1.2.3 直线的一般式方程
基础过关练
题组一 直线的一般式方程
1.如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若方程mx+(m2-m)y+1=0表示一条直线,则实数m的取值范围是 .
3.(教材习题改编)已知直线3x1+4y1=1和3x2+4y2=1,且x1≠x2,则经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线l的一般式方程为 .
4.若点(1,2)在直线ax+by-1=0上(其中a,b都是正实数),则的最小值为 .
5.已知直线l的方程为2x+(m-3)y-2m+6=0(m≠3).
(1)若l在x轴上的截距为-3,求m的值;
(2)若l的斜率为1,求m的值.
题组二 直线方程几种形式的相互转化
6.已知倾斜角为θ的直线l与直线x+y-3=0的夹角为30°,则θ的值为( )
A.30°或150° B.120°或0°
C.90°或30° D.60°或0°
7.下列关于直线的说法中,正确的个数为( )
①直线l:x+y-3=0过点P(1,2);
②直线y=kx-2在y轴上的截距是2;
③直线x-y+4=0不经过第四象限;
④直线x-y+1=0的倾斜角为30°.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.下列说法错误的是 ( )
A.平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示
B.当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示的直线过原点
C.当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与x轴平行
D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
9.若直线的截距式方程=1化为斜截式方程为y=-2x+b,化为一般式方程为bx+ay-8=0,且a>0,则a+b= .
10.已知△ABC位于第一象限,且A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°.
(1)求边AB所在直线的方程;
(2)求直线AC与直线BC的一般式方程.
能力提升练
题组 几种直线方程的相互转化及应用
1.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是( )
A.直线l的斜率可以等于0
B.若l与y轴的夹角为30°,则m=或m=-
C.若l的斜率为,则l的方程为x-2y+1=0
D.若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍,则m=1或m=-2
2.(多选题)已知曲线C:3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0,则下列说法正确的是( )
A. λ∈R,曲线C为一个点
B. λ∈R,曲线C为一条直线
C. λ∈R,曲线C为直线x+y=0
D. λ∈R,曲线C恒过点(-2,2)
3.(多选题)已知直线l过点P(3,2),且与l1:x+3y-9=0、x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则( )
A.直线l的方程为x-3y+3=0
B.直线l与直线l1的倾斜角互补
C.直线l在y轴上的截距为2
D.这样的直线l有两条
4.已知直线l的倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍,且l经过点P(3,2),则直线l的方程为 .
5.在①直线BC的斜率为,②直线AC的斜率为这两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答下面的问题.
已知以A为顶角的等腰三角形ABC的顶点A(-1,2),B(-3,2), .
(1)求直线AC的一般式方程;
(2)求直线BC的一般式方程;
(3)求角A的平分线所在直线的一般式方程.
6.已知t∈(0,5],由t确定两个点P(t,t),Q(10-t,0).
(1)写出直线PQ的方程(用含t的式子表示);
(2)如图,在△OPQ内作内接正方形ABCD,顶点A,B在边OQ上,顶点C在边PQ上.若OA=a,当正方形ABCD的面积最大时,求a,t的值.
答案与分层梯度式解析
1.2.3 直线的一般式方程
基础过关练
1.C 由AB>0且BC<0,可得A,B同号,B,C异号,所以A,C异号,
令x=0,得y=->0,令y=0,得x=->0,
所以直线Ax+By+C=0不经过第三象限.故选C.
2.答案 m≠0
解析 要使mx+(m2-m)y+1=0表示一条直线,则m,m2-m不能同时为零,
即解得m≠0.
3.答案 3x+4y-1=0
解析 由3x1+4y1=1,3x2+4y2=1,
得点A(x1,y1)在直线3x+4y-1=0上,
点B(x2,y2)在直线3x+4y-1=0上,
即A,B都在直线3x+4y-1=0上,
因为两点确定一条直线,所以由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线即为3x+4y-1=0.
4.答案 3+2
解析 把点(1,2)代入直线方程得a+2b=1(a>0,b>0),则≥3+2,
当且仅当,即a=2b时取等号,
由
所以当a=2-时,取得最小值,为3+2.
5.解析 (1)令y=0,得x=m-3,则m-3=-3,解得m=0.
(2)因为直线l的斜率存在,所以l的方程可化为y=-x+2.由题意得-=1,解得m=1.
