第1章 直线与方程
1.1 直线的斜率与倾斜角
基础过关练
题组一 直线的斜率
1.已知点A(2,0),B(0,4),若过P(-6,-8)的直线l与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围为( )
A.k≤1 B.k≥2
C.k≥2或k≤1 D.1≤k≤2
2.(教材习题改编)若A(3,1),B(-2,b),C(8,11)三点共线,则b=( )
A.2 B.3
C.9 D.-9
3.若将直线l沿x轴正方向平移2个单位长度,再沿y轴负方向平移3个单位长度,又回到了原来的位置,则l的斜率是( )
A.-
4.设P为x轴上的一点,A(-3,8),B(2,14),若直线PA的斜率是PB的斜率的2倍,则点P的坐标为 .
题组二 直线的倾斜角与斜率
5.(多选题)在下列四个命题中,错误的有( )
A.坐标平面内的任何一条直线都有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π)
C.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α
D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α
6.经过A(-1,3),B()两点的直线的倾斜角α为( )
A.45° B.60°
C.90° D.120°
7.设直线l的斜率为k,且-1≤k<,则l的倾斜角α的取值范围为( )
A.
C.
8.(多选题)如图,已知直线l1,l2,l3,l4的斜率分别是k1,k2,k3,k4,倾斜角分别是α1,α2,α3,α4,则下列关系正确的是( )
A.k2C.α2<α1<α4<α3 D.α3<α2<α1<α4
9.直线n经过点A(1,1),B(m+2,m-2),且倾斜角为135°,则实数m为 .
10.已知△ABC的三个顶点A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).
(1)求直线BC,AC的斜率和倾斜角;
(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD的斜率k和倾斜角α的取值范围.
能力提升练
题组一 直线的斜率及其应用
1.已知点A(2,-3),B(-3,-2),若点P(x,y)在线段AB上,则的取值范围为( )
A.(-∞,-4]∪
B.
C.
D.
2.三名同学相约在暑期进行社会实践活动,同去某工厂加工同一种产品,他们在一天中的工作情况如图所示,其中Ai的横、纵坐标分别为第i名同学上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名同学下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3,记pi为第i名同学在这一天中平均每小时加工的产品个数,则p1,p2,p3中最大的是( )
A.p1 B.p2
C.p3 D.不能确定
3.(教材习题改编)已知点A(2,1),B(-2,2),若直线l过点P-且与线段AB没有交点,则直线l的斜率k的取值范围为 .
4.一束光射向x轴,与x轴相交于点P(-1,0),经x轴反射后,与连接A(0,),B(1,2)两点的线段总有公共点,则这束光线所在直线的斜率的取值范围为 .
题组二 直线的倾斜角与斜率
5.已知点A(2,-1),B(3,m),若m∈,则直线AB的倾斜角α的取值范围为( )
A.
C.
6.过点A(2,1),B(m,3)的直线l的倾斜角α的范围是,则实数m的取值范围是( )
A.(0,2] B.(0,4)
C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4)
7.若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为 .
8.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,且边OB在x轴的非负半轴上.已知∠BOD=60°,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.
答案与分层梯度式解析
第1章 直线与方程
1.1 直线的斜率与倾斜角
基础过关练
1.D 根据题意得kPA==2,结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是1≤k≤2.故选D.
2.D ∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC,即,解得b=-9,故选D.
3.A 设A(a,b)是l上任意一点,则平移后得到点(a+2,b-3),设为A',易知A'也在l上,则l的斜率k=kAA'=.故选A.
4.答案 (-5,0)
解析 设P(x,0),则kPA=,于是,解得x=-5,故点P的坐标为(-5,0).
5.ACD 当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°,斜率不存在,A,D错误;
B显然正确;
C错误,如直线y=x的斜率为tan,它的倾斜角为.故选ACD.
6.D 经过A(-1,3),B()两点的直线的斜率为,即tan α=-,因为0°≤α<180°,所以α=120°.故选D.
7.D 由题意可知α∈[0,π),当-1≤k<0时,≤α<π;当0≤k<时,0≤α<.
综上所述,l的倾斜角α的取值范围为.故选D.
