2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
基础过关练
题组一 直线与椭圆的位置关系
1.已知直线l:y=x+与椭圆C:=1(b>0)相切,则椭圆C的离心率e=( )
A.
2.直线y=x+m与椭圆+y2=1交于A,B两点,若|AB|=,则实数m的值为( )
A.± D.±2
3.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则等于( )
A.-3 B.-
C.-或-3 D.±
4.已知椭圆C:+y2=1,直线l:x-y-4=0,则椭圆C上的点到直线l的距离的最大值是( )
A.
C.
5.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆=1总有公共点,则实数m的取值范围为 .
6.已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率是,
点M(,1)是其上一点,过点P(0,1)的直线l与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知O为坐标原点,当直线l的斜率为1时,求△AOB的面积.
题组二 直线与双曲线的位置关系
7.若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是( )
A.(-)
C.(-) D.(-1,1)
8.(多选题)若直线y=2x-1与双曲线x2-=1有且只有一个公共点,则m的值为( )
A.3 B.4 C.8 D.10
9.过双曲线x2-=1的左焦点F作倾斜角为的直线,与双曲线交于A,B两点,则|AB|= .
10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C的右顶点A在圆O:x2+y2=2上,且=-2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N,问:△OMN的面积是不是定值 若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
题组三 直线与抛物线的位置关系
11.若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
12.已知双曲线E:-y2=1,若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到双曲线E的渐近线的距离为,过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,则|AB|=( )
A.16
13.已知抛物线E:x2=4y和圆F:x2+(y-1)2=1,过点F的直线l与上述两曲线自左而右依次交于点A,C,D,B,则|AC|·|BD|=( )
A.1 B.2 C.3 D.
14.设直线y=k(x-2)(k>0)与抛物线y2=2x相交于A,B两点,若|AB|=2,则k的值为 .
15.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,斜率为1的直线l与C在第一、四象限的交点分别为A,B,与x轴的交点为P.
(1)当|AF|+|BF|=10时,求点P的坐标;
(2)设,若|AB|=12,求λ的值.
能力提升练
题组一 中点弦问题
1.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(5,0),过点F的直线交双曲线E于A,B两点.若AB的中点坐标为(6,-2),则E的方程为( )
A.=1
C.=1
2.已知椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为4,直线x+2y-3=0与椭圆C交于A,B两点,若线段AB的中点为M(1,1),则椭圆C的方程为( )
A.=1
C.=1
3.已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0),则斜率k的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
4.已知椭圆H:=1,三角形ABC的三个顶点都在椭圆H上,设边AB,BC,AC的中点分别为D,E,M,三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且k1,k2,k3均不为0,O为坐标原点.若直线OD,OE,OM的斜率之和为1,则= .
5.已知椭圆C:=1与直线y=2x+m.
(1)若直线y=2x+m与椭圆交于A,B两点,求AB中点的轨迹方程;
(2)若椭圆上存在两点C,D关于直线y=2x+m对称,求实数m的取值范围.
题组二 最值与范围问题
6.过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一个动点,Q(1,2).若
,则|PF|+|PQ|的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),若点P在双曲线C的渐近线上,且|PF1|=|PF2|,则△PF1F2面积的最大值为 ,实数a的最小值为 .
8.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若直线l过点Q(-1,0),且与双曲线C的左支、右支各有一个交点,求直线l的斜率k的取值范围;
(2)若点P为双曲线C上一点,求的最小值.
9.已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,且过点,A为左顶点,B为下顶点,点P为椭圆上一点且在第一象限,PA交y轴于点C,PB交x轴于点D.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)求△PCD的面积的最大值.
题组三 定值与定点问题
10.已知椭圆=1上的两个动点P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1+x2=2.若线段PQ的垂直平分线经过一个定点,则此定点坐标为( )
A. B.(1,0) C.(2,0) D.(-1,0)
11.如图,已知直线l:y=k与抛物线C:y2=2px(p>0)交于不同的两点M,N,且当k=时,抛物线C的焦点F到直线l的距离为,过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ过点(1,-1),则直线NQ过点( )
A.(1,-4) B.(1,2)
C.(2,0) D.(2,-4)
12.过点P的直线交椭圆C:+y2=1于E,F两点,则的值为 .
