2.7.2 抛物线的几何性质
基础过关练
题组一 抛物线的几何性质及其应用
1.若点P在抛物线x2=-12y上,且P到抛物线的准线的距离为d,则d的取值范围是( )
A.[6,+∞) B.[3,+∞)
C.(6,+∞) D.(3,+∞)
2.已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为( )
A.8
3.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,P(x0,
8)是C上一点,且P到F的距离与P到C的对称轴的距离之差为2,则p=( )
A. B.1 C.2或4 D.4或36
4.抛物线x2=2py(p>0)与椭圆=1交于A,B两点,若△AOB的面积为(其中O为坐标原点),则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
5.已知抛物线C1的顶点在坐标原点,焦点F在y轴正半轴上.若点F到双曲线C2:=1的一条渐近线的距离为2,则C1的标准方程是( )
A.y2=x
C.x2=8y D.x2=16y
6.焦点为F的抛物线C:y2=2px
(p>0)的对称轴与准线交于点A,点B在抛物线C上且在第一象限内,在△ABF中,3sin∠AFB=4sin∠FAB,则直线BF的斜率为( )
A.
7.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为 .
题组二 抛物线的焦点弦问题
8.过抛物线y2=-2x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且A,B在直线x=上的射影分别为M,N,则∠MFN=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.已知斜率为的直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,并与抛物线交于A,B两点,且|AB|=8,则p=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F作垂直于x轴的直线交抛物线于M,N两点,以MN为直径的圆交y轴于C,D两点,且|CD|=3,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=2x B.y2=2x
C.y2=4x D.y2=6x
11.(多选题)在直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,过C的焦点F作直线FQ交C于P(xP,yP),Q(xQ,yQ)两点,则( )
A.p=2
B.xPxQ=1
C.△OPQ可能是直角三角形
D.以FP为直径的圆与y轴相切
12.设抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是 .
能力提升练
题组 抛物线几何性质的综合应用
1.(多选题)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,|OF|=1,过点F的直线与抛物线交于M、N两点,过点M,N分别作准线l的垂线,垂足为M1,N1,则( )
A.抛物线的方程为y2=4x
B.|MM1|+|NN1|=2|MN|
C.|MN|的最小值为4
D.
2.已知过抛物线C:y2=2x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A,B两点,Q为AB的中点,P为C上一点,则|PF|+|PQ|的最小值为( )
A.
3.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经过抛物线反射后,沿平行(或重合)于抛物线对称轴的方向射出;反之,平行(或重合)于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,一束平行于x轴的光线l1从点P(m,n)(n2<4m)射入,经过抛物线上的点A(x1,y1)反射后,再经抛物线上另一点B(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,则直线l1与l2间距离的最小值为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
4.(多选题)抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点(点A在x轴的下方),则下列结论正确的是( )
A.若|AB|=8,则AB的中点到y轴的距离为4
B.弦AB中点的轨迹为抛物线
C.若,则直线AB的斜率k=
D.4|AF|+|BF|≥9
5.已知F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 .
6.已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为M,过M作MN垂直于抛物线的准线,垂足为N,则的最小值是 .
7.设抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为E上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若∠BFD=60°,△BFD的面积为,求p的值及圆F的方程;
(2)若点A在第一象限,且A,B,F三点在同一直线l1上,直线l1与抛物线E的另一个交点记为C,且,求实数λ的值.
答案与分层梯度式解析
2.7.2 抛物线的几何性质
基础过关练
1.B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.A 8.D 9.C
10.B 11.ABD
1.B 由已知得2p=12,所以=3,因此d的取值范围是[3,+∞).
2.A 由题意设另两个顶点的坐标分别为(m>0),则tan 30°=,解得m=4,故这个等边三角形的边长为2m=8.故选A.
3.D 因为P(x0,8)是C上一点,所以=16p,所以|x0|=4.
由抛物线的定义可得P到F的距离为8+,而P到C的对称轴的距离为4,所以8+=2,解得p=4或p=36.故选D.
4.B 由抛物线与椭圆的对称性知A,B关于y轴对称,不妨设A(x0>0),
∴S△AOB=,整理得p①,
又点A在椭圆=1上,∴=1②.
由①②得+36=0,解得x0=(负值舍去),
∴p=3.故选B.
5.D 根据题意,得双曲线C2的渐近线方程是=0,即y=±x.