8.BC 由倾斜角的概念及题图可得90°<α3<180°,0°<α1<α4<90°,α2=0°,
所以α2<α1<α4<α3,且k3<0,k4>k1>0,k2=0,
所以k39.答案 1
解析 由题意得直线n的斜率为tan 135°=-1,
∵A(1,1),B(m+2,m-2)为直线n上的点,
∴kAB==-1,解得m=1.
10.解析 (1)由斜率公式得kBC=.
∵倾斜角的取值范围是[0,π),
∴直线BC的倾斜角为,直线AC的倾斜角为.
(2)如图,当直线CD由直线CA逆时针旋转到直线CB时,k由kAC增大到kBC,
∴k的取值范围为,倾斜角α的取值范围为.
能力提升练
1.A 设Q(1,1),则的几何意义是直线PQ的斜率,
易得直线QB的斜率k1=,直线QA的斜率k2==-4,
∴的取值范围为(-∞,-4]∪.故选A.
2.B 设Ai(),i=1,2,3,根据题意可知表示第i名同学上午的工作时间,表示第i名同学上午加工的零件数;
同理,表示第i名同学下午的工作时间,表示第i名同学下午加工的零件数.所以pi=,
因此,pi可理解为线段AiBi的中点与原点连线的斜率(如图).
由图可以看出p2最大.故选B.
3.答案
解析 假设直线l与线段AB有交点,过点P作垂直于x轴的直线交线段AB于点C,如图所示,
当直线l由直线PA绕点P逆时针旋转到直线PC时,l的斜率从kPA逐渐变大,即k≥kPA=;
当直线l由直线PC绕点P逆时针旋转到直线PB时,l的斜率为负值,且逐渐增大至kPB,即k≤kPB=.
综上所述,若直线l与线段AB有交点,则其斜率k的取值范围是,
所以直线l与线段AB没有交点时,其斜率k的取值范围是.
方法技巧 本题在求解时用到了补集思想,即要求直线l与线段AB没有交点时斜率k的范围,先求有交点时k的范围,再求其补集.要求有交点时k的范围,需以l与x轴垂直时的直线(此时斜率不存在)为分界线,分别求解.
4.答案 [-,-1]
解析 如图,由题意可知直线PA与l2关于直线x=-1对称,直线PB与l1关于直线x=-1对称,
易得直线PA的斜率为kPA=,直线PB的斜率为kPB==1,
∴,∴这束光线所在直线的斜率的取值范围为[-,-1].
5.A 由题意知直线AB的斜率为kAB==m+1,
∵m∈,∴kAB=m+1∈,
又∵直线倾斜角的取值范围是[0,π),
∴当-≤kAB<0时,≤α<π;当0≤kAB≤时,0≤α≤.
综上,直线AB的倾斜角α的取值范围为.故选A.
6.B
当直线l的斜率存在,即α∈时,设斜率为k,结合直线的倾斜角与斜率关系的图象,可知k>1或k<-1,此时m≠2,
又k=,∴<-1或>1,解得0当直线l的斜率不存在,即α=时,m=2.
综上,实数m的取值范围是(0,4).故选B.
方法技巧 已知倾斜角的范围求直线斜率的范围或已知斜率的范围求直线倾斜角的范围时,可结合直线的倾斜角与斜率关系的图象,即k=tan α,α∈[0,π)且α≠的图象进行求解,特别注意倾斜角为,即斜率不存在的情况,必要时要分类讨论.
7.答案 -
解析 如图,在正方形OABC中,对角线OB所在直线的斜率为3,建立平面直角坐标系,
设对角线OB所在直线的倾斜角为θ,则tan θ=3,
由正方形的性质可知,直线OA的倾斜角为θ-45°,直线OC的倾斜角为θ+45°,
故kOA=tan(θ-45°)=,
kOC=tan(θ+45°)==-2,
则kOA+kOC=.
故该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为-.
8.解析 因为OD∥BC,∠BOD=60°,所以直线OD,BC的倾斜角都是60°,斜率kOD=kBC=tan 60°=.
因为边OB在x轴的非负半轴上,DC∥OB,
所以直线OB,DC的倾斜角都是0°,斜率kOB=kDC=tan 0°=0.
