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知识 清单破
2.3.3 直线与圆的位置关系
知识点 直线与圆的位置关系
设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0).圆心C(a,b)到直线l的距离d=
.
由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
几何法 dr
代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0
相交或相切.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.若直线与圆的方程组成的方程组有解,则直线与圆相交. ( )
提示
2.过点P和圆相切的直线有两条. ( )
提示
当点P在圆的外部时,有两条切线;当点P在圆上时,有一条切线;当点P在圆内时,没有切线.
3.经过圆内一点(非圆心)的最长弦所在直线与最短弦所在直线互相垂直. ( )
√
4.若两条直线被同一个圆截得的弦长相等,则这两条直线平行. ( )
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系主要有两种方法:几何法和代数法.几何法侧重图形的几何性
质,较代数法步骤简捷,所以一般选用几何法.
典例 已知圆x2+y2=1与直线y=kx-3k,当k分别为何值时,直线与圆:
(1)相交 (2)相切 (3)相离
解析 解法一(代数法):联立
消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,
则Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).
(1)当直线与圆相交时,Δ>0,即- (2)当直线与圆相切时,Δ=0,即k=± .
(3)当直线与圆相离时,Δ<0,即k<- 或k> .
解法二(几何法):圆心(0,0)到直线y=kx-3k的距离d= = .
由题意知,圆的半径r=1.
(1)当直线与圆相交时,d(2)当直线与圆相切时,d=r,即 =1,解得k=± .
(3)当直线与圆相离时,d>r,即 >1,解得k<- 或k> .
讲解分析
疑难 2 与圆有关的切线问题
1.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法
(1)当点P在圆上时,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜率为- ;若
斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.
(2)当点P在圆外时,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r解出k即
可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).
2.切线长的求法
过圆外一点P可作圆的两条切线,我们把点P与切点之间的距离称为切线长.切线长可由勾股
定理来计算.如图,从圆外一点P(x0,y0)作圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线,则切线长为
.
3.过圆上一点的切线的相关结论
(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;
(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)·(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;
(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D·
+E· +F=0.
典例 (1)已知圆的方程为x2+y2=13,它与斜率为- 的直线相切,则该切线方程为
;
(2)过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,则其切线长为 .
2x+3y-13=0或2x+3y+13=0
4
解析 (1)解法一:设所求切线方程为y=- x+b,即2x+3y-3b=0.
因为圆x2+y2=13与直线2x+3y-3b=0相切,
所以圆心(0,0)到直线2x+3y-3b=0的距离d= = ,解得b=± .所以所求切线方程为2x+3y-
13=0或2x+3y+13=0.
解法二:设所求切线方程为y=- x+b.
由 消去y,并整理得 x2- x+b2-13=0.令Δ=0,即 b2-4× ×(b2-13)=0,解得b=± .
所以所求切线方程为2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.
(2)由题意得圆心C的坐标为(3,1),半径为1.
设切点为B,则△ABC为直角三角形,
易得|AC|= = ,|BC|=1,所以|AB|= = =4,所以切线长
为4.
疑难 3 直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题
讲解分析
1.直线与圆相交时弦长的求法
几何法 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+ 解题
代数法 若直线与圆的交点坐标易求出,则求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长
弦长 公式法 设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l= |x1-x2|=
2.解决与中点弦有关问题的方法
(1)利用根与系数的关系求出中点坐标;
(2)设出弦的两个端点的坐标,代入圆的方程,利用作差法求出斜率,此法即为点差法;
(3)利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直解决问题.
典例1 直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交于A,B两点,直线被圆截得的弦长为4 ,求直
线l的方程.
解析 若直线l的斜率不存在,则l:x=5,与圆C相切,不符合题意,所以直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y-5=k(x-5),且与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2).
解法一:由 消去y,得(k2+1)·x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0,
令Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,解得k>0.
又因为x1+x2=- ,x1x2= ,
所以|AB|=
=
=4 ,整理得2k2-5k+2=0,解得k= 或k=2,均符合题意.
故直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
解法二:直线l:y-5=k(x-5),即kx-y+5(1-k)=0.设圆心(0,0)到直线l的距离为d,圆C的半径为r,则d=
,r=5,
又d= = = ,
所以 = ,解得k= 或k=2,所以直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
易错警示 求直线方程时,要注意斜率不存在的情况,若斜率不存在的直线符合题意,则要注
意补充.
