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2.6 双曲线及其方程
知识 清单破
知识点 1 双曲线的定义
一般地,如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个正常数,且2a<|F1F2|,则平面上满足||PF1|-|PF2||=
2a的动点P的轨迹称为双曲线,其中,两个定点F1,F2称为双曲线的焦点,两个焦点的距离|F1F2|
称为双曲线的焦距.
知识拓展 (1)当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端
点);当2a>|F1F2|时,动点P的轨迹不存在.(2)若将定义中的“||PF1|-|PF2||=2a”改成“|PF1|-|PF2|=
2a”,则动点P的轨迹是双曲线的一支.
知识点 2 双曲线的标准方程与几何性质
1.双曲线的标准方程与几何性质
焦点位置 在x轴上 在y轴上
图形
标准 方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
性 质 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c(c= ) 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a
对称性 对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
轴长 实轴(线段A1A2)的长:2a; 虚轴(线段B1B2)的长:2b; 实半轴长:a;虚半轴长:b 渐近线 y=± x y=± x
离心率 e= (e>1)
2.等轴双曲线
实轴长和虚轴长相等的双曲线,称为等轴双曲线,其方程为x2-y2=±a2(a>0),离心率e= ,两
条渐近线互相垂直.
3.双曲线的其他几何性质
(1)双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离等于b.
(2)通径:过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径,其长
度为 .
(3)若双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,当点P在左支上时,|PF1|∈[c-a,+∞),
|PF2|∈[c+a,+∞);当点P在右支上时,|PF1|∈[c+a,+∞),|PF2|∈[c-a,+∞).
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.平面内与两个定点间的距离的差等于常数的点的轨迹是双曲线. ( )
2.双曲线的离心率越大,开口越大. ( )
√
3.焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线. ( )
4.双曲线 - =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,若|PF1|=5,则|PF2|的值是1或9.
( )
提示
双曲线 - =1中,a=2,b=2 ,c= =4,若点P在双曲线的右支上,可得|PF1|≥a+c=6,若点P在双曲线的左支上,可得|PF1|≥c-a=2,由|PF1|=5可得点P在双曲线的左支上,可得|PF2|-|PF1|=2a=4,即有|PF2|=5+4=9.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 双曲线的标准方程的求解
1.定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出双曲线的标准方程.
2.待定系数法求双曲线的标准方程
根据焦点位置,设其方程为 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦点位置不定时,可
设为mx2+ny2=1(mn<0).
3.利用双曲线的性质确定双曲线的标准方程
(1)与双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为 - =λ(λ>0)或 - =λ
(λ>0).
注意:已知离心率不能确定焦点位置.
(2)与渐近线有关的双曲线的标准方程的设法:
①与双曲线 - =1(a>0,b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0).
②渐近线方程为ax±by=0(a>0,b>0)的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
(3)与焦点有关的双曲线的标准方程的设法:
①与双曲线 - =1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(-b2<λ
②与椭圆 + =1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为 + =1(b2<λ典例 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)a=2 ,经过点(2,-5),焦点在y轴上;
(2)经过点P ,Q ;
(3)与双曲线 - =1有公共焦点,且过点(3 ,2);
(4)已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为 ,且经过点(-3,2 );
(5)渐近线方程为y=± x,且经过点(2,-3).
解析 (1)设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0).
因为a=2 ,且点(2,-5)在双曲线上,
所以 - =1,解得b2=16.
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
(2)解法一:若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),
因为点P 和Q 在双曲线上,
所以 此方程组无实数解.
若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),
因为点P 和Q 在双曲线上,
所以 解得
所以双曲线的标准方程为 - =1.
解法二:设双曲线的标准方程为 + =1(mn<0).因为P,Q两点在双曲线上,
所以 解得
所以双曲线的标准方程为 - =1.
(3)解法一:设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0).
由题意易求得c=2 .
因为双曲线过点(3 ,2),所以 - =1.又因为a2+b2=20,所以a2=12,b2=8,
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
解法二:设双曲线的标准方程为 - =1(-4得k=4或k=-14(舍去).
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
(4)设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0).由题意得 解得
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
(5)解法一:当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),则 = .①
因为点(2,-3)在双曲线上,所以 - =1.②
联立①②,无解.
当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),则 = .③
因为点(2,-3)在双曲线上,所以 - =1.④
联立③④,解得a2=8,b2=32.
