/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
班级： 姓名： 得分：
第二十二章检测卷
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分)
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. y＝4x2＋2 B. y＝3x＋1 C. y＝ D. y＝＋3
1. A
2. 二次函数y＝－（x－3）2＋2图象的对称轴为（ ）
A. 直线x＝2 B. 直线x＝－2
C. 直线x＝3 D. 直线x＝－3
2. C
3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 6 8 6 0 …
根据表格可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是（ ）
A. x1＝6，x2＝3 B. x1＝1，x2＝－3
C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝x2＝3
3. C
4. 将抛物线y＝2x2通过平移得到抛物线y＝2（x＋1）2，对平移过程描述正确的是（ ）
A. 向左平移1个单位长度
B. 向右平移1个单位长度
C. 向上平移1个单位长度
D. 向下平移1个单位长度
4. A
5. 抛物线y＝ax2＋2ax－4（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（－3，0），则它与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A. （1，0） B. （－1，0） C. （2，0） D. （0，1）
5. A 【解析】∵抛物线y＝ax2＋2ax－4(a≠0)的对称轴为x＝－＝－1，且与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，∴根据对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1，0)．
6. 小明同学设计了一种飞机模型，已知这种模型降落后滑行的距离y（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的函数关系式为y＝80t－2t2，则该飞机模型降落后滑行到最大距离时，所需时间为（ ）
A. 15秒 B. 18秒
C. 20秒 D. 25秒
6. C 【解析】将函数关系式化为顶点式得y＝－2(t2－40t＋400－400)＝－2(t－20)2＋800，∴当t＝20时，y取得最大值．
7. 若二次函数y＝4x2－x－c的图象经过A（－1，y1），B（1，y2）两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 无法确定
7. A 【解析】∵二次函数y＝4x2－x－c的对称轴为x＝，4>0，∴当x<时，y 随x的增大而减小；当x≥时，y 随x的增大而增大，∵点A关于对称轴对称的点的坐标为(，y1)，且1<，∴y1>y2.
8. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为（3，－2），则关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
8. A 【解析】∵二次函数y＝x2＋bx＋c的开口向上，且顶点坐标为(3，－2)，即抛物线的顶点在x轴下方，∴抛物线与x轴有2个交点，∴关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
9. 二次函数y＝ax2＋4x＋2（a≠0）和一次函数y＝ax－a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
9. C 【解析】当a>0时，一次函数图象经过第一、三、四象限，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－<0；当a<0 时，一次函数图象经过第一、二、四象限，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－>0.综上所述，选项C符合题意．
10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，已知图象与x轴的交点坐标为（－1，0），且对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＜0；②4a－b＝0；③9a＋c＞3b；④4a＋2b≥m（am＋b）（m为常数）.其中正确的是 （ ）
A. ①② B. ②③
C. ①④ D. ③④
第10题图
10. C 【解析】∵该二次函数图象的对称轴为直线x＝2>0，即－>0，∴ab<0，又∵二次函数图象与y轴的交点在正半轴，∴c>0，∴abc<0，结论①正确；∵－＝2，∴－b＝4a，即4a＋b＝0，∴结论②错误；观察函数图象可知，当x＝－3时，y<0，即9a－3b＋c<0，∴9a＋c<3b，结论③错误；根据函数图象可知，当x＝2时，二次函数有最大值为4a＋2b＋c，∵m为常数，代入可得函数值为am2＋bm＋c＝m(am＋b)＋c，∴4a＋2b＋c≥m(am＋b)＋c，即4a＋2b≥m(am＋b)，结论④正确．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11. 二次函数y＝x2－4x＋3图象的顶点坐标是 .
11. (2，－1) 【解析】∵y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－4＋3＝(x－2)2－1，∴顶点坐标是(2，－1)．
12. 写出一个二次函数，其图象满足：（1）有最小值；（2）图象与y轴交于点（0，－5），则这个二次函数的解析式可以是 .
12. y＝x2－5(答案不唯一) 【解析】设二次函数的解析式为y＝＋bx＋c(a≠0)，∵此二次函数有最小值，∴a>0，∵图象与y轴的交点坐标为(0，－5)，∴c＝－5，若取a＝1，b＝0 时，则二次函数的解析式为y＝x2－5.
