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2.3 圆及其方程
知识 清单破
2.3.1 圆的标准方程 2.3.2 圆的一般方程
知识点 1 圆的方程
1.圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中圆心为(a,b),半径为r.
2.圆的一般方程
当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0为圆的一般方程,表示以 为圆心, 为半径的圆.
说明:①当D2+E2-4F<0时,该方程不表示任何图形;②当D2+E2-4F=0时,该方程表示一个点
.
注意:二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的图形为圆时,需满足A=B≠0,C=0,且
+ - >0.
知识点 2 点与圆的位置关系
点(x0,y0)与圆的位置关系 圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆x2+y2+Dx+Ey+F=0
点在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2点在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 + +Dx0+Ey0+F=0
点在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 + +Dx0+Ey0+F>0
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.方程(x-a)2+(y-b)2=m2表示半径为m的圆.( )
提示
当m=0时,方程表示一个点;当m≠0时,方程表示半径为|m|的圆.
2.方程x2+y2+Dx+Ey-1=0表示的图形一定是圆. ( )
√
3.点(m+1,m+2)在圆(x-1)2+(y-2)2=m2的外部. ( )
√
4.若圆的方程为(2x-1)2+(2y+1)2=1,则其圆心坐标为(1,-1). ( )
提示
圆的方程可化为 + = ,因此其圆心坐标为 .
5.若圆的方程为2x2+2y2-x-2y-5=0,则其半径等于 . ( )
提示
圆的方程可化为x2+y2- x-y- =0,则其半径为 × = .
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 圆的方程的求解
1.几何法
利用相关几何性质确定圆心和半径,即可得到圆的标准方程.相关几何性质如下:
①圆心与切点的连线垂直于圆的切线;
②圆心到切线的距离等于圆的半径;
③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2;
④圆的弦的垂直平分线过圆心;
⑤已知过圆心的直线l及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与直线l
的交点即为圆心.
2.待定系数法
(1)根据题意设所求圆的方程;
(2)根据已知条件建立关于参数的方程组;
(3)解方程组,求出参数的值;
(4)将参数的值代入所设的方程中,即可得到所求圆的方程.
典例 求符合下列条件的圆的方程:
(1)圆心是(4,-1),且过点(5,2);
(2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5);
(3)经过A(1,4),B(-2,3),C(4,-5)三点.
解析 (1)解法一:由题意知,圆的半径为 = ,又圆心是(4,-1),故所求圆的方
程为(x-4)2+(y+1)2=10.
解法二:设圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=r2(r>0),把(5,2)代入可得r2=10,故所求圆的方程为(x-4)2+
(y+1)2=10.
(2)解法一:设圆心为C.
因为点C在直线x-2y-3=0上,
所以可设点C的坐标为(2a+3,a).
由于圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|,
即 = ,解得a=-2,因此圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=
,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由题意得
解得 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
解法三:易得线段AB的中点坐标为(0,-4),kAB= = ,所以弦AB的垂直平分线的斜率为-2,
所以弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4=0.
由 解得
所以圆心坐标为(-1,-2),
因此圆的半径r= = ,
故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
(3)解法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).因为点A,B,C在圆上,
所以 解得
故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,
即(x-1)2+(y+1)2=25.
解法二:易得kAB= = ,kAC= =-3.
因为kAB·kAC=-1,所以AB⊥AC,所以△ABC是以∠A为直角的直角三角形,其外心是线段BC的中
点,坐标为(1,-1),其外接圆半径r= BC=5.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=25.
与圆有关的轨迹问题的求解方法
(1)直接法:根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.
(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
讲解分析
疑难 2 与圆有关的轨迹问题
典例 已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解析 (1)解法一:设C(x,y).
由题意可知AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,
所以AC,BC所在直线的斜率存在,且y≠0.
又kAC= ,kBC= ,所以 · =-1(y≠0),化简得x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).
解法二:设C(x,y).由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化简得x2+y2-2x-3=0.
又A,B,C三点不共线,所以y≠0,即x≠3且x≠-1.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠
3且x≠-1).
