2.3.4 圆与圆的位置关系
基础过关练
题组一 圆与圆的位置关系
1.已知圆O1:x2+y2=4和圆O2:(x-3)2+(y-3)2=4,则圆O1与圆O2的位置关系是( )
A.内含 B.相交 C.外切 D.外离
2.已知圆M:(x+1)2+(y-2a)2=(-1)2与圆N:(x-a)2+y2=(+1)2有两条公切线,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,1) B.
C.
3.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是( )
A.5 B.7 C.9 D.11
4.已知圆C1:x2+y2-m=0(m>0),圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0,若圆C1与圆C2有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.m<1 B.m>121
C.1≤m≤121 D.15.(多选题)已知圆O1:x2+(y-3)2=25,圆O2:(x-6)2+(y-11)2=25,则下列直线中与圆O1,圆O2都相切的是( )
A.3x+4y-37=0 B.3x+4y+32=0
C.4x-3y-16=0 D.4x-3y+34=0
6.已知集合P={(x,y)|(x+2)2+(y-3)2≤4},集合Q=,且P∩Q=Q,则实数m的取值范围是 .
题组二 两圆的公共弦问题
7.已知圆C1:x2+y2-x-ay=0与圆C2:x2+y2-2x-4y+2=0的公共弦所在直线与x轴垂直,则实数a的值为( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
8.圆x2+y2-8=0与圆x2+y2-3x+4y-18=0的公共弦的长为 .
9.两圆相交于A(1,3),B(m,-1)两点,若两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为 .
10.已知点B(6,5),点A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动.
(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程;
(2)设圆C1与曲线C2的交点为M,N,求线段MN的长.
能力提升练
题组 圆与圆的位置关系的应用
1.已知圆C1:(x-a)2+y2=1和圆C2:x2+y2-2by+b2-4=0恰好有3条公切线,则的最小值为( )
A.2 B.1+
C.2- D.4
2.(多选题)若圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-2y=0的交点为A,B,则( )
A.线段AB的中垂线方程为x-y+1=0
B.公共弦AB所在直线的方程为x+y-3=0
C.若实数x,y满足x2+y2-2x-2y=0,则y-x的最大值为
D.过点(0,2)且与圆C2:x2+y2-2x-2y=0相切的直线方程为y=x+2
3.若圆(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是( )
A.
B.(-2)∪()
C.
D.∪(,+∞)
4.已知集合M={(x,y)|x=-},N={(x,y)|
(x+3)2+(y-3)2=r2(r>0)},则M∩N= 时,实数r的取值范围为( )
A.(0,3-2)
B.(,+∞)
C.(0,3-2)∪(,+∞)
D.{3-2}∪(]
5.(多选题)已知☉O1:x2+y2-2mx+2y=0,☉O2:x2+y2-2x-4my+1=0,则下列说法中正确的是( )
A.若(1,-1)在☉O1内,则m≤0
B.当m=1时,☉O1与☉O2有两条公切线
C.若☉O1与☉O2存在公共弦,则公共弦所在的直线过定点
D. m∈R,使得☉O1与☉O2的公共弦所在直线的斜率为
6.已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点(O为坐标原点),且|BC|=2,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足“圆M上存在两点P,Q,使得”,求实数t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
2.3.4 圆与圆的位置关系
基础过关练
1.D 2.D 3.C 4.C 5.ACD 7.D
1.D 圆O1:x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,圆O2:(x-3)2+(y-3)2=4的圆心为(3,3),半径为2,则|O1O2|=>2+2,故两圆外离.故选D.
2.D 因为圆M与圆N有两条公切线,所以圆M与圆N相交.
由题可得圆M的圆心为M(-1,2a),半径为-1,圆N的圆心为N(a,0),半径为+1,则(-1),即2<,即解得a∈.故选D.
3.C 由题意知,圆C1的圆心为(-3,1),半径r1=2;圆C2的圆心为(1,
-2),半径r2=2,所以两圆的圆心距d==5>r1+r2=4,所以两圆外离,从而|MN|的最大值为5+2+2=9.故选C.
4.C 圆C1的方程可化为x2+y2=m(m>0),则圆心为C1(0,0),半径r1=(m>0);圆C2的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=36,则圆心为C2(-3,
4),半径r2=6.
∵圆C1与圆C2有公共点,∴|r1-r2|≤|C1C2|≤r1+r2,即|-6|≤+6,∴解得1≤m≤121.
5.ACD 易得圆O1的圆心为O1(0,3),半径r1=5,圆O2的圆心为O2(6,
11),半径r2=5,∴|O1O2|==10,又r1+r2=10,∴两圆外切.
易得,O1O2的中点坐标为(3,7),∴内公切线方程为y-7=
-(x-3),整理得3x+4y-37=0.