典例2 已知圆x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2),求以A为中点的弦所在直线的方程.
思路点拨 根据斜率是否存在分类讨论.
思路一:结合一元二次方程根与系数的关系列方程求解.
思路二:利用“点差法”及“设而不求,整体代换”的策略求解.
思路三:利用圆的几何性质:弦的中点与圆心的连线和弦所在的直线垂直求解.
解析 解法一:当直线的斜率存在时,设其为k,则过点A的直线方程为y+2=k(x-4),将其代入圆
的方程,得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0.
因为1+k2≠0,Δ>0,所以设两个交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2= =4×2,解得k=-2.
所以所求直线方程为2x+y-6=0.
当直线的斜率不存在时,直线方程为x=4,不满足题意.
综上,所求直线方程为2x+y-6=0.
解法二:设两个交点的坐标分别为B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=-4.
当直线的斜率不存在时,直线方程为x=4,不满足题意.
当直线的斜率存在时,设其为k,则k= .
把B,C两点的坐标代入圆的方程,
得
①-②并整理,得(x1+x2)+(y1+y2)· -4+6· =0,即8-4k-4+6k=0,解得k=-2.
故所求直线方程为2x+y-6=0.
综上,所求直线方程为2x+y-6=0.
解法三:当直线的斜率不存在时,直线方程为x=4,不满足题意.
设圆心为M,所求直线的斜率为k.
易知M(2,-3),所以kMA= ,所以k=-2.
所以所求直线的方程为2x+y-6=0.
利用圆的方程解决最值问题的方法
(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关
知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有直线的斜率、截距以及两点间
的距离.
(2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决.
(3)利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目
标函数,利用三角函数知识求最值.
讲解分析
疑难 4 与圆相关的最值问题
典例 已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上的一点.
(1)求4x-3y的最大值和最小值;
(2)求 的最大值和最小值;
(3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值.
解析 (1)令4x-3y=m,则 可以看成直线在x轴上的截距,要使m最大(或最小),只需直线在x轴
上的截距最大(或最小).
由图1可知,当直线4x-3y=m与圆x2+y2=4相切时,m分别取得最大值和最小值.
由圆心(0,0)到4x-3y-m=0的距离等于圆的半径,得 =2,即|m|=10,故m=±10.
故mmax=10,mmin=-10,即4x-3y的最大值为10,最小值为-10.
(2)令 =k,则k表示圆x2+y2=4上一点(x,y)与点(-2 ,-2)的连线的斜率.
由图2知,当直线y+2=k(x+2 )与圆x2+y2=4相切时,k分别取得最大值和最小值.
由 =2,得|2 k-2|=2 ,即3k2-2 k+1=k2+1,解得k=0或k= ,故kmax= ,
kmin=0,即 的最大值为 ,最小值为0.
(3)令(x-4)2+(y+3)2=d,则 表示圆上一点(x,y)与点(4,-3)的距离.
如图3,由点(4,-3)到圆心(0,0)的距离为5可知,( )max=5+2=7,( )min=5-2=3,故dmax=49,dmin=9,即
(x-4)2+(y+3)2的最大值为49,最小值为9.
图2 图32.3.3 直线与圆的位置关系
基础过关练
题组一 直线与圆的位置关系
1.直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
2.直线x-y+m=0与圆x2+y2=1有两个不同的交点,则实数m的取值范围是( )
A.-2≤m≤2 B.-2C.m<-2或m>2 D.m≤-2或m≥2
3.已知直线l:x-y+2=0与圆C:x2+y2-2y-2m=0相离,则实数m的取值范围是( )
A.
C.
4.若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
5.已知直线l:x+ky-3k-1=0,若无论k取何值,直线l与圆(x+2)2+(y+1)2=r2(r>0)恒有公共点,则r的取值范围是( )
A.[5,+∞) B.(3,+∞)
C.[4,6) D.[3,5]
6.若点M(a,b)在圆x2+y2=r2外,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是 .
7.已知圆心在直线2x-y-2=0上的圆C经过点A(-1,2)和B(3,-2),过点P(3,-1)的直线l与圆C相交于不同的两点M,N.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若∠MCN=90°,求直线l的方程.
题组二 圆的切线问题
8.过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为( )
A.x=2或4x+3y-4=0
B.4x-3y+4=0
C.x=2或4x-3y+4=0
D.4x+3y-4=0
9.过点M(-1,)且与圆O:x2+y2=4相切的直线方程为 .
