全书综合测评(一)-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第一册

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
全书综合测评(一)
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线2x-by+4=0的斜率等于-,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.
2.与双曲线=1有共同渐近线,且经过点(2,4)的双曲线的虚轴长为(　　)
A.2　　　　C.2　　　　D.4
3.已知☉O1:x2+y2-ax=0(a>0)截直线x-y=0所得线段的长度是2,则☉O1与☉O2:
(x-4)2+(y-2)2=1的位置关系是(　　)
A.内切　　　　B.相离　　　　
C.外切　　　　D.相交
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥底面ABCD,PD=2DC,E为PC上一点,且PC=4EC,则异面直线AC与BE所成角的余弦值为(　　)
A.-
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC的距离与到直线D1C1的距离相等,则动点P的轨迹是 (　　)
A.线段　　　　B.圆弧　　　　C.双曲线的一部分　　　　D.抛物线的一部分
6.已知抛物线C:y2=4x上一点P(x0,y0),点A(3,),则+2|PA|的最小值是(　　)
A.10　　　　B.8　　　　C.5　　　　D.4
7.设a为实数,若直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y+a=0,l3:(a2+a-5)x+3ay+5=0两两相交,且交点恰是直角三角形的三个顶点,则这样的l1,l2,l3有(　　)
A.2组　　　　B.3组　　　　
C.4组　　　　D.5组
8.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则椭圆C的离心率为(　　)
A.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.在平面直角坐标系中,有两个圆C1:(x+2)2+y2=和C2:(x-2)2+y2=,其中常数r1,r2为正数,且满足r1+r2<4,一个动圆P与两圆都相切,则动圆圆心的轨迹可以是(　　)
A.椭圆　　　　B.双曲线　　　　
C.直线　　　　D.抛物线
10.已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,则以下说法正确的是(　　)
A.△F1PF2的周长为6
B.若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为
C.椭圆C上存在两点,使得∠F1PF2=90°
D.
11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=AB=2,AB⊥AC,D,E分别是线段BC,B1C上的动点(不含端点),且,则下列说法正确的是(　　)
A.ED∥平面ACC1A1
B.该三棱柱的外接球的表面积为68π
C.异面直线B1C与AA1所成角的正切值为
D.二面角A-EC-D的余弦值为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若直线l:mx+ny-1=0(m,n>0)始终平分圆C:(x-1)2+(y-2)2=4的周长,则的最小值为　　　　.
13.已知双曲线E:=1,过P(4,t)(t>0)作直线l交双曲线于A,B两点,若不存在直线l,使得P是线段AB的中点,则t的取值范围是　　　　.
14.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=4,PA=2,D为AB的中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC⊥DE.当E在AC上时,AE=　　　　,点E的轨迹的长度为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分)
15.(13分)如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求二面角E-AC-B的正弦值;
(3)求点D到平面ACE的距离.
16.(15分)以双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点F为圆心作圆,与C的一条渐近线切于点Q.
(1)求双曲线C的标准方程及其离心率;
(2)已知点M,N分别是双曲线C的左、右顶点,过右焦点F作一条斜率为k(k≠0)的直线l,与双曲线交于点A,B,记直线MA,NB的斜率分别为k1,k2.求的值.
17.(15分)从①CD⊥BC;②BC∥平面PAD这两个条件中选一个,补充在下面的横线上,并解答.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2,E为PB的中点,　　　　.
(1)求证:四边形ABCD是直角梯形;
(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PB上是否存在一点F,使得AF∥平面PCD 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(17分)在平面直角坐标系中,直线l:x-y-4=0交x轴于点M,以原点O为圆心的圆与直线l相切.
(1)求圆O的方程;
(2)设点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,若在圆O上存在点P,使得∠ONP=45°,求x0的取值范围;
(3)是否存在定点S,对于经过点S的直线a,当a与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO 若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.
19.(17分)已知点A,B在直线l:y=x+2上(B在A的上方),P(2,0),|AB|=,斜率为k1的直线AP交抛物线Γ:y2=4x于点M,N,直线BP交Γ于点R,S,如图所示.
(1)求k1的取值范围;
(2)若0答案与解析
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1.A 2.D 3.D 4.B 5.D 6.B
7.A 8.A 9.BC 10.ABD 11.AD
1.A　依题意有,所以b=-4,于是直线方程为2x+4y+4=0,即=1,因此直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于×|-1|×|-2|=1.
