专题强化练2练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练2　对称问题及其应用
1.光线通过点A(2,3),经直线l:x+y+1=0反射,其反射光线经过点B(2,2),则反射光线所在直线的方程为(　　)
A.6x-5y-2=0　　　　B.6x+5y-22=0
C.5x-6y+2=0　　　　D.5x+6y-22=0
2.若直线l1:2x-y+3=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线为l2,则l2的方程为(　　)
A.2x+y+1=0　　　　B.x+2y-1=0
C.x+y=0　　　　D.x-2y+3=0
3.(多选题)已知点P(1,2),直线l的方程为x-y+2=0,则下列说法正确的是(　　)
A.过P点且与直线l平行的直线方程为x-y+1=0
B.过P点且与直线l垂直的直线方程为2x+y-4=0
C.点P关于直线l对称的点的坐标为(0,3)
D.直线l关于点P对称的直线方程为x-y=0
4.已知A(-3,0),B(0,3),从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上,又经过直线AB反射到P点,则光线所经过的路程为(　　)
A.2　　　　B.6
C.
5.(多选题)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为,且PO=2,点Q为PO(不含端点)上的动点,若光线从点Q出发,依次经圆锥的侧面与底面反射后重新回到点Q,则光线经过的路程可能为(　　)
A.
6.已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD斜率的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2)　　　　B.(0,+∞)
C.(1,+∞)　　　　D.(4,+∞)
7.已知x,y为实数,则代数式的最小值是　　　　.
8.在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(1,1),直线l:x+y+1=0.
(1)在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小,并求这个最小值和点C的坐标;
(2)在直线l上找一点D使得AD-BD的值最大,并求这个最大值和点D的坐标.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　对称问题及其应用
1.C　设点A(2,3)关于直线l的对称点为A'(x0,y0),则故A'(-4,-3).
由于反射光线所在直线经过点A'(-4,-3),B(2,2),
所以反射光线所在直线的方程为y-2=(x-2),即5x-6y+2=0.故选C.
2.D　联立即l1与l的交点为(-1,1).
在直线l1上任取一点A(0,3),设A关于l的对称点为A1(a,b),
则即A1(1,2),
所以直线l2的方程为,即x-2y+3=0.
故选D.
3.ACD　对于A,设过点P且与l平行的直线方程为x-y+C=0(C≠2),将P(1,2)代入,得1-2+C=0,解得C=1,故所求直线的方程为x-y+1=0,A正确;
对于B,设过点P且与l垂直的直线方程为x+y+C1=0,将P(1,2)代入,得1+2+C1=0,解得C1=-3,故所求直线的方程为x+y-3=0,B错误;
对于C,设点P关于直线l对称的点为N(s,t),则故N(0,3),C正确;
对于D,因为1-2+2≠0,故P点不在l上,故l关于点P对称的直线与l平行,故设l关于点P对称的直线方程为x-y+C2=0(C2≠2),
任取直线l:x-y+2=0上一点A(0,2),设A关于P(1,2)对称的点为B(m,n),
则故B(2,2),
将B(2,2)代入x-y+C2=0,得2-2+C2=0,解得C2=0,
故所求直线的方程为x-y=0,D正确.故选ACD.
4.C　由已知得直线AB的方程为y=x+3,设点P关于直线y=x+3的对称点为P1(a,b),
则即P1(-1,3),
设点P关于x轴的对称点为P2,则P2(0,-2),
如图,点P1,P2都在光线CD所在的直线上,利用对称性可知DP=DP1,CP=CP2,
所以光线经过的路程为PC+CD+DP=P2C+CD+DP1=P1P2=.
故选C.
5.AC　作出圆锥的轴截面△PFA,设光线从点Q出发,依次经过圆锥侧面上的点B与底面上的点C,建立如图所示的平面直角坐标系,
设Q关于直线AP的对称点为D,关于直线OA的对称点为E,则QB+BC+CQ=DB+BC+CE=DE,
由已知得P(0,2),A(,0),设Q(0,t)(0设D(x,y),则解得
即D,所以DE=,
又06.D　因为A(-2,0),B(2,0),C(0,2),所以直线BC的方程为x+y-2=0,直线AC的方程为x-y+2=0,
如图,作F关于直线BC的对称点P,
因为F(1,0),所以P(2,1),作P关于直线AC的对称点M,则M(-1,4),连接ME,交AC于点N,连接MA,则直线ME的方程为x=-1,所以N(-1,1),
连接PN,PA分别交BC于点G,H,易得直线PN的方程为y=1,直线PA的方程为x-4y+2=0,
所以G(1,1),H.
连接GF,HF,则点D在线段GH上(不含端点).
易得直线FG的方程为x=1,直线FH的斜率为=4,所以FD的斜率的取值范围为(4,+∞).故选D.
7.答案　5
解析　,即,可以表示为点P(0,y)与点A(1,2)间的距离;
,即,可以表示为点B(2,2)与点Q(x,0)间的距离;
,即,可以表示为点P(0,y)与点Q(x,0)间的距离.
作A关于y轴的对称点A'(-1,2),B关于x轴的对称点B'(2,-2),
连接A'P,A'B',B'Q,则PA=A'P,BQ=B'Q,
∴=PA+BQ+PQ
=A'P+B'Q+PQ≥A'B'==5,
当且仅当P,Q分别为直线A'B'与y轴,x轴的交点时,等号成立.
8.解析　(1)设点A(2,3)关于直线l:x+y+1=0的对称点为A'(x,y),则
解得即A'(-4,-3).
所以直线A'B的方程为,即4x-5y+1=0.
当点C为直线4x-5y+1=0与直线x+y+1=0的交点时,AC+BC的值最小.
联立所以C,
(AC+BC)min=A'B=.
(2)由题意知直线AB的方程为,整理得2x-y-1=0,当点D为直线2x-y-1=0与直线x+y+1=0的交点时,AD-BD的值最大,
由即D(0,-1),从而(AD-BD)max=AB=.
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