综合拔高练练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

综合拔高练
高考真题练
考点　直线方程及其应用
1.(2020全国Ⅲ文,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　)
A.1　　　　B.　　　　D.2
2.(2021上海,5)直线x=-2与直线x-y+1=0的夹角为　　　　.
3.(2019江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.
高考模拟练
应用实践
1.(多选题)已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:2x-y+3=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论正确的是(　　)
A.直线l与l1的斜率互为相反数
B.所围成的等腰三角形的面积为1
C.直线l关于原点的对称直线的方程为2x+y-1=0
D.原点到直线l的距离为
2.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),若直线l:ax+(a-3)y+1=0与△ABC的欧拉线垂直,则直线l与△ABC的欧拉线的交点坐标为(　　)
A. C.
3.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=kx+b(k>0)将△ABC分成面积相等的两部分,则b的取值范围是(　　)
A. C.
4.(多选题)已知点M(-1,1),N(2,1),且点P在直线l:x+y+2=0上,则(　　)
A.存在点P,使得PM⊥PN
B.若△MNP为等腰三角形,则点P的个数为3
C.PM+PN的值最小为
D.|PM-PN|的值最大为3
5.某公园的示意图为如图所示的六边形ABCDEF,其中AB⊥AF,AF∥BC,AB∥DE,∠BCD=∠AFE,且tan∠BCD=-,CD=EF=50米,BC=DE=80米.若计划在该公园内建一个有一条边在AB上的矩形娱乐健身区域,则该娱乐健身区域面积(单位:平方米)的最大值为　　　　.
6.已知P,Q分别在直线l1:x-y+1=0与直线l2:x-y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-4,4),B(4,0),则AP+PQ+QB的最小值为　　　　.
7.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.
(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
8.如图,直线l过点(3,4),与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,△AOB的面积为24.点P为线段AB上一动点,PQ∥OB,且PQ交OA于点Q.
(1)求直线l的斜率的大小;
(2)若S△APQ=S四边形OQPB,请确定P点在AB上的位置,并求出线段PQ的长;
(3)在y轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形 若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
迁移创新
9.某学校在矩形操场ABCD内进行体操表演,其中AB=40,BC=15,O为AB上一点,且BO=10,线段OC,OD,MN为表演队列所在位置(M,N分别在线段OD,OC上),△OCD内的点P为领队位置,且点P到OC,OD的距离分别为,记OM=d,已知当△OMN的面积最小时,观赏效果最好.
(1)当d为何值时,P为队列MN的中点
(2)求观赏效果最好时△OMN的面积.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
高考真题练
1.B　解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)=2k2+2=k2+k2+1+1≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号,即|k+1|≤,所以d=,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为.故选B.
解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点(-1,0)且斜率存在的直线,记点(-1,0)为P,点(0,-1)为Q.点Q(0,-1)到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,最大距离为PQ=,故选B.
2.答案　
解析　∵直线x=-2的斜率不存在,倾斜角为,直线x-y+1=0的斜率为,倾斜角为,
∴直线x=-2与直线x-y+1=0的夹角为.
3.答案　4
解析　解法一:设P,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=≥4,当且仅当x0=,即x0=时取“=”.
故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.
解法二:作直线x+y=0的平行线x+y+C=0(C≠0)(图略),当直线x+y+C=0与曲线y=x+(x>0)相切于点P时,点P到直线x+y=0的距离最小.由得2x2+Cx+4=0,所以Δ=C2-32=0,解得C=±4.因为x>0,所以y>0,所以C<0,所以C=-4,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是=4.
高考模拟练
1.ACD　由题意可知直线l与l1:2x-y+3=0的倾斜角互补,∴直线l的斜率为-2,故A正确;
∵直线l过点P(-1,1),∴直线l的方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0,
∵2×(-1)-1+3=0,∴点P在直线l1上,∴P为l1与l的交点,
易求得l1与l在x轴上的截距分别为-和-,故所围成的等腰三角形的面积为,故B错误;
易知点P(-1,1)关于原点的对称点为(1,-1),∴直线l关于原点的对称直线的方程为y=-2(x-1)-1,即2x+y-1=0,故C正确;
原点到直线l的距离为,故D正确.故选ACD.