10.过点P(4,3)作圆C:x2+6x+y2+5=0的切线,则
切线长为 .
题组三 圆的弦长问题
11.已知圆C:x2+y2+2mx-2y+5m-3=0,直线l:x+y-1=0,若直线l与圆C相交所得弦的长为8,则实数m=( )
A.-2或2 B.-1或12
C.-2或12 D.-2或1
12.已知圆(x-1)2+y2=4的一条弦过点P(0,1),则过点P的最短弦所在直线的方程是( )
A.x+y-1=0 B.x-y+1=0
C.x-y-1=0 D.x=0
13.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若在圆C上存在两点A,B,使|AB|=2,且AB的中点M在直线2x+y+m=0上,则实数m的取值范围是( )
A.[-2] B.[-5,5]
C.(-]
14.已知圆C与x轴相切,圆心在直线y=3x上,且直线y=x被圆C截得的弦长为2,则圆C的方程为 .
15.在条件①与直线3x+4y+2=0平行;②过点(5,-5)中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
已知直线l过点P(1,-2),且 .
(1)求直线l的一般式方程;
(2)若直线l与圆x2+y2=5相交于点P,Q,求弦PQ的长.
16.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
17.圆O:x2+y2=4内有一点P(1,0),AB为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)判断点Q(2,1)与圆O的位置关系;
(2)当α=120°时,求弦AB的长;
(3)若P为弦AB上靠近A的三等分点,且点A在第一象限,求直线AB的方程.
能力提升练
题组一 直线与圆的位置关系
1.已知直线l1:mx-y-3m+1=0(m∈R)与直线l2:x+my-3m-1=0(m∈R)相交于点P,则P到直线x+y=0的距离d的取值范围是( )
A.[)
C.[)
2.若直线l:y=m(x-1)+2与曲线y=有且仅有两个不同的交点,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,0)∪
B.∪(0,+∞)
C.
D.
3.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取值范围是( )
A.[4,6) B.(4,6)
C.[4,6] D.(4,6]
4.(多选题)若曲线(x+x-y-2)=0与圆x2+(y-m)2=m2恰有4个公共点,则实数m的值可能是( )
A.- C.-2 D.2
5.(多选题)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是( )
A.
B.x+y的最大值为3+
C.x2+y2的最大值为+1
D.的取值范围是[2,4]
题组二 圆的切线与弦长问题
6.由直线x-y+4=0上的点向圆(x-1)2+(y-1)2=1作切线,则切线长的最小值为( )
A. B.3
C.2-1
7.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.-或-
C.-或-
8.点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线PA,PB分别与圆x2+y2=4相切于A,B两点,则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值为( )
A.8 B.4 C.24 D.16
9.已知P(x0,y0)为圆C:(x-t)2+(y-s)2=r2(r>0)上任
意一点,当a≠b时,|x0-y0+a|+|x0-y0+b|的值与x0,y0无关,则下列结论正确的是 .(填序号)
①当|a-b|=2r时,点(t,s)的轨迹是一条直线;
②当|a-b|=2时,r的最大值为1;
③当r=,b=2时,实数a的取值范围为a≥6.
10.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=4,圆心C在直线y=x上,且直线x+y-2=0被圆C截得的弦长为2.
(1)求圆C的方程;
(2)若a≤0,点A(0,1),过A作直线l和l1,且满足l⊥l1,直线l交圆C于M,N两点,直线l1交圆C于P,Q两点,求四边形PMQN的面积的最大值.
题组三 直线与圆的位置关系的综合应用
11.已知圆M:x2+(y-2)2=1,直线l:x-2y=0,点P在直线l上,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)若∠APB=60°,求点P的坐标;
(2)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出定点的坐标.
12.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,4),圆O:x2+y2=4与x轴正半轴的交点是Q,过点P的直线l与圆O交于不同的两点A,B.
(1)设直线QA,QB的斜率分别是k1,k2,求k1+k2的值;
(2)设AB的中点为M,点N,若|MN|=|OM|,求△QAB的面积.
13.在某海礁A处有一风暴中心,距离风暴中心A正东方向200 km的B处有一艘轮船,正沿北偏西α(α为锐角)角方向航行,速度大小为40 km/h.已知距离风暴中心180 km以内的水域受其影响.
(1)若轮船不被风暴影响,求角α的正切值的最大值;
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,求轮船被风暴影响持续的时间.