13.已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P为直线x=4上的动点,过点P的动直线l与椭圆C相交于A,B两点,在线段AB上取点Q,满足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|,证明:点Q的轨迹过定点.
题组四 探索性问题
14.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,其右焦点F到直线x+y+2=0的距离为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点A为椭圆C的上顶点,是否存在斜率为k的直线l,使l与椭圆C交于不同的两点M,N,且|AM|=|AN| 若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.
15.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)经过点(2,3),一条渐近线的倾斜角为60°,直线l交双曲线于A,B两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若l过原点,P为双曲线上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率kPA,kPB均存在,求证:kPA·kPB为定值;
(3)若l过双曲线的右焦点F1,在x轴上是否存在点M(m,0),使得直线l绕点F1无论怎样转动,都有=0成立 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
基础过关练
1.B 2.B 3.B 4.A 7.D 8.AB 11.C 12.A
13.A
1.B 由得(b2+4)x2+8x+28-4b2=0,
则Δ=(8)2-4(b2+4)(28-4b2)=16b2(b2-3)=0,解得b2=3或b2=0(舍去),
所以c2=a2-b2=1,所以e=.故选B.
2.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0,则x1+x2=-,所以|AB|=,解得m=±1.故选B.
3.B 由+y2=1,得a2=2,b2=1,则c2=a2-b2=1,则焦点坐标为(±1,0).
不妨设直线l过右焦点,因为l的倾斜角为45°,
所以直线l的方程为y=x-1,将其代入+y2=1中,得x2+2(x-1)2-2=0,即3x2-4x=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=0,x1+x2=,
所以y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-,
故.
4.A 设与l:x-y-4=0平行的直线为l':x-y+m=0(m≠-4).
由得5x2+8mx+4m2-4=0,
由Δ=64m2-20(4m2-4)=0,得m=±.
当m=时,直线l':x-y+=0,此时两平行线间的距离为.
当m=-时,直线l':x-y-=0,此时两平行线间的距离为.
故椭圆上任意一点到直线l的距离的最大值为.故选A.
5.答案 1≤m<5
解析 由题意得0因为直线y=kx+1过定点(0,1),设为P,且直线与椭圆=1总有公共点,所以点P在椭圆上或在椭圆的内部,即≤1,解得m≥1.
所以1≤m<5.
6.解析 (1)由题意得
所以椭圆E的方程为=1.
(2)易得直线l的方程为y=x+1.
设A(x1,y1),B(x2,y2).由得3x2+4x-2=0,
则Δ=42-4×3×(-2)=40>0,x1+x2=-,
所以|AB|=,
又O(0,0)到直线l的距离d=,
所以S△AOB=.
7.D 当直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点.
因为直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,所以实数k的取值范围为(-1,1).故选D.
8.AB 由消去y并整理,得(4-m)x2-4x+m+1=0,因为直线与双曲线只有一个交点,所以直线与双曲线的渐近线平行或与双曲线相切.
①当直线与双曲线的渐近线平行时,4-m=0,即m=4;
②当直线与双曲线相切时,4-m≠0,Δ=16-4(4-m)·(m+1)=4m2-12m=0,解得m=3或m=0(舍去).
故选AB.
9.答案 3
解析 依题意得双曲线的左焦点F的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=(x+2).
由得8x2-4x-13=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
所以|AB|=
==3.
10.解析 (1)设双曲线C的半焦距为c(c>0),
由点A(a,0)在圆O:x2+y2=2上,可得a=,
由,0)·(c-,0)=2-c2=-2,
解得c=2(负值舍去),所以b2=c2-a2=2,
故双曲线C的标准方程为=1.
(2)△OMN的面积是定值.
设直线l与x轴相交于点D,易知双曲线C的渐近线方程为y=±x,
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=±
,所以S△OMN=·|MN|·|OD|=2.
