本章复习提升练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略直线斜率与倾斜角之间的关系致错
1.设直线l的方程为6x-6ycos β+13=0,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A.[0,π) 　　　　B.
C.
2.已知直线l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0,若l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角的范围为(　　)
A.
C.
易错点2　忽略公式应用的前提条件致错
3.若平面内两条平行直线l1:x+(a-1)y+2=0,l2:ax+2y+1=0间的距离为,则实数a=(　　)
A.-2　　　　B.-2或1
C.-1　　　　D.-1或2
4.已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m与l2:2x+(5+m)y=8平行,则实数m的值为(　　)
A.-7　　 B.-1　　 C.-1或-7　　 D.
易错点3　忽略直线的特殊情况,缺少分类讨论致错
5.(多选题)下列说法中正确的有(　　)
A.直线y=3x-2在y轴上的截距是2
B.若直线l1:ax+2y+3a-2=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行,则a=1
C.若点A(5,-2)和点B(m,n)关于直线x-y+1=0对称,则m+n=3
D.过点P(1,2)且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0
思想方法练
一、数形结合思想在直线方程中的应用
1.已知x,y>0,且2x+y=2,则x+的最小值为(　　)
A.
C.1　　　　D.
2.已知在矩形ABCD中,A(-4,4),D(5,7),其对角线的交点E在第一象限内且到y轴的距离为1,动点P(x,y)沿矩形的BC边运动,则的取值范围是　　　　.
二、函数与方程思想在直线方程中的应用
3.已知m∈R,若过定点A的动直线l1:x-my+m-2=0和过定点B的动直线l2:y-4=-m(x+2)交于点P(P与A,B不重合),则PA+PB的最大值为(　　)
A.5
C.5　　　　D.5
4.已知直线l过点P(-2,0),点Q(1,)到l的距离为2,且直线l'与直线l关于点Q对称.
(1)求l'的方程;
(2)记原点为O,l'上有一动点M,则当OM+MQ最小时,求点M的坐标.
三、分类讨论思想在直线方程中的应用
5.已知直线l过两直线3x+4y-5=0和2x-3y+8=0的交点,且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,则直线l的方程为　　　　　　.
6.已知△ABC的顶点A(2,1),B(-2,1),cos<.
(1)求过点A,且在两坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程;
(2)求角A的平分线所在直线的一般式方程.
四、转化与化归思想在直线方程中的应用
7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马,再回到军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为B(-2,0),河岸线所在直线的方程为x+2y=3,若将军从山脚下的点A处出发,则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
A.
8.已知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0上找一点P,在y轴上找一点Q,使△MPQ的周长最小,试求出△MPQ周长的最小值,并求出当△MPQ的周长最小时,点P和点Q的坐标.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.D　当cos β=0时,方程为6x+13=0,直线的倾斜角α=;
当cos β≠0时,由直线方程可得斜率k==tan α,
∵cos β∈[-1,1],且cos β≠0,
∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
又α∈[0,π),
∴α∈.
综上,倾斜角α的取值范围是.故选D.
易错警示　本题有两处容易出现错误:一是分类,缺少对cos β=0的讨论,二是计算,由斜率范围求倾斜角范围时,不结合斜率与倾斜角的关系图象而得到错解.
2.D　对直线l的方程进行变形,得2x-y-1+m(x+y+1)=0.令则直线l过定点(0,-1),又l与线段AB总有公共点,所以直线l的斜率一定存在.设P(0,-1),l的斜率为k,倾斜角为α,则0≤α<π,
易得直线PA的斜率为=-1,直线PB的斜率为=1,
则-1≤k≤1,即-1≤tan α≤1,
又k=≠-1,
所以-1因此0≤α≤<α<π,
所以直线l的倾斜角的取值范围是.
故选D.
易错警示　求直线的斜率或倾斜角的取值范围时,要注意以下三个易错点:一是起、止直线的确定,从起始直线到终止直线要按逆时针方向旋转;二是若斜率不存在的直线不符合题意,则倾斜角的取值范围会分成两个区间;三要注意倾斜角为0的直线,将倾斜角的取值范围分成两个部分.
3.C　∵l1∥l2,∴a·(a-1)=2,解得a=2或a=-1.
当a=2时,l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+1=0,即x+y+=0,
此时l1与l2间的距离d=,故舍去;
当a=-1时,l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0,即x-2y-1=0,
此时l1与l2间的距离d=.