答案与分层梯度式解析
2.3.3 直线与圆的位置关系
基础过关练
1.C 2.B 3.C 4.A 5.A 8.C 11.C 12.B
13.D
1.C 圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=1,
∴圆心为(1,-2),半径r=1.
圆心(1,-2)到直线4x-3y-2=0的距离d=>r,∴直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0相离.故选C.
2.B 因为圆x2+y2=1与直线x-y+m=0有两个不同的交点,圆心为(0,0),半径为1,所以圆心到直线的距离小于1,即<1,
整理得|m|<2,解得-23.C 由圆C的方程x2+y2-2y-2m=0,得(-2)2-4×(-2m)>0,解得m>-,且圆心为(0,1),半径为.因为直线l与圆C相离,所以,解得m<-,所以实数m的取值范围为-.故选C.
4.A 圆C的圆心为(-2,1),半径为.
因为直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,所以,解得k=±1,因为k<0,所以k=-1,所以直线l的方程为x+y-1=0.
圆D的圆心为(2,0),其到直线l的距离d=,所以直线l与圆D相交.故选A.
5.A 由x+ky-3k-1=0得(x-1)+k(y-3)=0,故直线l恒过点(1,3).
若直线l与圆(x+2)2+(y+1)2=r2(r>0)恒有公共点,则点(1,3)在圆上或圆内,即(1+2)2+(3+1)2≤r2,又r>0,所以r≥5.故选A.
6.答案 相交
解析 因为点M(a,b)在圆x2+y2=r2外,所以a2+b2>r2,所以圆心(0,0)到直线ax+by=r2的距离d=7.解析 (1)易求得AB的中点为(1,0),且kAB=-1,
∴线段AB的中垂线方程为x-y-1=0.
由∴圆心C的坐标为(1,0),
∴半径r=|CA|=2,
故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=8.
(2)当∠MCN=90°时,圆心C到直线l的距离为2.
若直线l的斜率存在,设直线l:y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,∴圆心C(1,0)到直线l的距离d==2,解得k=,∴直线l的方程为3x-4y-13=0.
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,符合题意.
综上所述,所求直线l的方程为x=3或3x-4y-13=0.
8.C 圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为(1,1),半径为1.
当过点P(2,4)的直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,与圆相切,符合题意.
当过点P(2,4)的直线的斜率存在时,设直线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
由题意得=1,解得k=,此时直线方程为4x-3y+4=0.
所以所求切线方程为x=2或4x-3y+4=0.故选C.
9.答案 x-y+4=0
解析 ∵(-1)2+()2=4,∴点M在圆x2+y2=4上,
因此k切·kOM=-1,即k切·=-1,∴k切=,
又切线过点M(-1,),∴切线方程为y-(x+1),即x-y+4=0.
10.答案 3
解析 由圆C的方程可知,圆心为C(-3,0),半径r=2,又P(4,3),所以|PC|=.
设切点为A,则|AC|=r=2,
由切线的性质可知CA⊥PA,
所以在直角三角形PAC中,|PA|=.所以切线长为3.
11.C 圆C的方程可化为(x+m)2+(y-1)2=m2-5m+4,故圆心C(-m,1),
m2-5m+4>0,解得m<1或m>4.
易得圆心C到直线l:x+y-1=0的距离d=|m|,则2=8,整理得m2-10m-24=0,解得m=-2或m=12.故选C.
12.B 当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(0,1)的直径垂直.已知圆心为(1,0),所以过点P(0,1)的直径所在直线的斜率k==-1,故所求直线的斜率为1,所以所求直线的方程为y-1=x-0,即x-y+1=0.故选B.
13.D 由题知,圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆心C(-1,2),
半径r=2,∴圆心C到直线2x+y+m=0的距离d=
,且AB的中点M在直线2x+y+m=0上,∴r2-d2≥,即4-≥3,∴-≤m≤.故选D.
14.答案 (x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9
解析 因为圆C与x轴相切,且圆心C在直线y=3x上,所以设圆C的方程为(x-b)2+(y-3b)2=9b2,
又因为直线y=x被圆C截得的弦长为2,所以)2=9b2,解得b=±1,故所求圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.
15.解析 选择①.
(1)由题意得,直线l的斜率为-,又直线l过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-(x-1),即3x+4y+5=0.
(2)圆x2+y2=5的圆心(0,0)到直线3x+4y+5=0的距离d==1,又圆x2+y2=5的半径r=,所以|PQ|=2=4.