6.B 直线x+y-3=0可化为y=-,设其倾斜角为φ,0°≤φ<180°,
则斜率k=tan φ=-,故φ=150°,
又两直线的夹角为30°,所以θ=0°或θ=120°.
故选B.
7.C ①将x=1代入x+y-3=0,得y=2,故正确;
②当x=0时,y=-2,故直线y=kx-2在y轴上的截距是-2,故错误;
③由x-y+4=0得y=x+4,故斜率k=1>0,在y轴上的截距b=4>0,所以直线不经过第四象限,故正确;
④直线x-y+1=0的斜率为,故倾斜角为30°,故正确.故选C.
8.D 每一条直线都有倾斜角α,当α≠90°时,直线的斜率k存在,其方程可写成y=kx+b,变形为kx-y+b=0,此时A=k,B=-1,C=b;当α=90°时,直线的斜率不存在,其方程可写成x=x1,此时A=1,B=0,C=-x1,显然A,B不同时为0,A中说法正确.
当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)即为Ax+By=0,显然有A·0+B·0=0,即直线过原点,B中说法正确.
当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-,它表示的直线与x轴平行,C中说法正确.
易知D中说法错误.
故选D.
9.答案 6
解析 由=1得y=-x+b,得bx+ay-ab=0,
∴-=-2,-ab=-8,
即
∵a>0,∴a=2,b=4,∴a+b=6.
10.解析 (1)因为A(1,1),B(5,1),所以AB∥x轴,
所以边AB所在直线的方程为y=1.
(2)因为∠A=60°,所以kAC=tan 60°=,
所以直线AC的方程为y-1=(x-1),即=0,
因为∠B=45°,所以kBC=tan 135°=-1,
所以直线BC的方程为y-1=-(x-5),即x+y-6=0.
能力提升练
1.BCD 对于直线l:x-my+m-1=0,当m=0 时,直线l:x=1,斜率不存在;
当m≠0时,直线l的斜率为,不可能等于0,故A错误.
若直线l与y轴的夹角为30°,则l的倾斜角为60°或120°,
∴=tan 60°==tan 120°=-,
∴m=或m=-,故B正确.
由l的斜率为,得m=2,∴l的方程为x-2y+1=0,故C正确.
当m=0时,直线l:x=1,在y轴上的截距不存在;当m≠0时,令x=0,得y=,令y=0,得x=1-m,则=1-m,得m=1或m=-2,故D正确.
故选BCD.
2.BCD 由3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0,可得(3+2λ)x+(4+λ)y-2+2λ=0,
因为3+2λ与4+λ不会同时为0,所以 λ∈R,曲线C为一条直线,故A错误,B正确;
当λ=1时,曲线C:3x+4y-2+2x+y+2=0,即x+y=0,故C正确;
由即曲线C恒过点(-2,2),故D正确.
故选BCD.
3.AB 因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以直线l与l1的倾斜角互补,故B正确;
由直线l1的斜率为-,知直线l的斜率为,因为直线l过点P(3,2),所以直线l的方程为y-2=(x-3),即x-3y+3=0,故A正确;
将x=0代入x-3y+3=0,得y=1,所以直线l在y轴上的截距为1,故C错误;
过点P(3,2)且斜率为的直线只有一条,故D错误.
故选AB.
规律总结 底边在x轴(或y轴)上的等腰三角形的两腰所在直线的倾斜角互补,斜率互为相反数.
4.答案 8x-15y+6=0
解析 设直线l的倾斜角为θ,直线x-4y+3=0的倾斜角为α,则θ=2α,且tan α=,
所以tan θ=tan 2α=,又l经过点P(3,2),所以直线l的方程为y-2=(x-3),即8x-15y+6=0.
5.解析 因为A(-1,2),B(-3,2),所以AB∥x轴.
选①:(1)由直线BC的斜率为,得直线BC的倾斜角为30°.因为△ABC是以A为顶角的等腰三角形,所以直线AC的倾斜角为60°,斜率为,如图所示.
又因为A(-1,2),所以直线AC的方程为y-2=(x+1),其一般式方程为=0.
(2)因为B(-3,2),直线BC的斜率为,所以直线BC的方程为y-2=(x+3),其一般式方程为x-+3=0.
(3)由(2)可知,角A的平分线所在直线的斜率为-,倾斜角为120°,
所以角A的平分线所在直线的方程为y-2=-(x+1),其一般式方程为=0.