解法三:设AB的中点为D,则D(1,0).
由直角三角形的性质知,|CD|= |AB|=2.
由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(因为A,B,C三点不共线,所以应
除去与x轴的交点).
设C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1).
(2)设M(x',y'),C(x0,y0).
由题意得 即
由(1)知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上,将(x0,y0)代入,得(2x'-4)2+(2y')2=4,即(x'-2)2+y'2=1(x'
≠3且x'≠1).因此,点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).2.3.2 圆的一般方程
基础过关练
题组一 二元二次方程与圆的关系
1.已知m是实数,若方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆,则m的取值范围为( )
A.(-∞,20) B.(-∞,5)
C.(5,+∞) D.(20,+∞)
2.若方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆,则m=( )
A.1 B.2
C.-1或1 D.-2或2
3.若点P(1,1)在圆C:x2+y2+2x-m=0的外部,则实数m的取值范围为( )
A.(-1,4) B.(-4,1)
C.(-1,+∞) D.(-∞,4)
题组二 圆的一般方程及其应用
4.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别为 ( )
A.(2,-3),13 B.(2,-3),
C.(-2,-3),13 D.(-2,-3),
5.关于圆x2+y2+Dx+Ey+F=0有四个命题:①点A(1,-3)在圆内;②点B(2,3)在圆上;③圆心为(-1,0);④圆的半径为3.若只有一个假命题,则该命题是( )
A.① B.② C.③ D.④
6.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,则圆的一般方程为 .
7.已知圆O:x2+y2=4,A,B是圆上两点,点P(1,0),PA⊥PB,则线段AB的中点R的轨迹方程是 .
8.过点P(-5,0)作直线(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)的垂线,垂足为M,已知点N(3,11),则|MN|的取值范围是 .
9.已知平面直角坐标系中有A(-1,5),B(5,5),
C(-3,1),D(6,-2)四点,这四点是否在同一个圆上 请说明理由.
10.赵州桥,又名安济桥,是保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥.某地一旅游景点为吸引游客,参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥,已知该圆拱桥的圆拱跨度为16 m,拱高为4 m,在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求这座圆拱桥所在圆的方程;
(2)若该景区游船宽10 m,水面以上高3 m,试判断该景区游船能否从桥下通过,并说明理由.(≈1.732)
答案与分层梯度式解析
2.3.2 圆的一般方程
基础过关练
1.B 2.D 3.A 4.B 5.D
1.B 由于方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线为圆,所以22+42-4m>0,解得m<5.因此,实数m的取值范围是(-∞,5).故选B.
2.D 因为方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆,所以=1,解得m=±2.故选D.
3.A 因为方程x2+y2+2x-m=0表示的曲线是圆,所以22+4m>0,解得m>-1.
因为点P(1,1)在圆C:x2+y2+2x-m=0的外部,所以12+12+2×1-m>0,解得m<4.
综上,实数m的取值范围为(-1,4).故选A.
易错警示 在运用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0时,要注意隐含条件D2+E2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.
4.B 圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,故圆心坐标为(2,-3),半径为.故选B.
5.D 若②和③为真命题,则所以圆的方程为(x+1)2+y2=18,此时点A(1,-3)在圆内,圆的半径为3,故①为真命题,④为假命题,符合题意;
若③和④为真命题,则所以圆的方程为(x+1)2+y2=9,此时点B(2,3)不在圆上,点A(1,-3)在圆外,故①和②均为假命题,不合题意;
其他四种命题组合①②,①④,②④,①③无法确定圆的方程,无法对剩余命题判断真假.
综上,④为假命题.故选D.
6.答案 x2+y2+2x-4y+3=0
解析 圆心为C,
因为圆心在直线x+y-1=0上,
所以--1=0,即D+E=-2.①
因为半径r=,所以D2+E2=20.②
由①②可得
又圆心在第二象限,所以-<0,即D>0,则
故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
7.答案 2x2-2x+2y2-3=0
解析 如图所示,连接OA,OB,OR,PR,则OR⊥AB,|PR|=|AB|=|RB|.