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
解法二:设双曲线的标准方程为 -y2=λ(λ≠0).因为点(2,-3)在双曲线上,所以 -(-3)2=λ,即λ=-8.
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
双曲线上一点P(不在坐标轴上)与其两焦点F1,F2构成的三角形PF1F2称为焦点三角形.
(1)令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,|F1F2|=2c,则
①定义:|r1-r2|=2a.
②余弦公式:4c2= + -2r1r2cos θ.
③面积公式: = r1r2sin θ= =c|yP|.
④焦点三角形PF1F2的内切圆圆心的横坐标恒为定值a或-a.
(2)由三角形的边角关系(正、余弦定理)和双曲线的定义等知识可以解决焦点三角形的面
积、周长及有关角、变量的范围等问题.
疑难 2 双曲线的焦点三角形问题
讲解分析
典例 (1)设F1,F2分别是双曲线x2- =1的左、右焦点,P是双曲线上一点,且3|PF1|=4|PF2|,则
△PF1F2的面积为 ( )
A.4 B.8 C.24 D.48
(2)双曲线 - =1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为 ( )
A.1或21 B.14或36
C.1 D.21
(3)若F1,F2是双曲线 - =1的两个焦点,P是双曲线上的点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积
为 .
16
C
D
解析 (1)易知点P在双曲线的右支上.
由题意得 解得
∵|F1F2|=10,∴△PF1F2是直角三角形,
∴ = |PF1|·|PF2|=24.故选C.
(2)设点P到另一个焦点的距离为m(m>0).
∵点P到一个焦点的距离为11,
∴由双曲线的定义得|11-m|=10,
∴m=1或m=21.
∵a=5,c=7,m≥c-a,∴m≥7-5=2,∴m=1不符合题意,舍去.∴m=21.故选D.
(3)由题意可知a=3,b=4,c= =5.
由双曲线的定义和余弦定理得||PF2|-|PF1||=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2·|PF1||PF2|cos 60°,
∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
∴|PF1|·|PF2|=64.
∴ = |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2= ×64× =16 .
疑难 3 双曲线的离心率问题
讲解分析
1.求双曲线的离心率
(1)易求a,c的值时,直接求出并代入e= 求解,有时要结合c2=a2+b2求解.
(2)构建关于a,c的齐次方程,利用e= 将齐次方程转化为关于e的方程,解方程即可.注意e>1.
2.求双曲线离心率的取值范围
利用题设中的条件,构造关于a,b,c的齐次不等式,结合c2=a2+b2求解.解题时注意利用图形
中的位置关系(如三角形中的边角关系等).
典例 (1)已知双曲线 - =1(a>1,b>1)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的
距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥ c,则双曲线的离心率e的取值范围是 ( )
A.(1, ] B.
C.[ ,+∞) D.
(2)如图,已知F1,F2分别为双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1
F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M,N两点,且∠MAN=135°,则该双曲线的离心率为
( )
A. B. C.2 D.
D
D
解析 (1)易得直线l的方程为 + =1,即bx+ay-ab=0.
由点到直线的距离公式及a>1,b>1,得点(1,0)到直线l的距离d1= ,点(-1,0)到直线l的距
离d2= ,
∴s=d1+d2= = .由s≥ c得 ≥ c,
即5a ≥2c2,即5 ≥2e2,即4e4-25e2+25≤0,解得 ≤e2≤5,又e>1,∴ ≤e≤ .故
选D.
(2)易得以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,双曲线C的一条渐近线方程为y= x.
由 解得 或
不妨设M(a,b),N(-a,-b).
因为A(-a,0),∠MAN=135°,所以∠MAO=45°,又tan∠MAO= ,所以1= ,即b=2a,
所以该双曲线的离心率e= = .故选D.2.6.2 双曲线的几何性质
基础过关练
题组一 根据双曲线的方程研究几何性质
1.若双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m的值为( )
A.4 B.-4 C.-
2.(多选题)已知双曲线W:=1,则( )
A.m∈(-2,-1)
B.若W的顶点坐标为(0,±),则m=-3
C.W的焦点坐标为(±1,0)
D.若m=0,则W的渐近线方程为x±y=0
3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3∶1,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±2x
C.y=±x
4.已知F1,F2是双曲线C:-y2=1的左、右焦点,过F2的直线l与曲线C的右支交于A,B两点,则△AF1B的周长的最小值为( )
A.4
题组二 根据几何性质求双曲线的方程
5.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,且双曲线C上的点到焦点的最小距离为2,则双曲线C的方程为( )
A.=1
C.=1
6.与双曲线-y2=1有相同渐近线,且与椭圆+x2=1有共同焦点的双曲线方程是( )
A.x2-=1
C.-x2=1
题组三 双曲线的离心率问题
7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长为4,其焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为( )
A.