2.D　设与双曲线=1有共同渐近线的双曲线方程为=λ(λ≠0).
∵双曲线=λ经过点(2,4),∴λ==-1,∴所求双曲线的方程为=1,∴虚轴长2b=4.故选D.
3.D　☉O1的标准方程为(a>0),则圆心O1,半径r1=,∴圆心O1到直线x-y=0的距离d=,∴a=4,∴O1(2,0),r1=2,又圆O2的圆心为O2(4,2),半径r2=1,∴☉O1与☉O2的圆心距为2,且2-1<2<2+1,即两圆相交.故选D.
4.B　以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设PD=2DC=2,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),E,
所以,
所以cos<,
故异面直线AC与BE所成角的余弦值为.故选B.
5.D　连接PC1,∵几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴D1C1⊥侧面BB1C1C,又PC1 侧面BB1C1C,
∴D1C1⊥PC1,∴PC1的长为P到直线D1C1的距离,又P到直线BC的距离与到直线D1C1的距离相等,∴PC1的长等于P到直线BC的距离,由抛物线的定义知,动点P的轨迹是抛物线的一部分.
6.B　由题意得=4x0,所以=x0,所以=2(x0+|PA|)=2(x0+1+|PA|)
-2.
易得抛物线C:y2=4x的焦点为(1,0)(记为F),准线方程为x=-1,
连接PF,则|PF|=x0+1,故+2|PA|=2(x0+1+|PA|)-2=2(|PF|+|PA|)-2.
连接AF,易知|PF|+|PA|≥|AF|,当A,P,F三点共线(P在A,F之间)时,|PF|+|PA|取得最小值|AF|==5,所以+2|PA|=2(|PF|+|PA|)-2的最小值为2×5-2=8.故选B.
7.A　易得直线l1,l2,l3的一个法向量分别为(a,1)(记为n1),(1,1)(记为n2),(a2+a-5,3a)(记为n3),所以a的值必然在集合{a|ni·nj=0,i, j∈{1,2,3},i≠j}={-5,-2,-1,0,1}中.
经验证,当a=1时,l1,l2,l3中有重合的直线;当a=0或a=-1时,l1,l2,l3三线共点.
所以所求组数为2.故选A.
8.A　易得A(-a,0),B(a,0),F(-c,0),所以可设直线l的方程为y=k(x+a),k≠0.令x=-c,得y=k(a-c);令x=0,得y=ka,所以|FM|=|k|(a-c),|OE|=|k|a.因为OE∥MF,所以在△BMF中,
,即,整理得,所以椭圆C的离心率为.故选A.
9.BC　由题意得,圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为r1,圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r2,所以|C1C2|=4.设动圆P的半径为r.
当r1+r2<4时,C1,C2两圆外离.
①若圆C1,C2均内切于圆P,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r-r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,当r1≠r2时,点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,当r1=r2时,点P的轨迹是线段C1C2的垂直平分线.
②若圆C1,C2与圆P均外切,则|PC1|=r+r1,|PC2|=r+r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,则点P的轨迹与①相同.
③若圆C1,C2一个外切于圆P,一个内切于圆P,则当C1内切于圆P,C2外切于圆P时,|PC1|=r-r1,|PC2|=r+r2,|PC2|-|PC1|=r1+r2.同理,当C2内切于圆P,C1外切于圆P时,|PC1|-|PC2|=r1+r2,此时点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线.故选BC.
10.ABD　由椭圆C:=1,得a2=4,b2=3,则c2=1,所以a=2,c=1.
对于A,△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6,故A正确.
对于B,在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,即|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,则4=16-3|PF1||PF2|,所以|PF1||PF2|=4,所以△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=,故B正确.
对于C,当点P位于椭圆的上、下顶点时,∠F1PF2最大,此时|PF1|=|PF2|=2=|F1F2|,所以△F1PF2为等边三角形,故∠F1PF2的最大值为60°,所以椭圆C上不存点P,使得∠F1PF2=90°,故C错误.
对于D,(|PF1|+|PF2|)
=,
当且仅当,即|PF2|=2|PF1|=时取等号,
所以,故D正确.
故选ABD.