13. 若抛物线y＝x2－2x＋3－k与x轴有交点，则k的取值范围是 .
13. k≥2 【解析】∵抛物线y＝x2－2x＋3－k与x轴有交点，即方程x2－2x＋3－k＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(3－k)≥0，解得k≥2.
14. 如图，用16 m长的木料制作矩形窗框（每块玻璃四周的边框不共用，宽度忽略不计），要求ED＝2AE，若要使得矩形窗户ABCD 的面积最大，则预留窗洞的高度AE应为 m.
第14题图
14. 1 【解析】设 AE 的长为x，则ED的长为2x，矩形窗户ABCD面积为y，则AB的长为(16－2x－6x)＝x，∴y＝3x(x)＝－8x2＋16x，配方得y＝－8(x－1)2＋8，∴当x＝1时，y取得最大值，即当AE的长为1 m时，矩形窗户ABCD的面积最大．
15. 设抛物线y＝x2－2ax－4（a＋1），其中a为实数.
（1）若抛物线经过坐标原点，则a的值为 ；
（2）若－3≤a≤－1，则抛物线顶点纵坐标的最大值为 .
15. (1)－1；(2)0 【解析】(1)∵抛物线过坐标原点，∴将点(0，0)代入，得－4(a＋1)＝0，解得a＝－1；(2)∵抛物线的对称轴为x＝a，∴抛物线顶点的纵坐标为a2－2a2－4(a＋1)＝－(a＋2)2，∵－1<0，－3≤a≤－1，∴当a＝－2时，抛物线顶点的纵坐标有最大值，最大值为0.
三、解答题（共8小题，共75分）
16. （6分）抛物线y＝－x2＋bx＋c过点（2，1）和（3，0），求抛物线的函数解析式.
16. 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点(2，1)和(3，0)，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3.(6分)
17. （9分）已知二次函数y＝x2－ax＋2a－5.
（1）若该二次函数的图象经过点（0，3），求a的值；
（2）求证：无论a为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点.
17. (1)解：∵二次函数y＝x2－ax＋2a－5经过(0，3)，
∴2a－5＝3，
解得a＝4；(3分)
(2)证明：对于y＝x2－ax＋2a－5，
令y＝0，则有Δ＝(－a)2－4(2a－5)＝a2－8a＋20＝(a－4)2＋4，
∵(a－4)2≥0，
∴Δ>0，
∴无论a为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点．(9分)
18. （9分）（中考新考法·纠错改错）小琼同学用配方法推导二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标，下面是她的推导过程：
y＝ax2＋bx＋c＝a（x2＋x）＋c 第一步 y＝a[x2＋x＋（）2－（）2]＋c 第二步 y＝a（x＋）2－＋c 第三步 y＝a（x＋）2＋ 第四步
（1）小琼的解法从第 步开始出现错误，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）正确的顶点坐标是 ；
（2）用配方法求二次函数y＝2x2－4x－3图象的顶点坐标和对称轴.
18. 解：(1)四；(－)；(3分)
【解法提示】小琼的解法从第四步开始出现错误，第四步正确的推导过程是y＝a(x＋)2＋.
(2)y＝2(x2－2x)－3
＝ 2(x2－2x＋1－1)－3
＝ 2(x－1)2－2－3
＝ 2(x－1)2－5，
∴抛物线y＝2x2－4x－3的顶点坐标为(1，－5)，对称轴为直线x＝1.(9分)
19. （9分）用“描点法”画二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，列表如下：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －5 0 3 4 3 0 －5 …
（1）在图中画出这个二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象；
（2）求出该二次函数的解析式；
（3）根据图象，直接写出当－1≤x≤2时，y的取值范围.
第19题图
19. 解：(1)画出函数图象如解图所示；(2分)
第19题解图
(2)设该二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
将点(0，3)代入得，3＝a(0＋1)(0－3)，
解得a＝－1，
∴该二次函数的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3；(5分)
(3)0≤y≤4.(9分)
【解法提示】由函数图象得该二次函数的顶点坐标为(1，4)，当x＝1时，y有最大值为4，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3，∴当－1≤x≤2时，y的取值范围是0≤y≤4.