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,则k≠0,D,
把直线l的方程与双曲线C的方程联立,可得(k2-1)x2+2kmx+m2+2=0,
由于直线l与双曲线C有且只有一个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别相交,所以直线l与双曲线的渐近线不平行,
所以k2-1≠0且m≠0,
所以
可得m2=2(k2-1)>0,解得k>1或k<-1,
不妨设点M在渐近线y=x上,点N在渐近线y=-x上,M(x1,y1),
N(x2,y2),
由解得y1=,同理可得y2=,
所以S△OMN=·|OD|·|y1-y2|==2.
综上所述,△OMN的面积恒为定值2.
11.C 当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0与抛物线y2=2x有且只有一个交点;
当直线l的斜率为0时,直线l:y=2与抛物线y2=2x有且只有一个交点;
当直线l的斜率存在且不为0时,若直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,则直线与抛物线相切,设直线方程为y=kx+2(k≠0),代入抛物线方程 y2=2x,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,则Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,即直线方程为y=x+2.
综上,满足条件的直线l共有3条.故选C.
12.A 易得抛物线y2=2px(p>0)的焦点为,双曲线E:-y2=1的一条渐近线方程为x-y=0,所以,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x,直线AB的方程为y=x-2.
由得x2-12x+12=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,所以|AB|=x1+x2+p=12.故选A.
13.A 易得F(0,1).
当直线l的斜率为0时,|AC|=|BD|=1,所以|AC|·|BD|=1.
当直线l的斜率不为0时,设直线方程为x=m(y-1),
由得m2y2-(2m2+4)y+m2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=1.
由抛物线的定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AC|=y1,|BD|=y2,所以|AC|·|BD|=y1y2=1.
故选A.
14.答案 1
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
将y=k(x-2)代入y2=2x,得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0,
所以Δ=4(2k2+1)2-4k2·4k2=16k2+4>0,x1+x2=,x1x2=4.
所以|AB|=,化简得(1+k2)(16k2+4)=40k4,解得k2=1,又k>0,故k=1.
15.解析 (1)设P(m,0)(m>0),则l:y=x-m,
与y2=4x联立,得x2-(2m+4)x+m2=0,
所以Δ=(2m+4)2-4m2=16(m+1)>0,即m>-1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m+4,x1x2=m2.
因为|AF|+|BF|=x1+x2+2=10,所以x1+x2=2m+4=8,解得m=2,
故点P的坐标为(2,0).
(2)由(1)可知x1+x2=2m+4,x1x2=m2,所以|AB|=,解得m=8,所以l:y=x-8.
联立
则A(16,8),B(4,-4),P(8,0),
所以=(-4,-4),
所以,故λ=2.
能力提升练
1.D 2.B 3.C 6.C 10.A 11.A
1.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,得,所以,
化简得3b2=2a2,又c=5,c2=a2+b2,
所以a2=15,b2=10,所以双曲线的方程为=1.故选D.
2.B 由题意得kAB=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则=1②,
①-②,得=0,
∴,∴a2=2b2,
又2a=4,∴a=2,即a2=4,∴b2=2,
故椭圆C的方程为=1.故选B.
3.C 设直线l的方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y并整理,得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,
∴Δ=(2kb-4)2-4k2b2>0,且x1+x2=,
∴kb<1,y1+y2=k(x1+x2)+2b=.
∵线段AB的中点为M(1,m)(m>0),
∴x1+x2==2m,
∴b=,∵m>0,∴k>0,
又∵kb<1,∴2-k2<1,∴k>1.故选C.
4.答案 -
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(s1,t1),E(s2,t2),M(s3,t3).
因为A,B在椭圆上,所以=1,
两式相减,得k1=,
因为D是AB的中点,所以k1=-,即,
同理可得,,
所以.
因为直线OD,OE,OM的斜率之和为1,
所以.
5.解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为(x0,y0),则,
所以=2,所以3x0+8y0=0,所以AB中点的轨迹方程为3x+8y=0(椭圆内部部分).
（2）因为C,D关于直线y=2x+m对称,所以可设直线CD的方程为y=
-x+n,与=1联立,得4x2-4nx+4n2-24=0,则Δ=16n2-16(4n2-24)
>0,解得-2.
设C(x3,y3),D(x4,y4),则x3+x4=n,x3x4=n2-6.
设CD的中点为N(x5,y5),则x5=.