2.B　由题意得△ABC的重心为,即.
易得kAB=0,直线BC的斜率不存在,故△ABC为直角三角形,则其垂心为其直角顶点B(1,0),则△ABC的欧拉线方程为,整理得y=-.
因为直线l与欧拉线垂直,所以=2,解得a=2,故l的方程为y=2x+1,
联立.故选B.
3.A　设坐标原点为O,则△ABC的面积为·AB·OC=1,
易知直线y=kx+b(k>0)与x轴的交点为,设为M.
由直线y=kx+b(k>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,可得b>0,故-<0,故点M在射线OA上(不含点O).
设直线y=kx+b和BC的交点为N,易知直线BC的方程为x+y=1,联立即N.
①若点M和点A重合(如图1),则点N为线段BC的中点,故N,
把A、N两点的坐标代入直线y=kx+b,得k=b=.
图1 图2
②若点M在点O和点A之间(如图2),则b>,点N在点B和点C之间由题意可得△NMB的面积为,故·MB·yN=,即 ,可得k=>0,得b<,故.
③若点M在点A的左侧(如图3),则b<,且-<-1,得b>k.
图3
设直线y=kx+b和AC的交点为P,易知直线AC的方程为y=x+1,
联立即点P,
由题意可得△CPN的面积为,即·(1-b)·|xN-xP|=,
即(1-b)·,化简可得2(1-b)2=|k2-1|.
由于此时>b>k>0,∴2(1-b)2=|k2-1|=1-k2.
两边开方可得,化简可得b>1-,故有1-.
综上,b的取值范围是.故选A.
4.BCD　对于A,设P(a,-a-2),当PM的斜率不存在时,a=-1,此时P(-1,-1),
则kPN=≠0,即PM与PN不垂直;
当PN的斜率不存在时,a=2,此时P(2,-4),
则kPM=≠0,即PM与PN不垂直;
当a≠-1且a≠2时,kPM=,
若PM⊥PN,则=-1,即2a2+5a+7=0,
由于Δ=-31<0,所以方程无解,故PM与PN不垂直.
综上,不存在点P,使得PM⊥PN,A错误.
对于B,若PM=PN,此时P在MN的垂直平分线上,
则P点的横坐标为,此时P;
若MP=MN,由于点M到直线l的距离d1=故直线l上必存在两点满足PM=MN=3,设这两点为P1,P2,
由于l上纵坐标为1的点为(-3,1),该点和M的距离为2,故P1,P2和M,N不共线,适合题意;
若PN=MN,由于N点到直线l的距离d2=>MN=3,故这种情况不存在.
综上,若△MNP为等腰三角形,则点P的个数是3,B正确.
对于C,设点M(-1,1)关于直线l的对称点为M'(m,n),
则即M'(-3,-1),
故PM+PN=PM'+PN≥M'N=,
当且仅当M',P,N三点共线(P在M',N之间)时取得等号,
故PM+PN的值最小为,C正确.
对于D,|PM-PN|≤MN=3,当且仅当P为NM的延长线与l的交点时等号成立,即|PM-PN|的值最大为3,D正确.故选BCD.
5.答案　
解析　以AF所在直线为x轴,DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系,娱乐健身区域为矩形PNMQ.
由tan∠AFE=tan∠BCD=-,得tan∠OFE=,
则,又EF=50,所以OE=30,OF=40,所以E(0,30),F(40,0),D(0,110),C(40,140),A(120,0),B(120,140),故直线EF的方程为y=-x+30,直线CD的方程为y=x+110.
设P,其中0≤a≤40,则Qa,a+110,N,
则PQ=a+80,PN=120-a,所以四边形PNMQ的面积S=PQ·PN=,0≤a≤40.
当a=时,S取得最大值,最大值为.
