(共10张PPT)
设两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将两条直线的方程联立,得到方程组
若方程组有唯一解,则两条直线相交,以此解为坐标的点就是两直线的交点.
1.4 两条直线的交点
知识点 1 两条直线的交点
必备知识 清单破
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,则有
知识点 2 两条直线的位置关系与方程组解的联系
知识辨析
1.两条直线相交,则交点坐标一定是两条直线方程组成的二元一次方程组的解吗
2.若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线一定相交吗
3.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),当A1B2=A2B1时,l1与 l2有没有公共点
一语破的
1.是.两条直线相交,交点同时在两条直线上,分别满足两条直线的方程,所以交点坐标一定是 这两条直线方程组成的方程组的解.
2.不一定.当方程组有无数组解时,两直线重合.
3.当A1B2=A2B1,且B1C2=B2C1(或A1C2=A2C1)时,两直线重合,有无数个公共点;当A1B2=A2B1,且B1C2 ≠B2C1(或A1C2≠A2C1)时,两直线平行,没有公共点.
关键能力 定点破
定点 1 求过两条直线交点的直线方程的方法
1.直接法:求出两直线的交点,作为待求直线上的已知点,再根据已知条件求出待求直线的方 程.
2.待定系数法:设经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0)的 交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为任意实数),然后根据条件求λ.
注意该设法中直线的方程可表示除l2外所有过两直线交点的直线.
典例 已知两直线l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0的交点为P.求:
(1)过点P与Q(1,4)的直线方程;
(2)过点P且与直线x-3y-1=0平行的直线方程.
解析 解法一(直接法):(1)由 解得 即P(2,2).
所以所求直线方程为 = ,即2x+y-6=0.
(2)由(1)知点P(2,2),因为直线x-3y-1=0的斜率为 ,
所以所求直线方程为y-2= (x-2),即x-3y+4=0.
解法二(待定系数法):(1)设过直线l1和l2交点的直线方程为x+2y-6+m(x-2y+2)=0,即(m+1)x+(2-2 m)y+(2m-6)=0①.
把(1,4)代入①,化简得3-5m=0,解得m= ,所以过点P与Q的直线方程为 x+ y- =0,即2x+y-6
=0.
(2)由(1)知过直线l1和l2交点的直线方程为(m+1)x+(2-2m)y+(2m-6)=0,则由两直线平行,得-3(m+
1)=2-2m,得m=-5,所以所求直线的方程为-4x+12y-16=0,即x-3y+4=0.
1.将直线方程转化为y-y0=k(x-x0)的形式,则直线必过定点(x0,y0).
2.应用分离参数的方法,将直线方程转化为a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0,由 求出
定点坐标.
3.应用特殊值法,给方程中的参数赋两个特殊值,可得关于x,y的两个方程,将其联立并求解,则 解出的x,y的值分别为所求定点的横、纵坐标.
定点 2 求解直线过定点问题的常用方法
典例 已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0为直线l的方程,求证:无论k取何实数,直线l都过定点,并求出这个 定点的坐标.
解析 解法一: 原方程整理得(x+y)+k(x-y-2)=0,无论k取何实数,直线l都过定点,且定点坐标即 为方程组 的解,解此方程组得
∴无论k取何实数,直线l都过定点(1,-1).
解法二:由直线l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k,变形为(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1),即(k+1)(x-1)+(1-k) (y+1)=0.
直线l的方程为过定点(x0,y0)的直线系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0的形式,所以直线l必过定点,定点 坐标为方程组 的解,解此方程组得
∴无论k取何实数,直线l都过定点(1,-1).
解法三: 对于方程(k+1)x-(k-1)y-2k=0,令k=0,得x+y=0;令k=1,得2x-2=0.
解方程组 得 即两直线的交点为(1,-1).将(1,-1)代入直线l的方程的左边,得(k+
1)-(k-1)·(-1)-2k=0.这表明无论k取何实数,直线l都过定点(1,-1).1.4 两条直线的交点
基础过关练
题组一 两直线的交点及其应用
1.(多选题)与直线2x-y-3=0相交的直线方程是( )
A.y=2x+3 B.y=-2x+3
C.4x-2y-6=0 D.4x+2y-3=0
2.若直线y=x+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限,则实数k的取值范围是( )
A.
C.
