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1.3 两条直线的平行与垂直
知识点 1 两条直线(不重合)平行的判定
必备知识 清单破
知识点 2 两条直线垂直的判定
类型 斜率都存在 一条直线的斜率不存在,
另一条直线的斜率为0
图示
对应关系 l1⊥l2 k1k2=-1 l1⊥l2
知识辨析
1.若两条直线平行,则这两条直线的斜率一定相等吗
2.若两条直线垂直,则这两条直线的斜率之积一定等于-1吗
3.已知两条直线l1,l2的倾斜角分别为α,β,若l1∥l2,则α,β满足什么关系 若l1⊥l2呢
一语破的
1.不一定.若这两条直线的斜率都存在,则它们一定相等;也有可能这两条直线的斜率都不存 在.
2.不一定.当两条直线的斜率都存在时,斜率之积是-1;也有可能其中一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率为0.
3.若l1∥l2,则α=β;若l1⊥l2,则|α-β|=90°.
定点 1 两条直线平行
关键能力 定点破
1.利用直线方程判定直线平行
(1)已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2 k1=k2,且b1≠b2.
(2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1∥l2 或 当A2B2C2≠0时,l1∥l2 = ≠ .
2.与已知直线平行的直线方程的设法
(1)与直线y=kx+b平行的直线的方程可设为y=kx+m(m≠b).
(2)与直线Ax+By+C=0(A,B不全为0)平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C).
(3)已知直线l过点P(x0,y0),且与直线l1:Ax+By+C=0(P不在l1上)平行,其中A,B不全为0,则直线l的 方程可设为A(x-x0)+B(y-y0)=0.
典例 已知直线l1:(k-2)x+(3-k)y+1=0,l2:2(k-2)x-2y+4=0,则“k=4”是“l1∥l2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
A
解析 若l1∥l2,则(k-2)×(-2)-(3-k)×2(k-2)=0,
解得k=2或k=4,经检验均满足题意.
因为{k|k=4} {k|k=2或k=4},
所以“k=4”是“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A.
1.利用直线方程判定直线垂直
(1)已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2 k1·k2=-1.
(2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1⊥l2 A1A2+B1B2 =0.当B1B2≠0时,l1⊥l2 · =-1.
2.与已知直线垂直的直线方程的设法
(1)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线的方程可设为y=- x+m.
(2)与直线Ax+By+C=0(A,B不全为0)垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+m=0.
(3)已知直线l过点P(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0垂直,其中A,B不全为0,则直线l的方程可设为
B(x-x0)-A(y-y0)=0.
定点 2 两条直线垂直
典例 在△ABC中,已知A(2,4),B(-2,1),C(8,-4),D,E分别为边AB,AC的中点,AH⊥BC于点H.
(1)求直线DE的方程;
(2)求直线AH的方程.
解析 (1)由中点坐标公式得边AB的中点D ,边AC的中点E(5,0),
则直线DE的斜率k= =- ,所以直线DE的方程为y=- x+ ,即x+2y-5=0.
(2)解法一:依题意得BC∥DE,则直线BC的斜率为- ,又AH⊥BC,因此直线AH的斜率为2,所以
直线AH的方程为y-4=2(x-2),即2x-y=0.
解法二:由题意得,直线BC的方程为 = ,即x+2y=0.
因为AH⊥BC,所以可设直线AH的方程为2x-y+m=0,将(2,4)代入,得m=0.
所以直线AH的方程为2x-y=0.
1.利用平行、垂直关系求参数
已知两条直线平行、垂直关系求参数时,根据定点1、定点2中平行、垂直的判定条件建立方 程(组)求解.用点的坐标表示斜率,通过斜率列关系式时,要注意对参数的讨论.
2.利用平行、垂直判断图形形状的步骤
(1)描点:在坐标系中描出给定的点.
(2)猜测:根据描出的点猜测图形的形状.
(3)求斜率:若斜率不存在,则直接说明;若斜率存在,则根据给定点的坐标求出直线的斜率.
(4)结论:由斜率之间的关系判断图形形状.
注意在求解过程中既要考虑斜率是否存在,又要考虑图形可能出现的各种情形.
定点 3 平行、垂直关系的应用
典例 (1)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四边形ABCD为直角梯形,求 m和n的值;
(2)已知A(1,3),B(5,1),C(3,7),A,B,C,D四点构成的四边形是平行四边形,求点D的坐标.
思路点拨 (1)分析直角顶点的位置,利用两底边所在直线平行、直角腰与底垂直列方程组 求解.
(2)点D位置不确定,平行四边形形状不固定,可分类讨论,再由直线的斜率可求解.
