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平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为P1P2= .
1.5 平面上的距离
知识点 1 两点间的距离
必备知识 清单破
对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点是M(x0,y0),则x0= ,y0= .
知识点 2 中点坐标公式
1.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)的距离d= .
2.两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不全为0,C1≠C2)间的距离d= .
注:应用两条平行直线间的距离公式时,两条平行直线的方程需为一般式,且x,y的系数对 应相等.
知识点 3 点到直线的距离
知识辨析
1.求解直线外一点到直线的距离,除了利用点到直线的距离公式之外,还可以用什么方法
2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离可以写成 吗
3.直线l1:x+y-3=0与l2:3x+3y-1=0之间的距离d= = ,对吗
一语破的
1.还可以看作求直线外一点到直线上任意一点的距离的最小值,利用两点间距离公式化为一 元函数求最小值.
2.不可以.要将直线方程化为一般式,即kx-y+b=0,则点P(x0,y0)到直线的距离为 .
3.不对.应用两条平行直线间的距离公式时,应先将方程化为一般式,且x,y的系数对应相等,即
l1:3x+3y-9=0,故两直线间的距离d= = .
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离为P1P2= .
注:两点间的距离公式与两点的先后顺序无关,即公式既可以写成P1P2= ,也可以写成P1P2= ,利用此公式可以实现几何问题与
代数问题的相互转化.
特别地,当直线P1P2平行或重合于坐标轴时距离公式仍然成立,但一般我们用下列方法求距 离:当直线P1P2平行或重合于x轴时,P1P2=|x2-x1|;当直线P1P2平行或重合于y轴时,P1P2=|y2-y1|.
定点 1 平面上两点间的距离公式
关键能力 定点破
典例 著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔离分家万事修.”事实上,有很多代数问 题可以转化为几何问题加以解决,如: 可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)
的距离.结合上述观点,可得 - 的最大值为 .
解析 -
= - ,
可转化成x轴上一点P(x,0)到点M(1,2)的距离与到点N(0,1)的距离之差.
PM-PN≤MN= = ,
当且仅当M,N,P三点共线时等号成立,
所以 - 的最大值为 .
方法技巧 代数式 可以看作点(x,y)到定点(a,b)的距离;代数式
可以看作x轴上的点(x,0)到定点(a,b)的距离;代数式 可以看作y轴上的点(0,y)到定
点(a,b)的距离.
应用点到直线的距离公式时的注意事项
(1)当点在直线上时,点到该直线的距离为0,点到直线的距离公式仍然适用.
(2)点到直线的距离公式对于直线的一般式方程中A=0或B=0的情况仍然适用.
(3)在应用点到直线的距离公式时,若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式.
定点 2 点到直线的距离
1.当直线的方程为一般式时,可利用两平行线间的距离公式,其步骤如下:
解题时必须注意两直线方程中x,y的系数要对应相等,若不相等,则先将系数化为相等,再 代入公式求解.
定点 3 两条平行线之间的距离
2.当直线的方程为斜截式,即l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d= .
3.利用化归思想将求两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线 的距离.
典例 已知斜率存在的两直线l1与l2,直线l1经过点(0,3),直线l2经过点(4,0),且l1∥l2.
(1)若l1与l2之间的距离为4,求两直线的方程;
(2)若l1与l2之间的距离最大,求最大距离,并求此时两直线的方程.
思路点拨 (1)设两直线的斜率均为k,得出l1,l2的一般式方程,然后由条件建立方程求解;
(2)当l1,l2与经过(0,3),(4,0)两点的直线垂直时,距离最大,然后根据两点连线的斜率得出直线l1,
l2的斜率,进而求出两直线方程.
解析 (1)由l1与l2的斜率都存在且l1∥l2,可设两直线的斜率均为k,得l1的方程为y=kx+3,即kx-y+ 3=0,l2的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.
又直线l1上的点(0,3)到直线l2的距离d= =4,
所以16k2+24k+9=16k2+16,所以k= .
所以l1:7x-24y+72=0,l2:7x-24y-28=0.