3.(教材习题改编)(多选题)若三条直线(a2-3a+1)x-2y+5=0,y=2x,x+2y=5交于一点,则a=( )
A.-2 B.3 C.1 D.2
4.已知△ABC三边所在直线的方程分别为AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,CA:2x+y-2=0,则AC边上的高所在直线的方程是( )
A.x-2y+4=0 B.x-7y+4=0
C.4x-3y-9=0 D.7x+y+28=0
5.(多选题)若三条不同的直线l1:mx+2y+m+4=0,l2:x-y+1=0,l3:3x-y-5=0能围成一个三角形,则m的取值不可能为( )
A.-2 B.-6 C.-3 D.1
题组二 过两直线交点的直线方程
6.无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点为( )
A.(1,3) B.(-1,3)
C.(3,1) D.(3,-1)
7.平面直角坐标系xOy中,过直线l1:7x-3y+1=0与l2:x+4y-3=0的交点,且在y轴上截距为1的直线l的一般式方程为 .
8.已知直线x+ky+2=0经过两直线3x+2y-9=0和x-1=0的交点,则k的值等于 .
9.已知直线l经过两条直线x+2y-5=0和3x-y-1=0的交点.
(1)若直线l与直线x-2y-1=0垂直,求l的方程;
(2)若直线l在两个坐标轴上的截距相同,求l的方程.
能力提升练
题组 两条直线交点问题的应用
1.(多选题))已知直线l1:ax-y+2=0,直线l2:x-ay+2=0,则( )
A.当a=0时,两直线的交点为(-2,2)
B.直线l1恒过点(0,2)
C.若l1⊥l2,则a=0
D.若l1∥l2,则a=1或a=-1
2.经过直线x+y+1=0和2x+y+5=0的交点,且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为( )
A.x+y+7=0
B.x-y+7=0
C.x-y+7=0或3x+4y=0
D.x+y+7=0或3x+4y=0
3.(多选题)已知平面上三条直线x-2y+1=0,2x+y-1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六部分,则实数k的可能取值为( )
A.
4.如图,在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),则点A的坐标为 ,点C的坐标为 .
5.经过点P(0,1)的直线l与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于P1,P2两点,且满足,则直线l的方程为 .
6.已知定点P(6,4)与定直线l1:y=4x,过P点的直线l与l1交于第一象限的Q点,与x轴正半轴交于点M,则使△OQM(O为坐标原点)面积最小的直线l的方程为 .
7.已知△ABC的顶点A(3,3),AB边上的中线CM所在直线的方程为x+y-1=0,AC边上的高BN所在直线的方程为6x-y+3=0.
(1)求顶点B的坐标;
(2)求直线BC的方程.
答案与分层梯度式解析
1.4 两条直线的交点
基础过关练
1.BD 对于A,联立无解,两直线平行;
对于B,联立有唯一解,两直线相交;
对于C,联立有无数组解,两直线重合;
对于D,联立有唯一解,两直线相交.
故选BD.
2.A 联立.
因为交点在第一象限,所以解得-.故选A.
3.CD 联立故直线y=2x与x+2y=5的交点为(1,2),
将(1,2)代入方程(a2-3a+1)x-2y+5=0中,解得a=1或a=2.故选CD.
方法点拨 若三条直线交于同一个点,求直线方程中的参数时,只需求出其中两条直线的交点,利用该交点也在第三条直线上即可求解.若三条直线有三个不同的交点,则需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上,且三条直线两两互不平行.
4.A 易知AC边上的高所在直线的斜率存在,设为k,易求得kAC=-2,∴k=,
联立得x=-4,y=0,即B(-4,0),
∴AC边上的高所在直线的方程为y=(x+4),整理得x-2y+4=0.故选A.
5.ABC 易知直线l1过定点(-1,-2),且该点不在直线l2,l3上.若l1∥l2,则,解得m=-2;
若l1∥l3,则,解得m=-6;
若l1经过直线l2与l3的交点,此时三条直线不能围成一个三角形,
联立即交点坐标为(3,4),
将(3,4)代入直线l1的方程,可得3m+2×4+m+4=0,解得m=-3.
故选ABC.
归纳总结 本题求三条直线能围成三角形时m的值不可能是多少,也就是求三条直线不能围成三角形时m的值,要注意理清逻辑关系,三条直线不能围成三角形有两种情况,一是其中两条直线平行或重合,二是三条直线交于一点.
6.D 直线方程可化为(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,则此直线过直线2x+y-5=0和x-y-4=0的交点.由因此所求定点为(3,-1).
故选D.
7.答案 9x+5y-5=0
解析 解法一:由即直线l1与l2的交点为,又l过点(0,1),所以由直线的两点式方程得,化简得9x+5y-5=0.
解法二:设l的方程为7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0,由已知得l过点(0,1),
所以0-3+1+λ(0+4-3)=0 λ=2,故直线l的方程为9x+5y-5=0.
方法技巧 求过两条直线交点的直线方程一般有两种方法,一是直接求出交点坐标,再结合已知条件求直线方程,二是待定系数法,即设过直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,求出λ即可.