选②:(1)因为A(-1,2),AC的斜率为,所以直线AC的方程为y-2=(x+1),其一般式方程为=0.
(2)由直线AC的斜率为,得直线AC的倾斜角为60°,因为△ABC是以A为顶角的等腰三角形,所以直线BC的倾斜角为30°或120°,斜率为或-,如图所示:
又因为B(-3,2),所以直线BC的方程为y-2=(x+3)或y-2=-(x+3),其一般式方程为x-+3=0或-2=0.
(3)由题意可知,角A的平分线所在直线的倾斜角为120°或30°,斜率为-,所以角A的平分线所在直线的方程为y-2=-(x+1)或y-2=(x+1),其一般式方程为=0或x-+1=0.
6.解析 (1)令t=10-t,得t=5,此时直线PQ的方程为x=5,
当t≠5时,直线PQ的方程为y-t=(x-t),
即tx+(10-2t)y+t2-10t=0.
(2)由P(t,t)和四边形ABCD为正方形可知OA=AD=AB,
则A(a,0),B(2a,0),C(2a,a),
因为点C(2a,a)在直线PQ上,所以2at+(10-2t)a+t2-10t=0,
所以a=,0要使正方形ABCD的面积最大,只需a的值最大,
易知当t=5时,amax=,此时正方形ABCD的面积最大.
121.2.2 直线的两点式方程
基础过关练
题组一 直线的两点式方程
1.过两点(-2,4)和(4,-1)的直线在y轴上的截距为( )
A.
2.已知直线l的两点式方程为,则l的斜率为 ( )
A.-
3.一条光线从点A(-1,3)射向x轴,经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1),则点P的坐标为( )
A.(0,0) B.(1,0) C. D.(2,0)
4.已知点A,B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy的最大值为 .
5.(教材习题改编)已知△ABC的三个顶点分别为A(1,1),B(5,4),C(3,8),则AB边上的中线所在直线的方程为 ;过点A作直线l,若它把△ABC的面积分成1∶3的两部分,则l的方程为 .
题组二 直线的截距式方程
6.直线-=-1在x轴、y轴上的截距分别为( )
A.2,3 B.-2,3 C.-2,-3 D.2,-3
7.(多选题)直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则直线l的方程可能是( )
A.3x+2y=0 B.2x+3y=0 C.x-y-5=0 D.x+y-1=0
8.过点P(1,3)作直线l,若l经过点A(a,0)和B(0,b),且a,b均为正整数,则这样的直线l可以作出( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
9.已知直线l在x轴上的截距为m,且在x轴,y轴上的截距之和为4.
(1)若l的斜率为2,求实数m的值;
(2)若l分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O是坐标原点,求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.
10.已知直线l过点P(2,3),根据下列条件分别求出直线l的方程.
(1)在x轴、y轴上的截距互为相反数;
(2)与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积最小.
答案与分层梯度式解析
1.2.2 直线的两点式方程
基础过关练
1.C 由直线的两点式方程得,
即5x+6y-14=0,令x=0,得y=.故直线在y轴上的截距为.故选C.
2.A 由题意知直线l过点(-5,0),(3,-3),所以l的斜率为.故选A.
3.D 易得B(3,1)关于x轴的对称点为(3,-1),设为B',如图,
由直线的两点式方程得直线AB'的方程为 ,即y=-x+2,令y=0,得x=2,则点P(2,0).故选D.
解题模板 求解光线的反射问题通常用到对称的知识,若A点经x轴上的P点反射至B点,则A点关于x轴的对称点A'与P,B共线,此直线为反射光线所在直线;B点关于x轴的对称点B'与P,A共线,此直线为入射光线所在直线.
4.答案 3
解析 由题意可得直线AB的方程为,化简可得4x+3y-12=0,
所以xy=×4x×3y≤=3,当且仅当4x=3y,即x=,y=2时等号成立.
5.答案 x=3;8x-7y-1=0或12x-5y-7=0
解析 设线段AB的中点为M,则M,即M,易知直线CM的斜率不存在,故直线CM的方程为x=3.
由题意知直线l过线段BC的四等分点,设为D(x,y),则,
当时,(x-5,y-4)=(-2,4),解得x=,y=5,此时直线l的方程为,整理得8x-7y-1=0;
当时,(x-5,y-4)=(-2,4),解得x=,y=7,此时直线l的方程为,整理得12x-5y-7=0.