(2)当l1,l2与经过(0,3),(4,0)两点的直线垂直时,距离最大,最大距离为(0,3),(4,0)两点间的距离, 为5,因为两点连线的斜率为- ,所以直线l1,l2的斜率为 ,
所以l1:4x-3y+9=0,l2:4x-3y-16=0.
1.点关于点的对称
求点P1(x1,y1)关于点P2(x2,y2)的对称点P(x,y)时,可由中点坐标公式得 则有
2.点关于直线的对称
(1)点P(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B均不为0)对称的点为P'(x2,y2),则可根据直线PP'垂直 于l,及线段PP'的中点在l上列方程组,即 解出x2,y2即可.
定点 4 常见的对称问题
①点(x0,y0)关于直线y=0(即x轴)的对称点为(x0,-y0);
②点(x0,y0)关于直线x=0(即y轴)的对称点为(-x0,y0);
③点(x0,y0)关于直线y=x的对称点为(y0,x0);
④点(x0,y0)关于直线y=-x的对称点为(-y0,-x0);
⑤点(x0,y0)关于直线x=m(m≠0)的对称点为(2m-x0,y0);
⑥点(x0,y0)关于直线y=n(n≠0)的对称点为(x0,2n-y0).
3.直线关于点的对称
求直线关于点对称的直线方程的方法:
方法一:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标, 再由两点式求出直线方程.
方法二:在已知直线上取一点,求出该点关于已知点的对称点,再利用两对称直线平行,由
(2)点关于直线对称的常用结论:
点斜式得到所求直线的方程.
方法三:由平行直线系,结合两条平行线间的距离公式求得.
4.直线关于直线的对称
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2对称的直线方程:
(1)若l1∥l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0 ,然后在l1上找一点P(x,y),求出
点P关于直线l2的对称点P'(x',y'),再将(x',y')代入A1x+B1y+m=0,即可解出m;
(2)若l1与l2相交,则先求出l1与l2的交点N,然后在l1上确定一点M(不同于交点N),找出点M关于l2 的对称点M',由点N,M'即可确定所求直线的方程.
典例 已知直线l:x+2y-2=0,试求:
(1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标;
(2)直线l1:y=x-2关于l对称的直线l2的方程;
(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.
解析 (1)设点P(-2,-1)关于直线l的对称点为P'(x0,y0),线段PP'的中点为M,则M在直线l上,且PP' ⊥l.
所以有 解得
故点P'的坐标为 .
(2)解法一:由 得 即直线l与l1的交点为(2,0),记N(2,0),在l1上任取一点B(0,
-2),设B关于直线l的对称点为B'(x1,y1),
则 解得 即B' ,
所以直线l2的斜率kNB'= =7,
所以l2的方程为y=7(x-2),即7x-y-14=0.
解法二:由于直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线为l2,因此l2上任一点P1(x,y)关于l的对称点P'1(x', y')一定在直线l1上.
由 得
把(x',y')代入方程y=x-2并整理得7x-y-14=0,故l2的方程为7x-y-14=0.
(3)设直线l关于点A(1,1)对称的直线为l',则直线l'上任一点P'2(x'2,y'2)关于点A的对称点P2(x2,y2) 一定在直线l上.
由 得
将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0.
方法技巧 关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是指两个对称 点的连线与已知直线垂直,“平分”是指两个对称点连成的线段的中点在已知直线上,可通 过这两个条件列方程组求解.
1.在直线l上求一点P,使P到两个定点的距离之和最小的求法
(1)当两定点A,B在l的异侧时,如图①,连接AB,线段AB交l于点P,此时AB与l的交点P到两定点 的距离之和最小,为线段AB的长.在l上任取一点P',则P'A+P'B≥AB.
(2)当两定点A,B在l的同侧时,如图②,作点A关于l的对称点A',连接A'B交l于点P,此时点P到两 定点的距离之和最小.