选择②.
(1)因为直线l过点(5,-5)和(1,-2),所以直线l的方程为,即3x+4y+5=0.
(2)解法同选择①.
16.解析 (1)由题设可知直线l的方程为y=kx+1,圆C的圆心为(2,3),半径为1.
因为直线l与圆C交于两点,所以<1,解得.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
所以x1+x2=,
所以+8=12,解得k=1,
所以直线l的方程为y=x+1.
易知圆心C在直线l上,所以|MN|=2.
17.解析 (1)因为22+12=5>4,所以点Q在圆外.
(2)当α=120°时,直线AB的方程为y-0=-(x-1),即=0,所以圆心(0,0)到直线AB的距离d=,
所以|AB|=2.
(3)如图,设AB的中点为D,|AB|=6t,连接OD,则|PD|=t,|OD|=.
易知直线AB的斜率存在,故设其方程为y=k(x-1),k>0.
易知圆心O到直线AB的距离为|OD|=,
所以所以k=,故所求直线方程为y=(x-1).
能力提升练
1.A 2.D 3.B 4.AC 5.ABD 6.A 7.D 8.A
1.A 解法一:mx-y-3m+1=0(m∈R)可化为m(x-3)-(y-1)=0,故直线l1恒过点(3,1).
同理,得l2:x+my-3m-1=0(m∈R)恒过点(1,3).
因为m×1+(-1)×m=0,所以直线l1和l2互相垂直,所以两条直线的交点P在以(1,3),(3,1)为直径端点的圆上,故点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=2(x≠3且y≠3).
(提示:直线l1不能表示直线x=3,直线l2不能表示直线y=3)
设圆心为M,则M(2,2).
由于MO垂直于直线x+y=0,故M到直线x+y=0的距离为|MO|=2,所以|MO|-≤d<|MO|+,即≤d<3,故d的取值范围是[).故选A.
解法二:由
所以P,
所以d=.
易知∈(0,4],所以d∈[).故选A.
2.D 易知直线y=m(x-1)+2过定点(1,2)(记为P),y=可化为x2+y2=4(y≥0).
由图可得,直线l在l1与l2之间(包括l1但不包括l2)或l3与l4之间(包括l3但不包括l4)时满足题意.
设直线l1,l2,l3,l4的斜率分别为k1,k2,k3,k4,
则k1==-2.
易知直线l4的方程为y-2=k4(x-1),则圆心(0,0)到直线l4的距离为=2,解得k4=0(舍去)或k4=-.
所以实数m的取值范围为.故选D.
3.B 圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为=5.由题意得|5-r|<1,解得44.AC 曲线(x+x-y-2)=0表示直线x+=0和x-y-2=0.
由所以两直线的交点为(-,-5).
因为曲线(x+x-y-2)=0与圆x2+(y-m)2=m2恰有4个公共点,所以直线x+x-y-2=0均与圆x2+(y-m)2=m2相交,且点(-,-5)不在圆上.
易知圆x2+(y-m)2=m2的圆心为(0,m),半径为|m|,所以解得m∈∪(2,+∞).故选AC.
5.ABD 方程x2+y2-4x-2y+4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=1,其表示的曲线是圆心为(2,1),半径为1的圆.
对于A,设=k,则直线y=kx(x≠0)与圆有公共点,所以≤1,解得0≤k≤,所以,故A正确.
对于B,设x+y=a,则直线x+y-a=0与圆有公共点,所以≤1,解得3-≤a≤3+,所以x+y的最大值为3+,故B正确.
对于C,x2+y2表示圆上的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方,又点(0,0)到圆心(2,1)的距离为,所以∈[+1],所以6-2≤x2+y2≤6+2,所以x2+y2的最大值为6+2,故C错误.
对于D,表示圆上的点(x,y)到直线3x+4y+5=0的距离,又圆心(2,1)到直线3x+4y+5=0的距离为=3,所以3-1≤≤3+1,即2≤≤4,故D正确.
故选ABD.
6.A 圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为(1,1),设为C,半径为1.设P为直线x-y+4=0上任意一点,
由直线x-y+4=0上的点向圆(x-1)2+(y-1)2=1作切线,要使切线长最小,只需|PC|最小,易知|PC|min=,∴切线长的最小值为.故选A.