设抛物线C1的标准方程为x2=2py(p>0),则F.因为抛物线C1的焦点Fx-y=0的距离为2,所以=2,所以p=8,所以C1的标准方程是x2=16y,故选D.
6.A 过B作准线的垂线,垂足为H,作x轴的垂线,垂足为E,如图所示.
由抛物线的定义可得|BF|=|BH|.
在△ABF中,3sin∠AFB=4sin∠FAB,则由正弦定理可得3|AB|=4|BF|,所以|AB|=|BH|,所以|AH|=|BH|.
设直线BF的倾斜角为α,则sin α=,所以tan α=.故选A.
7.答案 y2=4x
解析 抛物线具有光学性质,即从焦点出发的光线经抛物线上一点反射后,反射光线沿平行(或重合)于抛物线对称轴的方向射出,
∵|AB|+|FB|=6,∴5+=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.
8.D 由题意得2p=-2,即p=-1,因此F,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则M,
则y1y2=-p2=-1,=(1,y2),
所以=1+y1y2=1-1=0,
所以FM⊥FN,故∠MFN=90°.
9.C 解法一:易得F,则直线l的方程为y=,与抛物线方程y2=2px联立,得3=2px,整理,得3x2-5px+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
所以|AB|=x1+x2+p==8,所以p=3.故选C.
解法二:因为直线l的斜率为,所以直线l的倾斜角θ=.由焦点弦的性质得|AB|= ==8,所以p=3.故选C.
10.B 如图,连接CF,由题意可知|MN|=2p(p>0),所以圆的半径为p.在Rt△COF中,=p2,解得p=(负值舍去),所以抛物线的标准方程为y2=2x.故选B.
11.ABD 抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-=-1,解得p=2,故A正确.
设直线PQ的方程为x=ty+1,与y2=4x联立,得y2-4ty-4=0,所以yPyQ
=-4,所以xPxQ==1,所以=xPxQ+yPyQ=-3<0,所以∠POQ是钝角,所以△OPQ是钝角三角形,故B正确,C错误.
设FP的中点为M,则M,又,故xM=|PF|,所以以FP为直径的圆与y轴相切,故D正确.
故选ABD.
12.答案 -
解析 解法一:当直线斜率不存在时,不妨设A,所以
.当直线斜率存在时,设斜率为k,则直线方程为y=k,由可得y2-y-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-1,从而x1x2=,所以.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2).由题易得p=1,所以x1x2=,y1y2=
-p2=-1,所以.
能力提升练
1.AC 2.B 3.B 4.BCD
1.AC 由题意得F(1,0),所以p=2,所以y2=4x,故A正确;
由抛物线的定义,得|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|,
∴|MN|=|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|,故B错误;
设直线MN的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
由得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,
∴x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,
∴|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=4m2+4,
故当m=0时,|MN|min=4,故C正确;
=1,故D错误.
故选AC.
2.B 易知F,故直线AB的方程为y=.
由得12x2-20x+3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,故xQ=.
如图,过点P作准线x=-的垂线,垂足为D,则|PF|+|PQ|=|PD|+|PQ|.
易知当D,P,Q三点共线,即直线DQ与直线x=-垂直时,|PD|+|PQ|最小,为,所以|PF|+|PQ|的最小值为.故选B.
3.B 由抛物线的光学性质可知,直线AB过抛物线的焦点F(1,0).
设直线AB的方程为x=ty+1,与y2=4x联立,得y2-4ty-4=0,所以y1+y2=4t,y1y2=-4,
所以直线l1与l2间的距离d=|y1-y2|=≥4,所以dmin=4.故选B.
4.BCD 由抛物线的方程得焦点F(1,0),准线方程为x=-1.设A(x1,y1),B(x2,y2),过点A作AA1垂直于直线x=-1,垂足为A1,过点B作BB1垂直于直线x=-1,垂足为B1,则|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=8,所以x1+x2=6,所以AB的中点到y轴的距离为(x1+x2)=3,故A错误.
设直线AB的方程为x=my+1,弦AB的中点为(x0,y0),
由得y2-4my-4=0,则Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,所以y0=2m,x0=my0+1=2m2+1,消去m,得=2x0-2,所以弦AB的中点的轨迹方
程为y2=2x-2,故B正确.
设直线BA交准线x=-1于Q,|FA|=|AA1|=t,|FB|=|BB1|=3t,|AQ|=x,则△QAA1∽△QBB1,所以,即,解得x=2t,故∠A1AQ=
60°,故k=,故C正确.