20. （9分）立定跳远是中考体育项目之一，小万在进行立定跳远训练时，脚的运动轨迹可近似看作抛物线，通过电子仪器测量得到小万跳远的水平距离x（单位：米）与对应时刻离地高度y（单位：米）的数据如下表：
x 0.2 0.6 1 1.4 1.6 2
y 0.2 0.48 0.6 0.56 0.48 0.2
（1）根据表格中的数据，在所给的平面直角坐标系中画出图象并求其解析式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），在立定跳远过程中，跳远者落地时脚后跟与起跳线之间的水平距离大于等于2.38米，即可得满分.请你判断小万此次训练的数据在此项考试中能否得满分，并说明理由.
第20题图
∴小万此次训练的数据在此项考试中不能得满分．(9分)
21. （9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A向点C匀速运动，点Q从点C向点B匀速运动，连接PQ，已知点P，Q均以2 cm/s的速度同时出发，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止.设运动时间为t s，△PCQ的面积为S cm2.
（1）写出S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，△PCQ的面积取得最大值，最大值为多少？
第21题图
2
22. （12分）（项目式学习·探究茶叶利润）根据以下素材，探索完成任务.
探究云南普洱茶的日销售利润问题
素材1 普洱茶是云南省特产、中国国家地理标志产品，主产于云南省普洱市，历史悠久，深受茶友的喜爱.
素材2 普洱茶的成本价为80元/盒.经销商销售普洱茶时发现：日销售量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，如图所示. 第22题图
问题解决
任务一 求y与x之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）；
任务二 若该经销商要想每天获得875元的销售利润，销售单价应定为多少元？
任务三 市场规定，该茶叶获利不得高于12.5％，则销售单价为多少元时，日销售利润w最大，最大利润是多少元？
(9
500(元)．(12分)
23. （12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接AB，OA＝OB＝3，P为抛物线上一动点（不与点A，B重合），图中虚线是抛物线对称轴.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当点P在AB上方时，连接PA，PB，求S△PAB的最大值；
（3）点M在抛物线的对称轴上，连接AM，BM，PA，PB，是否存在点M，使得以P，A，M，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
班级： 姓名： 得分：
第二十二章检测卷
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分)
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. y＝4x2＋2 B. y＝3x＋1 C. y＝ D. y＝＋3
1. A
2. 二次函数y＝－（x－3）2＋2图象的对称轴为（ ）
A. 直线x＝2 B. 直线x＝－2
C. 直线x＝3 D. 直线x＝－3
2. C
3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 6 8 6 0 …
根据表格可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是（ ）
A. x1＝6，x2＝3 B. x1＝1，x2＝－3
C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝x2＝3
3. C
4. 将抛物线y＝2x2通过平移得到抛物线y＝2（x＋1）2，对平移过程描述正确的是（ ）
A. 向左平移1个单位长度
B. 向右平移1个单位长度
C. 向上平移1个单位长度
D. 向下平移1个单位长度
4. A
5. 抛物线y＝ax2＋2ax－4（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（－3，0），则它与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A. （1，0） B. （－1，0） C. （2，0） D. （0，1）
5. A 【解析】∵抛物线y＝ax2＋2ax－4(a≠0)的对称轴为x＝－＝－1，且与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，∴根据对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1，0)．
6. 小明同学设计了一种飞机模型，已知这种模型降落后滑行的距离y（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的函数关系式为y＝80t－2t2，则该飞机模型降落后滑行到最大距离时，所需时间为（ ）
A. 15秒 B. 18秒
C. 20秒 D. 25秒
6. C 【解析】将函数关系式化为顶点式得y＝－2(t2－40t＋400－400)＝－2(t－20)2＋800，∴当t＝20时，y取得最大值．
7. 若二次函数y＝4x2－x－c的图象经过A（－1，y1），B（1，y2）两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 无法确定