8.已知双曲线=1(b>a>0)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.
9.(多选题)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上一点,若|PF1|=5|PF2|,则该双曲线的离心率e的值可以是( )
A. D.2
10.已知F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是C左支上一点,|PF2|=2|PF1|,若存在点M满足=0
(O为原点),则C的离心率为 .
能力提升练
题组 双曲线的几何性质的综合应用
1.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在C上,且MF1⊥MF2,△OMF1的面积为(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为( )
A.
2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于点P,且
△POF1(O为坐标原点)为等腰三角形,则该双曲线的离心率e=( )
A.
3.(多选题)如图,双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,从右焦点F2发出的光线m交双曲线的右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线过左焦点F1,则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的焦点F2到一条渐近线的距离为4
B.若m⊥n,则|PF1|·|PF2|=32
C.当反射光线n过点Q(7,5)时,光线由F2→P→Q所经过的路程为8
D.若反射光线n所在直线的斜率为k,则|k|∈
4.(多选题)如图,已知双曲线C:=1
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若|AF1|=|BF2|=2|AF2|,则( )
A.∠AF1B=∠F1AB
B.双曲线的离心率e=
C.双曲线的渐近线方程为y=±x
D.原点O在以F2为圆心,|AF2|为半径的圆上
5.设F1,F2为椭圆C1:=1
(a>b>0)与双曲线C2:=1(a1>0,b1>0)的公共焦点,两曲线在第一象限内交于点M,∠F1MF2=60°,若椭圆的离心率e∈,则双曲线C2的离心率e1的取值范围为( )
A.
C.
6.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点与椭圆=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为右支上任意一点,则双曲线C的离心率为 ;
的最小值为 .
答案与分层梯度式解析
2.6.2 双曲线的几何性质
基础过关练
1.C 2.BD 3.D 4.C 5.B 6.B 7.B 8.A
9.AB
1.C 依题意得,双曲线的标准方程为y2-=1,即a2=1,b2=-.因为虚轴长是实轴长的2倍,所以b=2a,即b2=4a2,所以-=4,所以m=-.故选C.
2.BD 因为方程表示双曲线,所以(2+m)(1+m)>0,解得m>-1或m<-2,故A错误;若W的顶点坐标为(0,±),则-m-1=()2,解得m=-3,故B正确;当m>-1时,c2=(2+m)+(m+1)=2m+3>1,当m<-2时,c2=-(2+m)-(m+1)=-2m-3>1,故C错误;当m=0时,双曲线W的标准方程为-y2=1,则渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故D正确.故选BD.
3.D 双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点在y轴上,其渐近线方程为y=±x.
由题意得c=3a,则b=a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选D.
4.C 由题意得a=,b=1,所以△AF1B的周长为|F1A|+|F1B|+|AB|=
(2a+|F2A|)+(2a+|F2B|)+|AB|=4a+|F2A|+|F2B|+|AB|=4+2|AB|,所以求△AF1B的周长的最小值就是求|AB|的最小值.
由双曲线的性质可知AB为通径时长度最短,为,所以△AF1B的周长的最小值为4.故选C.
5.B 由题意得故双曲线C的方程为=1.故选B.
6.B 设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0).双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,所以.椭圆+x2=1的焦点为(0,±),所以c=.
又c2=a2+b2,所以a=1,b=,故双曲线的方程为y2-=1.故选B.
7.B 由题意可得a=2,一条渐近线方程为bx+ay=0.
设双曲线的右焦点为F(c,0),则,所以b=,所以c=,所以离心率e=.故选B.
8.A 因为双曲线的焦点在y轴上,且b>a>0,所以双曲线的渐近线的倾斜角为,所以,即b2=3a2,所以离心率e==2.故选A.
9.AB 易得P为双曲线右支上一点,所以由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=5|PF2|,所以|PF2|=a.