又N在直线y=2x+m上,所以+m,即n=-4m,所以-2
,解得-.
6.C 解法一:由题意可知F,直线AB的斜率存在且不为0.
设直线AB的方程为y=kx+,代入x2=2py得x2-2pkx-p2=0.
由根与系数的关系,得xA+xB=2pk,xAxB=-p2,
所以|AB|=2p(1+k2).同理,|CD|=2p,
所以,
所以2p=4,即p=2,故x2=4y.
过点P作PM垂直于抛物线的准线于点M,连接MQ(图略),则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|=3,当Q,P,
M三点共线时,等号成立.故选C.
解法二:设直线AB的倾斜角为θ,直线CD的倾斜角为β,β>θ,则,
因为两条焦点弦互相垂直,所以β=+θ,
所以,所以2p=4,即p=2,故x2=4y.
下同解法一.
7.答案 8
解析 设P(x,y),由|PF1|=|PF2|得
,整理得x2+y2-12x+4=0,即(x-6)2+y2=32,所以点P(x,y)在圆(x-6)2+y2=32上,所以P(x,y)到x轴的最大距离为4,所以△PF1F2面积的最大值为.
易知渐近线y=x与圆(x-6)2+y2=32有交点,所以≤4,即36b2≤32(a2+b2),整理得a2≥,所以a≥,所以实数a的最小值为.
8.解析 (1)由题意可知直线l:y=k(x+1),代入双曲线方程,得x2-2k2x-k2-1=0.
要使l与双曲线C的左、右两支各有一个交点,
只需
解得-,所以斜率k的取值范围为.
(2)由题可知F1(-,0).
设P(x,y),则|x|≥2,-x,0-y)·(-6.
因为|x|≥2,所以x2≥4,所以-6≥-1,故的最小值为-1.
9.解析 (1)由题意得
∴椭圆E的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)得A(-2,0),B(0,-1).
设直线AP:y=k(x+2),P(x0,y0)(x0>0,y0>0),
由得(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0,
则-2x0=,即x0=,
∴y0=k(x0+2)=.
对于直线AP:y=k(x+2),令x=0,得y=2k,∴C(0,2k).
易得直线BP:y=x-1,令y=0,得x=.
∴S△PCD=S△PAD-S△ACD=.
令t=2k+1,则t∈(1,2),2k=t-1,
∴S△PCD=-2+,
∵t+-2≥2-2,当且仅当t=,即t=时,等号成立,
∴S△PCD=-2+≤-2+-1,
故△PCD的面积的最大值为-1.
10.A 当x1≠x2时,由得,
设线段PQ的中点为N(1,n),所以kPQ=,
所以线段PQ的垂直平分线的方程为y-n=2n(x-1),即y=2n,该直线恒过点;
当x1=x2时,线段PQ的垂直平分线也过点.
故线段PQ的垂直平分线恒过点.故选A.
11.A 由y=,得2x-4y+p=0.
由题意得F到直线2x-4y+p=0的距离为,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x,直线l:y=k(x+1).
由得ky2-4y+4k=0.
易得Δ=16-16k2>0且k≠0,所以-1设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3),则y1y2=4.
kMQ=,则直线MQ的方程为y+1=(x-1),所以y1+1=(x1-1),即(y1+1)(y1+y3)=4x1-4,所以-4,所以y1=-,所以,所以y2y3+4(y2+y3)+4=0.
直线QN的方程为y-y2=(x-x2),即(y-y2)·(y2+y3)=4x-4x2,所以y(y2+y3)-,所以y2y3-y(y2+y3)+4x=0.
所以x=1,y=-4,即直线QN过定点(1,-4).故选A.
12.答案 3
解析 当直线EF的斜率为0时,点E,F为椭圆长轴的端点,不妨设E(-,0),
则=3.
当直线EF的斜率不为0时,设直线EF的方程为x=ty+,
由消去x,得(t2+2)y2+=0,
则Δ=>0恒成立,
y1+y2=-.
因此,==3.
综上,=3.
13.解析 (1)由题意可知
所以所求椭圆的方程为=1.
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),P(4,t).
直线AB的斜率显然存在,设其方程为y=k(x-4)+t.