8.答案 -1
解析 解法一:联立即两直线的交点为(1,3),将点(1,3)代入方程x+ky+2=0,可得1+3k+2=0,解得k=-1.
解法二:设直线方程为3x+2y-9+λ(x-1)=0,即(3+λ)x+2y-9-λ=0,
所以,解得λ=-5,k=-1.
9.解析 解法一:由
即直线x+2y-5=0和3x-y-1=0的交点为(1,2).
(1)因为l垂直于直线x-2y-1=0,所以l的斜率为-2.
由点斜式可得直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
(2)①当截距为0时,设l的方程为y=kx,
把点(1,2)代入得k=2,所以l的方程为2x-y=0;
②当截距不为0时,设l的方程为=1,
把点(1,2)代入得=1,解得a=3,所以l的方程为x+y-3=0,
所以l的方程为2x-y=0或x+y-3=0.
解法二:设l的方程为x+2y-5+λ(3x-y-1)=0,即(1+3λ)x+(2-λ)y-5-λ=0.
(1)因为l垂直于直线x-2y-1=0,所以1×(1+3λ)+(-2)×(2-λ)=0,解得λ=,
所以l的方程为=0,即2x+y-4=0.
(2)若截距为0,则-5-λ=0,解得λ=-5,此时l的方程为2x-y=0;
若截距不为0,则1+3λ=2-λ,解得λ=,此时l的方程为x+y-3=0,
所以l的方程为2x-y=0或x+y-3=0.
能力提升练
1.ABC 对于A,当a=0时,l1:2-y=0,l2:x+2=0,由所以两直线的交点为(-2,2),故A正确;
对于B,令即l1恒过点(0,2),故B正确;
对于C,若l1⊥l2,则a×1+(-1)×(-a)=0,解得a=0,故C正确;
对于D,若l1∥l2,则a×(-a)-1×(-1)=0,解得a=1或a=-1,
当a=1时,l1:x-y+2=0,l2:x-y+2=0,两直线重合,故舍去,
当a=-1时,l1:x+y-2=0,l2:x+y+2=0,两直线平行,所以a=-1,故D错误.
故选ABC.
2.C 由
所以直线x+y+1=0和2x+y+5=0的交点为(-4,3),
由题意可知所求直线的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则所求直线的方程为y-3=k(x+4),
令x=0,可得y=4k+3,令y=0,可得x=-4-,
则-4-+4k+3=0,整理得4k2-k-3=0,解得k=1或k=-,所以所求直线的方程为x-y+7=0或3x+4y=0.
故选C.
3.ABD 三条直线将平面划分成六部分有以下两种情况:
①三条直线交于同一点,解方程组,直线x+ky=0也过该点,故k=0 k=-.
②直线x+ky=0与已知两条直线中的一条平行,
当直线x+ky=0与x-2y+1=0平行时,易得k=-2;
当直线x+ky=0与2x+y-1=0平行时,易得k=.
综上所述,k的取值集合为.
故选ABD.
4.答案 (-1,0);(5,-6)
解析 由方程组
故点A(-1,0).
∵∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,
∴kAC=-kAB=-1,∴边AC所在直线的方程为y=-(x+1).
∵BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,
∴kBC=-2.
又B(1,2),∴边BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1).
由故点C(5,-6).
5.答案 y=1
解析 当直线l的斜率不存在时,方程为x=0,
此时直线l与两直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0的交点P1,P2的坐标分别为,(0,8),则=(0,7),不满足,
故直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=kx+1,
则直线l与两直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0的交点P1,P2的横坐标分别为,
∵,解得k=0,
故直线l的方程为y=1.
6.答案 x+y-10=0
解析 当直线l的斜率不存在时,其方程为x=6,由即Q(6,24),易知M(6,0),
所以△OQM的面积S=×6×24=72.
当直线l的斜率存在时,不妨设其方程为y-4=k(x-6),令y=0,得x=6-,即M,易知6->0,①
由即Q,则>0,②
由①②得k<0或k>4,
此时,△OQM的面积S=,
令3k-2=t(t<-2或t>10),得k=,
则S=,由t<-2或t>10,得-<0或0<,
又1-,
所以0<-20,故S==40,此时t=-5,k=-1,
因为40<72,所以使△OQM面积最小的直线l的方程为y-4=-(x-6),即x+y-10=0.
7.解析 (1)设B(x0,y0),则M,
由已知可得
所以点B的坐标为(-1,-3).
(2)由已知可设直线AC的方程为x+6y+m=0,
又点A在直线上,所以3+18+m=0,解得m=-21,
所以直线AC的方程为x+6y-21=0.
联立则C(-3,4).
由两点式方程得,整理可得7x+2y+13=0.
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