综上所述,直线l的方程为8x-7y-1=0或12x-5y-7=0.
6.D 直线方程可化为=1,因此,直线在x轴、y轴上的截距分别为2,-3,故选D.
7.BCD 当直线l在坐标轴上的截距为0时,方程为y=-x,即2x+3y=0.
当直线l在坐标轴上的截距不为0时,设其方程为=1,
则
当a=1,b=1时,可得直线l的方程为x+y=1,即x+y-1=0;
当a=5,b=-5时,可得直线l的方程为=1,即x-y-5=0.故选BCD.
易错警示 直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,不要忽略截距都为0,即直线过原点的情况.
8.B ∵a,b均为正整数,∴可设直线l:=1,
将P(1,3)代入得=1,
当b=3时,=0,方程无解,∴a=,
∵a∈N*,≠0,∴∈N*,∴b-3=1或b-3=3,
∴即满足题意的直线l有2条.
故选B.
9.解析 (1)依题意知直线在x,y轴上的截距都存在且不为0,
设l的方程为=1(m≠0且m≠4),
令y=0,得x=m,令x=0,得y=4-m,即l经过点(m,0),(0,4-m),
所以直线l的斜率为=2,解得m=-4.
(2)设l的方程为=1(m≠0且m≠4),
则解得0由(1)知A(m,0),B(0,4-m),
可得S△AOB=(m-2)2+2,0当m=2时,S△AOB取得最大值2,此时直线l的方程为=1,即y=-x+2.
10.解析 (1)①当l经过原点时,l的方程为y=x,即3x-2y=0.
②当l不经过原点时,设其方程为=1(m≠0),
∵P(2,3)在直线l上,∴=1,解得m=-1,即x-y+1=0.
综上所述,直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.
(2)由题意可知直线l与两坐标轴均交于正半轴,故设直线l的方程为=1(a>0,b>0),将P(2,3)代入可得=1,
则=1≥2,故ab≥24,当且仅当,即a=4,b=6时等号成立,
此时面积最小,为ab=12,
所以直线l的方程为=1,即3x+2y-12=0.
方法技巧 求解与直线方程有关的面积问题,关键是由直线方程求出相应点的坐标或者相关长度,此时注意点在直线上,即点的坐标适合直线方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
71.2 直线的方程
1.2.1 直线的点斜式方程
基础过关练
题组一 直线的点斜式方程
1.若直线l的斜率k=-2,且过点(3,2),则直线l还经过点( )
A.(0,4) B.(4,0)
C.(0,-4) D.(-2,1)
2.下列对方程=2表示的图形的叙述中正确的是( )
A.斜率为2的一条直线
B.斜率为-的一条直线
C.斜率为2的一条直线,且除去点(-3,6)
D.斜率为-的一条直线,且除去点(-3,6)
3.已知直线l1:y=x+2,l2是l1绕点P(-2,1)逆时针旋转45°后得到的直线,则直线l2的方程是( )
A.y=x+3 B.y=
C.y=-3x+7 D.y=3x+7
4.设直线l过点(-4,0),其倾斜角的余弦值为,则直线l的方程为 .
5.已知直线l过定点P(-2,1),且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B,点O为坐标原点.
(1)若△AOB的面积为4,求直线l的方程;
(2)求OA+OB的最小值,并求此时l的方程.
题组二 直线的斜截式方程
6.直线x+y+2=0的倾斜角及在y轴上的截距分别是( )
A.60°,2 B.60°,-2 C.120°,-2 D.120°,2
7.已知直线l:kx-y+2k-2=0(k∈R),若l不经过第二象限,则k的取值范围为( )
A.k≤1 B.k≥0 C.0≤k≤1 D.k≤0
8.已知直线l1:y=mx+n,l2:y=nx-m(mn≠0,m≠n),则下列各图形中,正确的是( )
A B C D
9.(教材习题改编)过点P(3,4)且与坐标轴围成的三角形的面积为1的直线l的斜截式方程是 .
10.已知点A(-1,-1),B(2,5)在直线l上.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线l1的倾斜角是直线l倾斜角的2倍,且与l的交点在y轴上,求直线l1的方程.
答案与分层梯度式解析
1.2 直线的方程
1.2.1 直线的点斜式方程
基础过关练
1.B 由直线的点斜式方程可知l的方程为y-2=-2(x-3),结合选项可知B正确.故选B.