解析 (1)由四边形ABCD是直角梯形,结合图形得直角梯形有两种情形:
①AB∥CD,AB⊥AD,如图1所示,易得A(2,-1),∴m=2,n=-1.
②AD∥BC,AD⊥AB,如图2所示,
由图可知
即 解得
综上, 或
图1 图2
(2)由题意得kAC=2,kAB=- ,kBC=-3,
设点D的坐标为(x,y),分以下三种情况:
①当BC为对角线时,有kBD=kAC,kCD=kAB,
所以kBD= =2,kCD= =- ,
得x=7,y=5,即D(7,5).
②当AC为对角线时,有kAD=kBC,kCD=kAB,
所以kAD= =-3,kCD= =- ,
得x=-1,y=9,即D(-1,9).
③当AB为对角线时,有kBD=kAC,kAD=kBC,
所以kBD= =2,kAD= =-3,
得x=3,y=-3,即D(3,-3).
所以点D的坐标为(7,5)或(-1,9)或(3,-3).
1.到角与夹角的定义
当直线l1与l2相交时,把l1绕着l1与l2的交点按逆时针方向旋转到与l2首次重合时所转的角 记作θ,则θ叫作l1到l2的角,l2到l1的角就是π-θ,其中θ∈[0,π);当直线l1与l2相交时,直线l1与l2相交所 成的四个角中最小的正角,记作α,则α叫直线l1与l2的夹角,其中α∈ .
2.到角公式与夹角公式
若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则
(1)直线l1到l2的角θ满足tan θ= ,θ∈[0,π),若tan θ不存在,则θ= ;
(2)直线l1与l2的夹角α满足tan α= ,α∈ ,若tan α不存在,则α= .
定点 4 到角公式与夹角公式
3.到角公式与夹角公式的应用
当已知两条直线之间的夹角和其中一条直线的方程,求另外一条直线方程时,常常利用 这两个公式来处理.若所求直线不唯一,就利用夹角公式,若利用夹角公式求出的只有一条,则 必然有一条斜率不存在;如果所求直线唯一,就利用到角公式,当然也可以利用夹角公式,但求 出的两条直线要根据条件舍去一条.解答此类问题时,要注意数形结合,分析结果的可能个数, 再决定取舍,同时还要注意斜率不存在的情况.
典例 在等腰三角形ABC中,已知腰AB所在直线的方程为x-2y-2=0,底边BC所在直线的方程为x +y-1=0,点(-2,0)在另一腰AC上,求腰AC所在直线的方程.
解析 设直线AB,BC,AC的斜率分别为k1,k2,k3,由题设得k1= ,k2=-1.
∵△ABC为等腰三角形,∴∠B=∠C且均为锐角.
易得tan B= = =3,tan C= = ,
则 =3,解得k3= 或k3=2.
∵k1≠k3,∴k3=2.
∴腰AC所在直线的方程为y-0=2(x+2),即2x-y+4=0.1.3 两条直线的平行与垂直
基础过关练
题组一 两条直线平行
1.下列说法中正确的有( )
①若两条直线的斜率相等,则两直线平行;
②若两直线平行,则两直线斜率相等;
③若两直线中有一条斜率不存在,另一条斜率存在,则两直线相交;
④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知直线l1的倾斜角为60°,l2经过点A(1,),则l1,l2的位置关系是( )
A.平行或重合 B.平行 C.垂直 D.以上都不对
3.已知直线l1:x+2y+2=0,l2:mx+(1-n)y+1=0,其中m>0,n>0,若l1∥l2,则的最小值为( )
A.2 B.2 D.8
4.与直线3x+4y+9=0平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程为 .
题组二 两条直线垂直
5.(教材习题改编)已知△ABC的三个顶点A(3,0),B(-1,2),C(1,-3),则AB边上的高CD所在直线的方程是( )
A.x+5y-5=0 B.x+2y+5=0 C.2x+y-5=0 D.2x-y-5=0
6.两条平行直线l1,l2分别经过A(1,1),B(0,-1)两点,当l1,l2间的距离最大时,l1的方程为( )
A.x+2y-3=0 B.x-2y-3=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y-3=0
7.已知直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,a>0,b>0,且l1⊥l2,则的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则点A的坐标为( )
A.(-19,-62) B.(19,-62) C.(-19,62) D.(19,62)
题组三 直线平行与垂直的综合应用
9.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,所构成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形 D.以上都不对
10.(多选题)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是( )
A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直
B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0
C.直线l过定点(0,1)
D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等
11.菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),BC边所在直线过点P(8,-1).求:
(1)AD边所在直线的方程;
(2)对角线BD所在直线的方程.