设R(x,y),在Rt△ORB中,|OB|=2,|OR|=,所以22=x2+y2+(x-1)2+y2,整理得2x2-2x+2y2-3=0.故点R的轨迹方程是2x2-2x+2y2-3=0.
8.答案 [13-]
解析 由(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)得m(2x-y-4)+(x-y-3)=0.
由所以直线过定点(1,-2),设为Q.
连接PQ.因为M为垂足,所以△PQM为直角三角形,斜边为PQ,所以M在以PQ为直径的圆上运动.所以以PQ为直径的圆的圆心坐标为
(-2,-1),设为C,半径r=.
所以|MN|的取值范围为|CN|-r≤|MN|≤|CN|+r,
又|CN|==13,
所以|MN|的取值范围是[13-].
9.解析 四点在同一个圆上.
解法一:设经过A(-1,5),B(5,5),C(-3,1)三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则
所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.
因为62+(-2)2-4×6-2×(-2)-20=0,所以点D在该圆上,所以A,B,C,D四点在同一个圆上.
解法二:易知线段AB的垂直平分线方程为x=2,AC的中点为(-2,3),
直线AC的斜率为2,所以线段AC的垂直平分线方程为y-3=-(x+2),即x+2y-4=0.
由所以过A,B,C三点的圆的圆心为(2,1),所以半径为=5,
所以过A,B,C三点的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25.
因为(6-2)2+(-2-1)2=25,所以点D在该圆上.
所以A,B,C,D四点在同一个圆上.
10.解析 (1)设这座圆拱桥所在圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则
所以圆拱桥所在圆的方程为x2+y2+12y-64=0.
(2)当x=5时,52+y2+12y-64=0,即y2+12y-39=0,所以y=5-6≈2.66<3,所以该景区游船可以从桥下通过.
22.3 圆及其方程
2.3.1 圆的标准方程
基础过关练
题组一 认识圆的方程
1.已知一个圆的标准方程为x2+(y+1)2=8,则此圆的圆心与半径分别为( )
A.(1,0),4 B.(-1,0),2
C.(0,1),4 D.(0,-1),2
2.方程|x-1|=表示的曲线是( )
A.一个圆 B.两个半圆
C.两个圆 D.半圆
3.方程x=表示的图形是( )
A.两个半圆 B.两个圆
C.圆 D.半圆
题组二 确定圆的标准方程
4.圆心为(-3,1),半径为5的圆的方程是( )
A.(x+3)2+(y+1)2=5 B.(x+3)2+(y-1)2=25
C.(x-3)2+(y-1)2=5 D.(x-3)2+(y-1)2=25
5.已知点A(-3,1),B(1,-3),则以线段AB为直径的圆的方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=8
B.(x+1)2+(y+1)2=8
C.(x-1)2+(y-1)2=32
D.(x+1)2+(y+1)2=32
6.若圆C经过点A(2,5),
B(4,3),且圆心在直线l:3x-y-3=0上,则圆C的方程为( )
A.(x-2)2+(y-3)2=4
B.(x-2)2+(y-3)2=8
C.(x-3)2+(y-6)2=2
D.(x-3)2+(y-6)2=10
7.(多选题)圆M与y轴相切,且经过A(1,0),B(2,1)两点,则圆M的方程是( )
A.(x-1)2+(y-2)2=4
B.(x-5)2+(y+3)2=25
C.(x-1)2+(y-1)2=1
D.(x-3)2+(y+1)2=9
8.求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)经过点A(3,2),B(2,3),圆心在x轴上;
(2)经过直线x+2y+3=0与x-2y+3=0的交点,圆心为C(-2,1).
