考前必背-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第一册

考前必背
一、空间向量与立体几何
　　1.共线向量基本定理
如果a≠0且a∥b,那么存在唯一的实数λ,使b=λa.
2.共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y),使得p=xa+yb.
3.空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
4.空间向量坐标的运算
(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R),a·b=a1b1+a2b2+
a3b3,|a|=,cos=(a,b为非零向量),a∥b(a≠0) b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3,a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0.
（2）若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
5.空间向量的应用
(1)设直线l,m的方向向量分别为μ,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
线线平行:l∥m或l与m重合 μ∥v;
线面平行:l∥α或l α μ⊥n1;
面面平行:α∥β或α与β重合 n1∥n2;
线线垂直:l⊥m μ⊥v;
线面垂直:l⊥α μ∥n1;
面面垂直:α⊥β n1⊥n2;
线线夹角:l,m的夹角θ∈,cos θ=;
线面夹角:l,α的夹角θ∈,sin θ=;
二面角:二面角θ∈[0,π],|cos θ|=.
(2)点到直线的距离:d=,其中A a,B∈a,a是直线a的一个方向向量.
(3)点到平面的距离:d=,其中A α,B∈α,n是平面α的一个法向量.
二、平面解析几何
　　1.直线的斜率
α为直线l的倾斜角,A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则直线l的斜率k=tan α=(α≠90°,x1≠x2).
2.两条不重合的直线l1,l2的位置关系
　　 形式 关系　　 l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0 特殊形式
平行 k1=k2,b1≠b2 l1:x=a, l2:x=b(a≠b)
相交 k1≠k2
垂直 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0 l1:x=a,l2:y=b
　　3.距离公式
两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=.
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d=.
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)之间的距离d=.
4.直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆的位置关系:相离,相切,相交.
圆与圆的位置关系:外离,外切,相交,内切,内含.
5.圆锥曲线中的一些结论
(1)椭圆:①P是椭圆上一点,F为椭圆的一个焦点,则|PF|∈[a-c,a+c],即椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c,最小值为a-c;②椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为,通径是最短的焦点弦;③P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则△PF1F2的周长为2(a+c).
(2)双曲线:①双曲线的焦点到其渐近线的距离为b;②若P是双曲线右(下)支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右(上、下)焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a;③同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为,异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
(3)抛物线的焦点弦:(以下图为依据)设A(x1,y1),B(x2,y2).
①y1y2=-p2,x1x2=;
②|AB|=x1+x2+p=(θ为直线AB的倾斜角);
③;
④以AB为直径的圆与准线相切;
⑤以AF或BF为直径的圆与y轴相切.