6.答案　
解析　由题意得l1∥l2,则l1与l2间的距离为,即PQ=,过B作直线l垂直于l1,如图,
则直线l的方程为y=-x+4,将B沿着直线l向上平移个单位到点B',有B'(3,1),连接AB',交直线l1于点P,连接BQ,有BB'∥PQ,BB'=PQ,即四边形BB'PQ为平行四边形,则PB'=BQ,即有AP+QB=AP+PB'=AB',
因此AP+QB的最小值,即AP+PB'的最小值,为AB',
而AB'=,
所以AP+PQ+QB的最小值为AB'+PQ=.
7.解析　(1)设直线l的方程为2x+y-5+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,所以=3,即2λ2-5λ+2=0,所以λ=或λ=2.
所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)设直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点为P,由故P(2,1),如图,过P任作直线l,
设d为点A到直线l的距离,则d≤PA(当l⊥PA时等号成立).
所以dmax=PA=.
知识拓展　直线系方程:具有某种共同性质(过某点、共斜率等)的直线的集合叫直线系,它的方程叫直线系方程.
几种常见的直线系方程:
(1)过已知点P(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为参数),但此方程不能表示直线x=x0.
(2)斜率为k的直线系方程为y=kx+b(b是参数).
(3)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(A,B不同时为0,λ≠C).
(4)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0(A,B不同时为0).
(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数),但此方程不能表示直线l2.
8.解析　(1)显然直线l的斜率存在,设其方程为y-4=k(x-3),
则A,B(0,4-3k),于是S△AOB=·(4-3k)=24,所以k=-,
所以直线l的斜率为-.
(2)由(1)知直线l的方程为y-4=-(x-3),即4x+3y-24=0,B(0,8),
因为S△APQ=S四边形OQPB,所以S△APQ=S△ABO,
又PQ∥OB,所以△APQ∽△ABO,于是有,即,得PQ=4,此时点P为线段AB的中点,所以S△APQ=S四边形OQPB时,点P为线段AB的中点,且PQ=4.
(3)假定在y轴上存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形,由(2)知直线l的方程为4x+3y-24=0,如图,设Q(t,0),0当∠PQM=90°时,点M在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,则M必与原点O重合,
因为MQ=PQ,所以P(t,t),于是有4t+3t-24=0,解得t=<6,此时M(0,0);
当∠MPQ=90°时,由PQ∥OB,MP=PQ知四边形OQPM为正方形,
则P(t,t),M(0,t),于是有4t+3t-24=0,解得t=<6,此时M;
当∠PMQ=90°时,由PQ∥OB,MQ=MP得∠OQM=∠PQM=45°,即OM=OQ,则M(0,t),P,
显然直线QM的斜率为-1,则PM的斜率为1,即=1,解得t=<6,此时M.
综上,y轴上存在点M(0,0)或M或M,使△MPQ为等腰直角三角形.
9.思路分析　(1)
(2)M,N,P共线 m,n的关系式 求出面积
解析　(1)以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点O且垂直于AB的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则C(10,15),B(10,0),D(-30,15),
所以直线OC的方程为y=x,即3x-2y=0,
OD的方程为y=-x,即x+2y=0.
设P(a,b),M(-2m,m),N(m>0,n>0).
由题意得(舍去),即P.
因为P为MN的中点,所以所以M,故d=OM=,
所以当d=时,P为队列MN的中点.
(2)由(1)结合M,N,P三点共线,得,即5m+n=4mn,即=4,OM=n.
所以S△OMN=,
当且仅当时,等号成立,
所以观赏效果最好时△OMN的面积为.
素养评析　本题第(1)问,要求学生能够在熟悉的数学情境中,根据问题的特点找到解题思路,即建立坐标系,求出直线方程,利用相关公式解决问题,考查了学生的数学运算素养;第(2)问,要求学生能够在熟悉的情境中将原问题进行转化,即将三点共线转化为斜率相等,并能够选择合适的数学模型(基本不等式模型)解决,考查了学生的数学建模素养.
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