由抛物线定义知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,
又x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,
所以=1,
所以4|AF|+|BF|=(4|AF|+|BF|)≥5+
2=9,当且仅当,即|BF|=2|AF|时取等号,故D正确.
故选BCD.
5.答案 32
解析 易知F(2,0),设直线l1的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,所以x1+x2=4+.
易得直线l2的方程为y=-(x-2).
设D(x3,y3),E(x4,y4),同理,得x3+x4=4+8k2.
由抛物线的定义得|AB|+|DE|=x1+x2+p+x3+x4+p=4++8k2.
因为+8k2≥2=16,当且仅当k=±1时,等号成立,所以|AB|+|DE|≥32.
6.答案 4
解析 由题意设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y2-4my-4=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,
所以|AB|=x1+x2+p=4m2+2+2=4(1+m2),yM==1+2m2,故M(1+2m2,2m).
易得准线方程为x=-1,F(1,0),N(-1,2m),
所以|NF|2=(1+1)2+(-2m)2=4(1+m2)=|AB|,
所以≥2,当且仅当,即|AB|=8时取等号.
7.解析 (1)焦点到准线l的距离为p,
∵|BF|=|FD|,∠BFD=60°,
∴△BFD为等边三角形,∴|BF|=p,
∴S△BFD=|BF|2sin 60°=,∴p=2,
则|BF|=,又圆心为F(1,0),
∴圆F的方程为(x-1)2+y2=.
(2)当A,B,F三点共线时,∵|AF|=|BF|=|DF|,∴∠BDA=,
∴|AD|=|AF|=|AB|,∴∠DBA=,
∴直线l1的倾斜角为,
不妨设直线l1的方程为x=,A(x1,y1),C(x2,y2),
由得y2-py-p2=0,
又
∴,∴3λ2-10λ+3=0,
∴λ=3或λ=,
又|AF|=|BF|>p,∴x1>.
2(共16张PPT)
2.7 抛物线及其方程
知识 清单破
知识点 1 抛物线的定义
一般地,设F是平面内的一个定点,l是不过点F的一条定直线,则平面上到F的距离与到l的
距离相等的点的轨迹称为抛物线,其中定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线.
知识拓展 抛物线定义中,若定点F在定直线l上,则轨迹不是抛物线,而是过点F且垂直于l的
一条直线.
知识点 2 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
焦点坐标
顶点坐标 (0,0) 准线方程 x=- x= y=- y=
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
离心率 e=1
知识点 3 抛物线的焦点弦
1.焦点弦
过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段,称为抛物线的焦点弦.
2.通径
过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦,称为抛物线的通径,抛物线的
通径长为2p,是所有焦点弦中长度最短的弦.
3.有关抛物线焦点弦的结论
如图,已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在准线上
的射影分别为A',B',直线AB的倾斜角为θ,则有:
(1)|AB|=x1+x2+p= ;
(2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2;
(3)|AF|= ,|BF|= ;
(4) + = ;
(5)以AF,BF为直径的圆与y轴相切;
(6)以AB为直径的圆与准线相切;
(7)A,O,B'共线,A',O,B共线;
(8)∠A'FB'=90°;
(9)S△AOB= ;
(10)抛物线在A,B处的切线互相垂直且交点在准线上.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( )
2.方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是 ,准线方程为x=
. ( )
提示
将方程y=ax2(a≠0)化成标准形式为x2= y,其表示焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标是
,准线方程为y=- .
3.在抛物线y2=2px(p>0)中,p值越大,抛物线的开口越大,p值越小,开口越小. ( )
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 抛物线标准方程的求解
求抛物线标准方程的两种常用方法
(1)定义法:先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义,若符合,再根据定义求出方程.
(2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件确定参数的值.
当抛物线的焦点位置不确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨
论不同情况的次数.
典例 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.
(1)准线方程为y= ;
(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5;
(3)经过点(-3,-1).
解析 (1)由题意可得,抛物线的准线与y轴正半轴相交,故设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>
0),则 = ,解得p= ,故抛物线的标准方程为x2=- y.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设抛物线的方程为x2=2my(m≠0),
由焦点到准线的距离为5,可得|m|=5,即m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,标准方程分别为
x2=10y和x2=-10y.
(3)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0),则由(-1)2=-2p1×(-3),解得p1= ;
若抛物线的标准方程为x2=-2p2y(p2>0),则由(-3)2=-2p2×(-1),解得p2= .
故抛物线的标准方程为y2=- x或x2=-9y.
疑难 2 抛物线定义的应用
讲解分析
1.利用定义解决与抛物线有关的轨迹问题
先将几何条件转化,其关键是根据几何性质,将几何条件转化为抛物线的定义:动点到定
点的距离等于到定直线的距离,且定点不在定直线上;再利用抛物线的定义写出标准方程.
2.抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点之间的距离及到准线的距离的转化,通过
转化可以求最值、参数、距离.
典例 (1)(多选)已知点F是抛物线C:y2=12x的焦点,点P是抛物线C上一点,M(4,3),则下列说法正
确的是 ( )
A.抛物线C的准线方程为x=-3
B.若|PF|=7,则△PMF的面积为2 -
C.|PF|-|PM|的最大值为
D.△PMF的周长的最小值为7+
(2)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为
.
ACD
x2=-12y
解析 (1)由y2=12x得p=6,∴抛物线C的准线方程为x=-3,故A正确.
根据抛物线的定义得|PF|=xP+ =xP+3=7,解得xP=4,当xP=4时,yP=±4 .∵M(4,3),∴PM∥y轴.
若P(4,4 ),则|PM|=4 -3,△PMF的底边PM上的高为1,故S△PMF= ×(4 -3)×1=2 - ;若P(4,
-4 ),则|PM|=4 +3,△PMF的底边PM上的高为1,故S△PMF= ×(4 +3)×1=2 + ,故B错误.
易知F(3,0),∵|PF|-|PM|≤|MF|,
∴(|PF|-|PM|)max=|MF|= = ,故C正确.
过点P作PD⊥准线于点D(图略),则△PMF的周长为|PM|+|MF|+|PF|=|PM|+|PF|+ =|PM|+|PD|+ ,显然当点P,M,D位于同一条直线上时,|PM|+|PD|最小,为|MD|=7,故△PMF的周长的最小
值为7+ ,故D正确.故选ACD.
(2)设动圆圆心M(x,y).由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.
由抛物线的定义可知,动圆圆心M的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的抛物线,其方程为x2=-12y.
疑难 3 抛物线的焦点弦问题
讲解分析
1.解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的结论,并灵活运用.有关焦点弦的诸多结
论实质是利用抛物线的定义并结合相关知识推出的.
2.知识点3中有关焦点弦的结论都是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的,但在实际应用
中,有些抛物线的方程可能不是这种形式,这时相关结论会随之变化,不能盲目套用.
典例 已知抛物线y2=4x,经过其焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于M,N两点,且|MF|
=3|NF|,则k= .
解析 解法一:过M,N两点作准线的垂线,垂足分别为P,Q,过N向PM作垂线,垂足为S(图略).
设|NF|=m(m>0),则|MF|=3m.
由抛物线的定义得|MP|=3m,|NQ|=m,
所以|MS|=2m,|MN|=m+3m=4m,
则sin∠MNS= = ,所以∠MNS=30°,
故直线l的倾斜角为60°,所以k=tan 60°= .
解法二:设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ .
由于|MF|= ,|NF|= ,
且|MF|=3|NF|,所以 = ,
解得cos θ= ,所以θ= ,
所以k=tan θ= .
解法三:在抛物线y2=4x中,p=2,
所以 + = =1,
又因为|MF|=3|NF|,所以|MF|=4,|NF|= ,于是|MN|= .
设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ ,
所以 = ,解得sin θ= (负值舍去),
所以θ= ,故k=tan θ= .2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
基础过关练
题组一 抛物线的定义及其应用
1.已知动点P(x,y)满足5=|3x+4y-7|,则动点P的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,点P在C上,直线PF交x轴于点Q,若,则点P到准线l的距离为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,准线为l,A为抛物线C上的点,过A作l的垂线,垂足为B,|BF|=1,则∠BAF=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.已知抛物线y2=2x的焦点为F,点P是抛物线上的动点.
(1)若A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值及此时点P的坐标;
(2)求点P与点B之间的距离与点P到直线x=-的距离之和的最小值.