7. A 【解析】∵二次函数y＝4x2－x－c的对称轴为x＝，4>0，∴当x<时，y 随x的增大而减小；当x≥时，y 随x的增大而增大，∵点A关于对称轴对称的点的坐标为(，y1)，且1<，∴y1>y2.
8. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为（3，－2），则关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
8. A 【解析】∵二次函数y＝x2＋bx＋c的开口向上，且顶点坐标为(3，－2)，即抛物线的顶点在x轴下方，∴抛物线与x轴有2个交点，∴关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
9. 二次函数y＝ax2＋4x＋2（a≠0）和一次函数y＝ax－a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
9. C 【解析】当a>0时，一次函数图象经过第一、三、四象限，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－<0；当a<0 时，一次函数图象经过第一、二、四象限，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－>0.综上所述，选项C符合题意．
10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，已知图象与x轴的交点坐标为（－1，0），且对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＜0；②4a－b＝0；③9a＋c＞3b；④4a＋2b≥m（am＋b）（m为常数）.其中正确的是 （ ）
A. ①② B. ②③
C. ①④ D. ③④
第10题图
10. C 【解析】∵该二次函数图象的对称轴为直线x＝2>0，即－>0，∴ab<0，又∵二次函数图象与y轴的交点在正半轴，∴c>0，∴abc<0，结论①正确；∵－＝2，∴－b＝4a，即4a＋b＝0，∴结论②错误；观察函数图象可知，当x＝－3时，y<0，即9a－3b＋c<0，∴9a＋c<3b，结论③错误；根据函数图象可知，当x＝2时，二次函数有最大值为4a＋2b＋c，∵m为常数，代入可得函数值为am2＋bm＋c＝m(am＋b)＋c，∴4a＋2b＋c≥m(am＋b)＋c，即4a＋2b≥m(am＋b)，结论④正确．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11. 二次函数y＝x2－4x＋3图象的顶点坐标是 .
11. (2，－1) 【解析】∵y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－4＋3＝(x－2)2－1，∴顶点坐标是(2，－1)．
12. 写出一个二次函数，其图象满足：（1）有最小值；（2）图象与y轴交于点（0，－5），则这个二次函数的解析式可以是 .
12. y＝x2－5(答案不唯一) 【解析】设二次函数的解析式为y＝＋bx＋c(a≠0)，∵此二次函数有最小值，∴a>0，∵图象与y轴的交点坐标为(0，－5)，∴c＝－5，若取a＝1，b＝0 时，则二次函数的解析式为y＝x2－5.
13. 若抛物线y＝x2－2x＋3－k与x轴有交点，则k的取值范围是 .
13. k≥2 【解析】∵抛物线y＝x2－2x＋3－k与x轴有交点，即方程x2－2x＋3－k＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(3－k)≥0，解得k≥2.
14. 如图，用16 m长的木料制作矩形窗框（每块玻璃四周的边框不共用，宽度忽略不计），要求ED＝2AE，若要使得矩形窗户ABCD 的面积最大，则预留窗洞的高度AE应为 m.
第14题图
14. 1 【解析】设 AE 的长为x，则ED的长为2x，矩形窗户ABCD面积为y，则AB的长为(16－2x－6x)＝x，∴y＝3x(x)＝－8x2＋16x，配方得y＝－8(x－1)2＋8，∴当x＝1时，y取得最大值，即当AE的长为1 m时，矩形窗户ABCD的面积最大．
15. 设抛物线y＝x2－2ax－4（a＋1），其中a为实数.
（1）若抛物线经过坐标原点，则a的值为 ；
（2）若－3≤a≤－1，则抛物线顶点纵坐标的最大值为 .
15. (1)－1；(2)0 【解析】(1)∵抛物线过坐标原点，∴将点(0，0)代入，得－4(a＋1)＝0，解得a＝－1；(2)∵抛物线的对称轴为x＝a，∴抛物线顶点的纵坐标为a2－2a2－4(a＋1)＝－(a＋2)2，∵－1<0，－3≤a≤－1，∴当a＝－2时，抛物线顶点的纵坐标有最大值，最大值为0.
三、解答题（共8小题，共75分）
16. （6分）抛物线y＝－x2＋bx＋c过点（2，1）和（3，0），求抛物线的函数解析式.
16. 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点(2，1)和(3，0)，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3.(6分)
17. （9分）已知二次函数y＝x2－ax＋2a－5.
（1）若该二次函数的图象经过点（0，3），求a的值；
（2）求证：无论a为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点.