题组三 点与圆的位置关系
9.点(sin 30°,cos 30°)与圆x2+y2=的位置关系是( )
A.点在圆上 B.点在圆内
C.点在圆外 D.不能确定
10.若点A(a,2)不在圆(x-1)2+(y+1)2=5a的外部,则实数a的取值范围为( )
A.[1,5] B.[2,5] C.[3,5] D.[4,5]
11.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )
A.6 B.25 C.26 D.36
能力提升练
题组 圆的标准方程及其应用
1.已知Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为 ( )
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
2.若圆(x-1)2+(y-1)2=5关于直线y=kx+2对称,则k=( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
3.在圆的方程的探究中,四位同学分别给出了
一个结论,甲:圆的半径为;乙:圆经过点(3,3);丙:圆的圆心为
(2,1);丁:圆经过点(7,0).如果只有一位同学的结论是错误的,那么这位同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.圆C:(x+3)2+(y-6)2=45关于直线l:x-y+13=0对称的圆C'的标准方程为( )
A.(x+7)2+(y-10)2=45
B.(x+7)2+(y+10)2=45
C.(x-7)2+(y-10)2=45
D.(x-7)2+(y+10)2=45
5.圆C上的点(1,2)关于直线x+y=0的对称点仍在圆C上,且该圆的半径为,则圆C的方程为( )
A.x2+y2=5
B.(x+1)2+(y-1)2=5
C.x2+y2=5或(x-1)2+(y+1)2=5
D.x2+y2=5或(x+1)2+(y-1)2=5
6.点A(2sin θ,2cos θ)总在圆C:(x-3)2+(y-4)2=m内,则实数m的取值范围是( )
A.(5,+∞) B.[5,+∞)
C.(25,+∞) D.(49,+∞)
7.几何学史上有一个著名的米勒问题:“设点M,N是锐角∠AQB的边QA上的两点,当点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点时,∠MPN最大.”根据上述结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2),N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取得最大值时,圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-2)2=2
B.(x+7)2+(y-10)2=100
C.(x-1)2+(y-2)2=4
D.(x+7)2+(y-10)2=10
8.已知A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2)三点,直线l1:kx-y-2k=0与直线l2:x+ky+2=0相交于点P,则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为( )
A.72 B.80 C.88 D.100
9.在平面直角坐标系中,一只蚂蚁从点A(-2,-3)出发,爬到y轴后又爬到圆C:(x+3)2+(y-2)2=2上,则它爬过的最短路程是 .
10.已知a∈N*,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(a,0),B(-2,2),C(-3,3).设△ABC的外接圆为M.
(1)若a=2,求圆M的标准方程;
(2)求圆M面积最小时a的值.
答案与分层梯度式解析
2.3 圆及其方程
2.3.1 圆的标准方程
基础过关练
1.D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 7.BC 9.C
10.B 11.D
1.D
2.A 原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,表示的曲线是一个圆.故选A.
3.D 根据题意,得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1,由此确定表示的图形为半圆.故选D.
4.B
5.B 由题意得圆心为(-1,-1),半径r=,所以圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=8.故选B.
知识拓展 以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
6.A 易得线段AB的中点为(3,4),又kAB==-1,所以线段AB的中垂线的方程为y-4=x-3,即x-y+1=0.
由即C(2,3),
所以圆C的半径r==2,
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=4.故选A.
7.BC 设圆M的圆心为M(a,b),则半径r=|a|.
因为点A(1,0),B(2,1)在圆M上,所以|MA|=|MB|,即
,整理得a+b=2.
由|MA|=r=|a|,得=|a|,整理得b2-2a+1=0.
由所以圆心坐标为(1,1)或(5,
-3).
当圆心坐标为(1,1)时,r=1,则圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.
当圆心坐标为(5,-3)时,r=5,则圆M的方程为(x-5)2+(y+3)2=25.
综上,圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y+3)2=25.故选BC.
8.解析 (1)设圆的方程为(x-a)2+y2=r2,
则
所以圆的标准方程为x2+y2=13.
(2)由所以两直线的交点为(-3,0),所以圆的半径为,所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2.
9.C 因为sin230°+cos230°=,所以点在圆外.
10.B 由题意得(a-1)2+(2+1)2≤5a且a>0,即a2-7a+10≤0且a>0,解得2≤a≤5.故选B.