定点 5 对称在求最值中的应用
2.在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之差的绝对值最大的求法
(1)当两定点A,B在直线l的同侧时(A,B连线与l不平行),如图③,连接BA并延长,交直线l于点P. 此时点P到两定点的距离之差的绝对值最大,最大值为线段AB的长.在l上任意取一点P’,则有
|P'B-P'A|≤AB.
(2)当两定点A,B在直线l的异侧时,如图④,作点A关于直线l的对称点A',连接BA'(BA'所在直线 与l不平行)并延长,交l于点P.此时点P到两定点距离之差的绝对值最大,最大值为线段A'B的 长,即|PB-PA|=|PB-PA'|=A'B.在l上任取一点P',则有|P'B-P'A|=|P'B-P'A'|≤A'B.
典例 已知平面上两点A(4,1)和B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点M,
(1)使|MA-MB|的值最大;
(2)使MA+MB的值最小.
思路点拨 (1)由题设求出B关于l的对称点C(m,n),再根据|MA-MB|=|MA-MC|≤AC即可求最大 值,由此得直线AC的方程,与l的方程联立得交点M的坐标.
(2)利用两点间线段最短,即可求最小值,即(MA+MB)min=AB,由此得直线AB的方程,与l的方程 联立,得交点M的坐标.
解析 (1)若C(m,n)为B关于直线l的对称点,则BC的中点 在直线l上,
所以 得 则C(3,3),
由MB=MC,则|MA-MB|=|MA-MC|≤AC,
要使|MA-MB|的值最大,只需A,C,M共线,则|MA-MB|max=AC= .
此时直线AC的方程为 = ,即2x+y-9=0,
由 解得 所以M(2,5).
即在直线l:3x-y-1=0上存在点M(2,5),使|MA-MB|的值最大,最大值为 .
(2)要使MA+MB的值最小,只需A,B,M共线,则(MA+MB)min=AB=5.
易得直线AB的方程为 = ,即3x+4y-16=0.
由 解得 即在直线l:3x-y-1=0上存在点M ,使MA+MB的值最小,最小
值为5.
学科素养 情境破
素养 在利用直线系方程证明平面几何问题的过程中培养学生数学抽象的核心素养
素养解读
直线系是指具有某种共同性质的直线的集合,在解析几何中,常见的直线系有平行直线 系、垂直直线系、在两坐标轴截距满足一定关系的直线系、过定点的直线系等,利用直线系 方程解决有关问题,可以把握研究对象的数学特征,将直线的几何性质与方程的代数特征结 合起来,进一步理解数学结论的一般性,感悟通性通法的数学原理及其中蕴含的数学思想,有 助于培养学生数学抽象的核心素养.
典例呈现
例题 在△ABC中,BC
解题思路 以AB所在直线为x轴,CH所在直线为y轴建立直角坐标系(如图).
设A(-a,0),B(b,0),C(0,c),H(0,h),则 =(a,h), =(-b,c),由 · =0,可得
-ab+ch=0,则h= ,故H .
易知直线BC的方程为 + =1,直线AC的方程为- + =1,直线AH的方程为- + =1,直线BH
的方程为 + =1,
所以经过直线AH和BC的交点P的直线方程可以设为 + -1+λ =0,
经过直线BH和AC的交点Q的直线方程可以设为- + -1+μ =0.
取λ=μ=1,则两条直线重合,所以直线PQ的方程为 x+ y-2=0,
令y=0,得x= ,则T ,故kHT= = .
又M ,所以kCM= ,
所以kHTkCM=-1,从而TH⊥CM.
思维升华
用解析法证明平面几何问题时,直线系方程的巧妙利用,不仅能够凸显图形的几何性质, 而且能够优化解题过程,减少运算量,能较简单地得到所需结论,充分体现了整体处理问题的 解题策略.解决此类问题,需要结合图形合理建系,根据图形的特征正确设直线系方程,需要对 常见的直线系方程熟练掌握.1.5.2 点到直线的距离
基础过关练
题组一 点到直线的距离
1.(多选题)已知直线l过原点,且A(1,4),B(3,2)两点到直线l的距离相等,则直线l的方程可以为( )
A.x+y=0 B.x+y-5=0 C.3x-2y=0 D.3x+2y=0
2.已知点A(2,1),点B在直线x-y+3=0上,则AB的最小值为 ( )
A. D.4
3.点P为x轴上的点,A(1,2),B(3,4),以A,B,P为顶点的三角形的面积为8,则点P的坐标为( )
A.(7,0)或(-9,0) B.(7,0)或(-11,0) C.(7,0)或(9,0) D.(-11,0)或(-9,0)
4.已知点P(x,y)在直线x-y-1=0上运动,则(x-2)2+(y-2)2的最小值是( )
A.