因为A,P,B,Q四点共线,所以不妨设x2则|AP|=(4-x2).
由|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|,得(4-x1)(x-x2)=(x1-x)(4-x2),化简得2x1x2-(x1+x2)(4+x)+8x=0.(*)
由得(2k2+1)x2+4k(t-4k)x+2(t-4k)2-4=0.
所以x1+x2=-.
代入(*)式,得x=,即=4-x.
又k=,所以=4-x,化简得2x+ty-2=0.
所以点Q在直线2x+ty-2=0上,其恒过点(1,0).
14.解析 (1)设F(c,0),由题意得,点F到直线x+y+2=0的距离d=,所以c=2,
又e=,所以a=2,所以b==2,
所以椭圆C的标准方程为=1.
(2)存在斜率为k的直线l,使l与椭圆C交于不同的两点M,N,且|AM|=|AN|.
由(1)知A(0,2).
当k=0时,易知存在直线l满足题意;
当k≠0时,设直线l的方程为y=kx+m.
由消去y,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-12=0,
则Δ=36k2m2-12(3k2+1)(m2-4)>0,即m2<12k2+4.
设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为E,
则x1+x2=-,
所以,
即E,
所以kAE=,
所以3k2+1=-m,所以(3k2+1)2<4(3k2+1),
解得-1综上所述,存在满足题意的直线l,且直线l的斜率k的取值范围为(-1,1).
15.解析 (1)由题意得
∴双曲线C的方程为x2-=1.
(2)证明:设A(x0,y0),则B(-x0,-y0).
设P(x,y),则kPA·kPB=.
将点A,P的坐标分别代入双曲线C的方程,得
),∴kPA·kPB==3.
(3)由(1)得F1(2,0).
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),
B(x2,y2).
由消去y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,
∴x1+x2=.
假设存在M(m,0),使得=0恒成立,
∴=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2=+m2+4k2
==0.
∴3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2≠3恒成立,
∴解得m=-1,
∴存在M(-1,0),使得=0恒成立.
当直线l的斜率不存在时,不妨令A(2,3),B(2,-3),易知M(-1,0)也满足题意.
综上,存在M(-1,0),使得=0.
2(共30张PPT)
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
知识 清单破
知识点 1 直线与圆锥曲线的位置关系
将直线方程与圆锥曲线方程联立组成方程组,消去y(或x),若得到一个关于x(或y)的一元二次
方程,其判别式为Δ,则
Δ<0 直线与圆锥曲线相离;
Δ=0 直线与圆锥曲线相切;
Δ>0 直线与圆锥曲线相交.
注意:直线方程与双曲线或抛物线的方程联立可能得到一次方程,此时直线与双曲线的渐近
线平行,只有一个公共点,直线与抛物线的对称轴平行或重合,只有一个公共点.
设斜率为k的直线被圆锥曲线截得的弦为AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=
|x1-x2|=
或|AB|= |y1-y2|
= (k≠0).
知识点 2 弦长公式
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.已知椭圆C: + =1,则过点(1,0)的直线与椭圆一定有两个公共点. ( )
2.直线与双曲线相切是直线与双曲线有一个公共点的充分不必要条件. ( )
3.若直线与抛物线相交,则直线与抛物线有两个公共点. ( )
4.过抛物线上一点且与该抛物线有一个公共点的直线有2条. ( )
√
√
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 圆锥曲线中的弦长问题
1.求相交弦的弦长的两种方法
(1)求出直线与圆锥曲线的两交点坐标,用两点间的距离公式求弦长.
(2)联立直线与圆锥曲线的方程,消元,得到关于一个未知数的一元二次方程,再结合弦长公式
求解.
2.与圆锥曲线中点弦有关的三种题型及解法
(1)利用根与系数的关系求中点坐标:联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组,消去一个未
知数得到一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)利用点差法求直线斜率或方程:弦的端点在曲线上,端点坐标满足圆锥曲线方程,将端点坐
标分别代入圆锥曲线方程,然后作差,得到中点坐标和斜率的关系,从而使问题得以解决.