能力提升练
题组一 两条直线平行
1.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与(m,n)重合,则m+n=( )
A.1 B.2 023 C.4 043 D.4 046
2.(教材深研拓展)(多选题)已知平面直角坐标系内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1),若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限,则经过点D且与直线AD夹角为45°的直线l的方程为( )
A.2x-7y-1=0 B.7x+2y-31=0
C.7x+2y-16=0 D.2x-7y+29=0
3.三角形的欧拉线:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),若直线l:ax+(a-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行,则实数a的值为( )
A.-2 B.-1 C.-3 D.3
4.设集合A=,B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B= ,则实数a= .
5.已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点.
(1)证明:点C,D和原点O在同一条直线上;
(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.
题组二 两条直线垂直
6.如图,分别以Rt△ABC的直角边AB,斜边BC为其中一边向三角形所在一侧作正方形ABDE和BCFG,则向量的夹角为( )
A.45° B.60°
C.90° D.120°
7.已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k= .
8.已知△ABC为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC的中点为D(0,2),斜边上的中线CE所在直线的方程为3x+y-7=0,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标,则AB所在直线的方程为 .
题组三 直线平行与垂直的综合应用
9.(多选题)△ABC的三个顶点A(4,0),B(0,3),C(6,7),下列说法中正确的是( )
A.边BC与直线3x-2y+1=0平行
B.BC边上的高所在直线的方程为3x+2y-12=0
C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y-13=0
D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点(3,5)
10.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ,求点Q的坐标;
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
答案与分层梯度式解析
1.3 两条直线的平行与垂直
基础过关练
1.A ①④中两条直线还有可能重合,②中两直线斜率还有可能都不存在,易知③正确.故选A.
2.A 由题意得l2的斜率k2=,
∵l1的倾斜角为60°,∴其斜率k1=tan 60°=,
故l1与l2平行或重合.故选A.
3.D ∵l1∥l2,∴1-n=2m,∴2m+n=1(m>0,n>0),
∴≥4+2=8,
当且仅当,即m=时,等号成立,
∴的最小值是8.故选D.
4.答案 3x+4y-24=0
解析 解法一:∵直线3x+4y+9=0,即y=-的斜率为-,
∴设所求直线方程为y=-.
令x=0,得y=b;令y=0,得x=.
由题意知,b>0且=24,解得b=6(b=-6舍去),
∴所求直线的方程为y=-x+6,即3x+4y-24=0.
解法二:设所求直线方程为3x+4y+m=0(m≠9).
令x=0,得y=-;令y=0,得x=-.
由题意得解得m<0,
∴=24,∴m=-24,
∴所求直线的方程为3x+4y-24=0.
5.D 由题意知kAB=,则kCD=-=2,故CD所在直线的方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.故选D.
6.A 当两条平行直线与AB垂直时,两条平行直线间的距离最大,
因为kAB==2,所以直线l1的斜率k=-,
所以直线l1的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
故选A.
7.D 因为l1⊥l2,所以a-1+2b=0,即a+2b=1,
又a>0,b>0,所以≥4+2=8,当且仅当,即a=时等号成立,故选D.
8.A ∵H为△ABC的垂心,
∴AH⊥BC,BH⊥AC.
又kBC=,
∴直线AH,AC的斜率存在,且kAH=4,kAC=5.
设A(x,y),则
∴A(-19,-62).
9.B 由题意得kAB=,则kAB=kCD,kAD≠kCB,
kAD·kAB=-1,所以AB∥CD,AD与BC不平行,AD⊥AB,故构成的图形为直角梯形.故选B.
10.AC 对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与直线x+y=0垂直,所以A中说法正确;
对于B,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,所以B中说法不正确;
对于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),所以C中说法正确;
对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,其在x轴、y轴上的截距分别是-1,1,所以D中说法不正确.故选AC.
11.解析 (1)∵点P在直线BC上,∴直线BC的斜率kBC==2,∵AD∥BC,∴kAD=2.
∴AD边所在直线的方程为y-7=2(x+4),即2x-y+15=0.
(2)易求得kAC=.∵BD⊥AC,∴kBD=.
易知AC的中点也是BD的中点,即(1,1),
∴对角线BD所在直线的方程为y-1=(x-1),即5x-6y+1=0.
能力提升练
1.C 设A(2,0),B(-2,4),则AB所在直线的斜率kAB==-1,
由题知过点(2 021,2 022)与点(m,n)的直线与直线AB平行,
所以=-1,整理得m+n=2 021+2 022=4 043.故选C.
2.BD 如图,由已知得,该平行四边形为四边形ABDC,所以AB∥CD,AC∥BD,故kAB=kCD,kAC=kBD.
由题意得kAB=kCD==1,
设D(x,y),则解得
故点D的坐标为(3,5),所以kAD=.