题组二 两条平行线间的距离
5.两条平行直线2x-y+3=0和ax+3y-4=0间的距离为d,则( )
A.a=6,d=
C.a=6,d=
6.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上的任意一点,则PQ的最小值为( )
A.
7.已知直线l1:2x+3y+18=0,l2:2x+3y-8=0,在l1上任取点A,在l2上任取点B,过线段AB的中点作l2的平行线l3.
(1)求直线l1与l2之间的距离;
(2)求直线l3的方程.
题组三 距离公式的综合应用
8.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.3 D.4
9.已知直线l1:ax-2y+3=0,l2:x+(a-3)y+5a=0.
(1)当a=1时,求两直线间的距离;
(2)若l1⊥l2,求a的值;
(3)写出原点到直线l1的距离,并求出该距离的最大值.
能力提升练
题组 距离公式的综合应用
1.已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则的最小值为( )
A.
2.已知直线l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,点M(5,4),记M到l的距离为d,则d的取值范围为( )
A.[0,3) C.[0,18] D.[0,18)
3.(多选题)若P,Q分别为l1:3x+4y-12=0,l2:ax+8y+c=0上的动点,且满足l1∥l2,则下列说法正确的有( )
A.a=6
B.c≠-24
C.当c确定时,PQ有最小值,没有最大值
D.当PQ的最小值为3时,c=3
4.已知a>0,直线l1:x+ay=2a+4与y轴的交点为A,l2:2x+ay=2a+8与x轴的交点为B,l1与l2的交点为C.当四边形OACB(O为坐标原点)的面积取最小值时,点B到直线l1的距离是( )
A.
5.若恰有三组不全为0的实数对(a,b)满足关系式|2a+b+1|=|a-5b-1|=t,写出符合条件的实数t的一个取值: .
6.已知△ABC的顶点A(0,4),B(-4,0),C(2,0).
(1)若直线l过顶点C,且顶点A,B到直线l的距离相等,求直线l的方程;
(2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出:三角形的外心、重心、垂心共线,这条直线被称为欧拉线,求△ABC的欧拉线方程.
7.已知三条直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,l3:x+y-1=0,且原点到直线l1的距离是.
(1)求a的值;
(2)若a>0,能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:①点P在第一象限;②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是 若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.
答案与分层梯度式解析
1.5.2 点到直线的距离
基础过关练
1.AC 易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为kx-y=0,由已知及点到直线的距离公式可得,解得k=-1或k=,即直线l的方程为x+y=0或3x-2y=0.故选AC.
2.C 易知当AB与直线x-y+3=0垂直,且B为垂足时,AB的值最小,最小值为点A到直线x-y+3=0的距离,故(AB)min=.故选C.
3.A 设P(x,0),易求得直线AB的方程为x-y+1=0,
则点P到直线AB的距离d=,
又AB=,
所以S△ABP==8,解得x=-9或x=7,
所以点P的坐标为(7,0)或(-9,0).故选A.
4.A (x-2)2+(y-2)2表示点P(x,y)与点(2,2)之间距离的平方,
因为点(2,2)到直线x-y-1=0的距离d=,
所以(x-2)2+(y-2)2的最小值为d2=.故选A.
5.B 由题意可得2×3=-a,则a=-6,方程-6x+3y-4=0可化为2x-y+=0,则d=.故选B.
易错警示 应用两平行线间的距离公式时,两直线方程中x,y的系数要对应相等,如果不相等,要先化为相等再应用公式解决问题.