11.AD　在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BAA1B1是矩形,所以BB1∥AA1,因为,所以ED∥BB1∥AA1,又ED 平面ACC1A1,AA1 平面ACC1A1,所以ED∥平面ACC1A1,故A正确;
因为AA1=AC=AB=2,所以AB=3,因为AB⊥AC,所以BC=,易知△B1BC为直角三角形,所以B1C=,易知B1C是三棱柱外接球的直径,所以三棱柱外接球的表面积为4π×=17π,故B错误;
因为AA1∥BB1,所以异面直线B1C与AA1所成的角为∠BB1C,在Rt△B1BC中,BB1=2,BC=,所以tan∠BB1C=,故C错误;
连接AB1,则二面角A-EC-D即锐二面角A-B1C-B,
以A为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图,
则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,2,0),B1(3,0,2),
所以=(-3,2,-2),
设平面AB1C的一个法向量为n=(x1,y1,z1),
则
令x1=2,则y1=0,z1=-3,所以n=(2,0,-3),
设平面BB1C的一个法向量为m=(x2,y2,z2),
则
令x2=2,则y2=3,z2=0,所以m=(2,3,0),
所以cos=,
故二面角A-EC-D的余弦值为,故D正确.
故选AD.
12.答案　8
解析　由题意得直线经过圆心(1,2),故m+2n=1,m,n>0,
所以≥4+2=8,
当且仅当,即m=时,等号成立.
13.答案　[6,4]
解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),
若点P为线段AB的中点,则x1+x2=8,y1+y2=2t.
当直线AB的斜率不存在时,AB⊥x轴,此时t=0(舍去).
当直线AB的斜率存在时,由A,B在双曲线上,得两式相减并化简,得,故直线AB的斜率为.
设直线l的方程为y-t=k(x-4),
由 得(3-k2)x2-(24-8k2)x-t2+84-16k2=0.
因为直线与双曲线有两个不同的交点,
所以Δ=(24-8k2)2-4(3-k2)(-t2+84-16k2)>0,
又k=,所以t4-84t2+123>0,所以t>4或014.答案　2;
解析　根据题意建立空间直角坐标系,如图所示.
设CB=2m,则P(0,0,2),C(0,4,0),D(m,2,0),所以=(0,4,-2).
当E在AC上时,设E(0,t,0)(0≤t≤4),则=(-m,t-2,0),
又PC⊥DE,所以=4(t-2)=0,解得t=2,因此AE=2,此时E为AC的中点,可得E(0,2,0).
当E为AC的中点时,作EE'⊥PC于点E',连接DE',因为PC⊥DE,PC⊥EE',又DE∩EE'=E,DE,EE' 平面DEE',所以PC⊥平面DEE',
所以点E在△PAC内的轨迹为线段EE',因此求出EE'的长度即可.
设=(0,4λ,-2λ),则E'(0,4λ,2-2λ),所以=(0,4λ-2,2-2λ),由得4(4λ-2)-2(2-2λ)=0,解得λ=,所以,所以|EE'|=.
15.解析　(1)证明:因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE.(1分)
因为二面角D-AB-E为直二面角,所以平面ABCD⊥平面ABE.
又CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABE=AB,CB 平面ABCD,
所以CB⊥平面ABE,所以CB⊥AE.(3分)
又BF∩CB=B,所以AE⊥平面BCE.(4分)
(2)取AB的中点O,连接OE,以O为原点,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过点O且平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.(5分)
因为AE⊥平面BCE,BE 平面BCE,所以AE⊥BE.
在Rt△AEB中,AB=2,O为AB的中点,所以OE=1.
所以A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),则=(0,2,2).
设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),
则令x=1,则y=-1,z=1,
所以平面ACE的一个法向量是n=(1,-1,1).(8分)
易得平面ACB的一个法向量为=(1,0,0).
cos<,n>=,所以sin<,n>=,
所以二面角E-AC-B的正弦值为.(10分)
(3)因为AD∥z轴,AD=2,所以=(0,0,2),(11分)
所以点D到平面ACE的距离d=.(13分)
16.解析　(1)易知双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.
因为圆F与y=x切于点Q,所以①.(1分)
设F(c,0),则kFQ×=-1,即=-1②.(3分)
又c2=a2+b2③,所以由①②③解得c=3,a=2,b=,(4分)
则双曲线C的标准方程为=1,离心率e=.(6分)
(2)由(1)得M(-2,0),N(2,0),F(3,0),
所以直线l的方程为y=k(x-3).(8分)
由消去y并整理,得(5-4k2)x2+24k2x-36k2-20=0,
所以5-4k2≠0且Δ=+4×(5-4k2)(36k2+20)>0,解得k≠±.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,(12分)
所以
.(15分)
17.解析　(1)证明:选择条件①.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥CD.∵PA=AD=2,∴PD=2.
又∵PC=2,CD=2,∴CD2+PD2=PC2,∴CD⊥PD.(2分)
∵PA∩PD=P,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD.(3分)
又∵CD⊥BC,∴AD∥BC.
∵AD≠BC,∴四边形ABCD是直角梯形.(5分)
选择条件②.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥CD.∵PA=AD=2,∴PD=2.
又∵PC=2,CD=2,∴CD2+PD2=PC2,∴CD⊥PD.(2分)
∵PA∩PD=P,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD.(3分)
∵BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BC∥AD,又AD≠BC,∴四边形ABCD是直角梯形.(5分)
(2)过A作AD的垂线交BC于点M.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AM,PA⊥AD.
如图,建立空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1,0),E=(0,2,-2).(8分)
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),
则令y=1,得x=0,z=1,∴n=(0,1,1).(10分)
设直线AE与平面PCD所成的角为α,∴sin α=|cos(3)存在.
设=λ(0<λ<1),则=λ(2,-1,-2)=(2λ,-λ,-2λ),
∴=(2λ,-λ,-2λ+2).(13分)
∵AF∥平面PCD,∴·n=0,即-λ-2λ+2=0,解得λ=.(15分)
18.解析　(1)原点到直线l的距离d==2,(2分)
故圆O的方程为x2+y2=4.(3分)
(2)过N 作圆O的切线,切点为Q,连接OQ,如图①所示,
图①
则∠ONQ≥∠ONP=45°,∴sin∠ONQ=≥sin∠ONP=,(5分)
∴|ON|≤2.∵点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,
∴+(3-x0)2≤8,解得≤x0≤.(8分)
(3)存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立.如图②所示:
图②
当直线a的斜率存在时,设直线a:y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得(1+k2)x2+2kmx+m2-4=0,
∴x1+x2=-.(10分)
由∠AMO=∠BMO,得kAM+kBM=0.(11分)
又M(4,0),∴=0,即2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0,
∴2k×-8m=0,化简得m=-k.
∴直线a:y=kx-k过定点S(1,0).(14分)
当直线AB的斜率不存在时,由圆的对称性知,直线过S(1,0)时满足∠AMO=∠BMO.(16分)
综上,存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立.(17分)
19.解析　(1)由题意可知AP:y=k1(x-2).
因为AP与抛物线Γ有两个交点,与直线l有一个交点,
所以k1≠1,且k1≠0.
由所以A.
因为|AB|=,所以B,即B.(3分)
当直线BP的斜率不存在时,=2,解得k1=-3.(5分)
当直线BP的斜率存在时,设为k2,则k2=(k1≠-3).
因为直线BP与抛物线有两个交点,与直线l有一个交点,
所以所以k1≠-3且k1≠且k1≠1.(7分)
综上,k1∈(-∞,0)∪∪(1,+∞).(8分)
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),R(x3,y3),S(x4,y4),
lAP:x=m1y+2,m1=∈(5,+∞),lBP:x=m2y+2,m2=.
连接NR,MS.因为,
所以S△MPR=·S△NMR,S△SPN=·S△SMN,
故S△MPR·S△SPN=-·S△SMN·S△NMR.(10分)
记R,S到直线AP的距离分别为d3,d4,则S△NMR=|MN|·d3,S△SMN=|MN|·d4.
由弦长公式得|MN|=·|y1-y2|,
则S△MPR·S△SPN=-|MN|2·d3·d4=-·d3·d4.(12分)
由得y2-4m1y-8=0,所以y1y2=-8.
由得y2-4m2y-8=0,所以y3+y4=4m2,y3y4=-8.
故S△MPR·S△SPN=2(1+)·
=2=16(m1-m2)2.(15分)
由(1)可知,k2=,又k2=,所以m2=,
故S△MPR·S△SPN=16≥16×=4 096,当且仅当m1=9,即k1=时取等号,
故S△MPR·S△SPN的取值范围是[4 096,+∞).(17分)