2.C 方程=2成立的条件是x≠-3,
当x≠-3时,方程变形为y-6=2(x+3),由直线的点斜式方程知它表示一条斜率为2的直线,但要除去点(-3,6),故选C.
3.D 设直线l1的倾斜角为θ,则tan θ=,
因为l2是l1绕点P(-2,1)逆时针旋转45°后得到的直线,所以直线l2的倾斜角为θ+45°,
故直线l2的斜率为tan(θ+45°)==3,故直线l2的方程是y-1=3(x+2),即y=3x+7.故选D.
4.答案 3x-4y+12=0
解析 设l的倾斜角为θ,θ∈[0,π),
则cos θ=,∴tan θ=,即直线的斜率为,
又l过点(-4,0),故l的方程为y-0=(x+4),即3x-4y+12=0.
5.解析 (1)由题意得直线l的斜率存在,设为k,k>0,则l的方程为y-1=k(x+2),
令x=0,得y=2k+1,令y=0,得x=--2,
所以S△AOB=OA·OB=·|2k+1|=4,解得k=,
此时直线方程为y-1=(x+2),即x-2y+4=0.
(2)由(1)得OA+OB=+2+2k+1≥2+3,
当且仅当=2k,即k=时,等号成立,
所以OA+OB的最小值为2+3,此时直线l的方程为y-1=(x+2),即x-=0.
易错警示 在应用直线的点斜式方程时要保证直线的斜率存在.
6.C 直线方程x+y+2=0化成斜截式方程为y=-x-2,
可知直线的斜率为-,故倾斜角为120°,令x=0,得y=-2,故直线在y轴上的截距为-2.故选C.
7.C 由kx-y+2k-2=0(k∈R)得y=kx+2k-2,易知该直线过定点(-2,-2).
当k=0时,y=-2,此时l不经过第二象限;
当k≠0时,若l不经过第二象限,则解得0所以k的取值范围为0≤k≤1.故选C.
8.D 由题意得直线l1与l2的斜率均存在.
对于A,根据直线l1可知m>0,n<0,因此l2的斜率小于0,在y轴上的截距小于0,故A不符合;
对于B,根据直线l1可知m>0,n>0,因此l2的斜率大于0,在y轴上的截距小于0,故B不符合;
对于C,根据直线l1可知m<0,n>0,因此l2的斜率大于0,在y轴上的截距大于0,故C不符合;
对于D,根据直线l1可知m<0,n>0,因此l2的斜率大于0,在y轴上的截距大于0,故D符合.故选D.
9.答案 y=2x-2或y=
解析 由题意知所求直线l的斜率存在,且不为0,设为k(k≠0),则其方程为y-4=k(x-3),
令x=0,得y=4-3k,令y=0,得x=,
故所围三角形的面积为=1,即(3k-4)2=2|k|,
当k>0时,上式可化为9k2-26k+16=0,解得k=2或k=;
当k<0时,上式可化为9k2-22k+16=0,方程无解.
综上,直线l的斜截式方程是y=2x-2或y=.
10.解析 (1)因为点A(-1,-1),B(2,5)在直线l上,
所以kAB==2,
所以l的方程为y-5=2(x-2),即2x-y+1=0.
(2)设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=2,
所以tan 2θ=,
所以直线l1的斜率k=tan 2θ=-,
对于2x-y+1=0,令x=0,得y=1,即直线l与l1交于点(0,1),
所以直线l1的方程为y=-x+1.
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我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距;直线l与x轴的交点(a,
0)的横坐标a称为直线l在x轴上的截距.
知识点 1 截距
1.2 直线的方程
必备知识 清单破
知识点 2 直线的方程
名称 方程形式 已知条件 适用范围
点斜式方程 y-y1=k(x-x1) 直线上一定点(x1,y1),
斜率k 不垂直于x轴的直线
斜截式方程 y=kx+b 斜率k,直线在y轴上
的截距b 不垂直于x轴的直线
两点式方程 = (x1≠x2,y1≠y2) 直线上两点(x1,y1),(x2,y2) 不垂直于x轴和y轴的
直线
截距式方程 + =1(a≠0,b≠0) 直线在x轴、y轴上的
非零截距a,b 不垂直于x轴和y轴,
且不过原点的直线
一般式方程 Ax+By+C=0(A,B不全为0) 系数A,B,C 任何位置的直线
注:几种特殊的直线
(1)x轴:y=0;
(2)y轴:x=0;
(3)平行于x轴的直线:y=b(b≠0);
(4)平行于y轴的直线:x=a(a≠0);
(5)过原点的直线:y=kx或x=0.