6.C 因为≠-,所以两直线平行,
将方程3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,
由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离,即,所以PQ的最小值为.故选C.
7.解析 (1)易知l1与l2平行,所以两平行直线l1与l2间的距离d=.
(2)由l3∥l2可设l3的方程为2x+3y+C=0(-8由题意知l3与l1之间的距离为,所以,解得C=5或C=31(舍去),所以l3的方程为2x+3y+5=0.
8.A 由题意知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,
设该直线方程为x+y+c=0(-79.解析 (1)当a=1时,l1:x-2y+3=0,l2:x-2y+5=0,
所以两直线间的距离为.
(2)若l1⊥l2,则a×1+(-2)×(a-3)=0,解得a=6.
(3)原点到直线l1的距离d=,当a=0时,dmax=.
能力提升练
1.C 由题可得(m,n)为直线3x+4y=6上的动点,(a,b)为直线3x+4y=1上的动点,
的最小值可理解为两动点间距离的最小值,
显然最小值即两平行线间的距离,为=1.故选C.
规律总结 根据平面解析几何的相关知识可将具有显著特征的代数式赋予其几何意义,根据几何图形的相关性质求解,常见的有:系数不全为0的二元一次方程表示平面内的直线,表示平面内两点(m,n)与(a,b)间的距离.除此之外,涉及分式形式的代数式可考虑斜率.
2.B 当l过点M时,M到l的距离为0,此时(m+2)×5+(m-1)×4-3m-3=0,解得m=-,符合题意;
当l不过点M时,由直线l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,可得m(x+y-3)+2x-y-3=0,
由即直线l过定点(2,1),设为A,
则MA=,
当l与直线MA垂直时,d=3,此时距离最大,
因为kMA==1,所以kl=-=-1,m的值不存在,即这样的直线l不存在,所以0≤d<3.故选B.
3.ABC 因为l1∥l2,所以4a=3×8=24,,所以a=6,c≠-24,故A,B正确;
因为l1∥l2,所以PQ的最小值为l1,l2之间的距离,由A得l2:6x+8y+c=0,可变形为3x+4y+=0,故l1,l2之间的距离d=,
所以当c确定时,PQ有最小值,为,没有最大值,故C正确;
当=3时,c=6或c=-54,故D错误.故选ABC.
4.B 直线l1:x+ay=2a+4即为x-4=-a(y-2),l2:2x+ay=2a+8即为2(x-4)=-a(y-2),都过点(4,2),即点C(4,2).
在x+ay=2a+4中,令x=0,得y=2+,所以A,同理可得B(4+a,0),如图,
所以S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=≥8+2,
当且仅当a=,即a=2时等号成立.
所以当a=2时,四边形OACB的面积取最小值.
此时,点B的坐标为(4+2,0),直线l1的方程是x+2=0,
故点B到直线l1的距离是.故选B.
5.答案 (答案不唯一)
解析 由|2a+b+1|=|a-5b-1|=t,
得=t,可以看成恰有三条不过原点的直线l:ax+by+1=0满足A(2,1),B(-1,5)到该直线的距离相等.
当AB∥l时,kAB=,则,此时t>0,有2条满足题意的直线l,
∵a,b不全为0,∴l不过原点,当l过原点时,方程为4x+3y=0,此时t=,故当t=且AB∥l时,有1条直线满足条件;
当l过线段AB的中点且不垂直于AB时,有2条满足题意的直线l,∵a,b不全为0,∴l不过原点,当l过原点和线段AB的中点时,方程为6x-y=0,此时t=,故当t=且l过线段AB的中点且不垂直于AB时,有1条直线满足条件;
当l过线段AB的中点且l⊥AB时,t=,有1条直线满足条件.
综上,当t=或t=或t=时,满足题意.
小题速解 本题是填空题,很容易想到当l过线段AB的中点且l⊥AB时的情况,可以直接计算这种情况下t的值.