故选C.
易错警示　应用两平行线之间的距离公式时,要将对应的一次项系数化为相等后才能运用,解题时要防止错用公式导致结果错误.
4.A　∵l1∥l2,∴(3+m)(5+m)=8,解得m=-1或m=-7.
当m=-1时,l1:x+2y-4=0,l2:x+2y-4=0,l1与l2重合,舍去;
当m=-7时,l1:2x-2y+13=0,l2:x-y-4=0,l1∥l2,符合.
综上,m=-7.故选A.
易错警示　已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0平行求方程中的参数时,可应用A1B2-A2B1=0求解,注意求得的结果要代入检验,排除l1与l2重合的情况.
5.BC　对于A,令x=0,得y=-2,故直线y=3x-2在y轴上的截距是-2,A中说法错误;
对于B,若l1∥l2,则a(a+1)-2=0,所以a=1或a=-2,当a=-2时,两直线重合,舍去,所以a=1,B中说法正确;
对于C,若两点关于直线对称,则×1=-1,故m+n=3,C中说法正确;
对于D,当截距为0,即直线过原点时,直线方程为y=2x,当截距不为0,即直线不过原点时,设方程为=1,把(1,2)代入,得=1,解得a=3,故方程为=1,化简得x+y-3=0,故直线方程为y=2x或x+y-3=0,D中说法错误.故选BC.
易错警示　在已知直线平行求直线方程中的参数时,得到结果后要排除直线重合的情况;对于与截距相关的问题,要注意两点:一是截距不是距离,取值可正、可负、可为0;二是在解决截距相等或成比例问题时,要注意直线过原点的特殊情况.
思想方法练
1.B　赋予式子x+几何意义,可将看作坐标原点O与直线2x+y=2上的点P间的距离,将x看作P到y轴的距离,结合图形,找到距离之和的最小值.
任取直线2x+y=2上一点P(x,y).如图,作点O关于直线2x+y=2的对称点C,则PO=PC=.
又x,y>0,所以点P到y轴的距离为x,
所以x+可视为直线2x+y=2上的点P(x,y)到y轴的距离与到点C的距离之和.
设C(x0,y0),则所以C.
过P作PD⊥y轴,过点C作CH⊥y轴,
显然有PD+PC≥CD≥CH,则CH为所求最小值,此时CH与直线2x+y=2的交点P1,即为取最小值时P的位置.
易得CH=,所以x+.故选B.
2.答案　
解析　的取值范围可看作直线OP(O为坐标原点)
的斜率的变化范围,可画出图形解决问题.
∵点P在BC边上运动,∴=kOP,如图所示,
设E(1,a),a>0.
∵E是线段AC的中点,∴则C(6,2a-4).
∵AD⊥DC,∴=(9,3)·(1,2a-11)=9+3(2a-11)=0,解得a=4,∴C(6,4).
∵四边形ABCD为矩形,∴,即(xB+4,yB-4)=(1,-3),∴∴B(-3,1).
由图可知,kOP≥kOC或kOP≤kOB,则≥kOC=≤kOB=-.
故.
思想方法　数形结合思想在解决数学问题中占有极其重要的地位,运用数形结合思想能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程.本章中如遇到求代数式的最值问题,可以赋予其几何意义,转化为直线的斜率、两点之间的距离或点到直线的距离问题等,将数的问题转化为形的问题,利用图形的直观性解决.
3.C　易知动直线l1:x-my+m-2=0过定点A(2,1),
动直线l2:y-4=-m(x+2)过定点B(-2,4),则AB==5,
∵m×1+(-1)×m=0,∴l1⊥l2,
∵l1与l2交于点P,∴PA⊥PB,
∴PA2+PB2=AB2=25,
∴△PAB为直角三角形,且AB=5,
通过直角三角形引入角度变量θ,可以将PA+PB转化为关于θ的三角函数,利用三角函数的性质求最值,体现了函数思想.
设∠PAB=θ,θ∈,则PA=5cos θ,PB=5sin θ,
∴PA+PB=5cos θ+5sin θ=5,
∵θ∈,
∴当θ+,即θ=时,PA+PB取得最大值,为5.故选C.
4.解析　(1)利用待定系数法设出直线方程,利用点到直线的距离公式列出方程求解确定待定系数,体现了方程思想.