知识辨析
1.“直线l在y轴上的截距”和“直线l与y轴的交点到原点的距离”相等吗
2.方程k= 与y-y0=k(x-x0)表示的意义相同吗
3.经过点P(x0,y0)的任意直线都可以表示成y-y0=k(x-x0)吗
4.方程 = 和方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)都可以表示经过两点(x1,y1),(x2,y2)的任意直
线吗
5.为什么方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)被称为“一般式方程”
一语破的
1.不相等.直线l在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标,截距是一个数值,可正、可负、
可为0,而距离为非负数.
2.不相同.方程k= 表示的直线中不包含点(x0,y0),y-y0=k(x-x0)表示的直线中包含点(x0,y0).
3.不一定.当直线的斜率存在时,可以表示成y-y0=k(x-x0);当直线的斜率不存在时,不能表示成y-
y0=k(x-x0),可表示为x=x0.
4.不可以.前者仅能表示不垂直于坐标轴的直线,后者可以表示经过两点(x1,y1),(x2,y2)的任意直
线.
5.因为点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是在某种特定条件下的方程形式,如不满足
这一特定条件,就不能用这种形式表示,而方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)不受条件的限制,所
以叫作“一般式方程”.
关键能力 定点破
定点 1 直线方程的合理选择和求解
1.直线方程的合理选择
(1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程,一般选用点斜式方程,再由其他条件确定直线的斜
率.注意斜率不存在的情况.
(2)已知直线的斜率,一般选用斜截式方程,再由其他条件确定直线的截距.
(3)已知两点坐标,一般选用两点式方程或点斜式方程,若两点是直线与坐标轴的交点,则选用
截距式方程.
2.求直线方程的两种方法
(1)直接法:根据已知条件选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时应注意各种形
式方程的适用范围,必要时进行分类讨论.
(2)待定系数法:先设含有参数的直线方程,然后根据条件列出方程(组),求出参数,最后将其代
入得到直线方程.
注意:①在求直线方程时,通常将结果化为一般式方程.
②一般式方程的写法要求:(i)x的系数为非负数;(ii)x,y的系数都为整数;(iii)各项系数没有公约
数.
典例 求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(5,-2),且与y轴平行;
(2)过P(-2,3),Q(5,-4)两点;
(3)过点(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数.
解析 (1)易知与y轴平行的直线的斜率不存在.
∵直线经过点(5,-2),∴直线上点的横坐标均为5,故直线方程为x=5.
(2)解法一(两点式):过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线方程为 = ,整理可得x+y-1=0.
解法二(点斜式):易知过P,Q两点的直线的斜率存在,且kPQ= =-1.
∴所求直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.
(3)①当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,设直线方程为 + =1.
又直线过点(3,4),∴ + =1,解得a=-1.
∴所求直线方程为 + =1,即x-y+1=0.
②当直线在两坐标轴上的截距均为0,即直线过原点时,设直线方程为y=kx.又直线过点(3,4),
∴4=k·3,解得k= ,∴所求直线方程为y= x,即4x-3y=0.
综上,所求直线方程为x-y+1=0或4x-3y=0.
易错警示 若题目中出现直线在两坐标轴上的截距“相等”“互为相反数”“在一坐标轴
上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,可采用截距式求直线的方程,但一定
要注意截距为0的情况.
1.对于含参数的直线方程,一般将方程整理成点斜式或斜截式,然后利用系数的几何意义,结
合图形探求和证明过定点问题.
2.根据斜截式方程中k,b的几何意义,可确定函数图象的位置分布.
定点 2 利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题
典例 已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解析 (1)证明:5ax-5y-a+3=0可化为y- =a ,∴直线l的斜率为a,且过定点 .∵点
在第一象限内,
∴无论a为何值,直线l总经过第一象限.
(2)如图所示,记A ,则kOA= =3.
∴要使l不经过第二象限,只需a≥kOA,
∴a≥3.
规律总结 已知含参直线的一般式方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0),求参数的值或取值范围
的步骤:
