全书综合测评(二)-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第一册

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
全书综合测评(二)
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线x+2y-1=0的一个方向向量为v=(1,m),则m的值为(　　)
A.
2.若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a与b的夹角的余弦值为-,则实数x的值为(　　)
A.-3　　　　B.11　　　　C.3　　　　D.-3或11
3.如图,在空间四边形ABCD中,向量=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则=(　　)
A.(2,3,3)　　　　B.(-2,-3,-3)　　　　C.　　　　D.(-5,2,-1)
4.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a等于(　　)
A.14　　　　B.34　　　　C.14或45　　　　D.34或14
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1的中点为E,则二面角A-BE-B1的余弦值为(　　)
A.-
6.已知双曲线=1,F为其右焦点,过F点的直线与双曲线相交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l的条数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
7.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线PQ过F1与椭圆交于P,Q两点,若2|PF1|=3|PF2|=6|QF1|,则椭圆的离心率是(　　)
A.
8.已知圆O(O为坐标原点)与直线x+y+4=0相切,点P在直线x=8上,过点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的定点的坐标为(　　)
A.(2,0)　　　　B.(0,2)　　　　
C.(1,0)　　　　D.(0,1)
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是(　　)
A.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
B.已知向量a=(9,4,-4),b=(1,2,2),则a在b上的投影向量为(1,2,2)
C.若直线l的方向向量为e=(1,0,3),平面α的法向量为n=,则直线l∥α
D.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,a+c}是空间向量的另一组基底
10.设F是抛物线C:y2=4x的焦点,直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列结论正确的是(　　)
A.|AB|≥4
B.|OA|+|OB|>8
C.若点P(2,2),则|PA|+|AF|的最小值是3
D.△OAB的面积的最小值是2
11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E,F分别是BC,A1C1的中点,点D在线段B1C1上,则下面说法中正确的有(　　)
A.EF∥平面AA1B1B
B.若D是B1C1的中点,则BD⊥EF
C.直线EF与平面ABC所成角的正弦值为
D.当直线BD与直线EF所成的角最小时,线段BD的长为
12.设动直线l:mx-y-2m+3=0(m∈R)交圆C:(x-3)2+(y-2)2=3于A,B两点,则下列说法正确的是(　　)
A.直线l过定点P(2,3)　　　　
B.当|AB|取得最大值时,m=1
C.当∠ACB最小时,其余弦值为　　　　
D.的取值范围是[2,6]
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0),B(-4,0)两点,则圆C的方程为　　　　　　　　.
14.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)与原点之间的距离d的最小值等于　　　　.
15.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,=0,O为坐标原点,过点O作F1P的垂线,垂足为点H,若双曲线的离心率e=,存在实数m满足|OH|=m|OF1|,则m=　　　　.
16.如图,在平面四边形ABCD中,|AB|=|BC|=3,|CD|=1,|AD|=,∠ADC=90°.沿直线AC将△DAC折起到△D'AC的位置,则=　　　　;当平面D'AC⊥平面ABC时,异面直线AC与BD'所成角的余弦值是　　　　.
四、解答题(本题共6小题,共70分)
17.(10分)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)若直线l与圆C交于A,B两点,|AB|=4,求实数m的值;
(2)求证:无论m取什么实数,直线l与圆C恒交于两点;
(3)求直线l被圆C截得的最短弦长以及此时直线l的方程.
18.(12分)下图是一个半圆柱,E为半圆弧上一点,|CD|=.
(1)若|AD|=2,求四棱锥E-ABCD的体积的最大值;
(2)有三个条件:①4;②直线AD与BE所成角的正弦值为.请你从中选择两个作为已知条件,求直线AD与平面EAB所成角的余弦值.
19.(12分)已知椭圆E:=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率e=,O为坐标原点,圆O:x2+y2=与直线AB相切.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1·k2是不是定值 证明你的结论.