易知|PF2|≥c-a,所以2c≤3a,即e=,
又e>1,所以110.答案
解析 因为,所以M是F1P的中点,又O为F1F2的中点,所以OM∥PF2.
因为=0,所以OM⊥PF1,所以PF1⊥PF2.
设|PF1|=m,则|PF2|=2m,|F1F2|=m,
所以|PF2|-|PF1|=m=2a,即a=,
又|F1F2|=m=2c,即c=m,
所以e=.
能力提升练
1.A 2.A 3.ABD 4.ABC 5.D
1.A 设|MF1|=s,|MF2|=t,则|s-t|=2a,所以s2+t2-2st=4a2.
由MF1⊥MF2,得△OMF1的面积为,即st=.
又s2+t2=4c2,所以2st+4a2=+4a2=4c2,所以c=a,所以e=.故选A.
2.A 解法一:设双曲线的右焦点为F2,连接PF2,如图1.
∵点P在双曲线的右支上,∴|PF1|-|PF2|=2a.
∵△POF1为等腰三角形,∠POF1>90°,
∴|OF1|=|OP|=c,又∠PF1O=30°,∴∠F1PO=30°,
∴∠POF2=60°.
∵|OF1|=|OF2|=|OP|=c,
∴△POF2为等边三角形,
∴∠F2PO=60°,|PF2|=c,
∴∠F1PF2=∠F1PO+∠F2PO=90°.
在Rt△F1PF2中,|PF2|=c,|F1F2|=2c,
∴|PF1|=c-c=2a,
即(+1.
解法二:如图2,过点P作PE⊥x轴于点E.
∵△POF1为等腰三角形,∠POF1>90°,
∴|OF1|=|OP|=c,又∠PF1O=30°,∴∠F1PO=30°,
∴∠POE=60°.
在Rt△POE中,|OE|=.
∵点P在双曲线=1(a>0,b>0)上,
∴=1,即b2c2-3a2c2=4a2b2,
又b2=c2-a2,∴(c2-a2)c2-3a2c2=4a2(c2-a2),即c4-8a2c2+4a4=0,∴+4=0,即e4-8e2+4=0,
解得e2=4±2+1.故选A.
3.ABD 对于A,易知双曲线的一条渐近线方程为4x+3y=0,F2(5,0),所以双曲线C的右焦点F2到渐近线的距离为=4,故A正确.
对于B,若m⊥n,则∠F1PF2=90°.
因为点P在双曲线的右支上,所以|F1P|-|F2P|=6,两边平方,得|F1P|2+|F2P|2-2|F1P|·|F2P|=36,即|PF1|·|PF2|=,
由勾股定理得|F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2,
所以|PF1|·|PF2|==32,故B正确.
对于C,易知F1(-5,0),光线由F2→P→Q所经过的路程为|F2P|+|PQ|=|F1P|-2a+|PQ|=|F1P|+|PQ|-2a=|F1Q|-2a=-6=7,故C错误.
对于D,双曲线=1的渐近线方程为y=±x.
设双曲线C的左、右顶点分别为A,B.
易知当光线m与同向时,k最小,为0.
因为点P在双曲线的右支上,所以|k|<,故|k|∈,故D正确.
故选ABD.
4.ABC 设|AF2|=m,则|BF2|=|AF1|=2m,所以2a=|AF1|-|AF2|=m,
|BF1|=|BF2|+2a=2m+2a=6a,|AB|=|AF2|+|BF2|=6a,所以|BF1|=|AB|,
所以∠AF1B=∠F1AB,故A正确;
因为|AF1|=2m=4a,|BF1|=|AB|=6a,所以在△AF1B中,cos∠F1AB=,
在△AF1F2中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|cos∠F1AF2,即4c2=
16a2+4a2-2×4a×2a×,所以,所以e=,故B正确;
由,则,所以渐近线方程为y=±x,故C正确;
若原点O在以F2为圆心,|AF2|为半径的圆上,则|OF2|=|AF2|,即c=2a,则e==2,与B矛盾,不成立,故D错误.故选ABC.
5.D 不妨设F1为左焦点,F2为右焦点,易得
在△MF1F2中,由余弦定理得cos∠F1MF2=,所以a2+3-4c2=0,
两边同时除以c2,得-4=0,
所以-4=0,
所以.