由题意知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x+2),则,化简得k2+2k+3=0,所以k=-,所以l的方程为y=-(x+2),
设点P(-2,0)关于点Q(1,)的对称点为P',易得P'(4,2),
所以l'的方程为y-2(x-4),即=0.
(2)设点O关于l'的对称点为O',则O'M=OM,
所以OM+MQ=O'M+MQ≥O'Q,当且仅当O',M,Q三点共线时取等号,
设出点O'的坐标,利用图形的对称性得到体现垂直、平分关系的两个方程构成的方程组,求解得出O'的坐标,体现了方程思想.
设O'(x,y),则
解得即O'(9,3),
所以直线O'Q的方程为,即=0,
M为直线O'Q与l'的交点,联立两直线方程,解方程组可求出交点坐标,体现了方程思想.
由即M.
思想方法　函数与方程思想是分析和解决解析几何问题的一种非常重要的数学思想.在本章中,通过联立直线方程,解方程组求出交点坐标,利用待定系数法求直线方程,解决对称问题时,通过垂直关系得斜率之积为-1和两对称点连线的中点在对称轴上得到两个方程,联立得到方程组等都是很明显的方程思想的体现;解决与运动变化有关的问题(如最值问题、求参数的取值范围等)常转化为函数问题来解决,通过函数关系找出其中的联系和规律.
5.答案　x+3y-5=0或x=-1
解析　由即交点坐标为(-1,2).
求直线方程时要考虑斜率是否存在,故以斜率是否存在为依据分类求解.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由题意得,解得k=-,
所以直线l的方程为-=0,即x+3y-5=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,符合题意.
综上,直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
6.解析　(1)直线在两坐标轴上的截距相等,截距可以为0,也可以不为0,故以直线是否过原点为依据分类求解.
当直线经过原点时,方程为y=x,即x-2y=0;
当直线不经过原点时,可设方程为=1(a≠0),
把(2,1)代入,得=1,解得a=3,
所以所求直线的方程为=1,即x+y-3=0.
综上所述,所求直线的一般式方程为x-2y=0或x+y-3=0.
(2)因为A(2,1),B(-2,1),所以AB∥x轴.
因为cos<,0°≤<>≤180°,
所以∠BAC=120°,
所以角A的平分线所在直线的倾斜角为60°或120°.
直线的倾斜角有两个值,以这两个值为依据分别求斜率.
当角A的平分线所在直线的倾斜角为60°时,斜率k1=tan 60°=,
此时直线方程为y-1=(x-2),即=0.
当角A的平分线所在直线的倾斜角为120°时,斜率k2=tan 120°=-,
此时直线方程为y-1=-(x-2),即=0.
综上所述,所求直线的一般式方程为=0或=0.
思想方法　分类讨论思想是很重要也很常用的一种思想方法,确定分类的标准是关键,在直线与方程中遇到直线的倾斜角和斜率之间的关系时,要考虑倾斜角是不是90°,遇到两直线平行或垂直求参数时,要考虑直线的斜率是否存在,在截距问题中要考虑截距是不是0等,这些都是分类的标准.注意分类要保证不重不漏.
7.A　求“将军饮马”的最短总路程,可以转化为求点B关于直线x+2y=3的对称点C与点A之间的距离,即为最短路程.
如图所示,设B(-2,0)关于直线x+2y=3的对称点为C(x1,y1),
则即C(0,4),
则BD+AD=CD+AD≥AC=,即“将军饮马”的最短总路程为.故选A.
导师点睛　本题主要考查了直线方程的实际应用,解题时注意要合理转化,求得点关于直线的对称点,结合两点间的距离公式求解是解题的关键,着重考查转化思想以及推理与运算能力.
8.解析　求△MPQ周长的最小值,可以利用对称性将其转化为求两点间的距离.
如图,分别作出M(3,5)关于直线l:x-2y+2=0和y轴的对称点N,E,连接NE,交直线l于点P,交y轴于点Q,此时△MPQ的周长最小,最小值为NE的长.
设N(x,y),∵直线l:x-2y+2=0垂直且平分线段MN,
∴∴N(5,1),
易得E(-3,5),∴NE=.
直线NE的方程为y=×(x-5)+1,
即x+2y-7=0,
令x=0,得y=.
联立.
综上所述,△MPQ周长的最小值为4,当△MPQ的周长最小时,点P的坐标为,点Q的坐标为.
思想方法　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在利用图形的对称性质,将线段和与差的最值问题转化为两点间的距离问题求解.
14