专题强化练1 练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练1　直线方程的综合应用
1.若直线l:(a-2)x+ay+2a-3=0经过第四象限,则a的取值范围为(　　)
A.(-∞,0)∪(2,+∞)　　　　 B.(-∞,0)∪[2,+∞)
C.(-∞,0)∪　　　 D.(-∞,0)∪
2.已知直线=1经过第一、二、三象限且斜率小于1,那么下列不等式中正确的是(　　)
A.|a|<|b|　　　　B. C.(b-a)(b+a)>0　　　　D.
3.(多选题)下列四个命题中,不正确的是(　　)
A.直线的倾斜角越大,斜率越大
B.过点P(x0,y0)的直线方程都可以表示为y-y0=k(x-x0)
C.过直线l:y=x+3与x轴的交点,且与直线l的夹角为30°的直线方程为x-=0或x+=0
D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距都相等的直线方程为x+y-2=0
4.(多选题)下列说法中正确的是(　　)
A.直线l的方程为x-ysin θ+2=0,则直线l的倾斜角α的范围是
B.直线3x-y-1=0在y轴上的截距为1
C.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则点(k,b)在第二象限
D.经过平面内任意相异两点(x1,y1),(x2,y2)的直线都可以用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示
5.若过点P(3,2)的直线l与坐标轴交于A,B两点,且△AOB的面积为16,则符合条件的直线l的条数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
6.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则点H的坐标为　　　　,直线FH的一般式方程为　　　　　　.
7.过M(2,1)作直线l.
(1)若l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求l的方程;
(2)直线l分别交x轴正半轴、y轴正半轴于点A,B.
①当M为AB的中点时,求直线l的方程;
②设O是坐标原点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
专题强化练1　直线方程的综合应用
1.C　若a=0,则l的方程为x=-,不经过第四象限.
若a=2,则l的方程为y=-,经过第四象限.
若a≠0且a≠2,则l的方程可转化为y=-,
因为l经过第四象限,所以-<0或
解得a<0或2.
综上,a的取值范围为(-∞,0)∪,故选C.
2.D　由直线=1经过第一、二、三象限,得直线在x轴上的截距a<0,在y轴上的截距b>0,
由直线的斜率小于1,可知0<-<1,结合a<0可得a<0对于A,由绝对值的性质可知|a|>|b|,故A错误;
对于B,由幂函数的单调性可知,故B错误;
对于C,由不等式的性质可得b-a>0,b+a<0,则(b-a)(b+a)<0,故C错误;
对于D,>0,则,故D正确.故选D.
3.ABD　对于A,当直线的倾斜角θ=0时,斜率为零;当θ∈时,倾斜角越大,斜率越大且斜率大于零;当θ=时,斜率不存在;当θ∈时,倾斜角越大,斜率越大且斜率小于零,故A不正确.
对于B,当直线斜率不存在时,不可以用y-y0=k(x-x0)表示,故B不正确.
对于C,由直线l的方程知其斜率为,所以倾斜角为60°,令y=0,得x=-,则直线l与x轴的交点坐标为(-,0).
因为所求直线与l的夹角为30°,所以所求直线的倾斜角为30°或90°,
所以所求直线的斜率为或不存在,
故所求直线的方程为y=)或x=-,
即x-=0或x+=0,故C正确.
对于D,经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距都相等的直线方程为x+y-2=0或x-y=0,故D不正确.故选ABD.
4.CD　对于A,当sin θ=0时,直线方程为x=-2,倾斜角α=;
当sin θ≠0时,直线方程可化为y=,斜率k=,
因为sin θ∈[-1,0)∪(0,1],所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又因为α∈[0,π),所以α∈.
综上,α∈,故A错误.
对于B,将x=0代入3x-y-1=0,可得-y-1=0,解得y=-1,故B错误.
对于C,若直线y=kx+b过第一、二、四象限,则k<0,b>0,故点(k,b)在第二象限.故C正确.
对于D,经过任意两个不同的点(x1,y1),(x2,y2)的直线有以下几种情况:
当斜率等于0时,y1=y2,x1≠x2,方程为y=y1,能用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示;
当斜率不存在时,x1=x2,y1≠y2,方程为x=x1,能用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示;
当斜率不为0且斜率存在时,直线方程为,即(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),故D正确.故选CD.
5.D　由题意知直线l不过原点,不妨设直线l:=1,则A(a,0),B(0,b),
又点P(3,2)在直线l上,所以,
因为△AOB的面积为16,所以,
所以,整理得3b2-32|b-2|=0.
当b≥2时,方程3b2-32|b-2|=0变为3b2-32b+64=0,解得b1=,b2=8,满足题意,
将b1=和b2=8分别代入=1,解得对应的a分别为a1=12,a2=4;
当b<2时,方程3b2-32|b-2|=0变为3b2+32b-64=0,解得b3=,满足题意,
将b3=和b4==1,解得对应的a分别为a3=-8+4.
综上所述,满足题意的直线为=1,i∈{1,2,3,4},共有4条.
故选D.
6.答案　(2,3);x+4y-14=0
解析　如图,分别过H,F作y轴的垂线,垂足为M,N,
∵四边形ACGH为正方形,∴Rt△AHM≌Rt△CAO,
∴AM=OC,MH=OA,
∵A(0,2),C(1,0),∴MH=OA=2,AM=OC=1,∴OM=OA+AM=3,
∴点H的坐标为(2,3),同理得到点F的坐标为(-2,4),
∴直线FH的斜率k=,
∴直线FH的方程为y-3=-(x-2),即x+4y-14=0.
7.解析　(1)易知直线l的斜率存在,
若直线l过原点,满足题意,设直线l的方程为y=kx,
因为l过点M(2,1),所以1=2k,解得k=,
所以l的方程为y=x,即x-2y=0;
若直线l不过原点,设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,2a,则直线l的方程为=1,即2x+y-2a=0,
因为直线l过点M(2,1),所以4+1-2a=0,解得a=,
所以直线l的方程为2x+y-5=0.
综上所述,l的方程为x-2y=0或2x+y-5=0.
(2)不妨设A(a,0),B(0,b),且a>0,b>0,则直线l的方程为=1.
①因为M(2,1)为AB的中点,所以a=4,b=2,
所以直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.
②因为M(2,1)在直线l上,所以=1,则1=≥2,所以ab≥8,
当且仅当,即a=4,b=2时取等号,故(S△AOB)min==4,
此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.
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