题组二 抛物线的标准方程及其应用
5.抛物线x2=ay的准线方程为y=-2,则该抛物线的焦点坐标为( )
A.(2,0) B.(0,2) C.(0,4) D.(0,-4)
6.焦点在y轴上,且过点P(-2,3)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-x
C.x2=y
7.若点P与点(2,0)的距离比它到直线x+3=0的距离小1,则点P的轨迹方程是( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=-8y
8.(多选题)已知抛物线C的焦点在直线x-2y+3=0上,则抛物线C的标准方程为( )
A.y2=12x B.y2=-12x C.x2=-6y D.x2=6y
9.某农场为节约用水,设计了如下喷灌技术,喷头装在管柱OA的顶端A处,喷出的水流在各个方向上呈抛物线状,如图所示.现要求水流最高点B离地面4 m,点B到管柱OA所在直线的距离为3 m,且水流落在地面上后形成一个以O为圆心,7 m为半径的圆,则管柱OA的高度为( )
A. m B. m C. m D. m
能力提升练
题组一 抛物线的定义及其应用
1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线与x轴的交点为A,点P在抛物线C上,且PA⊥PF,则|PF|=( )
A.
2.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若=0,则||=( )
A.6 B.4 C.3 D.2
3.已知A(4,5),抛物线x2=8y的焦点为F,P为抛物线上与直线AF不共线的点,则△PAF周长的最小值为( )
A.18 B.13 C.12 D.7
4.已知Q为抛物线C:y2=4x上的动点,动点M满足到点A(2,0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为,则|QM|+|QF|的最小值是( )
A.3- D.4
题组二 抛物线的标准方程及其应用
5.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交抛物线的准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,则此抛物线的标准方程为( )
A.y2=9x B.y2=6x
C.y2=3x D.y2=x
6.已知抛物线C:y2=4x,P为C上一点,
A(-2,0),B(2,0),当最小时,点P到坐标原点O的距离为( )
A.2 D.8
7.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P在抛物线C上,|FP|=10,若以FP为直径的圆过点(0,3),则p的值为( )
A.4或9 B.4或18 C.2或18 D.2或9
8.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点的直线交抛物线于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足为C,D.若|AF|=3|BF|,且△CDF的面积为,则p= .
9.汽车前照灯的反射镜为一个抛物面,它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成.通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成,其中灯泡位于抛物面的焦点上,由灯泡发出的光经反射镜反射后形成平行光束,再经过透镜的折射等作用达到照亮路面的效果.如图,从灯泡发出的光线FP经抛物线y2=2px(p>0)反射后,沿PN平行射出,∠FPN的平分线PM交x轴于点M,直线PM的方程为2x+y-12=0,则抛物线的方程为 .
答案与分层梯度式解析
2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
基础过关练
1.D 2.B 3.C 5.B 6.C 7.A 8.BD 9.B
1.D 由5=|3x+4y-7|,得,即动点P(x,y)到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-7=0的距离相等,又点(2,1)不在直线3x+4y-7=0上,所以动点P的轨迹为抛物线.故选D.
2.B 如图,过点P作x轴的垂线,垂足为N,由题意得F(0,1),l:y=-1,则|OF|=1.
易得△QOF∽△QNP,则,
因为,所以,
所以|NP|=4,所以点P到准线l的距离为|NP|+1=5.故选B.
3.C 设准线l与x轴交于点M.
易知|FM|=,又|BF|=1,所以∠BFM=60°,所以∠FBA=60°.
由抛物线的定义,知|AB|=|AF|,
所以△ABF为等边三角形,所以∠BAF=60°.
故选C.
4.解析 (1)过点P作PQ垂直于抛物线的准线l:x=-,垂足为Q(图略).
由抛物线的定义知,|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,
∴当A,P,Q三点共线时,|PA|+|PQ|的值最小,最小值为,故|PA|+|PF|的最小值为,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,
∴点P的坐标为(2,2).
(2)易知F.
设点P到准线l:x=-的距离为d.
由抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,
当且仅当B,P,F三点共线(P在线段BF上)时取等号.
∵|BF|==2,
∴所求距离之和的最小值为2.
5.B 由题意得抛物线的焦点在y轴的正半轴上,所以抛物线的标准方程为x2=8y,所以抛物线的焦点坐标为(0,2).故选B.
6.C 由题意设抛物线的标准方程是x2=2py(p>0),将(-2,3)代入,得4=6p,解得p=,所以抛物线的标准方程是x2=y.故选C.
7.A 由题意得,点P与点(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,故点P在以(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线上,故其轨迹方
程为y2=8x.故选A.