设外公切线方程为4x-3y+c=0,则=5,解得c=-16或c=34,∴外公切线方程为4x-3y+34=0或4x-3y-16=0.故选ACD.
6.答案
解析 (x+2)2+(y-3)2≤4表示以(-2,3)(记为O1)为圆心,2为半径的圆及其内部;(x+1)2+(y-m)2<表示以(-1,m)(记为O2)为圆心,为半径的圆的内部.
因为P∩Q=Q,所以☉O2内含或内切于☉O1,所以|O1O2|2≤,即
(-1+2)2+(m-3)2≤,解得3-≤m≤3+.
7.D 易得两圆公共弦所在直线的方程为x+(4-a)y-2=0.
∵公共弦所在直线与x轴垂直,∴4-a=0,解得a=4.故选D.
8.答案 4
解析 易得公共弦所在直线的方程为3x-4y+10=0.
圆x2+y2-8=0的圆心为(0,0),半径为2.
圆心(0,0)到直线3x-4y+10=0的距离d==2,所以公共弦的长为2=4.
9.答案 3
解析 由题意可知,直线x-y+c=0是线段AB的垂直平分线,因为直线x-y+c=0的斜率为1,所以kAB==-1,解得m=5.
由中点坐标公式得,线段AB的中点坐标为(3,1),
将其代入直线方程,得3-1+c=0,解得c=-2.
故m+c=5-2=3.
10.解析 (1)设P(x,y),A(x0,y0),则①.
因为点A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动,所以(x0-4)2+(y0-3)2=4②.
把①代入②,得(2x-6-4)2+(2y-5-3)2=4,整理得(x-5)2+(y-4)2=1,所以点P的轨迹C2的方程为(x-5)2+(y-4)2=1.
(2)易得直线MN的方程为2x+2y-19=0.
圆C2:(x-5)2+(y-4)2=1的圆心为(5,4),半径为1.
(5,4)到直线2x+2y-19=0的距离为,所以|MN|=2.
能力提升练
1.A 2.BD 3.C 4.C 5.BC
1.A 圆C1的圆心为C1(a,0),半径r1=1.
圆C2的圆心为C2(0,b),半径r2=2.
由圆C1与圆C2有3条公切线知,两圆外切,
∴|C1C2|==r1+r2=3,因此a2+b2=9.
设P(a,b)在圆O:x2+y2=9上,A(3,4),
则|PA|=.
∵|OA|==5,∴|PA|min=|OA|-3=2.故选A.
2.BD 对于A,线段AB的中垂线即为直线C1C2,易得C1,C2(1,1),
所以直线C1C2的方程为y-1=(x-1),即y=x,故A错误;
对于B,圆C1和圆C2的方程作差,得x2+y2-3x-3y+3-(x2+y2-2x-2y)=0,整理得x+y-3=0,故B正确;
对于C,令y-x=t,则y=x+t,将其代入x2+y2-2x-2y=0中,得x2+(x+t)2-2x-2(x+t)=0,整理得2x2+2(t-2)x+t2-2t=0,易知此方程有解,故Δ=4(t-2)2-8(t2-2t)≥0,解得-2≤t≤2,故y-x的最大值为2,故C错误;
对于D,点(0,2)在圆C2:x2+y2-2x-2y=0上,故切线方程为y-2=-x,即y=x+2,故D正确.
故选BD.
3.C 根据题意知,圆(x-a)2+(y-a)2=4与圆x2+y2=1相交,两圆圆心的距离d=|a|,所以2-1<|a|<2+1,即,所以-.故选C.
4.C 由M={(x,y)|x=-}得x2+y2=4(x≤0),所以集合M表示以点O(0,0)为圆心,2为半径的圆的左半部分,且与y轴交于点(0,2),
(0,-2).
易知集合N={(x,y)|(x+3)2+(y-3)2=r2(r>0)}表示以点(-3,3)为圆心,r为半径的圆.如图所示:
记A(0,2),B(0,-2),C(-3,3).
当圆C与半圆O相外切于点P时,M∩N有且仅有一个元素,此时r=-2.
当圆C过点A时,M∩N有两个元素,此时(0+3)2+(2-3)2=r2,所以r=.
当圆C过点B时,M∩N有且仅有一个元素,此时(0+3)2+(-2-3)2=r2,所以r=.
所以当M∩N= 时,实数r的取值范围为0,故选C.
5.BC 易得☉O1的圆心为O1(m,-1),半径r1=,☉O2的圆心为O2(1,2m),半径r2=2|m|.
对于A,由题意得,,解得m>0,故A错误;
对于B,当m=1时,O1(1,-1),r1==r2-r1,
∴☉O1与☉O2相交,∴☉O1与☉O2有两条公切线,故B正确;
对于C,易得公共弦所在直线的方程为(2-2m)x+(2+4m)y-1=0,将代入,得(2-2m)×-1=0,故C正确;
对于D,由C中分析知,公共弦所在直线的方程为(2-2m)x+(2+4m)y-1=0,若公共弦所在直线的斜率为,则,∴4m-4=2+4m,无解,故不存在m,使☉O1与☉O2的公共弦所在直线的斜率为,故D错误.故选BC.