17. (1)解：∵二次函数y＝x2－ax＋2a－5经过(0，3)，
∴2a－5＝3，
解得a＝4；(3分)
(2)证明：对于y＝x2－ax＋2a－5，
令y＝0，则有Δ＝(－a)2－4(2a－5)＝a2－8a＋20＝(a－4)2＋4，
∵(a－4)2≥0，
∴Δ>0，
∴无论a为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点．(9分)
18. （9分）（中考新考法·纠错改错）小琼同学用配方法推导二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标，下面是她的推导过程：
y＝ax2＋bx＋c＝a（x2＋x）＋c 第一步 y＝a[x2＋x＋（）2－（）2]＋c 第二步 y＝a（x＋）2－＋c 第三步 y＝a（x＋）2＋ 第四步
（1）小琼的解法从第 步开始出现错误，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）正确的顶点坐标是 ；
（2）用配方法求二次函数y＝2x2－4x－3图象的顶点坐标和对称轴.
18. 解：(1)四；(－)；(3分)
【解法提示】小琼的解法从第四步开始出现错误，第四步正确的推导过程是y＝a(x＋)2＋.
(2)y＝2(x2－2x)－3
＝ 2(x2－2x＋1－1)－3
＝ 2(x－1)2－2－3
＝ 2(x－1)2－5，
∴抛物线y＝2x2－4x－3的顶点坐标为(1，－5)，对称轴为直线x＝1.(9分)
19. （9分）用“描点法”画二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，列表如下：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －5 0 3 4 3 0 －5 …
（1）在图中画出这个二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象；
（2）求出该二次函数的解析式；
（3）根据图象，直接写出当－1≤x≤2时，y的取值范围.
第19题图
19. 解：(1)画出函数图象如解图所示；(2分)
第19题解图
(2)设该二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
将点(0，3)代入得，3＝a(0＋1)(0－3)，
解得a＝－1，
∴该二次函数的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3；(5分)
(3)0≤y≤4.(9分)
【解法提示】由函数图象得该二次函数的顶点坐标为(1，4)，当x＝1时，y有最大值为4，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3，∴当－1≤x≤2时，y的取值范围是0≤y≤4.
20. （9分）立定跳远是中考体育项目之一，小万在进行立定跳远训练时，脚的运动轨迹可近似看作抛物线，通过电子仪器测量得到小万跳远的水平距离x（单位：米）与对应时刻离地高度y（单位：米）的数据如下表：
x 0.2 0.6 1 1.4 1.6 2
y 0.2 0.48 0.6 0.56 0.48 0.2
（1）根据表格中的数据，在所给的平面直角坐标系中画出图象并求其解析式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），在立定跳远过程中，跳远者落地时脚后跟与起跳线之间的水平距离大于等于2.38米，即可得满分.请你判断小万此次训练的数据在此项考试中能否得满分，并说明理由.
第20题图
20. 解：(1)画出函数图象如解图所示；(2分)
由题意知，抛物线过原点，
设抛物线解析式为y＝ax2＋bx(a≠0)，
将点(2，0.2)，(1，0.6)分别代入y＝ax2＋bx中，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝－0.5x2＋1.1x(x≥0)；(5分)
第20题解图
(2)小万此次训练的数据在此项考试中不能得满分，(6分)
理由如下：由(1)得，抛物线的解析式为y＝－0.5x2＋1.1x(x≥0)，
令y＝0，得－0.5x2＋1.1x＝0，
解得x1＝0，x2＝2.2，
∴小万立定跳远的水平距离为2.2米，
∵2.2<2.38，
∴小万此次训练的数据在此项考试中不能得满分．(9分)
21. （9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A向点C匀速运动，点Q从点C向点B匀速运动，连接PQ，已知点P，Q均以2 cm/s的速度同时出发，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止.设运动时间为t s，△PCQ的面积为S cm2.
（1）写出S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，△PCQ的面积取得最大值，最大值为多少？
第21题图
21. 解：(1)由题意得AP＝2t cm，CQ＝2t cm，
∵AC＝10 cm，
∴CP＝(10－2t)cm.
