单元整合练练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

单元整合练　直线与方程的综合应用
1.已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0>x0+2,则的取值范围为(　　)
A.
C.
2.已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E,F(1,0),一束光线从点F出发射到BC上的点D,经BC反射后,再经AC反射,落到x轴上的E点,则光线经历的路程是(　　)
A.5　　　　B.4　　　　C.
3.(多选题)下列说法错误的是(　　)
A.直线x-y-3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是
B.若三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3-a不能构成三角形,则实数a的取值集合为{-1,1}
C.经过点(1,2)且在x轴和y轴上的截距都相等的直线方程为x+y-3=0或x-y+1=0
D.过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为
4.(多选题)已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是(　　)
A.无论a为何值,l1与l2都互相垂直
B.当a变化时,l1表示过定点(0,1)的所有直线
C.无论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称
D.若l1与l2交于点M,则MO(O为坐标原点)的最大值是
5.已知直线l1:x-2y+3=0,l2:2x+3y-8=0.
(1)若直线l经过直线l1与l2的交点,且坐标原点O到l的距离为1,求l的方程;
(2)入射光线经过点M(2,5),被直线l1反射,反射光线经过点N(-2,4),求反射光线所在直线的方程.
6.已知直线l:x+y+1=0,点A(2,3),B(1,1).
(1)在直线l上求一点P,使PA=PB;
(2)若点Q在直线l上运动,求QA2+QB2的最小值.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　直线与方程的综合应用
1.A　∵直线x+2y-1=0与直线x+2y+3=0平行,线段AB的中点为P(x0,y0),∴,化简可得x0+2y0+1=0.
∵y0>x0+2,∴-(x0+1)>x0+2,解得x0<-,
设,
∵0<-,∴0<-.故选A.
2.C　设光线所在直线与AC的交点为G,
由已知得直线BC的方程为=1,即x+y-2=0,
直线AC的方程为=1,即x-y+2=0,
设F(1,0)关于直线BC的对称点为M(x,y),
则即M(2,1),
设E关于直线AC的对称点为N(a,b),
则即N,
由光的反射性质可知M,D,G,N四点共线,FD=MD,GE=GN,∴光线经历的路程是FD+DG+GE=MD+DG+GN=MN=.故选C.
3.BCD　对于A,直线x-y-3=0与x轴和y轴的交点分别为(3,0),(0,-3),
所以该直线与两坐标轴围成的三角形的面积S=,故A正确.
对于B,三条直线不能构成三角形,分两种情况:
①三条直线相交于一点,易知该点为原点(0,0),此时3-a=0,所以a=3;
②直线x+ay=3-a与x+y=0或x-y=0平行,
则-=-1或-=1,所以a=1或a=-1,
所以满足题意的实数a的取值集合为{-1,1,3},故B错误.
对于C,当直线过原点时,其方程为y=2x;
当直线不过原点时,设其方程为=1,又直线过点(1,2),所以=1,解得a=3,此时直线方程为=1,即x+y-3=0,
则所求直线方程为y=2x或x+y-3=0,故C错误.
对于D,由直线的两点式方程可知,
当x1=x2或y1=y2时,此方程无意义,
即直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线,故D错误.故选BCD.
4.AD　对于A,因为a×1+(-1)×a=0,所以l1⊥l2,
故无论a为何值,l1与l2都互相垂直,A正确;
对于B,l1:ax-y+1=0,即y-1=ax,其表示过点(0,1),斜率为a的直线,若直线过点(0,1)且斜率不存在,则该方程无法表示,B错误;
对于C,当a=-1时,l1:y=-x+1,l2:y=x+1,此时l1与直线y=-x平行,
l1关于直线y=-x对称的直线方程为y=-x-1,故C错误;
对于D,由A知l1,l2垂直,且l1恒过定点(0,1),l2恒过定点(-1,0),设A(0,1),B(-1,0),
故点M的轨迹是以AB为直径的圆,此时点O恰好在该圆上,故OM的最大值为圆的直径,即AB=,故D正确.
故选AD.
5.解析　(1)由即l1与l2的交点为(1,2),
当l的斜率不存在时,直线方程为x=1,原点到其距离为1,
当l的斜率存在时,设斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,
原点到其距离为=1,解得k=,故直线方程为3x-4y+5=0.
综上,直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0.
(2)设M(2,5)关于直线l1:x-2y+3=0对称的点为M'(x',y'),
则即M'(4,1),
易知反射光线所在直线的方程,即直线M'N的方程,为,
化简得x+2y-6=0.
6.解析　(1)因为PA=PB,
所以点P在线段AB的垂直平分线上,设该直线为m.又因为点P在直线l上,所以点P为直线l与m的交点,
由B(1,1),A(2,3)可知线段AB的中点为,直线AB的斜率为kAB==2,
所以直线m的斜率k'=-,
由直线的点斜式得直线m的方程为y-2=-,即2x+4y-11=0.
联立
所以P.
(2)设点Q(x,y),AB的中点为D,则D.
令u=QA2+QB2,则u=(x-2)2+(y-3)2+(x-1)2+(y-1)2=2(x2-3x+y2-4y)+15=2,
当且仅当+(y-2)2最小,即点Q与线段AB的中点D间的距离最小时,u取得最小值,
因为点Q在直线l上,所以点Q与点D间距离的最小值,即点D到直线l的距离,由点到直线的距离公式得(DQ)min=.
所以umin=2,即QA2+QB2的最小值为.
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