P(m,n),0≤m≤30,0≤n≤20,作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,则矩形PQCR即为要建的矩形草坪.
设矩形PQCR的面积是S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).又因为=1(0≤m≤30),所以n=20,故S=(100-m)
(0≤m≤30),所以当m=5时,S有最大值,此时=5,即当点P为线段EF上靠近点F的六等分点时,草坪的面积最大.
7.解析 (1)由(2m+1)x+(m+1)y-5m-3=0,得m(2x+y-5)+x+y-3=0.
令所以直线过定点M(2,1).
(2)由题意设l1:=1(a>0,b>0),则=1,所以a+b=(a+b)≥3+2,当且仅当=1,即a=+1时,等号成立,此时l1的方程为=1,即y=-+1.
2(共26张PPT)
知识 清单破
2.2.2 直线的方程
2.2.3 两条直线的位置关系
知识点 1 直线的方程形式与适用条件
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式
方程形式 y-y0=k(x-x0) y=kx+b = (x1≠x2,y1≠y2) + =1 (a≠0,b≠0) Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
已知条件 直线上一定点 (x0,y0),斜率k 斜率k,直线在 y轴上的截距b 直线上两点(x1,y1)(x2,y2) 直线在x轴上的非零截距a, 直线在y轴上的非零截距b 系数A,B,C
适用 范围 不垂直 于x轴 的直线 不垂直 于x轴 的直线 不垂直于 x轴和y 轴的直线 不垂直于 x轴和y 轴,且不 过原点的 直线 平面内
所有直线
知识点 2 两条直线的位置关系
1.两条直线的交点坐标
已知相交直线l1:A1x+B1y+C1=0( + ≠0),l2:A2x+B2y+C2=0( + ≠0),则方程组
的解就是这两条直线的交点坐标.
2.已知直线l1:A1x+B1y+C1=0( + ≠0),l2:A2x+B2y+C2=0( + ≠0),则l1与l2的位置关系和方程
组 的解的情况如下表所示:
方程组的解的情况 一组 无数组 无解
l1和l2的交点个数 1 无数 0
l1和l2的位置关系 相交 重合 平行
3.利用直线方程(斜截式和一般式)判断两直线的位置关系
斜截式: l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2 一般式:
l1:A1x+B1y+C1=0( + ≠0),
l2:A2x+B2y+C2=0( + ≠0)
l1与l2相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0
l1∥l2
或
l1⊥l2 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0
斜截式: l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2 一般式:
l1:A1x+B1y+C1=0( + ≠0),
l2:A2x+B2y+C2=0( + ≠0)
l1与l2重合
或
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.直线的截距是非负实数. ( )
提示
直线的截距可以为负实数.
2.若直线方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0),则直线的斜率为- .( )
3.方程 = 和方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0表示的直线相同.( )
提示
方程 = 表示不垂直于坐标轴的直线,方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0表示经过任意两点的直线,只要直线上的两点不重合,直线都可以用(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0表示.
4.若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交. ( )
提示
两直线的方程组成的方程组有无数组解时,两直线重合.
5.若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行. ( )
6.若两条直线垂直,则它们的斜率之积必为-1. ( )
当两直线垂直时,若两直线l1,l2的斜率均存在,则斜率之积必为-1;若直线l1的斜率为0,则直线
l2的斜率不存在.
提示
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 直线方程的选择和求解
1.已知一点的坐标,求过该点的直线方程,一般选用点斜式方程,再由其他条件确定直线的斜
率.注意斜率不存在的情况.
2.已知直线的斜率,一般选用斜截式方程,再由其他条件确定直线的截距.
3.已知两点坐标,一般选用两点式方程或点斜式方程,若两点是与坐标轴的交点,则选用截距
式方程.
4.过一确定的点且与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)确定已知直线的斜率,再利用平行(垂直)关系得出所求直线的斜率,最后由点斜式求方程.
(2)利用待定系数法,已知直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0),与其平行的直线方程可设为Ax+By+C1=
0(C1≠C),与其垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C1或C2即可.
5.经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线可设为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+
C2)=0(不包括l2,其中 + ≠0, + ≠0),也可先确定直线l1与l2的交点坐标,再利用其他条件
确定直线的斜率,最后由点斜式求方程.
典例 求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(5,-2),且与y轴平行;
(2)过P(-2,3),Q(5,-4)两点;
(3)过点(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数;
(4)过点(2,2)且与3x+4y-20=0平行或垂直.
解析 (1)与y轴平行的直线的斜率不存在.
∵所求直线经过点(5,-2),∴该直线上点的横坐标均为5,故直线方程为x=5.
(2)解法一:过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线方程为 = ,整理可得x+y-1=0.
解法二:易知过P,Q两点的直线的斜率存在,且kPQ= =-1,∴所求直线方程为y-3=-(x+2),即
x+y-1=0.
(3)①当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,设直线方程为 + =1,又直线过点
(3,4),∴ + =1,解得a=-1.∴所求直线方程为 + =1,即x-y+1=0.
②当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0,即直线过原点时,设直线方程为y=kx.又直线
过点(3,4),
∴4=k·3,解得k= ,
∴所求直线方程为y= x,即4x-3y=0.
综上,所求直线方程为x-y+1=0或4x-3y=0.
(4)解法一:直线3x+4y-20=0的斜率为- ,故过(2,2)且与其平行的直线方程为y-2=- (x-2),即3x+
4y-14=0;过(2,2)且与其垂直的直线方程为y-2= (x-2),即4x-3y-2=0.
解法二:设与直线3x+4y-20=0平行、垂直的直线方程分别为3x+4y+a=0(a≠-20),4x-3y+b=0,把
(2,2)代入,解得a=-14,b=-2,∴所求直线方程分别为3x+4y-14=0,4x-3y-2=0.
易错警示 若题目中出现直线在两坐标轴上的截距“相等”“互为相反数”“在一坐标轴
上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,可采用截距式求直线的方程,但一定
要注意考虑截距为0的情况.
疑难 2 直线方程的应用
1.求直线所经过的定点的方法
(1)将直线方程化为点斜式:y-b=k(x-a),则该直线过定点(a,b).
(2)特殊值法:给直线方程中的参数赋两组特殊值,得到直线系中的两条不平行直线,联立两直
线方程,得到两条直线的交点坐标,该交点就是直线所过的定点.
(3)将直线方程整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0( + ≠0, + ≠0)的形式,求出直线A1x
+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点,该交点即为直线所过的定点.
2.当遇到过定点的直线时,可以设出直线的点斜式方程或斜截式方程,再综合其他知识解决问
题,需要注意直线的斜率不存在的特殊情况.
讲解分析
典例1 已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解析 (1)证明:5ax-5y-a+3=0可化为y- =a ,∴直线l的斜率为a,且过定点 .
∵点 在第一象限内,
∴无论a为何值,直线l总经过第一象限.
(2)记 为A,如图所示,kOA= =3,
∴要使l不经过第二象限,只需a≥kOA,∴a≥3.
典例2 已知O为坐标原点,直线l经过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B.
(1)求△AOB面积的最小值以及此时直线l的方程;
(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.
解析 解法一:设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为 + =1.
因为直线l经过点P(3,2),所以 + =1.
(1)由于1= + ≥2 =2 ,所以ab≥24,所以S△AOB= ab≥12,当且仅当 = 且 + =1,即
a=6,b=4时取等号.
故△AOB面积的最小值为12,此时直线l的方程为 + =1,即2x+3y-12=0.
(2)|OA|+|OB|=a+b=(a+b) =5+ + ≥5+2 =5+2 ,当且仅当 = 且 + =1,
即a=3+ ,b=2+ 时取等号,所以直线l的方程为 + =1,即2x+ y-6-2 =0.
解法二:依题意,直线l的斜率存在,设为k,则k<0.易得直线l的方程为y-2=k(x-3),A ,B(0,2-3k）.
(1)S△AOB= (2-3k) = · .由于k<0,所以S△AOB≥ · =
×(12+12)=12,当且仅当-9k=- ,即k=- 时取等号.
故△AOB面积的最小值为12,此时直线l的方程为y-2=- (x-3),即2x+3y-12=0.
(2)易得|OA|=3- ,|OB|=2-3k.因为k<0,所以-k>0,所以|OA|+|OB|=3- +2-3k= +(-3k)+5≥2
+5=2 +5,当且仅当- =-3k,即k=- 时取等号,所以直线l的方程为y-2=- (x-
3),即2x+ y-6-2 =0.
疑难 3 两条直线平行、垂直的判定
讲解分析
1.判定两直线平行的方法
(1)利用斜率判断:
①方程的系数为常数时,判断斜率是否存在,若存在,将方程化为斜截式,设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+
b2,则l1∥l2 k1=k2且b1≠b2;若都不存在,则要判断两直线是否重合.
②方程的系数含参数时,设直线l1:A1x+B1y+C1=0( + ≠0),l2:A2x+B2y+C2=0( + ≠0),
则l1∥l2
这种判定方法避开了对斜率是否存在的讨论,可以避免因考虑不全而造成的失误.
(2)利用直线的方向向量判断:求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,进而判断两
条直线是否平行.
2.判定两直线垂直的方法
(1)利用斜率判断:
①方程的系数为常数时,若一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在,则这两条直线垂
直;若两条直线的斜率都存在,将直线的方程化为斜截式,设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2 k1k2
=-1.
②方程的系数含参数时,设直线l1:A1x+B1y+C1=0( + ≠0),l2:A2x+B2y+C2=0( + ≠0),则l1⊥
l2 A1A2+B1B2=0.这种方法可避免讨论斜率存在与否.
(2)利用直线的方向向量判断:设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2 n⊥m
n·m=0.
典例 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,试判断四边形ABCD的形状.
思路点拨 作出图形,计算斜率,判断对边是否平行、邻边是否垂直,进而得出结论.
解析 A,B,C,D四点在平面直角坐标系中的位置如图所示.
易得kAB= = ,kCD= = ,kAD= =-3,kBC= =- .
因为kAB=kCD,且AB与CD不重合,
所以AB∥CD.
因为kAD≠kBC,
所以AD与BC不平行.
因为kAB·kAD= ×(-3)=-1,所以AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形.
利用平行、垂直关系求参数的值
(1)作出示意图,确定问题中的平行、垂直关系,利用斜率、方向向量等条件列出相关方程,进
行求解.
(2)充分分析图形特征,有多种情况的,要分类依次求解.
(3)解题时要注意斜率不存在的情况是否符合题意.
疑难 4 两条直线平行、垂直的应用
讲解分析
典例 已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四边形ABCD为直角梯形,求m和
n的值.
思路点拨 分析直角顶点的位置,利用两底边所在直线平行、直角腰与底边所在直线垂直列
方程求解.
解析 当AB∥CD,AB⊥AD时,由图a可知,A(2,-1),∴m=2,n=-1.
图a
图b
当AD∥BC,AD⊥AB时,由图b可知,
即
解得
所以m=2,n=-1或m= ,n=- .
易错警示 由几何图形的特征求顶点坐标时,注意判断图形是否唯一,防止遗漏某种情况而
导致错误.2.2.3 两条直线的位置关系
基础过关练
题组一 直线的交点坐标及其应用
1.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为( )
A.12 B.10 C.-8 D.-6
2.直线kx-y+2k+1=0与x+2y-4=0的交点在第四象限,则实数k的取值范围为( )
A.(-6,2) B.
C.
3.直线y=2x+10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则实数a的值为( )
A.
4.直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积为 .
题组二 两条直线的平行、重合
5.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是( )
A.垂直 B.平行
C.重合 D.平行或重合
6.已知过A(m,1),B(-1,m)(m≠-1)两点的直线与过P(1,2),Q(-5,0)两点的直线互相平行,则m=( )
A. D.2
7.已知直线l过点(0,3),且与直线x+y+1=0平行,则l的方程是( )
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
8.设a∈R,则“a=”是“直线l1:x+2ay-1=0和直线l2:(a-1)x+ay+1=0平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为( )
A.(3,4) B.(1,3)
C.(3,1) D.(3,8)
题组三 两条直线的垂直
10.过点(0,1)且与直线2x-y+1=0垂直的直线方程是( )
A.x-2y+1=0 B.x+2y-2=0
C.2x+y-2=0 D.x-2y-1=0
11.已知△ABC的三个顶点是A(-3,0),B(6,
2),C(0,-6),则边AC上的高所在直线的方程为( )
A.x+2y-2=0 B.x-2y-2=0
C.x-2y-4=0 D.2x+y-14=0
12.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,O,A,B,C四点共圆,则y的值是( )
A.19 B. C.5 D.4
13.点A(1,2)关于直线l:x+2y-1=0对称的点的坐标为 .
14.已知l1,l2不重合,直线l1过点
A(-2,m)和点B(m,4),直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-,若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为 .