∵∠C＝90°，
∴S△PCQ＝CQ·CP＝×2t×(10－2t)＝－2t2＋10t(0(2)由(1)得，S△PCQ＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋，
∵－2<0，0∴当t＝ s时，S△PCQ取得最大值，最大值为 cm2.(9分)
22. （12分）（项目式学习·探究茶叶利润）根据以下素材，探索完成任务.
探究云南普洱茶的日销售利润问题
素材1 普洱茶是云南省特产、中国国家地理标志产品，主产于云南省普洱市，历史悠久，深受茶友的喜爱.
素材2 普洱茶的成本价为80元/盒.经销商销售普洱茶时发现：日销售量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，如图所示. 第22题图
问题解决
任务一 求y与x之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）；
任务二 若该经销商要想每天获得875元的销售利润，销售单价应定为多少元？
任务三 市场规定，该茶叶获利不得高于12.5％，则销售单价为多少元时，日销售利润w最大，最大利润是多少元？
22. 解：任务一：设一次函数关系为y＝kx＋b(k≠0)，
把(90，150)和(100，100)代入y＝kx＋b中，
得解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－5x＋600(80≤x≤120)；(3分)
任务二：由题意得(－5x＋600)(x－80)＝875，
解得x1＝85，x2＝115，
∴销售单价应定为85元或115元；(7分)
任务三：由题意，得w＝(－5x＋600)(x－80)＝－5x2＋1 000x－48 000＝＋2 000，
∵该茶叶获利不得高于12.5%，∴x≤80×(1＋12.5%)＝90，
∵－5<0，
∴当x＝90时，w取得最大值，w最大＝－5×(90－100)2＋2 000＝1 500(元)．(12分)
23. （12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接AB，OA＝OB＝3，P为抛物线上一动点（不与点A，B重合），图中虚线是抛物线对称轴.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当点P在AB上方时，连接PA，PB，求S△PAB的最大值；
（3）点M在抛物线的对称轴上，连接AM，BM，PA，PB，是否存在点M，使得以P，A，M，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
23. 解：(1)∵OA＝3，且点A在x轴负半轴上，
∴点A的坐标为(－3，0)，
同理，点B的坐标为(0，3)，
将A(－3，0)，B(0，3)分别代入y＝－x2＋bx＋c中，
得解得
∴该二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3；(3分)
(2)由(1)可知，该二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3，易求得直线AB的函数解析式为y＝x＋3，
如解图①，过点P作PC⊥x轴，交x轴于点C，交AB于点D，设点P的横坐标为m(－3∴PD＝PC－CD＝－m2－2m＋3－(m＋3)＝－m2－3m＝－(m＋)2＋，
∴S△PAB＝PD·OA＝－(m＋)2＋，
∵－<0，－3∴当m＝－时，S△PAB取得最大值，最大值为；(7分)
第23题解图
(3)存在，点M的坐标为(－1，0)或(－1，－2)或(－1，－8)．(8分)
∵该二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴点M的横坐标为－1，
如解图②，连接PM，设PM和AB交于点F，当以AB为对角线时，四边形PAMB为平行四边形，
则F为AB，PM的中点，
∵A(－3，0)，B(0，3)，
∴点F的坐标为(－)，
又∵点M的横坐标为－1，
∴点P的横坐标为－×2－(－1)＝－2，
代入y＝－x2－2x＋3中，得y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，
∴点M的纵坐标为×2－3＝0，
此时点M的坐标为(－1，0)；(10分)
如解图③④，当以AB为边时，PM∥AB，PM＝AB，
四边形ABMP或四边形ABPM为平行四边形，
过点P作PN垂直对称轴交对称轴于点N，
∵AB＝3，PM∥AB，PM＝AB，
∴PM＝3，∠PMN＝45°，
∴PN＝3，
∴点P的横坐标为－4或2.
如解图③，当点P的横坐标x＝－4时，y＝－5，点M在点N的上方，
又∵MN＝3，
∴M(－1，－2)．
如解图④，当点P的横坐标x＝2时，y＝－5，点M在点N的下方，
又∵MN＝3，
∴M(－1，－8)．
综上所述，符合条件的点M的坐标为(－1，0)或(－1，－2)或(－1，－8)．(12分)
图③
图④
第23题解图
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