8.BD 易知直线x-2y+3=0与坐标轴的交点分别为(-3,0),.
当焦点为(-3,0)时,抛物线方程为y2=-12x;
当焦点为时,抛物线方程为x2=6y.
故选BD.
9.B 以B为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.
记BM⊥OC且垂足为M,过点A作AD⊥y轴于点D.
设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0).
由题意可知,|AD|=3 m,|BM|=4 m,|OC|=7 m,
所以|MC|=|OC|-|AD|=7-3=4 (m),所以C(4,-4),
将C(4,-4)代入抛物线方程,得16=-2p×(-4),解得p=2,所以抛物线的标准方程为x2=-4y.
设A(-3,y0),易知点A(-3,y0)在抛物线上,
所以9=-4y0,解得y0=-,所以|BD|= (m),
所以|OA|=|DM|=|BM|-|BD|=4-(m),
所以管柱OA的高度为 m.故选B.
能力提升练
1.C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.C 7.C
1.C 易得F(1,0),准线方程为x=-1,A(-1,0).
设P,则.
因为PA⊥PF,所以=0,所以-8,所以点P的横坐标为-2.
由抛物线的定义可得|PF|=-1.故选C.
2.A 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).
由题意得抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
因为=0,所以点F是△ABC的重心,故x1+x2+x3=3,则||=x1+1+x2+1+x3+1=x1+x2+x3+3=3+3=6.故选A.
3.C 由题意得F(0,2),准线方程为y=-2.过P作PP1垂直于准线,交准线于P1,过A作AA1垂直于准线,交准线于A1,根据抛物线的定义可知|PF|=|PP1|.
因为A(4,5),所以|AF|==5,|AA1|=5-(-2)=7,
所以△PAF的周长C=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PP1|≥|AF|+|AA1|
=5+7=12,当且仅当A,P,P1三点共线时,等号成立.故选C.
4.B 由题意得F(1,0).
过点Q作QS垂直于准线于点S,则|QF|=|QS|,
设M(x,y),则,整理得(x-3)2+y2=2,所以点M的轨迹是以(3,0)(记为B)为圆心,为半径的圆.
所以|QM|+|QF|=|QB|-+|QS|,所以当S,Q,M,B四点共线时,|QM|+|QF|最小,(|QM|+|QF|)min=1+3-.故选B.
5.B 如图,分别过点A,B作准线的垂线,垂足为E,D.设准线与x轴交于点G,|BF|=a,则|BC|=2a.
由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a,故∠BCD=30°.
在Rt△ACE中,易知|AE|=|AF|=6,2|AE|=|AC|,|AC|=|AF|+|FC|=6+3a,所以6+3a=12,解得a=2,所以|FC|=3a=6,所以p=|FG|=|FC|=3,
因此抛物线的标准方程为y2=6x.故选B.
6.C 设P(m,n),则4m=n2,所以.
当m=0时,=1;
当m>0时,,
当且仅当m=,即m=2时取等号,所以.
综上,,此时P(2,±2),
所以|OP|=.故选C.
7.C 易得F.
设P(x,y),由抛物线的定义知|PF|=x+=10,解得x=10-,又以FP为直径的圆的圆心是FP的中点,所以圆心的横坐标为=5.
因为|FP|=10,所以圆的半径为5,又以FP为直径的圆过点(0,3),所以该圆与y轴相切于点(0,3),故圆心的纵坐标为3,则点P的纵坐标为6,即P,将其代入抛物线方程得p2-20p+36=0,解得p=2或p=18.
8.答案
解析 过点B作BM∥l,交直线AC于点M,交x轴于点N,
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由|AF|=3|BF|,得x1+,即x1-3x2=p.①
因为NF∥AM,所以,所以|NF|=(x1-x2),
所以|OF|=|ON|+|NF|=x2+.②
由①②解得x1=.
在Rt△ABM中,|AB|=x1+x2+p=,所以|BM|=,
所以S△CDF=,
解得p=或p=-(舍去),即p=.
9.答案 y2=4x
解析 设P,因为点P在直线PM上,所以+y0=12①.因为PN∥FM,所以∠PMF=∠NPM,又因为PM平分∠FPN,所以∠FPM=∠NPM,所以∠PMF=∠FPM,所以|PF|=|MF|.易知M(6,0),F,所以|MF|=6-,又|PF|=,所以6-②,由①②可得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
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