能力提升练
题组 两直线的位置关系及其应用
1.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相等)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与点(m,n)重合,则m+n=( )
A.1 B.2 023
C.4 043 D.4 046
2.若直线2mx+y-2=0与直线x+(3-m2)y+2=
0互相垂直,且交点位于第三象限,则实数m的值为( )
A.1 B.3 C.-1 D.-3
3.已知△ABC的两个顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为( )
A.(-19,-62) B.(19,-62)
C.(-19,62) D.(19,62)
4.若直线l1:x+(m+1)y-2m-2=0与直线l2:(m+1)x-y-2m-2=0相交于点P,对任意实数m,直线l1,l2分别恒过点A,B,则|PA|+|PB|的最大值为( )
A.4 B.8 C.2
5.(多选题)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0能构成三角形,则实数m的值可能为( )
A.2 B.-
6.已知点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,则当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为 .
7.直线l经过直线l1:2x+3y+2=0与l2:3x-4y-2=0的交点,且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则直线l的方程为 .
8.某县相邻两镇在同一平面直角坐标系中的坐标分别为A(-3,-4),B(6,3),交通枢纽的坐标为C(0,-1),计划经过C修建一条马路l(l看成一条直线,l的斜率为k),若A,B两个镇到马路l的距离相等,则k= .
9.已知点A(-1,0),B(1,0),
C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则实数b的取值范围是 .
10.已知直线l1经过A(-m,1),B(-4,-m+3),直线l2经过C(-1,2),
D(-4,m+2).
(1)若l1∥l2,求实数m的值;
(2)若l1⊥l2,求实数m的值.
11.已知两直线l1:x+y-1=0和l2:2x-y=0,定点A(1,1).
(1)若直线l1恰好为△ABC的角平分线BD所在的直线,直线l2是边AB上的中线CM所在的直线,求△ABC的边BC所在直线的方程;
(2)若直线l过点A,与直线l2在第一象限内交于点P,与x轴正半轴交于点Q,求△POQ(O为坐标原点)的面积最小时,直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
2.2.3 两条直线的位置关系
基础过关练
1.B 2.C 3.C 5.D 6.A 7.C 8.C 9.A
10.B 11.B 12.B
1.B 将(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,将(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10.
2.C 解方程组
由两直线的交点在第四象限可得解得-,故实数k的取值范围为.故选C.
3.C 解方程组
∴直线y=2x+10与y=x+1的交点坐标为(-9,-8).
将其代入y=ax-2中,得-8=a·(-9)-2,∴a=.故选C.
4.答案 9
解析 易知直线l1,l2与y轴的交点坐标分别为(0,12),(0,3).
由
故所求三角形的面积S=×(12-3)×|-2|=9.
5.D 由题意得,直线l1的斜率为tan 135°=-1,直线l2的斜率为=-1,∴直线l1与l2平行或重合.
易错警示 当两直线的斜率都存在时,由两直线平行可以推出两直线
的斜率相等;但由两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合,解题时要注意验证.
6.A 由题意得kAB=kPQ,又kPQ=,所以,解得m=.故选A.
7.C 设直线l的方程为x+y+t=0(t≠1).由点(0,3)在直线x+y+t=0上,得0+3+t=0,解得t=-3,因此直线l的方程为x+y-3=0.故选C.
方法点拨 与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0(A2+B2≠0,m≠C).
8.C 若l1∥l2,则1×a=2a(a-1),所以a=0或a=.
当a=0时,l1:x-1=0,l2:-x+1=0,此时l1,l2重合,与题意不符;
当a=时,l1:x+3y-1=0,l2:y+1=0,l1∥l2,满足题意.
所以“a=”是“l1∥l2”的充要条件.故选C.
9.A 设顶点D的坐标为(m,n),
由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有kAB=kDC,kAD=kBC,
所以所以顶点D的坐标为(3,4).
10.B 与直线2x-y+1=0垂直的直线方程可设为x+2y+C=0,将(0,1)代入可得2+C=0,解得C=-2,
故所求直线的方程为x+2y-2=0.故选B.
方法点拨 与直线Ax+By+C=0垂直的直线可设为Bx-Ay+m=0(A2+B2≠0).
11.B 易得直线AC的斜率为=-2,
∴边AC上的高所在直线的斜率为,
又B(6,2),∴边AC上的高所在直线的方程为y-2=(x-6),即x-2y-2=0.故选B.
12.B 由O,A,B,C四点共圆可得四边形OABC的对角互补.又由题意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即=-1,解得y=.故选B.
13.答案
解析 设对称点的坐标为(a,b),
则
所以对称点的坐标为.
14.答案 -10
解析 由题意得=-2,解得m=-8,-2×=-1,解得n=-2,所以m+n=-10.