(3)利用共线法求直线方程:如果弦的中点为P(x0,y0),设弦的一个端点为A(x1,y1),则另一个端点
为B(2x0-x1,2y0-y1),由A,B两点都在圆锥曲线上,满足圆锥曲线方程,可将其坐标代入方程后作差
即可得所求直线方程.
典例 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为e,且过点(1,e)和 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上的两个不同点A,B关于直线y=x+ 对称,求|AB|.
解析 (1)由题意得 + = + = + = =1, + = + =1,
∴b2=1,a2=2,
∴椭圆C的方程为 +y2=1.
(2)解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,AB的中点M(x0,y0).
由题意得kAB=-1,把A,B两点的坐标代入 +y2=1,得 + =1①, + =1②,
②-①,得 + - =0,即 + =0,
即 + ·kAB=0,故 = .
∵点M在直线y=x+ 上,∴y0=x0+ ,
联立 解得
∴M ,
故直线AB:y+ =-(x+1),即y=-x- .
联立
消去y,得6x2+12x+5=0,
∴x1+x2=-2,x1x2= ,
∴|AB|= × = × = .
解法二:设直线AB:y=-x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,
联立
消去y,得3x2-4mx+2m2-2=0,
∴x1+x2= ,
∴y1+y2=-(x1+x2)+2m= ,
∴AB的中点坐标为 ,
又AB的中点在直线y=x+ 上,
∴ = + ,解得m=- ,
∴AB的中点坐标为 ,
故直线AB的方程为y=-x- .
以下同解法一.
解决圆锥曲线中的最值(范围)问题的方法
(1)数形结合:借助几何关系与几何性质求解.
(2)建立函数模型:利用二次函数、三角函数等的最值求解.
(3)建立不等式模型:利用基本不等式求解.
讲解分析
疑难 2 圆锥曲线中的最值(范围)问题
典例 已知抛物线y2=4 x的准线过椭圆E的左焦点,且椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构
成一个正三角形,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线y= 交椭圆E于A,B两点,点P在线段AB上移动,直线OP交椭圆于M,N两点,过P作MN
的垂线交x轴于点Q,求△MNQ的面积的最小值.
解析 (1)设椭圆E的方程为 + =1(a>b>0).
易知抛物线的准线方程为x=- ,∴c= .
∵椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,∴b=1,a=2,
∴椭圆E的方程为 +y2=1.
(2)易知直线MN的斜率存在且不为0.
设直线MN:y=kx,M(x1,y1),N(x2,y2),则P .
由 得(1+4k2)x2-4=0,
∴x1+x2=0,x1x2= ,
∴|MN|= · = · .
设Q(m,0),∵PQ⊥MN,
∴kPQ·kMN= ·k=-1,解得m= + ,
∴Q到直线MN的距离为 = ,
∴S△MNQ= · · = = · = · ≥ ·
2 = ,
当且仅当 = ,
即k=± 时取等号,故△MNQ的面积的最小值为 .
讲解分析
疑难 3 圆锥曲线中的定值与定点问题
1.定值问题
(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思路是使用参数表示要解决的问题,
证明要解决的问题与参数无关.在这类问题中,选择消元的方法是非常关键的.
(2)求定值问题的常用方法:
①直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
②从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
2.解决定点问题的方法
一是抓“参数之间的关系”,定点问题多是直线过定点,所以要抓住问题的核心,实质就是求
解直线方程中参数之间的关系,所以要熟悉直线方程的特殊形式,若直线的方程为y=kx+b,则
直线恒过点(0,b),若直线的方程为y=k(x-a),则直线恒过点(a,0).
二是抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以先从斜率不存在或斜率为0的
特殊情况入手找出定点,为解题指明方向.
典例1 已知椭圆C: + =1,设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C于异于N的A,B两点,直线
NA,NB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.
证明 当直线l的斜率存在时,设斜率为k,显然k≠0,因为直线l不过点N,所以k≠4,则其方程为y
+2=k(x+1)(k≠0且k≠4),
由 得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.
由Δ=56k2+32k>0,解得k<- 或k>0,
故k∈ ∪(0,4)∪(4,+∞).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=- ,x1x2= .
从而k1+k2= + = =2k-(k-4)· =4.