设所求直线l的斜率为k,则tan 45°=,解得k=或k=-,
所以直线l的方程为2x-7y+29=0或7x+2y-31=0.故选BD.
知识拓展 到角公式与夹角公式:若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
则直线l1到l2的角的公式为tan θ=,直线l1与l2的夹角公式为tan θ=.
3.C △ABC的重心为,即(1,1),
在直角坐标系中画出△ABC可知BC⊥AB,
所以外心为斜边AC的中点,即,
所以△ABC的欧拉线方程为,即x+2y-3=0,
因为直线ax+(a-3)y-9=0与x+2y-3=0平行,
所以,解得a=-3.故选C.
规律总结 求解本题的关键是明确三角形的三心,重心即三条中线的交点,垂心即三条高所在直线的交点,外心即三条垂直平分线的交点,同时对结论“直角三角形的外心是斜边的中点”的灵活应用.
4.答案 -2或4
解析 集合A表示直线y-3=2(x-1),即直线y=2x+1上除去点(1,3)的点组成的集合,
集合B表示直线4x+ay-16=0上的点组成的集合,易知直线4x+ay-16=0过定点(4,0),故当A∩B= 时,直线y=2x+1与4x+ay-16=0平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),
所以-=2或4+3a-16=0,解得a=-2或a=4.
易错警示 集合A中含有分式,要保证分母不为0,则集合A表示的直线要除去一个点,求解时不要忽略.
5.解析 (1)证明:设A,B的横坐标分别为x1,x2(x1≠x2).由题意,知x1>1,x2>1,A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),且,又kOC=,所以kOC=kOD,即点C,D和原点O在同一条直线上.
(2)由(1)知B(x2,log8x2),C(x1,log2x1).
由直线BC平行于x轴,得log2x1=log8x2,
所以x2=,将其代入,得log8x1=3x1log8x1,由x1>1知log8x1≠0,故=3x1,
所以x1=,于是A().
6.C 建立如图所示的平面直角坐标系,作AH⊥BC于H,DI⊥BC于I,设BC=1,∠ABC=θ,
则G(0,0),C(1,1),AB=BC·cos θ=cos θ,BH=AB·cos θ=cos2θ,AH=ABsin θ=cos θsin θ,
易知△ABH≌△BDI,
故BI=AH=cos θsin θ,DI=BH=cos2θ,
∴A(cos2θ,1-cos θsin θ),D(cos θsin θ,1+cos2θ),
∴kAG=,
故kAGkCD=-1,所以的夹角为90°,故选C.
7.答案 ±1
解析 如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴、y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1).
由点C在线段OB上知l2⊥l1或l2与x轴交于点D,且∠BCD+∠BAD=180°.
①由l1⊥l2知1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.
②由∠BCD+∠BAD=180°得∠BAD=∠OCD.
设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)=270°-α2,
∴tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)=,∴tan α1·tan α2=1,∴-×3k=1,解得k=-1.
综上,k=±1.
8.答案 x-3y+1=0
解析 ∵中线CE所在直线的方程为3x+y-7=0,
∴可设C(a,-3a+7),E(b,-3b+7)(a由AC的中点为D(0,2),可得A(-a,3a-3),
∴kAE=,
∵△ABC为等腰直角三角形,CE为中线,∴CE⊥AB,∴kAE=-3+,∴a+b=3①.
连接DE,∵CE=AE,D是AC的中点,∴AC⊥DE,∴kAC·kDE=-1,∴=-1,
化简得2ab=3(a+b)-5②,
由①②解得a=1,b=2(a=2,b=1舍去),则E(2,1),
∴直线AB的方程为y-1=(x-2),即x-3y+1=0.
9.BD 由题意得直线BC的斜率k=,又直线3x-2y+1=0的斜率为,故两直线不平行,A错误;
易得BC边上的高所在直线的斜率为-,故直线方程为y=-(x-4),即3x+2y-12=0,B正确;
当直线不过原点时,设方程为=1,把C(6,7)代入得=1,解得a=13,故方程为=1,即x+y-13=0,
当直线过原点时,方程为y=x,C错误;
易知过点A且平分△ABC面积的直线过边BC的中点,即(3,5),D正确.故选BD.
10.解析 (1)设Q(x,y),由已知得kMN==3,
∵PQ⊥MN,∴kMN·kPQ=-1,即3×=-1(x≠3).①
由已知得kPN==-2,∵PN∥MQ,∴kPN=kMQ,即=-2(x≠1).②
联立①②,解得x=0,y=1,∴Q(0,1).
(2)设Q(x,0),∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP,
又∵kNQ==2,解得x=1.
∴Q(1,0),又∵M(1,-1),∴MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90°.
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