20.(12分)已知点E到直线l:y=-2的距离比到点F(0,1)的距离大1.设点E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若P(x0,y0)为直线l上任意一点,过点P作曲线C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,求点F到直线MN的距离的最大值.
21.(12分)如图,将等腰直角△ABC沿斜边AC旋转,使得点B移到点B'的位置,且BB'=AB.
(1)证明:平面AB'C⊥平面ABC;
(2)求二面角B-AB'-C的余弦值;
(3)若在棱CB'上存在点M,使得,μ∈,在棱BB'上存在点N,使得,且BM⊥AN,求实数λ的取值范围.
22.(12分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点P(-3,2),|PF|=2,过点P作直线与抛物线E顺次交于A,B两点,过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为C.
(1)求证:直线BC过定点;
(2)若直线BC所过定点为Q,△QAB,△PBC的面积分别为S1,S2,求的取值范围.
答案与解析
全书综合测评(二)
1.D 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C
7.A 8.A 9.ABD 10.ACD 11.ACD 12.AD
1.D　直线x+2y-1=0的斜率为-,所以m=-.故选D.
2.A　∵cos=,∴,∴x=-3.故选A.
3.B　由题图得,,
所以2)
==(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)=(-4,-6,-6),
所以=(-2,-3,-3).故选B.
4.D　设圆C1、圆C2的半径分别为r1,r2.
圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a,所以C1(3,-2),C2(7,1),r1=1,r2=.
由题意得两圆相切,所以|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|.
因为|C1C2|==5,所以5=1+或5=|1-|,
解得a=34或a=14.故选D.
5.A　如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,0,1),B1(2,2,2),∴=(2,2,1),
设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则
取x=1,得n=(1,0,2),
设平面BB1E的一个法向量为m=(a,b,c),
则取a=1,得m=(1,-1,0),
设二面角A-BE-B1的平面角为θ,由图知θ为钝角,
∴cos θ=-.
6.C　由双曲线=1得a=2,b=.
当弦AB仅过双曲线右支时,通径最短,长度为=3,
因为|AB|=4>3,所以符合条件的直线有2条.
当弦AB过双曲线的两支时,实轴最短,长度为2a=4,
因为|AB|=4,所以符合条件的直线有1条.故选C.
7.A　设2|PF1|=3|PF2|=6|QF1|=6t>0,|F1F2|=2c,则|PF1|=3t,|PF2|=2t,|QF1|=t.
连接QF2,由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a,所以|QF2|=2a-t=4t,所以a=t.
在△PF1F2中,由余弦定理得4t2=9t2+4c2-2×2c×3t×cos∠PF1F2.
在△QF1F2中,由余弦定理得16t2=t2+4c2-2×2c×t×cos∠QF1F2.
因为∠PF1F2+∠QF1F2=π,所以cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0,
所以4t2+3×16t2=(9t2+4c2-2×2c×3t×cos∠PF1F2)+3(t2+4c2-2×2c×t×cos∠QF1F2),即52t2=12t2+16c2,所以c=t.
所以椭圆的离心率e=.故选A.
8.A　依题意得,圆O的半径r==4,所以圆O的方程为x2+y2=16.连接OA,OB,OP.因为PA,PB是圆O的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上.设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点坐标为,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+,b∈R,化简得x2+y2-8x-by=0,b∈R.因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过点(2,0).
9.ABD　因为=1,所以P,A,B,C四点共面,故A正确;
a在b上的投影向量为|a|cos·=|a|··b=b=(1,2,2),故B正确;
e·n=1×(-2)+0+3×=0,则e⊥n,所以l∥α或l α,故C错误;
假设a+b,b+c,a+c共面,则存在m,n∈R,使得a+b=m(b+c)+n(c+a)=na+mb+(m+n)c,则无解,故假设不成立,故D正确.
故选ABD.
10.ACD　F(1,0),不妨设点A在第一象限.
①若直线l的斜率不存在,则A(1,2),B(1,-2),则|AB|=4,|OA|+|OB|=2|OA|=2<8,S△OAB=×4×1=2,显然B错误;
②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),显然k≠0,
联立消去y并整理,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
∴|AB|=x1+x2+2=4+>4,原点O到直线l的距离d=,
∴S△OAB=·|AB|·d=>2.
综上,|AB|≥4,S△OAB≥2,故A,D正确;
如图,过点A向准线作垂线,垂足为N,则|PA|+|AF|=|PA|+|AN|,
故当P,A,N三点共线时,|PA|+|AF|取得最小值3,故C正确.故选ACD.
11.ACD　建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),
F(0,1,2),设D(x,2-x,2),则=
(x-2,2-x,2).
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,可得为平面AA1B1B的一个法向量,为平面ABC的一个法向量.
对于A,易知=(0,2,0),因为=0,所以EF⊥AC,又EF 平面AA1B1B,所以EF∥平面AA1B1B,故A正确;
对于B,若D是B1C1的中点,则=(-1,1,2),所以=1+4=5,所以EF与BD不垂直,故B不正确;
对于C,易知=(0,0,2),设直线EF与平面ABC所成的角为θ,则sin θ=cos<,故C正确;
对于D,设=(-2λ,2λ,0)(0≤λ≤1),则=(-2λ,2λ,2),所以=2λ+4,所以cos<,所以当,即
λ=时,cos<>取得最大值,即直线BD与直线EF所成的角最小,此时
,故D正确.故选ACD.
12.AD　对于A,由mx-y-2m+3=0得m(x-2)-y+3=0,
由所以直线l:mx-y-2m+3=0过定点P(2,3),故A正确;
对于B,易知圆C的圆心为C(3,2),半径r=,当直线l经过圆心C(3,2)时,|AB|取得最大值,为2,所以3m-2-2m+3=0,解得m=-1,故B不正确;
对于C,显然点P在圆C内,设圆心C(3,2)到直线l的距离为d,则|AB|=2,因为d≤|PC|=,当且仅当PC⊥l时,等号成立,所以|AB|≥2=2,所以cos∠ACB=|AB|2,当∠ACB最小时,cos∠ACB最大,所以|AB|最小,因为|AB|的最小值为2,所以cos∠ACB=1-,故C不正确;
对于D,|·||·cos∠BAC=||·||·|2,由B,C中的分析知,2≤||≤2,所以|2∈[2,6],
即的取值范围是[2,6],故D正确.故选AD.
13.答案　(x+3)2+(y-2)2=5
解析　线段AB的中垂线方程为x=-3,把x=-3代入x-2y+7=0,得y=2,故圆心C(-3,2),由两点间的距离公式得半径r=|AC|=,∴圆C的方程为(x+3)2+(y-2)2=5.
14.答案　
解析　由把(1,2)代入mx+ny+5=0,可得m+2n+5=0,于是m=-5-2n,因此点(m,n)与原点之间的距离d=,当且仅当n=-2,m=-1时取等号,故点(m,n)与原点之间的距离d的最小值等于.
15.答案　
解析　∵=0,∴PF2⊥F1F2,故可设P(c,n),将P(c,n)代入双曲线方程,得n=±.易得
△F1OH∽△F1PF2,∴,又|OH|=m|OF1|,|PF2|=,
∴2a2m+b2m=b2,整理得,解得m=.
16.答案　2;
解析　由题可知|AC|=·(,
在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB=|·
cos∠ACB==3,又cos∠ACD'=|·
(-cos∠ACD')==-1,则=3-1=2.
当平面D'AC⊥平面ABC时,设异面直线AC与BD'所成的角为θ,
以AC的中点O为原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,作D'E⊥AC于点E,易知D'E⊥平面ABC,
则|OB|=
,故B
|=3,则cos θ=.
17.解析　易得圆C的圆心为C(1,2),半径r=5.(1分)
(1)由题意得,解得m=±.(3分)
(2)证明:方程(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)可化为m(2x+y-7)+(x+y-4)=0,
∴∴直线l恒过点(3,1),记为P.(5分)
∵|PC|=<5,∴点P在圆内,
∴无论m取什么实数,直线l与圆C恒交于两点.(7分)
(3)当直线l所过的定点为弦的中点,即l⊥PC时,直线l被圆C截得的弦长最短,此时最短弦长为2.
∵kPC=,∴kl=2,∴直线l:y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.(10分)
18.解析　(1)过点E作EF⊥CD于点F,因为平面ABCD⊥平面EDC,平面ABCD∩平面EDC=DC,所以EF⊥平面ABCD.(2分)
因为E为半圆弧上一点,所以CE⊥ED,
所以VE-ABCD=×S四边形ABCD×|EF|=×|CE|×|ED|,
因为|CE|2+|ED|2=|CD|2=5,
所以VE-ABCD≤,
当且仅当|CE|=|ED|=时,等号成立,
所以四棱锥E-ABCD的体积的最大值为.(4分)
(2)由条件①,得4||cos∠CDE=||cos∠DCE,即4|DE|2=|CE|2,所以2|DE|=|CE|,
又因为|DE|2+|CE|2=5,所以|DE|=1,|CE|=2.
因为AD∥BC,BC⊥平面DCE,所以∠CBE为异面直线AD与BE所成的角,BC⊥CE,所以Rt△CBE中,sin∠CBE=,tan∠CBE=.
由条件②,得sin∠CBE=,所以 tan∠CBE=.
由条件③,得,设|AD|=x,则.(6分)
若选条件①②,则|DE|=1,|CE|=2,且=tan∠CBE=,所以|AD|=|BC|=.
若选条件①③,则|DE|=1,|CE|=2,且,所以|AD|=|BC|=.
若选条件②③,则=tan∠CBE=,且,|DE|2+|CE|2=5,所以|DE|=1,|CE|=2,|AD|=|BC|=.
即从①②③中任选两个作为条件,都可以得到|DE|=1,|CE|=2,|AD|=|BC|=.(9分)
下面求AD与平面EAB所成角的正弦值.
以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为z轴,过点A且与平面ABCD垂直的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(,
所以),
设平面EAB的一个法向量为m=(a,b,c),
则
令c=1,则a=0,b=-,所以m=.(10分)
设直线AD与平面EAB所成的角为θ,θ∈,
则sin θ=|cos<,m>|=,(11分)
所以cos θ=,
所以AD与平面EAB所成角的余弦值为.(12分)
19.解析　(1)由题知,直线AB的方程为=1,即bx+ay-ab=0,
由圆O与直线AB相切,得,即,①(2分)
设椭圆E的半焦距为c,则e=,②(4分)
由①②得a2=4,b2=1.故椭圆E的标准方程为+y2=1.(5分)
(2)k1·k2是定值,且k1·k2=.证明过程如下:
由(1)得直线AB的方程为y=-x+1,
故可设直线DC的方程为y=-x+m,显然m≠±1.(7分)
设C(x1,y1),D(x2,y2),
联立消去y,得x2-2mx+2m2-2=0,
则Δ=8-4m2>0,∴-,且m≠±1,(9分)
∴x1+x2=2m,x1x2=2m2-2.
又k1=,(10分)
∴k1·k2==
=.(12分)
20.解析　(1)由题意得,点E到直线l':y=-1的距离等于点E与点F(0,1)之间的距离,则点E的轨迹是以F为焦点,直线l'为准线的抛物线.(2分)
设其方程为x2=2py(p>0).
由题意得=1,解得p=2,所以曲线C的方程是x2=4y.(4分)
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),过曲线C上点M(x1,y1)的切线方程为y-y1=k(x-x1).
由得x2-4kx+4(kx1-y1)=0,
令Δ=(-4k)2-4×4(kx1-y1)=0,又=4y1,所以k=.所以过曲线C上点M(x1,y1)的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=.(6分)
又切线过点P(x0,y0),所以y0=,即y0=x0-y1.(7分)
同理,过点N(x2,y2)的切线方程为y=,
又切线过点P(x0,y0),所以y0=,即y0=x0-y2.(9分)
所以点M(x1,y1),N(x2,y2)均满足y0=x0-y,即x0x=2(y0+y).(10分)
又P(x0,y0)为直线l:y=-2上任意一点,所以y0=-2,所以直线MN的方程为x0x=2(y-2).
所以点F(0,1)到直线MN的距离d=,当x0=0时,dmax=1.
所以点F到直线MN的距离的最大值为1.(12分)
21.解析　(1)证明:取AC的中点O,连接OB,OB'.
由题意得BB'=AB=AB'=BC=B'C,
在△AB'C中,因为O为AC的中点,所以OB'⊥AC,即∠B'OC=90°.
易知△OBB'≌△OCB',则∠B'OB=∠B'OC=90°,即B'O⊥OB.(2分)
因为AC∩OB=O,所以B'O⊥平面ABC.
因为B'O 平面AB'C,所以平面AB'C⊥平面ABC.(4分)
(2)不妨设OA=1,由(1)知B'O⊥平面ABC,
易知OB⊥AC.
如图,以O为坐标原点,OC,OB,OB'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(0,1,0),B'(0,0,1),C(1,0,0),
所以=(1,0,1).
设平面ABB'的一个法向量为n=(x,y,z),则
不妨取x=1,则n=(1,-1,-1).(6分)
易知平面AB'C的一个法向量为=(0,1,0),
所以cos又二面角B-AB'-C是锐二面角,
所以二面角B-AB'-C的余弦值为.(8分)
(3)由(2)可得=(0,-1,1),则=(1,1,0)+λ(0,-1,1)=(1,1-λ,λ).(10分)
因为BM⊥AN,所以=0,即(1-μ)-(1-λ)+μλ=0,
所以λ=1-,则λ是关于μ的单调递增函数,
所以当μ∈时,λ∈,
故实数λ的取值范围是.(12分)
22.解析　(1)证明:易得F,所以|PF|=,整理,得p2+12p-28=0,解得p=2(负值舍去),
所以抛物线的方程为y2=4x.(2分)
易知直线AB的斜率存在,设其方程为y-2=k(x+3).
由得ky2-4y+8+12k=0,
所以k≠0,且Δ=16(-3k2-2k+1)>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=+12,
所以y1y2-12=2(y1+y2).①(3分)
易知直线AC的方程为y-y1=x-.
由得y2-4y+4y1-=0,所以Δ1=16-4(4y1-)>0.
设C(x3,y3),则y1+y3=4.②
由①②可得(4-y3)y2-12=2(4-y3+y2),即2(y2+y3)=y2y3+20.③
若直线BC的斜率不存在,则y2+y3=0,代入③,得=20,
所以x3==5,所以直线BC的方程为x=5.(4分)
若直线BC的斜率存在,则kBC=,所以直线BC的方程为y-y2=,即4x-(y2+y3)y+y2y3=0,将③代入,得4x-(y2+y3)y+2(y2+y3)-20=0,即(y2+y3)(2-y)+4(x-5)=0,即直线BC过定点(5,2).
综上,直线BC过定点(5,2).(6分)
(2)易知S1=S△PBQ-S△PAQ=|PQ|·|y2-2|-|PQ|·|y1-2|=|PQ|·|y1-y2|=×8×|y1-y2|=4|y1-y2|,
S2=×8×|y2-y3|=4|y2-y3|,
由(1)知,y1+y3=4,所以S2=4|y1+y2-4|.(8分)
由(1)知y1+y2=+12,
所以|y1-y2|=.
由k≠0,且Δ=16(-3k2-2k+1)>0,可得-1所以.(10分)
令k-1=u,t=,所以.
因为-1所以∈(0,1),所以的取值范围为(0,1).(12分)