6.解析 (1)圆M的方程可化为(x-6)2+(y-7)2=25,∴圆M的圆心为M(6,7),半径为5,
由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0),
∵圆N与x轴相切,与圆M外切,
∴圆N的半径为y0,且7-y0=5+y0,解得y0=1,
∴圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)∵直线l平行于OA,∴直线l的斜率为=2.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离d=,
∵|BC|=2,且|MC|2=d2+,
∴25=+5,解得m=5或m=-15,
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵A(2,4),T(t,0),①
∵点Q在圆M上,∴(x2-6)2+(y2-7)2=25,②
将①代入②得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25,于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆(x-t-4)2+(y-3)2=25上,
∴圆M与圆(x-t-4)2+(y-3)2=25有公共点,
∴5-5≤≤5+5,
解得2-2≤t≤2+2,
∴实数t的取值范围为[2-2].
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知识 清单破
2.3.4 圆与圆的位置关系
知识点 圆与圆的位置关系
1.代数法:设两圆的方程分别为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
( + -4F2>0),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的
是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按下列表中的标准进行
判断.
2.几何法:设两圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d,按下列表中的标准进行判断.
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公共点个数 0 1 2 1 0
Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0
d与r1,r2的关
系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|公切线条数 4 3 2 1 0
圆C1与圆C2有且只有一个公共点,则圆C1与圆C2外切或内切.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.若圆C1与圆C2有且只有一个公共点,则圆C1与圆C2外切. ( )
提示
2.若两个圆没有公切线,则它们一定内含. ( )
√
3.若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交. ( )
提示
若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交、内切或内含.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 两圆的位置关系
一般利用几何法解决两圆位置关系的相关问题,其关键是正确找出圆心和半径,分析圆
心之间的距离与两圆半径的和(或差的绝对值)的大小关系.
典例 (1)圆O1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆O2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系为 ;
(2)已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0和圆C2:4x2+4y2-16x+8y+19=0,则这两个圆的公切线的条数为
;
(3)已知圆O1:x2+y2+2x+6y+9=0,圆O2:x2+y2-6x+2y+1=0,则两圆的公切线方程为
.
外切
2
y+4=0,4x-3y=0,
x=0,3x+4y+10=0
解析 (1)设圆O1与圆O2的半径分别为r1,r2,则O1(-2,2),O2(2,5),r1=1,r2=4,
所以|O1O2|= =5=r1+r2,
所以两圆外切.
(2)易知圆C1:(x-1)2+(y+2)2=1,圆C2:(x-2)2+(y+1)2= ,则C1(1,-2),C2(2,-1),
所以圆心距|C1C2|= = ,
又1- < <1+ ,所以两个圆相交,
所以这两个圆的公切线的条数为2.
(3)由题知,圆O1的圆心为O1(-1,-3),半径r1=1;圆O2的圆心为O2(3,-1),半径r2=3,则|O1O2|=2 >r1+
r2,所以两圆外离,此时两圆有四条公切线.
当公切线的斜率存在时,设公切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,则有
解得 或 或
所以公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0.
当公切线的斜率不存在时,x=0.
综上所述,公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y+10=0.
易错警示 本题(3)易忽略斜率不存在的公切线,防止出现这种现象的有效方法就是先判断
出两圆的位置关系,确定公切线的条数,再求解.若通过设斜截式方程求得的直线少于确定的
条数,则一定有斜率不存在的公切线.
疑难 2 两圆的公共弦问题
讲解分析
1.两圆的公共弦所在直线的方程
若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0)相
交,则两圆的公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.
注意:只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.
2.两圆公共弦的长度的求法
(1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,再利用两点间的距离公式求出弦长.
(2)几何法:①将两圆的方程作差,求出公共弦所在直线的方程;②求出其中一个圆的圆心到公
共弦的距离;③利用勾股定理求出公共弦的长度.
3.求经过两圆交点的圆的方程的方法
一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0)交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),然后由其他条件求出λ即得圆的方程.
典例 求圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程及公共弦
长.
解析 联立,得
两式相减并化简,得x-2y+4=0,
即两圆公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.
解法一:设两圆相交于A,B两点,则A,B两点满足方程组
解得 或
所以|AB|= =2 ,即公共弦的长度为2 .
解法二:由x2+y2-2x+10y-24=0得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径为5 .
解法二:由x2+y2-2x+10y-24=0得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径为5 .
圆心到直线x-2y+4=0的距离为 =3 .
设公共弦长为2l,则50=(3 )2+l2,解得l= (负值舍去),
故公共弦长为2l=2 .