11.D (x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x,y)与点Q(5,-4)之间的距离的平方.因为点P在圆C:(x-2)2+y2=1上,所以所求最大值为(|QC|+1)2=36.
能力提升练
1.C 2.D 3.D 4.A 5.D 6.D 7.C 8.C
1.C 依题意得,直角顶点C在以AB为直径的圆上运动,且点C与点A,B不重合.易知AB的中点坐标为(2,0),|AB|=10,所以直角顶点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=25(y≠0).故选C.
2.D 由题意得圆心(1,1)在直线y=kx+2上,所以1=k+2,解得k=-1.故选D.
3.D 记A(3,3),B(2,1),C(7,0).
假设甲的结论是错误的,那么乙、丙、丁的结论是正确的.易得|AB|=,因为|AB|≠|BC|,所以假设不成立,故甲的结论是正确的.
假设乙的结论是错误的,那么甲、丙、丁的结论是正确的.由甲、丙的结论可得圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5,但C(7,0)不满足上式,所以假设不成立,故乙的结论是正确的.
假设丙的结论是错误的,那么甲、乙、丁的结论是正确的.由乙、丁的结论可得|AC|=,与半径为矛盾,所以假设不成立,故丙的结论是正确的.
综上,结论错误的同学是丁.故选D.
4.A 圆C:(x+3)2+(y-6)2=45的圆心为(-3,6),半径r=3,则圆C'的半径为3.
设C'(a,b),则
所以圆C'的标准方程为(x+7)2+(y-10)2=45.
故选A.
5.D 因为圆C上的点(1,2)关于直线x+y=0的对称点仍在圆C上,所以圆心在直线x+y=0上.
设圆心的坐标为C(a,-a),
因为圆的半径为,所以,
解得a=0或a=-1.所以圆心为(0,0)或(-1,1).
所以圆C的方程为x2+y2=5或(x+1)2+(y-1)2=5.
故选D.
6.D 由题意得(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2即m>[(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2]max.
(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2=4sin2θ-12sin θ+9+4cos2θ-16cos θ+16=29-12sin θ-16cos θ=29-20sin(θ+φ),其中tan φ=.
∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴9≤29-20sin(θ+φ)≤49,
∴m>49.故选D.
7.C 易知线段MN的中点的坐标为(0,3),又kMN==1,所以线段MN的垂直平分线的方程为y-3=-x,所以以MN为弦的圆的圆心在直线y-3=-x上.
设圆心为C(a,3-a),则半径r=|3-a|,又|CN|=r,所以(a-1)2+(3-a-4)2=(3-a)2,解得a=1或a=-7.
当a=-7时,∠MQP是钝角,所以a=1,此时圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.故选C.
8.C 由得x2+y2=4,
所以P是以(0,0)为圆心,2为半径的圆上一点.
设P(x,y),-2≤y≤2,则|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+
(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3x2+3y2-4y+68=12-4y+68=80-4y∈[72,88],
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88.故选C.
9.答案 4
解析 由圆的方程得圆心C(-3,2),半径为.
易得点A(-2,-3)关于y轴的对称点为A'(2,-3).
设A'C与圆C交于点P,则蚂蚁爬过的最短路径为|A'P|=|A'C|-.
10.解析 (1)当a=2时,A(2,0),∴线段AB的中点坐标为(0,1),∴线段AB的中垂线方程为y-1=-x,即y=2x+1.
易知线段BC的中点坐标为,则线段BC的中垂线方程为y-,即y=x+5.
由即圆心M(4,9),
∴|BM|=,
∴圆M的标准方程为(x-4)2+(y-9)2=85.
(2)∵A(a,0),B(-2,2),∴线段AB的中点坐标为,∴线段AB的中垂线方程为y-1=-,即y=.
由(1)知线段BC的中垂线方程为y=x+5.
由
即圆心M,
∴|BM|2=,
∴圆M的面积S=π|BM|2=+10a++26.
∵a+≥4 ,当且仅当a=2时,等号成立,a∈N*,∴当a=3或a=4时,a+有最小值,此时S最小.
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