2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
基础过关练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.(多选题)设F1,F2为两个定点,若动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹可能是( )
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
2.已知椭圆=1上的点M到该椭圆的一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是( )
A.2 B.4 C.8 D.
3.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于M,N两点,则△MNF2的周长为( )
A.10 B.16 C.20 D.26
4.已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点,且PF1⊥PF2,则||PF1|-|PF2||=( )
A.2
5.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与C交于P,Q两点,若|F2Q|∶|PQ|∶|F1Q|=1∶4∶5,则△QF1F2的面积为( )
A.
C.
题组二 椭圆的标准方程
6.焦点坐标为(0,-4),(0,4),且过点(0,6)的椭圆方程为( )
A.=1
C.=1
7.某椭圆过点P和Q,则此椭圆的标准方程是( )
A.+x2=1
B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1
D.以上都不对
8.过点(),且与椭圆=1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.=1
C.=1
9.若动点P(x,y)满足,则动点P的轨迹方程为( )
A.=1
C.=1
10.一动圆过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切,则动圆圆心M的轨迹方程是 .
题组三 椭圆的标准方程的应用
11.椭圆=1的焦点坐标为( )
A.(-,0)
B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-)
D.(0,-2),(0,2)
12.已知椭圆=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5 C.7 D.8
13.对于曲线C:=1,给出下列三个命题:①曲线C不可能表示椭圆;②若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1A.①③ B.②③
C.①② D.①②③
14.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P为椭圆上一点,且|PF1|=|F1F2|,则点P到y轴的距离为( )
A.
15.已知点P是椭圆=1上一点,其左、右焦点分别为F1,F2,若∠F1PF2为锐角且△F1PF2外接圆的半径为4,则△F1PF2的面积是 .
16.已知椭圆C:=1(a>b>0)经过
点M,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,|F1F2|=2,P是椭圆C上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在第一象限,且,求点P的横坐标的取值范围.
17.设椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=3,|PF2|=5.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点M在椭圆C上,且△MF1F2的面积为2,求点M的坐标.
能力提升练
题组一 椭圆定义的应用
1.某班级物理社团同学在做光学实验时,发现了一个有趣的现象:从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将会聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题:已知椭圆C的方程为=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=6,过点P且与直线l垂直的直线m与直线F1F2交于点Q,则=( )
A.
2.已知椭圆C:=1的左焦点为F,P为C上一动点,定点A(-1,),则|PF|+|PA|的最大值为( )
A.4
3.已知F为椭圆C:+y2=1的右焦点,P为C上一点,Q为圆M:x2+(y-4)2=1上一点,则|PQ|-|PF|的最小值为( )
A.-2
4.(多选题)已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且P不在x轴上,则( )
A.△PF1F2的周长为4+2
B.当∠PF1F2=90°时,|PF1|=2
C.当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为
D.椭圆上有且仅有6个点P,使得△PF1F2为直角三角形
题组二 椭圆的标准方程及其应用
5.过原点O的直线l与椭圆C:=1(a>b>0)交于M,N两点,P是椭圆C上异于M,N的任意一点.若直线PM,PN的斜率之积为-,则椭圆C的方程可能为( )
A.+y2=1
C.=1
6.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),
F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点,若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.=1
C.=1
7.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为.
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;
(2)若轨迹E上的两点P,Q满足,求|PQ|.
答案与分层梯度式解析
2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
基础过关练
1.AD 2.B 3.C 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C
9.B 11.D 12.D 13.B 14.C
1.AD 由椭圆定义可知,当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时,动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆;当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时,动点M的轨迹是线段F1F2;当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时,轨迹不存在.故选AD.
易错警示 椭圆的定义中,动点到两定点距离之和是常数,且必须大于两定点的距离,这是判断曲线是不是椭圆的限制条件.
2.B 不妨设F为椭圆的左焦点,设椭圆的右焦点为F1,连接MF1,如图所示:
∵|MF1|+|MF|=2a=10,|MF|=2,
∴|MF1|=2a-|MF|=8.
∵N为MF的中点,O为FF1的中点,
∴NO为△FF1M的中位线,
∴|ON|=|MF1|=4.故选B.
3.C 由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a,|NF1|+|NF2|=2a,所以△MNF2的周长为|MN|+|MF2|+|NF2|=|MF1|+|NF1|+|MF2|+|NF2|=4a=4×5=20.故
选C.