6.解析 (1)直线l的斜率显然存在,可设直线l:y=k(x-2),即kx-y-2k=0,
由题意可得,
整理得|k+2|=|3k|,解得k=1或k=-,
所以直线l的方程为x-y-2=0或x+2y-2=0.
(2)易得BC的垂直平分线的方程为x=-1,可设△ABC的外心P(-1,y),
因为PA=PC,所以,
则1+(y-4)2=9+y2,解得y=1,即P(-1,1),
由题意可知△ABC的重心G,则欧拉线的斜率kGP==1,
故△ABC的欧拉线的方程为y-1=x-(-1),即x-y+2=0.
7.解析 (1)因为原点到直线l1的距离是,所以,所以|a|=3,所以a=±3.
(2)由(1)结合题意得a=3,所以直线l1:2x-y+3=0.
设存在点P(m,n)(m>0,n>0)满足题意,
则由点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍得,即|4m-2n-1|=4×|2m-n+3|=|8m-4n+12|,
所以4m-2n+13=0或12m-6n+11=0.
由点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是,得,化简得|2m-n+3|=|m+n-1|,所以m-2n+4=0或3m+2=0(舍去).
联立(舍去);
联立
故存在满足条件的点P.
121.5 平面上的距离
1.5.1 平面上两点间的距离
基础过关练
题组一 两点间的距离及中点坐标公式
1.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.(多选题)直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标可以是( )
A.(-4,5) B.(-1,2) C.(-3,4) D.(1,0)
3.点A(2,-4)到直线l:(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0(m∈R)的距离的最大值是( )
A.5 B.2
4.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且线段AB的中点为P,则线段AB的长为( )
A.11 B.10 C.9 D.8
5.(多选题)已知点A(-2,-1),B(2,2),直线l:ax+y+3a-3=0上存在点P满足PA+PB=5,则实数a可能为( )
A.-2 B.0 C.1 D.3
6.(教材习题改编)已知△ABC的顶点A(4,6),B(-1,1),C(3,3).
(1)求BC边上的中线长;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程;
(3)过A作直线l,若l被两坐标轴截得的线段的中点为A,求直线l的方程.
题组二 两点间的距离及中点坐标公式的应用
7.已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后,再射到直线OB上(O为坐标原点),最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
A.3
8.已知直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-5=0关于点M对称的直线方程为( )
A.2x+3y+11=0 B.2x+3y+12=0
C.3x-2y-5=0 D.2x+3y-6=0
9.已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则PA+PB的最小值为 .
10.直线3x+4y-12=0分别交x轴和y轴于点A,B,P为直线y=x+1上一点,则PA-PB的最大值是 .
11.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R),P(3,-1),Q(-3,3).
(1)若P,Q两点到直线l的距离相等,求此时直线l的方程;
(2)当k为何值时,原点到直线l的距离最大
能力提升练
题组 两点间的距离及中点坐标公式的应用
1.已知动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l的距离最大为3,则的最小值为( )
A. C.1 D.9
2.已知直线l1:kx+2y-k-4=0恒过点M,点N的坐标为(4,6),直线l2:y=x-1上有一动点P,当PM+PN取得最小值时,点P的坐标为( )
A. B. C. D.
3.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发经BC,CA反射后又回到点P,若光线QR经过△ABC的重心,则△PQR的周长等于( )
A.
4.(教材习题改编)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段的中点恰好为P,则直线l的方程为 ,此时被截得的线段长为 .
5.已知实数x,y满足x-y=0,则的最大值是 .
6.在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A(-4,2),AB边上的中线CM所在直线的方程为x-y+1=0,∠B的平分线所在直线的方程为2x+y-2=0,则直线BC的方程为 .
7.已知△ABC的顶点A(-6,0),B(0,6),其外心、重心、垂心都在直线x-y+3=0上,则顶点C的坐标是 .
8.已知直线l:(1+2λ)x-(λ+1)y-λ=0,λ∈R.
(1)判断直线l是否过定点,若过,求出定点;若不过,说明理由;
(2)若λ=-,求直线l被曲线:x2+y2=|x|+|y|(x,y不同时为0)所截得的线段长.