当直线l的斜率不存在时,将x=-1代入椭圆C的方程,得y=± ,
不妨设A ,B ,
此时k1=2- ,k2=2+ ,从而k1+k2=4.
综上所述,k1+k2为定值.
典例2 已知椭圆Γ: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,A,B是椭圆Γ上关于
原点对称的两个动点,当AF2垂直于x轴时,△ABF2的周长为4+ .
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)已知椭圆Γ的离心率e< ,直线AF2与椭圆Γ交于另一点M,直线BF2与椭圆Γ交于另一点N,
证明:直线MN过定点.
解析 (1)连接BF1(图略).
由题意得A ,|AF2|=|BF1|,所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=|BF1|+|BF2|+2|OA|=2a+2|OA|
=2a+2 =4+ .
由题知2a=4,所以a=2,又因为c2=a2-b2,
所以b2=3或b2=1,
故椭圆Γ的方程为 + =1或 +y2=1.
(2)证明:因为椭圆Γ的离心率e< ,所以椭圆Γ的方程为 + =1.当A,B为椭圆的左、右顶点
时,直线MN与x轴重合.
当A,B为椭圆的上、下顶点时,A(0, ),F2(1,0),
所以直线AF2的方程为y=- x+ ,与椭圆方程联立,可得M ,同理,可得N ,所
以直线MN的方程为x= .
当A,B不是椭圆的顶点时,设直线MN的方程为x=my+n(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
由 得(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0,则Δ=36m2n2-4(3m2+4)(3n2-12)=144m2-48n2+192>0,
y1+y2= ,y1y2= .
设直线AF2的方程为x=m1y+1,其中m1= ,A(x3,y3),
由 得(3 +4)y2+6m1y-9=0,
则Δ1=36 +108 +144=144(1+ )>0,y1y3= ,所以y3= .
设直线BF2的方程为x=m2y+1,其中m2= ,易知B(-x3,-y3),
由 得(3 +4)y2+6m2y-9=0,
则Δ2=36 +108 +144=144(1+ )>0,-y2y3= ,所以y3= .
所以 = ,
即(3 +4)y1+(3 +4)y2=0,
所以3 y1+3 y2+4(y1+y2)=0.
所以3 y1+3 y2+4(y1+y2)
= + +4(y1+y2)
=(3m2+4)(y1+y2)+12m(n-1)+3(n-1)2· =0,
所以(3m2+4)· +12m(n-1)+3(n-1)2· =0,即m(5n-8)=0.
因为m≠0,所以n= ,所以直线MN的方程为x=my+ ,恒过点 .
综上,直线MN恒过点 .
解决圆锥曲线中的存在性问题时,首先假设存在,看是否符合题意,若推出矛盾,则不存在;
否则,就存在.
讲解分析
疑难 4 圆锥曲线中的存在性问题
典例 已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为1的点与焦点F之间的距离为3.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)过(-1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=-4于点E,直线BF交直线x=-1于点D.
是否存在这样的直线l,使得DE∥AF 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由题意及抛物线的定义可得1+ =3,解得p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x,准线方
程为x=-2.
(2)假设存在满足题意的直线l.显然直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠
0),A(x1,y1),B(x2,y2).
联立
消去y,得k2x2+(2k2-8)x+k2=0.
由Δ=(2k2-8)2-4k4>0,解得- 所以- 由根与系数的关系得x1+x2= ,x1x2=1.
解法一:易知F(2,0),所以直线BF的方程为y= (x-2),又xD=-1,所以yD= ,
所以D .
因为DE∥AF,所以kDE=kAF,
又E(-4,-3k),所以 = ,
即k= + ,
即k= + ,
化简,得1= + ,
即1= ,
即x1+x2=7,所以 =7,
整理,得k2= ,解得k=± .
经检验,k=± 符合题意.
所以存在满足题意的直线l,直线l的方程为y= (x+1)或y=- (x+1).
解法二:因为DE∥AF,
所以 = ,
所以 = ,
整理,得x1x2+(x1+x2)=8,
即 =7,整理,得k2= ,
解得k=± .
经检验,k=± 符合题意.
所以存在满足题意的直线l,直线l的方程为y= (x+1)或y=- (x+1).