由菱形的性质知,∠COB=30°,∠OBD=60°,
所以直线OC的倾斜角为30°,斜率kOC=tan 30°=,直线BD的倾斜角为∠DBx=180°-∠OBD=120°,斜率kBD=tan 120°=-.
11(共13张PPT)
第1章 直线与方程
1.1 直线的斜率与倾斜角
知识点 1 直线的斜率
对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2(如图1),那么直线l的斜率k= (x1
≠x2).如果x1=x2(如图2),那么直线l的斜率不存在.
必备知识 清单破
直线的斜率与直线方向的关系:
(1)当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜;
(2)当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜;
(3)当直线的斜率为零时,直线与x轴平行或重合.
图1 图2
在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到
与直线重合时,所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角.
规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角α的取值范围是{α|0≤α<π}.
知识点 2 直线的倾斜角
知识点 3 直线的斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角α α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°
斜率 k=0 k>0 k不存在 k<0
当直线与x轴不垂直时,该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k=tan α .
知识辨析
1.任何一条直线都有倾斜角吗
2.任何一条直线都存在斜率吗
3.直线的斜率一定随着倾斜角的增大而增大吗
4.不同的直线,它的倾斜角一定不相同吗
一语破的
1.是.当直线与x轴相交时,存在一个最小正角是直线的倾斜角,当直线与x轴平行或重合时,直
线的倾斜角是0.
2.不是.当直线的倾斜角为 时,直线的斜率不存在.
3.不一定.当直线的倾斜角α≠ 时,斜率k=tan α,由正切函数的图象可知,当α∈ ∪
时,k=tan α不单调.
4.不一定.当两条直线不平行时,它们的倾斜角不相同;当两条直线平行时,倾斜角一定相同.
定点 1 倾斜角和斜率的关系及其应用
当直线l的倾斜角α∈ 时,k≥0,且α越大,斜率k越大;当直线l的倾斜角α∈ 时,k<
0,且α越大,斜率k越大;当直线l的倾斜角α= 时,它的斜率不存在.k=tan α 的图
象如图所示.
由斜率k的范围截取函数图象,可得到倾斜角α的范围;反过来,由倾斜角α的范围截取函数图
象,可得到斜率k的范围.
关键能力 定点破
典例 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的倾斜角的取值范围;
(2)求直线l的斜率k的取值范围.
思路点拨 (1)由题意画出图形,分别求出P与线段AB端点连线的倾斜角,从而得出答案.(2)由
斜率是倾斜角的正切值即可得到k的取值范围.
解析 (1)如图,当直线l过点B时,设l的倾斜角为α(0≤α<π),
则tan α= =1,
即α= ;
当直线l过点A时,设l的倾斜角为β(0≤β<π),
则tan β= =-1,即β= ,
∴要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是 .
(2)由(1)可知直线l的倾斜角的取值范围是 ,
∴直线l的斜率的取值范围是k≤-1或k≥1.
易错警示 本题易错误地认为斜率k的取值范围是-1≤k≤1,结合图形考虑,l的倾斜角应介于
直线PB与直线PA的倾斜角之间(包括直线PB与PA的倾斜角),即 ,利用k=tan α
的图象(如图所示)得到k的取值范围是k≤-1或k≥1.
1.求解三点共线问题
若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB
=kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或AB与BC或AC与BC)的斜率相同,又过同一点A(或B或C),所
以点A,B,C在同一条直线上.
2.求形如 的代数式的范围(最值)问题
形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义:过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的
斜率,并借助图形解决.
定点 2 直线斜率的应用
典例 (1)已知三点A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上,则a= ( )
A.2或 B.2 C. D.-2
(2)已知正△ABC的顶点A(1,1),B(1,3),点C在第一象限,若点P(x,y)是△ABC内部及其边界上一
点,则 的最大值为 ( )
A. B. C. D.
A
B
解析 (1)易知该直线的斜率存在.
由题意可得kBC=kAB,即 = ,解得a=2或a= .故选A.
(2)在平面直角坐标系中画出正△ABC,可知顶点C的坐标为(1+ ,2), 可看作△ABC内部
及其边界上一点P(x,y)与点(-1,0)连线的斜率,
当点P运动到点B时,直线的斜率最大,故 的最大值为 = .故选B.