7.D 设点(-2,-3)为A,则点A关于y轴的对称点A'的坐标为(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
∵反射光线所在直线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,
∴圆心(-3,2)到反射光线所在直线的距离d==1,化简得12k2+25k+12=0,∴k=-或k=-.故选D.
8.A 因为圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,所以圆心O(0,0)到直线2x+y+10=0的距离d=>2,所以直线2x+y+10=0与圆x2+y2=4相离.因为点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线PA,PB分别与圆x2+y2=4相切于A,B两点,所以|PA|=|PB|,PA⊥OA,PB⊥OB,因此四边形PAOB的面积S=S△PAO+S△PBO=2S△PAO=2×.要使四边形PAOB的面积最小,只需|PO|最小,又|PO|min为圆心O(0,0)到直线2x+y+10=0的距离d,所以四边形PAOB的面积的最小值为2=8.故选A.
9.答案 ①②
解析 |x0-y0+a|+|x0-y0+b|=.
表示(x0,y0)到直线x-y+a=0(记为l1)的距离,表示(x0,y0)到直线x-y+b=0(记为l2)的距离,且直线x-y+a=0与直线x-y+b=0平行.
由题意得,P(x0,y0)到直线x-y+a=0与直线x-y+b=0的距离的和为定值.
由于P(x0,y0)为圆C:(x-t)2+(y-s)2=r2(r>0)上任意一点,所以圆C在两平行直线x-y+a=0与x-y+b=0之间.
易得直线x-y+a=0与x-y+b=0间的距离为.
当|a-b|=2r时,=2r,即圆C与直线l1,l2相切,所以圆心
(t,s)的轨迹是一条直线,故①正确.
当|a-b|=2时,=2,所以圆C的直径2r≤2,所以r≤1,故②正确.
当r=,b=2时,由≥2r得≥2,
解得a≤-2或a≥6,故③错误.
10.解析 (1)易得圆心C(a,b),半径为2.
因为圆心C在直线y=x上,所以a=b,则C(a,a).
设圆心C到直线x+y-2=0的距离为d,则d=,即d=,解得a=0或a=2,所以圆C的方程为x2+y2=4或(x-2)2+(y-2)2=4.
(2)由a≤0可知圆C的方程为x2+y2=4.
当直线l的斜率不存在时,直线l1的斜率为0,此时S四边形PMQN=|PQ|·
|MN|=;
当直线l的斜率存在时,设为k,则直线l的方程为y=kx+1,设圆心到直线l的距离为d',则d'=,此时|MN|=2,
|PQ|=2,
所以S四边形PMQN=|PQ|·|MN|=.
因为,
当且仅当4-,即k2=1时,等号成立,
所以S四边形PMQN≤7.
综上,四边形PMQN的面积的最大值为 7.
11.解析 (1)设P(2m,m).连接MP.
因为PA是圆M的切线,∠APB=60°,
所以∠APM=30°,|MP|==2,
所以(2m)2+(m-2)2=4,解得m=0或m=,
所以点P的坐标为(0,0)或.
(2)设P(2m,m),MP的中点为Q,则Q.
因为直线PA是圆M的切线,所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,|MQ|为半径的圆,故其方程为(x-m)2+,化简得x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0.
令所以经过A,P,M三点的圆必过定点(0,2)和.
12.解析 (1)易知点Q(2,0),直线l的斜率一定存在,设其方程为y-4=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得(1+k2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0,
所以x1+x2=.
易得k1=,
所以k1+k2=k+
=2k+=2k-2k-1=-1.
(2)设M(x0,y0),
则由(1)可知
由|MN|=|OM|得),整理得+6x0-4=0,即-4=0,解得k=3,所以直线l的方程为3x-y-2=0.
易得圆心(0,0)到直线l的距离d=,所以|AB|=2.
又Q到直线l的距离h=,
所以S△QAB=|AB|·h=.
13.解析 (1)根据题意画出图形,如图所示,
易知圆的方程为x2+y2=1802.
设过点B(200,0)且与圆相切的直线方程为y=k(x-200),k<0,即kx-y-200k=0,k<0,
则圆心O(0,0)到直线的距离为=180,化简,得19k2=81,
∴k=-(正值舍去),
∴tan(90°+α)=-,
∴tan α=,∴若轮船不被风暴影响,角α的正切值的最大值为.
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,则航线所在直线方程为x+y=200,
则圆心O到该直线的距离d=,
∴直线被圆截得的弦长为2,
则轮船被风暴影响持续的时间为(h).
2