4.B 设|PF1|=m,|PF2|=n.
由题意得
所以||PF1|-|PF2||=.故选B.
5.B 设|F2Q|=t(t>0),则|PQ|=4t,|F1Q|=5t,所以|PF2|=3t.
因为|F1Q|+|F2Q|=2a=6t,所以a=3t,
连接PF1,则|PF1|=2a-|PF2|=6t-3t=3t,
所以|PQ|2+|PF1|2=|F1Q|2,
所以∠F1PQ=90°,即PF1⊥PF2,
所以.故选B.
6.D 由题意得,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,所以b2=a2-c2=62-42=20,所以椭圆的方程为=1.故选D.
7.A 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.
8.C 设所求椭圆的方程为=1(k<9),将()代入,可得=1,解得k=5(k=21舍去),故所求椭圆的标准方程为=1.
9.B 设F1(-2,0),F(2,0),则|F1F2|=4,|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|,故点P的轨迹是以F1,F2为焦点,2a=4的椭圆,所以2c=4,b2=a2-c2=8-4=4,故所求轨迹方程为=1.故选B.
10.答案 =1
解析 圆B的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=36,其圆心为B(-2,0),半径R=6.
设动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r,
由题意可知,|MB|=R-r,又r=|MA|,所以|MB|=R-|MA|,故|MB|+|MA|
=6>|AB|=4.由椭圆的定义知,M的轨迹是以B(-2,0),A(2,0)为焦点的椭圆.设椭圆的方程为=1(a>b>0),则a=3,c=2,b=,所以动圆圆心M的轨迹方程是=1.
11.D 椭圆=1的焦点在y轴上,且a=3,b=,所以c=2,所以椭圆的焦点坐标为(0,±2).
12.D 依题意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,且m-2>10-m,解得613.B ①当即k∈时,曲线C表示椭圆,所以①错误;
②若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则4-k>k-1>0,解得1③由①知,当k∈时,曲线C表示椭圆,当4-k=k-1,即k=时,曲线C表示圆,所以③正确.故选B.
14.C 由椭圆方程得a2=16,b2=7,c2=9,所以|PF1|+|PF2|=2a=8,
|F1F2|=2c=6,所以|PF1|=|F1F2|=6,所以|PF2|=2.
在△PF1F2中,cos∠F1PF2=,所以sin∠F1PF2=.
设P(x0,y0),则|F1F2|·|x0|=|PF2|·|PF1|sin∠F1PF2,所以|x0|=,即点P到y轴的距离为.故选C.
15.答案
解析 由题意得|F1F2|=2c=2,所以=2×4,解得sin∠F1PF2=,所以∠F1PF2=.
由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-|PF2||PF1|=|F1F2|2=48,因为|PF2|+|PF1|=8,所以82-3|PF2|·|PF1|=48,所以|PF2||PF1|=,所以|PF2||PF1|sin∠F1PF2=.
16.解析 (1)由题意得
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设P(x,y)(x>0,y>0).
易知F1(-,0),
则-x,-y),
∴-x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3.
∵,
∴(3x2-8)≤,解得-
≤x≤,又x>0,∴0∴点P的横坐标的取值范围是(0,].
17.解析 (1)由题意得|PF1|+|PF2|=3+5=2a,所以a=4.
因为PF1⊥F1F2,|PF1|=3,|PF2|=5,
所以|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2,所以|F1F2|2=25-9=16,所以|F1F2|=4,即2c=4,所以c=2.
所以b2=a2-c2=12,所以椭圆C的方程为=1.
(2)设M(x0,y0),则·|F1F2|·|y0|=2,即,所以|y0|=.
因为点M在椭圆C上,所以=1,所以=12,所以x0=±2,所以点M的坐标为(2)或(2)或(-2)或(-2).
能力提升练
1.C 2.B 3.D 4.ACD 5.B 6.B
1.C 由椭圆定义可得|PF2|=2a-|PF1|=10-6=4.
由光学性质可知,PQ为∠F1PF2的平分线,
所以.故选C.
2.B 因为<1,所以点A在椭圆内部.记椭圆的右焦点为E,则E(2,0),连接PE,AE,则|PF|+|PE|=2a=4,所以|PF|=4-|PE|,故|PF|+|PA|=4-|PE|+|PA|≤4+|AE|,当且仅当P是AE的延长线与椭圆的交点时取等号,所以|PF|+|PA|的最大值为4.故选B.
3.D 易知圆M的圆心为(0,4),半径为1.
设椭圆C的左焦点为E,则E(-2,0),连接PE,则|PQ|-|PF|=|PQ|-(2a-|PE|)=|PQ|+|PE|-6.
易得|PQ|+|PE|的最小值为|ME|-1=-1,所以|PQ|-|PF|的最小值为-7+2.故选D.
4.ACD 由椭圆方程得a=2,b=,
∴△PF1F2的周长为4+2,故A正确;
令x=-,得y=±1,∴|PF1|=1,故B错误;
设|PF1|=r1,|PF2|=r2,由余弦定理得(2-2r1r2cos 60°,∴(r1+r2)2-3r1r2=8,∴r1r2=,
∴×sin 60°=,故C正确;
当∠PF1F2=90°时,由B中分析知满足题意的点P有2个;同理,当
∠PF2F1=90°时,满足题意的点P也有2个;
设|PF1|=m1,|PF2|=m2,则当∠F2PF1=90°时,解得m1=2,m2=2,所以满足题意的点P也有2个,所以满足条件的点P共有6个,故D正确.
故选ACD.
5.B 设M(x,y),N(-x,-y),P(x0,y0),x0≠±x,则y2=b2-
,所以kPM·kPN=
,即.结合选项知选B.
6.B 设|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,
|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x.
由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.
在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|·
cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x·cos∠BF2F1①,
在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|·
cos∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8x·cos∠BF2F1②,
由①②得x=,所以2a=4x=2,所以b2=a2-c2=2.所以椭圆的方程为=1.故选B.
7.解析 (1)如图,设动圆C的半径为R.
由题意得,定圆C1的半径为4,定圆C2的半径为2,则|CC1|=4-R,①
|CC2|=2+R,②
①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|.
由椭圆的定义知,点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a=6的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为=1(x<2).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则.
由,得,
所以x1=5x2,y1=5y2-=5y2-18.
由P,Q是轨迹E上的两点,
得(x2<2),所以
所以x1=0,y1=-3,所以P(0,-3),Q(0,3),所以|PQ|=6.
2(共19张PPT)
2.5 椭圆及其方程
知识 清单破
知识点 1 椭圆的定义
如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a>|F1F2|,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点
P的轨迹称为椭圆,其中,两个定点F1,F2称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆
的焦距.
知识拓展 当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,动点P的轨迹不存在.
知识点 2 椭圆的标准方程与几何性质
1.椭圆的标准方程与几何性质
焦点位置 在x轴上 在y轴上
图形
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
性 质 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c(c= ) 范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a
对称性 对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点 顶点 (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0)
轴长 长轴(线段A1A2)长为2a,短轴(线段B1B2)长为2b 离心率 e= (0(1)通径:过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段称为通径,其长度为 .
(2)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中通径最短.
(3)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与焦点F1,F2之间的线段称为椭圆的焦半径.记r1=|PF1|,r2=|PF2|,
则:
①当焦点在x轴上时,r1=a+ex0,r2=a-ex0;
②当焦点在y轴上时,r1=a+ey0,r2=a-ey0.
(4)距离:椭圆上的所有点中,到给定焦点距离最大和最小的点,分别是离该焦点较远和较近的
长轴的端点,且最大距离为a+c,最小距离为a-c.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.平面内与两个定点F1,F2间的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆. ( )
提示
常数大于|F1F2|时,轨迹是椭圆.
2.椭圆 + =1(a>b>0)中的参数 不能刻画椭圆的扁圆程度,而 能刻画椭圆的扁圆程度.
( )
3.椭圆的离心率e越小,椭圆越圆. ( )
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 椭圆的标准方程的求解
1.定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出椭圆的标准方程.
2.待定系数法求椭圆的标准方程
如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为 + =1(a>b>0);
如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为 + =1(a>b>0);
如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴上,那么设所求的椭圆方程为
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
3.利用椭圆的性质确定椭圆的标准方程
(1)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程可设为 + =k1(k1>0)或 + =k2
(k2>0).
(2)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程可设为 + =1(k典例 求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在x轴上,a=4,e= ;
(2)焦点在y轴上,c=6,e= ;
(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3;
(4)过点( ,- ),且与椭圆 + =1有相同的焦点;
(5)焦点在坐标轴上,且经过A( ,-2)和B(-2 ,1)两点.
解析 (1)由a=4,e= = ,知c=2,所以b2=16-4=12.又焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为 +
=1.
(2)由c=6,e= = ,知a=9,所以b2=81-36=45.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为 + =1.
(3)由题意知,a=5,c=3,所以b2=25-9=16,又焦点所在坐标轴可为x轴,也可为y轴,故椭圆的标准
方程为 + =1或 + =1.
(4)解法一:因为所求椭圆与椭圆 + =1的焦点相同,所以所求椭圆的焦点在y轴上,且c2=25-
9=16.
设所求椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0).
因为c2=16,且c2=a2-b2,
所以a2-b2=16.①
因为点( ,- )在椭圆上,
所以 + =1,即 + =1.②
由①②得b2=4,a2=20.
所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
解法二:设所求椭圆的方程为 + =1(λ>-9).
因为点( ,- )在椭圆上,
所以 + =1,化简得λ2+26λ+105=0,
解得λ=-5或λ=-21(舍去).
所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
(5)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
因为A( ,-2)和B(-2 ,1)在椭圆上,
所以
即 解得
所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
若椭圆 + =1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P是椭圆上任意一点(不与F1,F2
共线),则△PF1F2称为焦点三角形.
(1)解决焦点三角形问题时,注意对椭圆的定义、正弦定理、余弦定理、配方法、平面向量
的数量积及其坐标运算等知识的运用.
(2)焦点三角形的常用公式:
①焦点三角形的周长C=2a+2c.
②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
③设P(xP,yP),则焦点三角形的面积S=c|yP|= |PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan .
疑难 2 椭圆的焦点三角形问题
讲解分析
④当且仅当点P位于短轴端点时,∠F1PF2最大,此时满足cos∠F1PF2=1-2e2.
典例 (多选)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一动点,点M(1,-1),则
下列结论正确的是 ( )
A.△PF1F2的周长为8
B.△PF1F2的面积的最大值为2
C.存在点P,使得PF1⊥PF2
D.|PM|+|PF1|的最大值为7
ABD
解析 对于A,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2× +2× =8,故A正确;
对于B,易知当P为椭圆短轴的端点时,△PF1F2的面积最大,为 ×2× × =2 ,故B正确;
对于C,易知当P为椭圆短轴的端点时,∠F1PF2最大,此时cos∠F1PF2= =
= >0,即∠F1PF2为锐角,所以不存在点P,使得PF1⊥PF2,故C错误;
对于D,易得F2(1,0),点M(1,-1)在椭圆内,所以|MF2|= =1,所以|PM|+|PF1|=|PM|+6-
|PF2|=6+|PM|-|PF2|≤6+|MF2|=7,故D正确.
疑难 3 椭圆的离心率问题
讲解分析
1.求椭圆离心率的两种常用方法
(1)易求a,c的值时,直接求出并代入e= 求解,有时要结合a2=b2+c2求解.
(2)若a,c的值不易求,一般借助a2=b2+c2得出只含a,c的齐次方程,然后将等式两边同时除以a的
最高次幂,从而利用e= 转化为关于e的方程,解方程即可.此时要注意02.求椭圆离心率的取值范围
根据条件建立关于a,b,c的不等式,借助a2=b2+c2转化为关于a,c的齐次不等式,再将不等式两边
同除以a的最高次幂,得到关于e的不等式,解不等式即可求得e的范围,最后结合0果.
典例 (1)已知F1为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,若PF1⊥F1A,
PO∥AB(O为椭圆的中心),则椭圆的离心率为 ;
(2)已知椭圆 + =1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,
则椭圆的离心率的取值范围为 .
思路点拨 (1)根据题意得点P的坐标 利用kAB=kOP或△PF1O∽△BOA得关于a,b,c的等式
求离心率.
(2)由条件列出关于a,c的不等式,将其转化为关于e的不等式,结合e∈(0,1),得到e的取值范围.
解析 (1)解法一:由已知可设椭圆的方程为 + =1(a>b>0),c2=a2-b2(c>0),则F1(-c,0).
∵PF1⊥F1A,
∴P 或P .
∵AB∥PO,
∴P ,kAB=kOP,
即- =- ,
∴b=c,∴a2=2c2,
∴e= = .
解法二:由解法一知P .
易知△PF1O∽△BOA,
∴ = ,
∴ = ,即b=c,∴a2=2c2,
∴e= = .
(2)连接OP(O为坐标原点).
由PF1⊥PF2知△F1PF2是直角三角形,
∴|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,
∴a≤ c,∴e≥ ,
又0基础过关练
题组一 利用方程研究椭圆的几何性质
1.(多选题)已知椭圆C:=1(m>0)的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的3倍,则下列说法正确的是( )
A.长轴长为6 B.短轴长为2
C.焦距为2 D.离心率为
2.已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,A为上顶点,则
△AF1F2的面积为( )
A.6 B.15 C.6
3.椭圆=1与椭圆=1(k<9且k≠0)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.焦距相等 D.离心率相等
4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点A,B在椭圆上运动,当直线AB过椭圆的右焦点并垂直于x轴时,
△OAB的面积为(O为坐标原点),则椭圆的长轴长为( )
A.2 B.4 C.
5.(多选题)已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,则下面结论正确的是( )
A.|MF2|的最大值大于3
B.|MF1||MF2|的最大值为4
C.∠F1MF2的最大值为60°
D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A,B两点,P为l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为=1或=1
题组二 根据几何性质求椭圆的标准方程
6.古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,其面积为4π,过点F1的直线l与椭圆C交于点A,B且△F2AB的周长为16,则椭圆C的方程为( )
A.=1
C.=1
7.已知P1(1,1),P2(0,1),P3
=1(a>b>0)上,则a=( )
A.8 B.6 C.4 D.2
8.过点(2,),焦点在x轴上且与椭圆=1有相同的离心率的椭圆方程为( )
A.=1
C.=1
9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点P为椭圆上一点,若∠F1PF2
=,且△F1PF2内切圆的半径为1,则椭圆C的方程为( )
A.=1
C.=1
10.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,离心率为,过F1的直线与该椭圆交于P,Q两点(其中点P在第一象限),且AQ∥PF2,若△AF1Q的周长为,则该椭圆的标准方程为 .
11.(给定椭圆C:=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴的一个端点到点F的距离为.
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)若点A,B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点,P是椭圆C上的一个动点,求的取值范围.
题组三 椭圆的离心率问题
12.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( )
A.1--1
13.已知椭圆C:=1(a>b>0),F为其左焦点,直线y=kx(k>0)与椭圆C交于点A,B(其中点B在第一象限),且AF⊥FB,若∠ABF=30°,则椭圆C的离心率为( )
A.-1
C.
14.已知椭圆C:=1(a>b>0),O为椭圆的对称中心,F为椭圆的一个焦点,P为椭圆上一点,PF⊥x轴,PF与椭圆的另一个交点为Q,△POQ为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )
A.
15.椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点Q,使得∠F1QF2=120°,则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A.
C.
16.若2能力提升练
题组 椭圆的几何性质的综合应用
1.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=kx(k>0)与椭圆C相交于M,N两点(M在第一象限),若M,F1,N,F2四点共圆,则椭圆C的离心率e的取值
范围是( )
A.[
C.-1]
2.已知两定点A(-3,0)和B(3,0),动点P(x,y)在直线l:y=-x+5上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的短轴长的最小值为( )
A.2
C.
3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,P是C上一动点,若点P到焦点的最大距离为2+,则cos∠F1PF2的取值范围为( )
A.
C.
4.已知F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上一点(异于左、右顶点),若存在以c为半径的圆内切于△PF1F2,则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A.
5.在焦点在x轴上的椭圆中截得的最大矩形的面积的取值范围是,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.
C.
6.(多选题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2,点 P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是( )
A.|QF1|+|QP|的最小值为 2a-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率e的取值范围为
D.若,则椭圆 C的长轴长为
7.已知F为椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点,O为坐标原点,M为线段OF的垂直平分线与椭圆C的一个交点,若cos∠MOF=,则椭圆C的离心率e= .
8.已知椭圆=1的右焦点为F,点M在☉O:x2+y2=3上,且M在第一象限,过点M作☉O的切线交椭圆于P,Q两点,则△PFQ的周长为 .
答案与分层梯度式解析
2.5.2 椭圆的几何性质
基础过关练
1.ABD 2.D 3.C 4.B 5.BCD 6.A 7.D 8.D
9.A 12.D 13.A 14.B 15.D
1.ABD 由题意得2×3=3×2,解得m=1,故椭圆C的方程为+x2=1,所以a2=9,b2=1,c2=8,所以椭圆C的长轴长2a=6,短轴长2b=2,焦距2c=4,离心率e=.故选ABD.
2.D 由椭圆方程=1,得A(0,3),F1(-
|F1F2|·|yA|=.故选D.
3.C 椭圆=1的长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,离心率为.
椭圆=1(k<9且k≠0)的长轴长为2,短轴长为2,焦距为2=8,离心率为.故选C.
4.B 当直线AB过椭圆的右焦点并垂直于x轴时,|AB|=,所以所以椭圆的长轴长为2a=4.故选B.
5.BCD 由椭圆方程得a2=4,b2=3,∴c2=1,
因此F1(-1,0),F2(1,0).
A中,|MF2|max=a+c=3,故A错误.
B中,|MF1|·|MF2|≤=4,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,故B正确.
C中,当点M为短轴的端点时,∠F1MF2取得最大值,令M(0,),则
tan =30°,∴∠F1MF2的最大值为60°,故C正确.
D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y),
∵|PA|·|PB|=2,
∴|x-x1|·|x+x1|=2,
∴|x2-|=2,即=x2-2或=x2+2.
又=1或=1,
化简得=1或=1,故D正确.故选BCD.
6.A 依题意得=2a·2b,则ab=4,
由题意,结合椭圆的定义可得4a=16,所以a=4,所以b=,
又椭圆的焦点在y轴上,故椭圆的方程为=1.
7.D 由于椭圆关于y轴对称,且P3关于y轴对称,故P3,P4必然同时在或不在椭圆上.由于四点中恰有三点在椭圆上,故P3,P4都在椭圆上.
若P1(1,1)在椭圆上,则=1.因为P3,P4都在椭圆上,所以=1.两个等式矛盾,故P1(1,1)不在椭圆上.
因此P2(0,1),P3三点在椭圆上,故=1,解得a2=4,b2=1,所以a=2.故选D.
8.D 设所求椭圆方程为=λ(λ>0),将(2,)代入可得=λ,即λ=2,所以所求椭圆方程为=1.故选D.
9.A 易知△F1PF2中,内切圆半径r==a-c=1,又离心率
为,所以a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7,所以椭圆C的方程为=1.故选A.
10.答案 =1
解析 由椭圆的离心率为得a=c.
因为AQ∥PF2,所以△AF1Q∽△F2F1P,
又,
所以△AF1Q的周长与△F2F1P的周长之比为1∶4,
因为△AF1Q的周长为,
所以△F2F1P的周长为10,即2a+2c=10,
又a=c,所以a=3,c=2,所以b2=5,
故椭圆的标准方程为=1.
11.解析 (1)由题意知c=,故b==1,故椭圆C的方程为+y2=1,其“准圆”方程为x2+y2=4.
(2)设P(m,n)(-≤m≤),则+n2=1.
不妨设A(2,0),B(-2,0),则=(m+2,n),所以-3,因为-≤m≤,所以-3∈[-3,-1],
所以的取值范围是[-3,-1].
12.D 因为PF1⊥PF2,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=
c.
由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=(+1)c=2a,所以离心率e=-1.故选D.
13.A 设椭圆的右焦点为E,连接AE,BE,
易得A,B关于原点对称,所以O为AB,EF的中点,
又AF⊥FB,所以四边形AEBF为矩形,所以∠BFE=∠ABF=30°,所以|BE|=c,
由椭圆的定义可得|BE|+|BF|=c+c=2a,
故该椭圆的离心率e=-1.故选A.
14.B 不妨设F(c,0),P(c,y0).
因为点P(c,y0)在椭圆上,所以=1,解得y0=±,不妨取y0=,所以P.
因为△POQ为等腰直角三角形,所以|PF|=|OF|,即=c,即a2-c2=ac,所以e2+e-1=0,解得e=或e=(舍去).故选B.
15.D 设椭圆的上顶点为B,坐标原点为O,连接BF1,BF2,则|BF1|=|BF2|=a,|OF2|=c.
若椭圆上存在点Q,使得∠F1QF2=120°,则∠F1BF2≥120°,所以∠OBF2≥60°,显然∠OBF2<90°,所以≤sin∠OBF2<1,即<1,
所以椭圆的离心率e的取值范围为.故选D.
16.答案
解析 易得e1=,所以e1e2=,当且仅当m=4时,等号成立,又0能力提升练
1.C 2.B 3.B 4.A 5.C 6.ACD
1.C 由椭圆的中心对称性和M,F1,N,F2四点共圆,知四边形MF1NF2为矩形,所以以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点,则c>b,所以c2>a2-c2,即2c2>a2,故2.B 设点A(-3,0)关于直线l:y=-x+5的对称点为A'(x0,y0),则即A'(5,8).
根据椭圆的定义可知,2a=|AP|+|BP|=|A'P|+|BP|≥|A'B|=
,
当A',P,B三点共线时,长轴长2a取最小值2,即amin=,又a2=b2+c2且c=3,所以b=,因此椭圆C的短轴长的最小值为4.故选B.
3.B 由题意知e=,所以a=2,c=,所以b=1,故C的方程为+y2=1.
设P(2cos θ,sin θ),又F1(-,0),所以-2cos θ,-sin θ),-2cos θ,-sin θ),
所以cos∠F1PF2=.故选B.
4.A 设点P的坐标为(xP,yP).
由题意得×2c×|yP|,
∴(a+c)×c=c×|yP|≤bc,∴a+c≤b,
∴(a+c)2≤2b2,∴a2-2ac-3c2≥0,
∴(a+c)(a-3c)≥0,∴a≥3c,∴05.C 设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).
不妨设矩形ABCD的对角线AC所在直线的方程为y=kx(k>0),
由=1,
解得x2=,
所以矩形ABCD的面积S=4|xy|==2ab,当且仅当k=时取等号.
由题意得b2≤2ab≤b2,则b≤a≤b,即b2≤a2≤b2,即(a2-c2)≤a2≤(a2-c2),所以所以e∈.故选C.
6.ACD 因为|F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1,当点Q在F2P的延长线上时取等号,故A正确;若椭圆C的短轴长为2,即2b=2,则b2=1,a2=2,所以椭圆的方程为+y2=1,又+12>1,则点P在椭圆外,所以短轴长不可能为2,故B错误;因为点P(1,1)在椭圆内部,所以<1,又a2-b2=1,所以<1(a>1),即a4-3a2+1>0(a>1),所以a2>,所以a>,所以e=,所以e∈,故C正确;若,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),又点Q在椭圆上,所以=1,又a2-b2=1,所以=1(a>1),即a4-11a2+9=0(a>1),所以a2=,所以a=,所以椭圆C的长轴长为,故D正确.故选ACD.
7.答案
解析 设F(c,0),M,将M代入椭圆C的方程,得=1,即b2.
设线段OF的垂直平分线与x轴的交点为E(图略),
则△MOE为直角三角形,
因为cos∠MOF=,所以,
设|OE|==3,则|OM|=7,c=6,
所以|ME|=|y0|=,
所以b2=40,即b2=40,①
又a2-b2=c2=36,所以b2=a2-36,②
把②代入①,得a4-85a2+324=0,
解得a2=81或a2=4(舍去),故a=9,
所以椭圆C的离心率e=.
8.答案 4
解析 由椭圆方程得F(1,0).
设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1>0,x2>0,
则|PF|2=(x1-1)2+
(x1-4)2,
易知x1<2,∴|PF|=2-x1.同理,|QF|=2-x2.
又|PM|2=|OP|2-(,
∴|PM|=x1.同理,|QM|=x2.
∴△PFQ的周长为2-x1=4.
解题模板 椭圆上一点到焦点的距离为焦半径,与两条焦半径有关的问题通常用椭圆的定义求解;与一条焦半径有关的问题常用焦半径公式求解,点P(x1,y1)与左焦点F1(-c,0)之间的距离为|PF1|=a+ex1,与右焦点F2(c,0)之间的距离为|PF2|=a-ex1.
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