因为e∈,所以≤e2≤,
所以≤2,所以2≤4-,
所以,
所以,所以≤e1≤.故选D.
6.答案 3;8
解析 设椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则e1=.
因为双曲线C与椭圆=1的离心率互为倒数,
所以e2=3.①
由题意得c=3.②
又a2+b2=c2,③
所以a=1,b=2,
所以双曲线C的方程为x2-=1.
因为P为右支上任意一点,所以|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PF1|=2+|PF2|,所以+|PF2|+4.
因为|PF2|≥c-a=2,
所以+|PF2|+4≥2+4=8,
当且仅当=|PF2|,即|PF2|=2时,等号成立,
所以的最小值为8.
22.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.若M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P的轨迹是( )
A.一条射线 B.双曲线右支
C.双曲线 D.双曲线左支
2.双曲线C:=1(a>0)的两个焦点分别是F1,F2,焦距为8,M是双曲线上一点,且|MF1|=5,则|MF2|等于( )
A.9 B.9或1 C.1 D.6
3.设F1,F2分别是双曲线=1的下、上焦点,P是该双曲线上一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积为( )
A.14
题组二 双曲线的标准方程
4.经过点P(-3,2)和点Q(-6,-7)的双曲线的标准方程是( )
A.=1
C.=1
5.与椭圆+y2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线的标准方程是 ( )
A.-y2=1
C.=1
6.已知双曲线的一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是 .
7.在△ABC中,A(-3,0),B(3,0),
3sin B-3sin A=sin C,则顶点C的轨迹方程是 .
题组三 双曲线的标准方程的应用
8.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出:到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线,当01时,轨迹为双曲线.已知方程m(x2+y2+2y+1)=(2x-y+3)2表示的曲线是双曲线,则实数m的取值范围为( )
A.(0,8) B.(8,+∞)
C.(0,5) D.(5,+∞)
9.图1是单叶双曲面(由双曲线旋转形成的立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图形,上、下底面与地面平行.现测得下底面直径AB=20米,上底面直径CD=20米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为( )
A.10米 B.20米 C.10米 D.10米
能力提升练
题组一 双曲线的方程及其应用
1.若椭圆=1与双曲线=1(a>0)有公共的左焦点F,两曲线在第一、三象限内的公共点分别为P,Q,则
cos∠PFQ的值为( )
A.-
2.已知A(0,4),双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是双曲线右支上一点,则|PA|+|PF1|的最小值为( )
A.5 B.7 C.9 D.11
3.已知点P在双曲线C1:=1上,点Q在圆C2:(x+5)2+y2=1上,点R在圆C3:(x-5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
4.双曲线C:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为双曲线C左支上一点,直线AF2与双曲线C的右支
交于点B,且|AB|=15,∠F1AF2=,则|AF1|+|AF2|=( )
A. B.26 C.25 D.23
5.(多选题)已知点P在双曲线=1上,且点P不在x轴上,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是( )
A.点P到x轴的距离为
B.|PF1|+|PF2|=
C.△PF1F2为钝角三角形
D.∠F1PF2=
6.(多选题)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且与x轴分别交于点A1,A2,下列说法正确的是( )
A.双曲线C上存在点P,使得|PF1|+|PF2|=2a
B.双曲线=1(a>0,b>0)的焦点在以F1F2为直径的圆上
C.双曲线C上有且仅有4个点P,使得△PF1F2是直角三角形
D.若点P在双曲线上,且不在x轴上,则
7.(多选题)已知P为双曲线-y2=1右支上的一个动点(点P不在x轴上),F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,△PF1F2的内切圆圆心为I,过F2作F2A⊥PI,垂足为A,则下列结论正确的是( )
A.I的横坐标为2
B.
C.|OA|=2
D.
8.已知点M(-2,0),N(2,0)是平面直角坐标系中的两点,动点P满足|PM|+|PN|=6.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,求点P的坐标.
9.已知点F(0,),直线l:y=,动点P与F的距离与到直线l的距离的比为∶2.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设点M是轨迹C上一点,在直线y=2x,y=-2x上分别取点A,B,当A,B分别位于第一、二象限时,若,λ∈,求△AOB的面积的取值范围.
附:在△ABC中,若=(x2,y2),则△ABC的面积为|x1y2-x2y1|.