能力提升练
1.C 2.C 3.A 4.A 5.AD
1.C 记A(2,0),B(-2,4),则kAB==-1.
由题知过点(2 021,2 022)与点(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,所以m+n=4 043.故选C.
2.C 因为直线2mx+y-2=0与直线x+(3-m2)y+2=0互相垂直,所以2m+3-m2=0,解得m=3或m=-1.
当m=3时,由,不符合题意;
当m=-1时,由,满足题意.故选C.
3.A 设点A的坐标为(x,y).
由已知得AH⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率存在,
所以
解得故顶点A的坐标为(-19,-62).
4.A 由x+(m+1)y-2m-2=0,得x+y-2+m(y-2)=0,令所以A(0,2).
同理,得B(2,0).
因为1×(m+1)+(m+1)×(-1)=0,所以l1⊥l2,即PA⊥PB,故|PA|2+|PB|2=|AB|2=8,所以|PA|+|PB|≤=4,当且仅当|PA|=|PB|=2时,等号成立,所以|PA|+|PB|的最大值为4.故选A.
5.AD 因为三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0能构成三角形,所以直线mx-y-1=0与2x-3y+1=0,4x+3y+5=0都不平行,且直线mx-y-1=0不过2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点.
当直线mx-y-1=0与2x-3y+1=0,4x+3y+5=0都不平行时,m≠且m≠-.由所以直线2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点坐标为,将其代入mx-y-1=0中,得m=-,所以实数m的取值范围为m≠-且m≠±.结合选项可知,实数m的值可能为2和.故选AD.
6.答案 x-y+1=0
解析 当线段AB最短时,AB⊥l,所以kAB=1.所以直线AB的方程为y=x+1,化为一般式为x-y+1=0.
7.答案 17x+17y+12=0或17x-17y-8=0
解析 设直线l的方程为2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0,即(2+3m)x+(3-4m)y+2-2m=0.
∵直线l与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,∴直线l的斜率为±1,
∴2+3m=±(3-4m),解得m=或m=5.
∴直线l的方程为17x+17y+12=0或17x-17y-8=0.
方法点拨 经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线可设为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2,其中≠0,≠0).
8.答案
解析 若A,B两个镇到马路l的距离相等,则有两种情况:当l与直线AB平行时,k=;当l与直线AB相交时,直线l过AB的中点,又AB的中点为,所以k=.故k=或k=.
9.答案
解析 易得S△ABC=×2×1=1.
设直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M,则M.
由直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,得b>0,所以-<0,故点M在射线OA上.
易得BC所在直线的方程为x+y=1.
设直线y=ax+b(a>0)和BC所在直线的交点为N,
由所以N.
①如图1,当点M和点A重合时,要满足直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则点N为线段BC的中点,故N,
将A(-1,0),N代入直线y=ax+b(a>0)中,得a=b=.
②如图2,当点M在点O和点A之间时,b>.
由题意得,三角形NMB的面积为,则,即,所以a=>0,解得b<,故.
③如图3,当点M在点A的左侧时,b<<-1,则b>a.
易得AC所在直线的方程为y=x+1.
设直线y=ax+b(a>0)和AC所在直线的交点为P,
由所以P.
由题意得,三角形CPN的面积为,则·(1-b)·|xN-xP|=,即(1-b)·,所以2(1-b)2=|a2-1|.
因为01-,故1-.
综上,实数b的取值范围是.
10.解析 (1)由题意得直线l2的斜率存在且,所以直线l1的斜率也存在且,即m2-7m+6=0,解得m=1或m=6.
经检验,均满足题意.
(2)当=0时,m=0,此时,不符合题意.
当≠0时,需满足-=-1,即m2+m-12=0,解得m=3或m=-4.
11.解析 (1)设B(a,b),则M.
易知点B,M分别在直线l1,l2上,
所以故B(0,1).
设点A(1,1)关于直线l1的对称点为A'(x,y),则线段AA'的中点在直线l1上,且直线AA'与直线l1垂直,所以故A'(0,0).
因为l1是∠ABC的平分线所在直线,所以点A'在直线BC上,所以直线BC的方程为x=0.
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,则P(1,2),Q(1,0),所以S△POQ=1.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-1)(k≠0,且k≠2).
由故P.
对于y-1=k(x-1),令y=0,得x=1-,故Q.
因为点P在第一象限内、点Q在x轴的正半轴上,
所以解得k>2或k<0.
故S△POQ=>1.
综上,S△POQ的最小值为1,此时直线l的方程为x=1.
2