答案与分层梯度式解析
1.5 平面上的距离
1.5.1 平面上两点间的距离
基础过关练
1.A ∵A(5,-1),B(1,1),C(2,3),
∴AB=,
AC=,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.故选A.
2.BC 设所求点的坐标为(x0,y0),则x0+y0-1=0,且,
两式联立解得所以所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2),故选BC.
3.B 将直线方程变形为(x+y+4)+(-3x-y+4)m=0,
令则l恒过点(4,-8),设为B,所以A到直线l的距离的最大值为线段AB的长,此时l⊥AB.
易得AB=,
所以A到直线l的距离的最大值为2.故选B.
4.B 因为直线2x-y=0和x+ay=0互相垂直,所以2×1+(-1)×a=0,解得a=2,所以P(0,5).
设A(m,2m),B,则所以A(4,8),B(-4,2),
所以AB==10,故选B.
5.CD 直线l的方程可变形为y-3=-a(x+3),故l过定点(-3,3),且斜率为-a,设C(-3,3).易求得AB==5,
要想直线l上存在点P满足PA+PB=5,则l与线段AB有交点,
因为kBC==-4,
所以-a∈,解得a∈,结合选项知C、D正确.
6.解析 (1)设BC的中点为E,则E(1,2),
所以中线长AE==5.
(2)易求得kAE=,所以BC边上的中线所在直线的方程为y-2=(x-1),即4x-3y+2=0.
(3)设直线l的方程为y-6=k(x-4),易知k<0,令x=0,则y=6-4k;令y=0,则x=4-,所以直线l与两坐标轴的交点坐标为(0,6-4k),,
由题意得解得k=-.
所以直线l的方程为y-6=-(x-4),即3x+2y-24=0.
7.C 如图,由题意得直线AB的方程为x+y=4,设P关于直线AB的对称点为Q(a,b),
则解得即Q(4,2),
设P关于y轴的对称点为T,则T(-2,0),故QT=,故光线所经过的路程是2.故选C.
8.A 由ax+y+3a-1=0,得a(x+3)+y-1=0,
联立
∴直线ax+y+3a-1=0恒过定点M(-3,1).
在所求直线上任取一点P(x,y),设点P关于点M对称的点为P'(x0,y0),
则有
∵点P'(-x-6,2-y)在直线2x+3y-5=0上,
∴2(-x-6)+3(2-y)-5=0,即2x+3y+11=0,
∴所求直线的方程为2x+3y+11=0.故选A.
9.答案 2
解析 易知点A(-3,5),B(2,8)在直线x-y+1=0的同侧,
设点A关于直线x-y+1=0的对称点为C(a,b),
则∴C(4,-2),
∴(PA+PB)min=BC=.
10.答案
解析 由题意得A(4,0),B(0,3),如图所示,设点B(0,3)关于直线y=x+1的对称点为C(m,n),
则即C(2,1),
因为PB=PC,所以PA-PB=PA-PC≤AC,当且仅当A,C,P三点共线时,等号成立,即(PA-PB)max=AC=.
11.解析 (1)由题意得线段PQ的中点坐标为(0,1),
若l过线段PQ的中点,则-1+1+2k=0,解得k=0,此时直线l的方程为y=1,满足条件;
若l∥PQ,对直线l的方程变形得y=kx+1+2k,则k=kPQ=,则l的方程为2x+3y+1=0.
综上,直线l的方程为y=1或2x+3y+1=0.
(2)由kx-y+1+2k=0,得k(x+2)+(-y+1)=0,
令则直线l过定点(-2,1),设为N.
当直线l与ON垂直时,原点到直线l的距离最大,
最大值为ON=,
因为kON=-,所以k=2,即当k=2时,原点到直线l的距离最大.
解题模板 (1)已知P,Q两点到直线l的距离相等,求l的方程有两种情况,一是l过PQ的中点,二是l∥PQ.
(2)求点M到直线l:Ax+By+C=0的距离的最大值,先求l所过的定点N,则所求最大值为线段MN的长,最后由两点间距离公式求值即可.