题组二 双曲线的实际应用
10.地震定位对地震救援具有重要意义,根据双台子台阵方法,在一次地震发生后,通过两个地震台站的位置和其接收到的信息,可以把震中的位置限制在双曲线的一支上,这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A,B在公路l上(l为直线),且A,B相距28 km,地震局以AB的中点为原点O,直线l为x轴,1 km为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后,根据A,B两站收到的信息,通过计算发现震中P在双曲线=1(a>0)的右支上,且∠APB=,则P到公路l的距离为( )
A. km B. km
C. km D. km
11.如图所示,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点与A的距离比其与B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B,C两地修建公路的费用都是m万元/km,求修建这两条公路的最低总费用.
答案与分层梯度式解析
2.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
基础过关练
1.A 2.A 3.D 4.B 5.A 8.C 9.B
1.A 因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.
2.A 由题意得2c=8,所以c=4,所以a2=c2-b2=16-12=4,解得a=2.
根据双曲线定义可得||MF1|-|MF2||=2a=4,
所以|5-|MF2||=4,解得|MF2|=1或|MF2|=9.
当|MF2|=1时,|MF1|+|MF2|=6<8,不合题意;
当|MF2|=9时,|MF1|+|MF2|=14>8,满足题意.
综上,|MF2|=9.故选A.
3.D 由题意可知|F1F2|=2×
|PF2|,所以|PF1|=10,|PF2|=6.
在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=,
所以sin∠F1PF2=,
所以△PF1F2的面积S=.故选D.
4.B 设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则
故双曲线的标准方程为=1.故选B.
5.A 由椭圆的方程可得焦点坐标为(±,0),设与椭圆共焦点的双
曲线的标准方程为=1(0=1,整理可得m2-8m+12=0,结合06.答案 x2-=1
解析 设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),易知c=,又c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),F1(-,0),所以点P的坐标为(,4).将(,4)代入双曲线方程,得=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-=1.
7.答案 x2-=1(x>1)
解析 由题意得|AB|=6,
∵3sin B-3sin A=sin C,∴由正弦定理得3|CA|-3|CB|=|AB|,即|CA|-|CB|==2<|AB|,∴C点轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点).所以点C的轨迹方程为x2-=1(x>1).
易错警示 构成△ABC的前提条件为A,B,C三点不共线,所以求点的轨迹方程时要根据去除的点来限定变量的范围.
8.C 由题意及m(x2+y2+2y+1)=(2x-y+3)2可知m>0,
所以=|2x-y+3|,
所以,即动点(x,y)到定点(0,-1)的距离与到定直线2x-y+3=0的距离的比为常数.
由题意得>1,即,解得09.B 取DC的中点E,以EG所在直线为y轴,EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.
易知D(10,-60).
设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),
则所以最细部分处的直径为2a=20米.故选B.
能力提升练
1.C 2.C 3.C 4.B 5.BC 6.BD 7.ABC 10.D
1.C 设右焦点为F2,则F(-2,0),F2(2,0),a=1.
连接PF2,则|PF|+|PF2|=8,|PF|-|PF2|=2,
故|PF|=5,|PF2|=3,又|FF2|=4,
所以|PF2|2+|FF2|2=|PF|2,
所以PF2⊥FF2,
所以cos∠PFQ=-cos∠FPF2=-.
故选C.
2.C 由双曲线方程得a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以F1(-3,0),
F2(3,0).连接PF2,AF2,如图.
则|PA|+|PF1|=|PA|+2a+|PF2|≥|AF2|+2a=+4=9,当且仅当A,P,F2共线时,等号成立.故|PA|+|PF1|的最小值为9.故选C.
3.C 不妨设C1:=1的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8.
易知点F1,F2恰好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,且两圆的半径均为1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,
所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=
8+2=10.故选C.
4.B 连接BF1,则|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a=10.
令|BF2|=x,则|AF1|=x+15-10=x+5,|BF1|=x+10.
在△ABF1中,cos∠F1AB=,即,解得x=3,故|AF1|=8,则|AF2|=18,所以|AF1|+|AF2|=26.故选B.
5.BC 设P(xP,yP).易得c==5,
所以×10×|yP|=20,所以|yP|=4,故A错误.
将P(xp,yp)代入=1,得=1,解得|xP|=.不妨取点P的坐标为,易知F2(5,0),则|PF2|=.
由双曲线的定义得|PF1|=|PF2|+2a=,
所以|PF1|+|PF2|=,故B正确.