能力提升练
1.B ∵动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),∴a+bm+c-2=0.
则点Q到l的距离的最大值为线段PQ的长,
∴PQ==3,∴m=0,∴a+c=2.
∴,当且仅当a=时取等号.故选B.
2.B 由直线l1:kx+2y-k-4=0,即k(x-1)+2y-4=0,
可知该直线恒过点M(1,2),
因为(4-1-6)×(1-1-2)>0,所以点M,N在直线y=x-1的同侧.
设点M关于直线y=x-1的对称点为M'(a,b),
则所以M'(3,0).如图:
PM+PN=PM'+PN≥M'N,当且仅当P,M',N三点共线时取等号,此时M'N的长为PM+PN的最小值,
直线M'N的方程为,即y=6x-18.
与直线l2:y=x-1联立,得
故当PM+PN取得最小值时,点P的坐标为.故选B.
规律总结 设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0),两点M(x1,y1),N(x2,y2).若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,则M,N在直线的同侧;若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0,则M,N在直线的异侧.
3.A 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(4,0),C(0,4),A(0,0),所以直线BC的方程为x+y-4=0.设P(t,0)(0设△ABC的重心为G,则G,
所以,即3t2-4t=0,所以t=0(舍去)或t=,所以P1.
结合对称关系可知QP=QP1,RP=RP2,
所以△PQR的周长即线段P1P2的长,为.故选A.
4.答案 x+4y-4=0;2
解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知点A关于点P的对称点(-a,2a-6)在l2上,设为B,
把点B的坐标代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,所以A(4,0),B(-4,2),
故l的方程为,即x+4y-4=0.
此时被截得的线段长AB=.
5.答案
思路分析 赋予式子几何意义,它表示直线x-y=0上的点P(x,y)到点A(2,4),B(1,0)的距离之差,通过作B关于直线x-y=0的对称点B'求最值.
解析 表示直线x-y=0上的点P(x,y)到点A(2,4),B(1,0)的距离之差,设点B(1,0)关于直线x-y=0的对称点为B'(a,b),
则即B'(0,1),
则PA-PB=PA-PB'≤AB'=,当且仅当P,A,B'三点共线时取等号,
所以.
6.答案 18x-y-38=0
解析 设B(a,b),则AB的中点M,
把M的坐标代入直线CM的方程得+1=0,即a-b-4=0,①
又点B在直线2x+y-2=0上,所以2a+b-2=0,②
由①②得所以B(2,-2),
设点A(-4,2)关于直线2x+y-2=0的对称点为A'(m,n),则A'在直线BC上,
则所以A',
所以直线BC的方程为y+2=(x-2),即18x-y-38=0.
7.答案 (3,0)或(0,-3)
解析 设C(m,n),则△ABC的重心坐标为,
由题意可知+3=0,即m=n+3.①
易得线段AB的中点坐标为(-3,3),斜率kAB==1,则线段AB的垂直平分线的方程为y-3=-(x+3),即y=-x,
联立即△ABC的外心为,设为M.
由MC=MA,得,②
由①②得n=0或n=-3,即C(3,0)或C(0,-3),经检验均符合题意.
8.解析 (1)直线l:(1+2λ)x-(λ+1)y-λ=0,λ∈R,即(2x-y-1)λ+(x-y)=0,
令解得x=y=1,即直线l过定点(1,1).
(2)若λ=-,则直线l:=0,即x=2y-1,
将x=2y-1代入x2+y2=|x|+|y|,
得(2y-1)2+y2=|2y-1|+|y|,
当y≥时,(2y-1)2+y2=2y-1+y,即5y2-7y+2=0,
解得y=1或y=(舍),则交点坐标为(1,1);
当0≤y<时,(2y-1)2+y2=1-2y+y,即5y2-3y=0,
解得y=0或y=(舍),则交点坐标为(-1,0);
当y<0时,(2y-1)2+y2=1-2y-y,即5y2-y=0,
解得y=0(舍)或y=(舍).
所以截得的线段长度为.
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