在△PF1F2中,因为|PF1|=,所以|PF1|>|F1F2|>|PF2|,
因为cos∠PF2F1=<0,
所以∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,故C正确.
在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=,所以∠F1PF2≠,故D错误.故选BC.
6.BD 对于A,不妨设|PF1|-|PF2|=2a,与|PF1|+|PF2|=2a联立,解得|PF1|=2a,|PF2|=0,所以不存在点P,使得|PF1|+|PF2|=2a,故A错误;
对于B,易知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,双曲线=1(a>0,b>0)的焦点为(0,±c),显然(0,±c)在圆x2+y2=c2上,故B正确;
对于C,以F1F2为直径的圆x2+y2=c2与双曲线有4个交点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线有2个交点,过点F2且垂直于x轴的直线与双曲线也有2个交点,所以双曲线C上有且仅有8个点P,使得
△PF1F2是直角三角形,故C错误;
对于D,设P(x0,y0),其中x0≠±a,不妨设A1(-a,0),A2(a,0),所以
,所以,故D正确.故选BD.
7.ABC 由双曲线方程可得a=2,b=1,c=.
设△PF1F2的内切圆在PF1,PF2,F1F2上的切点分别为M,N,T,T(t,0),则2a=|PF1|-|PF2|=|MF1|-|NF2|=|TF1|-|TF2|=2t=4,所以t=2,连接IT,易知IT⊥F1F2,故I的横坐标为2,A正确.
设△PF1F2的内切圆半径为r,则
,B正确.
延长F2A,交PF1于点E,由PA平分∠F1PF2,PA⊥AF2,得|PF2|=|PE|,A为F2E的中点,所以2|OA|=|EF1|=|PF1|-|PF2|=4,所以|OA|=2,C正确.
,D错误.
故选ABC.
8.解析 (1)设动点P的坐标为(x,y).
∵点M(-2,0),N(2,0)是平面直角坐标系中的两点,动点P满足|PM|+|PN|=6>|MN|,
∴点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,设其方程为=1(a>b>0),易知a=3,c=2,∴b2=9-4=5,∴点P的轨迹方程为=1.
(2)在△MPN中,cos∠MPN==
=.
∵(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,
∴·|PM|·|PN|=2,解得|PM|·|PN|=6,
由得||PM|-|PN||=2<4,
∴点P在以M(-2,0),N(2,0)为焦点的双曲线-y2=1上,
联立椭圆与双曲线方程可得
解得点P的坐标为.
9.解析 (1)设P(x,y),由题意得,两边平方并整理,得-x2=1,所以动点P的轨迹C的方程为-x2=1.
(2)设M(x0,y0),A(x3,2x3),B(x4,-2x4),其中x3>0,x4<0,则=(x4-x0,-2x4-y0).
因为,λ∈,
所以
将M(x0,y0)代入-x2=1,得=1,化简,得x3x4=
-,
所以S△AOB=|x3·(-2x4)-x4·2x3|=2|x3x4|=,
因为λ∈,所以由对勾函数的性质,得2≤λ+,
所以S△AOB=.
故△AOB的面积的取值范围是.
10.D 由题意得|AB|=28=2c,所以a2+132=c2=196,解得a=8,所以|PA|-|PB|=2a=16.
由余弦定理得|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|·cos=|AB|2,即(|PA|-|PB|)2+3|PA|·|PB|=|AB|2,所以|PA|·|PB|=176,所以S△APB=|PA|
·|PB|·sin.
设P到公路l的距离为h km,则|AB|·h=44,所以h=,即P到公路l的距离为 km.故选D.
11.解析 由题意可得|AB|=4,
以AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,可得A(-2,0),B(2,0),C(3,),
由河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点与A的距离比其与B的距离远2 km,可得|MA|-|MB|=2,
因为2<|AB|=4,所以由双曲线的定义可得,M在以A,B分别为左、右焦点的双曲线的右支上,且a=1,c=2,∴b=,
∴点M所在的曲线的方程为x2-=1(x>0).
设修建这两条公路的总费用为s万元,则s=m(|MB|+|MC|)=m(|MA|
+|MC|-2)≥m(|AC|-2)=(2-2)m,当且仅当A,M,C三点共线时,取等
号.
故修建这两条公路的最低总费用为(2-2)m万元.
2